通訊作者：陳東賢，e-mail：chents@ncut.edu.tw 收稿：2021 年 1 月 25 日；
接受刊登：2021 年 4 月 9 日。
陳東賢（2021）。
發展悅趣化數學文化教案以培養數量與代數素養之探究。
臺灣數學教育期刊，8（1），55-78。
doi: 10.6278/tjme.202104_8(1).003
發展悅趣化數學文化教案以培養數量與代數素養之探究
陳東賢
國立勤益科技大學基礎通識教育中心
本研究以十二年國民基本教育數學領域課程綱要為藍本，發展悅趣化數學文化教案以培養具備 歸納推理能力的數量與代數素養。分別對臺灣國中生與高中生施以「撲克牌數學魔術」與「中 國益智遊戲九連環」教案，並探究與反思所開發之悅趣化學習方式的兩個數量與代數素養教案 的活動實施歷程。研究結果發現幾乎所有同學都認同所參與教學活動，活動有助於培養學生歸 納推理能力與提升數量與代數素養。運用玩中學魔術對很多同學是很新鮮的經驗，藉由結合八 年級數列單元的觀念，讓同學體會數學的妙用，確實增進學生對於等差數列單元概念理解與學 習興趣，培養學生歸納推理的能力，進而運用數學規律，實際表演魔術。高中生可以藉由操作 九連環遊戲培養觀察、探索、發現、分析與溝通能力，連結十年級指數、數列、級數與遞迴關係 等單元，惟有些同學在數學表徵的敘述上出錯，研究顯示做更深入的抽象代數思維對十二年級 高中生仍有其困難性。
關鍵詞：代數教案、悅趣化學習、數量與代數素養、數學文化、數學魔術
Corresponding author：Tung-Shyan Chen，e-mail：chents@ncut.edu.tw Received：25 January 2021;
Accepted：9 April 2021.
Chen, T. S. (2021).
An exploratory study on developing game-based mathematical culture lesson plans for cultivating quantitative and algebraic literacy.
Taiwan Journal of Mathematics Education, 8(1), 55-78.
doi: 10.6278/tjme.202104_8(1).003
An Exploratory Study on Developing Game-Based Mathematical Culture Lesson Plans for Cultivating
Quantitative and Algebraic Literacy
Tung-Shyan Chen
Fundamental General Education Center, National Chin-Yi University of Technology
This research was based on a 12-year compulsory education syllabus in the field of mathematics, and it integrated mathematical culture to develop game-based lesson plans to cultivate students' inductive reasoning ability for quantitative and algebraic literacy. The teaching plans for “Mathematical Card Magic” and “Chinese Ring of Chinese Puzzle Games” were given to Taiwanese junior and senior high school students, respectively. This research was a theoretical and reflexive study on the implementation of the two quantitative and algebraic teaching plans. The results of the study demonstrated that most students were receptive of the teaching activities. The activities helped to cultivate students' inductive reasoning ability and improve their quantitative and algebraic literacy. The use of mathematical card magic was a new experience for many junior high school students. Combining the concept of number sequences in Grade 8 can effectively arouse students' interest in learning and study, cultivate students' ability of inductive reasoning, and then apply the patterns of mathematics to perform magic tricks. High school students can develop observation, exploration, discovery, analysis, and communication skills by operating the Chinese ring. Teaching activities can link the concepts of logarithm, number sequences, and series and recursions in Grade 10. However, some students made mistakes in mathematical representation. It remains difficult for Grade 12 high school students to do more in-depth, abstract algebra thinking.
Keywords: lesson plans for algebra, game-based learning, quantitative and algebraic literacy, mathematical culture, mathematical magic
壹、前言
依據臺灣參加2019 年國際數學與科學教育成就趨勢調查（Trends in International Mathematics and Science Study 2019, TIMSS 2019）成果發表（教育部，2020）顯示，我國四年級與八年級學 生的數學學科平均成就分別居參加國家或地區排名第四和第二，我國學生數學學科成就表現顯 著優於國際平均（Mullis, Martin, Foy, Kelly, & Fishbein, 2020）。同時我國學習落後學生百分比呈 現了持續下降的趨勢，城鄉間的差距也微幅縮小，這些成就呈現臺灣國中小學教師與各界對數 學教育投入、關心和努力的成果。不過值得我們關注的是，TIMSS 1999 至 2019 的臺灣學生「對 數學的學習興趣」與「數學教學吸引學生投入的程度」趨勢結果，兩項數據百分比均低於國際 平均，常常位居末段。這可能都導因於學生學習數學時經常過度拘泥於數學而脫離生活情境脈 絡。例如，2015 年 6 月 18 日華視新聞報導香港某小學一年級入學考題，如圖 1 所示，數學考題 問汽車所在停車格號碼為多少？
圖 1 汽車所在停車格號碼。引自「猜對了嗎？“停車格數學題超難”【新聞影片】」，謝于 婷、吳嘉文，2015，中華電視公司。
新聞中，記者將這題目拿來問臺灣小一學生，沒人能答出來，就連大人的答案也是錯誤連 連。其實這題不是要用什麼高深數學來算，只需要換個角度思考，既然是停車格，停車格號碼 應該不會太怪異，為了讓收費員開單方便，停車格號碼都會有「數」的規律，所以駕駛的角度翻 轉一下（圖2），答案就呼之欲出。
圖 2 照片反轉後汽車所在停車格號碼
臺灣「十二年國民基本教育課程綱要總綱」以「核心素養」做為課程發展之主軸，強調學習 應關注與生活的結合，透過實踐力行而彰顯學習者的全人發展。隨著 108 課綱實施，數學應該 以一種文化的進路滲入實際教學中。劉柏宏（2016）認為數學文化融入教學，讓學生在學習數 學的過程中體驗數學文化，欣賞數學與文化之美，應當可以改善臺灣學生「高成就、低態度」的 狀況。本文將介紹如何以十二年國民基本教育數學領域課程綱要為藍本，融入數學文化開發「數 量與代數」中學教案，並探究所開發之悅趣化學習方式的「撲克牌數學魔術」與「中國益智遊戲 九連環」兩個數量與代數素養教案的實施過程和反思，以思考未來數學文化教案的發展方向。
研究目的為：
（一）發展悅趣化數學文化教案以培養具備歸納推理能力的數量與代數素養。
（二）探究與反思所開發之悅趣化數學文化教案的活動實施歷程。
貳、數學文化對數學教育的重要性
數學本身就是人類文明發展中所伴隨而生的一種文化，Kline（1953）指出，數學一直是形 成西方文化的主要力量和重要元素，且數學的發展具有文化多元性（張維忠、唐恒鈞，2008）。
懷爾德（R. L. Wilder, 1896-1982）在《數學的文化基礎》（The cultural basis of mathematics, Wilder, 1950）中闡述數學文化的本質並強調從文化的視角看數學並非是新的事物。為分析數學文化的 內涵，Burton（2009）將數學中的文化（culture of mathematics）與數學文化（mathematical culture）
區分如下：
數學中的文化（culture of mathematics）為公認與數學相關的一些層面（如對美、嚴謹、
簡潔等的特定態度），而數學文化（mathematical culture）為構成數學家的社會政治態 度、價值觀與行為，及其學生在會議、教室、課程等環境中體驗數學。（p. 157）
另一方面，劉柏宏（2016）則從「文化中的數學（mathematics in culture）」與「數學中的文化
（culture of mathematics）」兩大構面闡述「數學文化」（mathematical culture）：
前者是從文化的角度出發，觀察人類發展過程中，數學在其所屬社會文化所扮演的角 色；後者指數學知識發展過程中其內部知識與社群所顯現的特質，這兩者呈現一種交 錯的有機互動發展。（pp. 62-63）
劉柏宏（2016）在用詞上和 Burton（2009）有些許不同，但內涵大致相當。值得注意的是，中國 大陸對於數學文化的研究起源甚早。張奠宙、梁紹君與金家梁（2003）強調數學文化必須走進 課堂，隨之中國大陸於2003 年頒佈《普通高中數學課程標準》（實驗）（中華人民共和國教育部，
2013）提出數學文化的學習要求與落實，以展現數學對社會發展的作用。除了在課程標準上的 融入，方延明（2007）進一步提出以「自在價值（概念）」、「工具價值（方法）」與「應用價值（模 型）」三元結構以呈現數學文化的體系結構。接著在2017 年《普通高中數學課程標準》（中華人 民共和國教育部，2017）在課程結構中更主張把數學文化融入課程內容中，並說明數學文化是 指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展，包括數學在人類生活、科學 技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。因此王憲昌、劉鵬飛與耿鑫彪
（2010）認為數學文化的研究與教學是中國數學教育最近二、三十年發展最快與普及的領域。
TIMSS 2011 至 2019 調查臺灣四年級與八年級學生不喜歡數學的比例隨著年齡提升，且高 於國際平均（賓靜蓀，2020）。有感於臺灣學生在數學內容的情意態度明顯低落和「適性揚才」
與「終身學習」的訴求，教育部《十二年國民基本教育國民中小學暨普通型高級中等學校課程 綱要》便指出「認識數學的文化面向，不僅有助於讓數學學習從工具性層次延伸到智識性層次，
也更彰顯數學知識的人文價值」（教育部，2018，p. 1）。一些學生在努力學習數學的同時，可能 也正在厭煩著數學。日本數學教育家米山國藏有感於許多人在學校所學數學知識，畢業之後，
若沒有機會使用，很快就忘掉，因而在其所著《數學精神思想和方法》書中序言提到
不管他們從事什麼工作，惟有深深銘刻在頭腦中的數學的精神、數學的思惟方法、研 究方法，推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終身受益（米 山國藏，1969/1986，序）。
所以數學文化必須走進課堂，努力讓學生在學習數學過程中，真正去感受到數學文化，產生文 化共鳴，體會數學文化品味。為達成這目標，教育者理應轉變觀念，將數學教育提升到數學文 化教育的層面上，重視學生數學文化經驗的累積和總結，讓學生體驗數學思維的過程和樂趣，
無論是成功還是失敗，都是有價值的。歐陽絳（2008）認為數學有「工具」與「文化」兩種品格，
而數學文化品格的深遠意義與米山國藏有著相同觀點，人們所受到的數學訓練將會潛移默化一
直影響他們的生存與思維方式，並且終身受用。因此，我們規劃將數學文化融入數量與代數素 養教案，開發出「撲克牌數學魔術」與「中國益智遊戲九連環」教案，讓學生在教學現場以悅趣 化的方式體驗數學文化的歸納思考面向，讓孩子從遊戲中學習，跳脫數學刻板印象，以數學的 精神、觀點、思維、方法等面向營造一種文化的氛圍，讓學生在學習數學過程的同時，得到更多 的數學文化熏陶，從而讓學生進一步理解數學、喜歡數學、學到數學文化精神，經過潛移默化 後，使學生受益終身。
參、數量素養與代數素養
國際學生能力評量計劃（The Programme for International Student Assessment, PISA）為經濟 合作暨發展組織（Organisation for Economic Co-operation and Development, OECD）自 1997 年起 開始籌劃。PISA（OECD, 2018）所定義的數學素養四大概念為「數量」、「不確定性與資料」、
「變化與關係」與「空間與形狀」。這四大概念中的「數量」與「變化與關係」都屬於「數量與 代數」的範疇。難怪數學家兼數學史家Cajori（1928）曾說過要探索算術的最好方法，就是研究 代數。有關數、量與代數的部分，由第一學習階段（國小1 至 2 年級），能初步掌握數與量的概 念，重點在自然數與其運算、長度的認識，發展至第二學習階段（國小3 至 4 年級），掌握自然 數的四則運算與培養數感，並初步學習分數與小數的概念。在量方面，以長度為基礎，學習量 的常用單位及其計算。第三學習階段（國小5 至 6 年級），學習分數與小數的四則計算，以常用 的數量關係，解決日常生活的問題。到了中學第四學習階段（國中7 至 9 年級），能認識負數與 根式的概念與計算，熟悉代數式的運算、解方程式及簡單的函數。最後第五學習階段（高中10 至 12 年級），統整認識實數與發展計數原理及其應用。透過坐標連結幾何與代數概念，並初步 認識線性代數。能夠認識多項式函數、指數與對數函數與三角函數三大類基本函數，並能運用 它們當作模型而解決典型問題。在這五個學習階段，隨著數學結構層層累積，數學學習將越來 越抽象，由量的概念抽象為數的概念，最後再昇華到代數的概念。學生需歷經從利用數量進行 計算的「算術思維」，逐漸發展變化而延伸至運用符號進行結構式運算的「代數思維」。
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)（2000）認為，代數應包含四大部分：
「瞭解式子、關係和方程式」、「使用代數符號呈現和分析代數的情境和架構」、「用數學模組來 表現和瞭解量之關係」、「分析各種前後關係的改變」。代數教學強調培養學生能夠有意義地理解 符號與式子背後的抽象意義，避免學生機械式地背誦一些規則與程序（Kieran, 1992, 2007）。李 源順（2013）認為
符號的使用只是進入代數思維的第一步，真正進入代數思維，憑藉的是支撐在符號背 後的代數想法，也就是一般化的想法。（p. 518）
一些研究發現（袁媛，1993；陳嘉皇，2006，2007；Laborde, 1990；Schliemann, Carraher, &
Brizuela, 2007；Simon, 1980），由「算術」進入「代數」學習，對一些學生而言，卻是一個很高 的門檻。如同洪萬生（1996b）即指出，我們國一學生的學習困擾不乏先例。代數中的抽象性並 非一蹴可及，洪萬生（1996a）研究發現中國清朝康熙皇帝在符號代數的學習過程中，表現出類 似國中學生的學習困擾，這一點值得教學工作者重視。這也是研發教案素材所需要著力的重點。
在開發教材理念上，我們仍需要注意張海潮（2011）的提醒，利用「算術」或「圖解」解算術應 用題比較有趣味與深度，有助於學習者思考。不可為了貪圖便利快速，教導孩子利用代數法取 代算術，剝奪了探索的機會，因此開發「算術」連結「代數」學習教案有其重要性。本研究嘗試 連結10 年級指數、數列、級數與遞迴關係等單元，開發「算術」連結「代數」的「中國益智遊 戲九連環」學習教案。一些「九連環」相關教學研究，大都講述九連環的數學文化面向，探索九 連環解法，以及如何在課堂中融入九連環教學（俞昕，2015；唐慧榮，2019；高將、崔志永，
2012），不過都缺乏關於九連環教案案例探究。
李國偉、黃文璋、楊德清與劉柏宏（2013）經整合國內外數學素養之觀點，明確闡述數學素 養的核心內涵如下：
個人的數學能力與態度，使其在學習、生活、社會、與職業生涯的情境脈絡中面臨問 題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工 具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理 性反思與判斷，並在解決問題的歷程中，能有效地與他人溝通觀點。（p. 19）
並提出提升數學素養的四大目標：（1）學習並發揮數學思維的特長。（2）充實並活用基本的數 學知識。（3）建立健康的對待數學的態度。（4）擅於利用計算器與數位工具。可見 12 年國教課 綱強調素養導向，重視如何運用個人知識、能力與態度，連結應用於生活情境、面對問題與探 索世界。綜合以上論點，我們可定義「數量與代數素養」為運用數量、代數知識之數學能力與態 度，展現其數學素養。
肆、教案理念與設計
一、教案理念
悅趣化學習（game-based learning）是近年興起的一種學習模式，凡是透過工具或活動提升 學習者的學習動機與興趣的學習方式皆屬於悅趣化學習的一環。雖然近年大都被指稱於數位學 習，但並非專指數位遊戲的學習方式（Plass, Homer, & Kinzer, 2015）。廣義地說，悅趣化學習就 是指設計一種互動過程，使得能在涵蓋學科知識的需求和遊戲玩法的需求之間取得平衡的學習 方式（Plass, Perlin, & Nordlinger, 2010）。悅趣式學習專家侯惠澤（2016）認為從玩中學，最能帶
出學習興趣。臺灣師範大學名譽教授林福來也曾於2015 年全國教育局長會議中表示，他透過與 讀小學的孫子玩遊戲時獲得啟發，瞭解從遊戲中學習數學的效果極好，因此啟動「就是要學好 數學（JUST DO MATH）」計畫，透過「數學奠基活動」和「數學好好玩研習營」推動遊戲數學，
研發許多有趣的數學奠基活動，並透過研發各種好玩的數學遊戲，幫助學生從玩遊戲中學會數 學。
不過悅趣化學習只是一種協助的工具，必須搭配學習數學的主體內容方能成事。本研究的 主體內容聚焦於等差數列概念和歸納推理。數學知識的主要內容包含數、量、形三大概念，雖 然小學時都以接觸過數、量、形等主題，但都是具體和具象的數學物件，國中開始逐漸被抽象 的符號表徵所取代，再 加上代數式，使得學生 一時之間不易調適 （assimilation）與同化
（accommodation ）。 其 中 等 差 數 列 的 概 念 雖 然 不 是 一 個 困 難 的 主 題 ， 但 它 介 於 數 式
（da2 a1a3a2 a4a3 ）與代數式（an1a1nd）之間，學生必須經常處理常數 運算與代數運算之間的轉換，對於學生數量與代數表徵的解讀能力是一大考驗。尤其等差數列 經常出現在規律探索、關係認知和推廣一般化等問題上面（NCTM, 2000），所以學生若能掌握這 種轉換，則可望順利橋接往後的方程式。然而目前甚少研究關注中學生對於等差數列的概念
（Zazkis & Liljedahl, 2002），特別是學生對於線性規律（linear pattern）的認知能力。
此外，歸納推理能力不僅在教育學習環境中扮演著關鍵的角色，也是21 世紀的職場技能必 不可少的部分（Molnár, Greiff, & Csapó, 2013; Van Vo & Csapó, 2020）。歸納推理是由特殊化而至 一般化的推論過程，在數學學習領域一直是最被經常研究的推理能力之一。波利亞（Polya, 1954）
指出，歸納推理可以應用在諸多數學解題的問題脈絡，尤其在數學的「一般化」（generalization）
這個重要的思維之中，歸納推理扮演著關鍵的角色。「一般化」是經由觀察和分析一群數學物件 的特徵，企圖從中尋求共同規律並建立猜想。有了猜想之後才能透過演繹或其他方式論證猜想 之正確性。進行歸納推理不僅能訓練學習者的觀察能力和培養直覺，也能增進學習者對於數學 物件性質的認識，因此在數學學習中它是最根本的，也是深化數學認知相當關鍵的一個程序
（Haverty, Koedinger, Klahr, & Alibali, 2000）。有鑑於此，劉柏宏（2016）將歸納推理列入為數學 文化素養的學習表現指標，並區分為「觀察分析」（I&G-S: Survey）、「發現規律」（I&G-P: Pattern）
和「建立猜想」（I&G-C: Conjecture）等三個層次。
綜上所述，本研究嘗試透過悅趣化學習的方式發展兩份數學文化教案，以培養學生歸納推 理的能力。不過悅趣化學習不僅僅是「玩中學」而已，為達預期之教學成效須配合適當的監控 機制。Garris、Ahlers 與 Driskell（2002）就提出一個悅趣化學習的程序模型，其中學習者判斷
（user judgments，指學習者的感受）、學習者行為（user behavior，指學習者的參與程度）和系統 回饋（system feedback，遊戲設計者的評估）三者構成一個動態迴圈（圖 3），相互回饋。本研究
即在此模型之下實施教學探究。
圖 3 悅趣化學習之程序模型。取自“Games, motivation, and learning: A research and practice model,” by R. Garris, R. Ahlers, & J. E. Driskell, 2002, Simulation & Gaming: An Interdisciplinary Journal of Theory, Practice and Research, 33(4), 445.
二、教案設計流程
本研究的教案設計發展係參考密西根大學教學研究中心（Center for Research on Teaching and Learning）所揭示的教案設計準則（http://www.crlt.umich.edu/gsis/p2_5）。首先每份教案開始設計 之前先考慮三大要素：學習目標、學習活動設計、與檢測學習成效的策略。這三大要素形成一 個教案設計迴圈（圖4），針對不同情境與對象，持續精進教案。
圖 4 教案設計迴圈
教案設計遵照下列六個步驟進行：
列出學習目標（outline learning objectives）：事先思考幾個問題：我要學生學到甚麼？課程結 束後學生帶走甚麼？哪些重要的概念、觀念和技巧是希望學生能夠掌握與應用的？
準備開場白（develop the introduction）：針對主題構想一個有創意開場白以吸引學生的興趣並
鼓勵主動思考。透過各種策略讓學生進入問題情境。
規劃學習活動（plan the specific learning activities）：甚麼樣的活動可以吸引學生的目光？有哪 些不同的方式可以描述主題？如何讓學生投入活動？
測試學生的理解程度（plan to check for understanding）：不時關注學生是否實際投入學習活動？
準備幾個問題以檢測學生的理解程度？試想學生可能的回答？
準備結語與預告（develop a conclusion and a preview）：簡單扼要地複習與概括整個學習活動的 重點。可以由教師起頭，後續邀請學生回答，或是請學生記下他們今天所學習到的東西，並 透過反問確認學生的理解程度。
設定進程時間表（create a realistic timeline）：列出學習目標的優先順序後，估算每個活動流程 所需時間。
伍、數量與代數素養教材案例
本節將說明依據前述融入數學文化開發「數量與代數」中學教案，藉由悅趣化學習應用於 在教學現場，教學過程中加入一些引起學生學習興趣的素材，以引發學生投入學習，並產生必 要的概念連結，協助學生克服學習代數困難，提升對數學的興趣，瞭解所開發教案之數量與代 數概念，培養學生歸納推理的能力，進而提升其數量與代數素養。
本研究第一個教案為「撲克牌數學魔術」是在臺中市某國中八年級實施的情形，由本文作 者負責教案教學的任務，計有 26 位同學參與現場教學，實施時間為兩節課。讓學習者瞭解「數」
的規律，運用撲克牌點數連結八年級代數的等差規律歸納能力，並從中觀察學生是否能瞭解所 開發教案之數學概念。以及所開發之悅趣化學習教案是否能培養學生歸納推理的能力，進而提 升其數量與代數素養。此外，開發「算術」連結「代數」學習教案有其重要性，第二個教案嘗試 連結十年級指數、數列、級數與遞迴關係等單元，規劃「中國益智遊戲九連環」教案。本教案研 究的是參與科普活動高中三年級生實施的情形，由本文作者負責教案教學的任務，計有15 位同 學自由分成 8 組參與現場教學，實施時間為兩節課。除講述九連環發展歷史與操作方法之外，
也讓學習者分組合作，由「算術」或「圖解」探索解九連環解法，進而運用抽象化符號進行結構 式運算的「代數思維」，讓學習者嘗試運用抽象代數思維解決問題。本文「中國益智遊戲九連 環」教案將可對後續相關研究提供初步探討資訊。以下我們將介紹「撲克牌數學魔術」與「中國 益智遊戲九連環」教案的發展與探究過程。
一、「撲克牌數學魔術」教案
Koirala 與 Goodwin（2000）研究顯示數學魔術融入代數教學，有助於五、六年級學生透過 表演魔術理解代數概念，並引發學習興趣。Lim（2018）研究中學教師在數學課程中使用魔術情
況，發現大多數參與學生都能學會魔術技巧，並引發學習數學的興趣，但大多數學生仍在符號 表達與操作上有困難。本教案搭配八年級之「等差數列」單元，教案學習目標為讓學生透過魔 術去認識等差數列，從中體會等差數列的規律，藉由學習數學魔術，進而培養學生歸納推理的 能力，提升其數量與代數素養。本教案之開場白即利用撲克牌展示數學魔術，讓同學欣賞新奇 的魔術，藉由詢問「魔術如何變的？」問題，啟發同學思考，引發學習數學的動機。
（一）教案內容
1.魔術活動 1-聽牌術：本數學魔術參考林壽福與吳如皓所合著「數學魔術：27 個數學概念奇蹟」
之聽牌術（林壽福、吳如皓，2009）。教學者拿出一副撲克牌，隨機選取一位學生，將牌展開 讓學生從中任意抽取一張，之後請學生將牌展示給全場同學看，但不可讓教學者看到或知道，
請同學記好抽取張的花色和點數後，將牌蓋起來。教學者此時拿起手中剩餘牌湊到耳朵「聽」， 即能講出被抽走的牌之花色和點數。教學者再隨機選取兩位學生，利用同一副牌再展演數學魔 術兩次。魔術表演完後，詢問「魔術如何變的？」先鼓勵同學發問，與同學一起討論，引發興 趣，但先不破解魔術。
2.魔術活動 2-鐵支術：教學者繼續利用同一副撲克牌，問在場同學，玩撲克牌遊戲時最喜歡拿到 哪一種「鐵支（four of a kind）」，即四張花色不同點數相同的牌，在教學者將撲克牌依序發成 三份，再依序合併，連續做兩次後，即可依牌型抽出同學指定的鐵支。魔術表演完後，也是鼓 勵同學發問，與同學一起討論。
3.破解魔術：讓同學試著去分析其中的可能，討論魔術中可能用到的數學。經過一番討論後。展 示魔術所利用的撲克牌（圖 5），讓同學觀察其中點數的數列規律與花色的規律，破解兩套魔 術的原理與技巧。第一套魔術的數量與代數原理為除了四種花色規律排列外（依序為黑桃、紅 心、梅花、方塊），撲克牌點數形成公差d=3 的等差數列（A, 4, 7, 10, K, 3, 6, ……，圖 5），因 為撲克牌點數為 A、2、…、J、Q、K，活動中教導同學模數（modulo）概念，瞭解一個數除 以另一個數的餘數，本次模數為16≡3 (mod 13)。瞭解撲克牌排列規律後，進行魔術表演時，
表演者即可透過觀察被抽走的前一張牌，運用撲克牌規律歸納推理做成功預測。第二套魔術運 用同一套牌，先將撲克牌依序分三份，輪流發牌，全部發完後，依分牌順序將三份牌合併，即 可將撲克牌點數變為公差 d=3×3=9 的等差數列。接著重複一次，再將撲克牌依序分三份，即 變為公差d=3×9=27 的等差數列，而公差 27≡1 (mod 13)。因此經過兩次將撲克牌依序分三份 方式，即可洗出公差d=1 的等差數列，即撲克牌呈連續點數，接著只要依序抽出同學指定的鐵 支，即可完成鐵支術魔術表演。
圖 5 具數學規律的撲克牌
4.測試學生的理解程度：經歷上述等差數列與模數規律說明後，讓同學動手排牌實際運用花色規 律與代數等差原理排出可以變魔術的規律牌，觀察同學排牌歷程，瞭解學生是否實際投入教案 學習活動與對等差概念的理解。
5.實際演練：請同學分組演練兩套魔術，最後並請一位同學上台表演，隨時抽問學生，以檢測學 生的理解程度，並從中提醒表演魔術的一些細節。
6.準備結語與預告：最後簡單扼要地複習整個數學魔術教案活動的重點，邀請學生回饋今天所學 習到的東西，並透過反問確認學生的理解程度。再運用數學規律，教授如何最快排出有規律的 魔術道具牌。最後連結八年級之「等差數列」單元，讓同學覺知「等差數列」在魔術中的運用。
（二）教案核心概念
1.請同學動手做將普通的撲克牌變成有規律的魔術道具牌，在這悅趣化學習歷程中，同學運用所 得到的經驗去觀察分析等差數列，從中體會數列的數學規律，培養學生歸納推理的能力。
2.請同學分組演練魔術，讓同學運用等差數列與花色的規律，學習從上一張牌歸納推理出被抽的 牌，根據數量及代數知識、運用數量及代數技能、並藉由適當資訊，去描述、模擬、解釋與預 測各種現象（數量與代數素養），讓學生體會與運用規律做預測的經驗。
3.讓同學藉由兩套魔術的表演，跳脫學習數學刻板印象，從遊戲中學習，瞭解數學的不同面向，
體會悅趣化學習與傳遞歸納思考的數學文化。
（三）教案實施過程探究
這份教案有兩節課，雖然時間簡短，我們從學生上課反應、學習心得與回饋單做觀察與分 析。在現場教學觀察中，雖然大部分同學都能運用等差數列、花色差異與模數概念排出可以變 魔術的規律牌，但實際觀察仍有少數同學無法順利排出規律牌，經由一對一個別指導，引導其
發現排牌中的迷思與錯誤，最後也能完成撲克牌排序。回饋單兩個題目「這次教學活動是否有 助於你對等差數列單元概念的理解？」與「這次教學活動是否能引起你對等差數列單元的學習 興趣？」均獲得全班 26 人（100%）認同，學生的理解程度可由質性回饋意見瞭解，如同學陳述
「此次的活動讓我對等差數列有更加的認識，還學習到如何在生活中與活用。」、「發現數學更 多有趣的地方」、「這次活動有助於我對等差數列的了解並活用此觀念。」、與「用撲克牌改變我 對等差數列的計算思考。」等，由此可以發現所開發之悅趣化學習「數學魔術」教案教學的確可 以增進學生對於等差數列單元概念理解與學習興趣，培養學生歸納推理的能力，進而運用數學 規律，實際表演魔術。
（四）檢討與反思
根據整個教案實施情形和同學回饋單的反應可以看出，教學者與同學在課堂上的互動相當 熱絡，本份教案確實可以引起同學數學學習興趣，並提升等差數列單元概念的理解與學習興趣。
研究結果顯現所開發教案可以有效引發學生學習興趣，協助其瞭解教案之數學概念，最後運用 數量與代數素養理解活動背後之數學意涵。相同的教案，作者也在其他三所國中進行過實驗教 學，反應與回饋大都是正面的，可見運用數學規律展演魔術，確實有其教學成效。教育不是注 水入壺，而是點亮蠟燭。運用兩節課玩數學魔術的教案，或許一些教師有時間上考量，可能不 會採用，但教學有時「少即是多」，依據 TIMSS 調查，臺灣「數學教學吸引學生投入的程度」
數據百分比低於國際平均，我們理應轉變觀念，將數學教育提升到數學文化教育的層面，適時 利用玩中學提升學習興趣，引領學生數學文化經驗的累積，讓學生體驗數學的過程和樂趣。如 同一位同學回饋單中陳述「這是我第一次覺得數學這麼有趣，平常都覺得很困難，謝謝老師。」
顯現此開發悅趣化學習教案的價值。
二、「中國益智遊戲九連環」教案
九連環（Chinese ring）（圖 6）是一種中國古典的數學遊戲，這種傳統玩具在民間極為普及。
它包含著九個相同的圓環及一把「劍」柄，目的是把九個圓環全套上或卸下。因為「九連環」可 以透過實際操作，培養學習者觀察、探索、發現、分析、溝通、論證與問題解決之能力。搭配 10 年級之指數、數列、級數與遞迴關係。本教案學習目標為透過動手操作中國益智遊戲九連環，
分組合作觀察、紀錄與分析解九連環的技巧與策略，在這悅趣化學習歷程中，同學運用所得到 的經驗去體驗遞迴關係，從中體會九連環數學規律，利用指數、數列、級數等數學工具從而歸 納推理出代數遞迴式，進而提升其數量與代數素養。
圖 6 九連環
（一）教案內容
1.教學活動：教學者透過拿出中國益智遊戲九連環做出開場白詢問學生「有沒有玩過九連環？」
接著講演九連環歷史與示範操作九連環，讓同學瞭解九連環的兩個基本動作。
（1）下環：把環從劍柄上卸下的動作，也就是把環從劍柄脫下，再從上方通過劍柄中間卸 下。這一個動作除第1 環可隨時上、下劍柄外，其餘的環因為有別的環扣住，
所以都無法卸下。如果前面有一個鄰接的環已經套在劍柄上，且所有前面的環 僅有這個在劍柄上時，那麼只要把這一個環暫時移到劍柄頭前面，讓出劍柄頭 來，後一個環就可以從上而下通過劍柄中間卸下，之後再將前一環恢復原位就 完成下環動作。如圖7 第 1～3 環在柄下，第 4～6 環在柄上，第 4 環為柄上第 一個環，此時將第4 環暫時移到劍柄頭前面，讓出劍柄頭來，第 5 環就可以從 上而下通過劍柄中間卸下。
圖 7 第 5 環下環簡圖
（2）上環：就是把環套到劍柄上的動作，只要按照上法還原，把環從下向上通過劍柄中間 套在劍柄頭上即可。如圖8 第 1～3 環在柄下，第 4 環為柄上第一個環，此時 將第4 環暫時移到劍柄頭前面，讓出劍柄頭來，第 5 環就可以從下向上通過劍 柄中間套在劍柄頭上。
圖 8 第 5 環上環簡圖
綜合以上可以歸納出一個要訣，即當n 大於 2 時，要上／下第 n 環時，第 n-1 環一定要套在劍
柄上，而n-2 以前的環都不能套在劍柄上。
2.實際演練：讓同學分組實際操作九連環，在操作過程中詢問學生卸下或回覆某一環所需的動作，
測試學生的理解程度，確定每組操作方法正確。
3.分組記錄：發下學習單，分組合作紀錄，請同學分組合作記下卸下 n 個環所需次數，並透過反
問回覆n 個環所需次數，反覆確認學生的理解程度。
4.請同學觀察學習單記錄，分析九連環解環次數規律並說明原因。鼓勵同學進行論證，並歸納推
理解n 個環所需最少次數。
5.準備結語與預告：簡單扼要地複習「中國益智遊戲九連環」教案學習活動的重點，請各組同學 報告卸下與回覆n 個環所需次數，展示經由歸納推理出的結果，依據各組報告請同學用實際數 據作驗算。最後讓同學覺知教案與10 年級之指數、數列、級數與遞迴關係的連結。
（二）教案核心概念
1.請同學動手操作九連環，分組合作觀察、紀錄與分析解九連環的技巧與策略，在這歷程中同學 運用所得到的經驗去體驗遞迴，從中體會九連環數學規律。
2.請同學分組討論九連環解環次數規律並說明原因，鼓勵同學從實際數據中進行推論，並歸納分 析其中關係，讓學生體會與運用規律做預測的經驗，培養其數量與代數素養。
3.請同學從遞迴原理中預測解 n 個環所需最少次數，即利用數量進行計算的「算術思維」，延伸 至運用符號進行結構式運算的「代數思維」，讓同學嘗試運用抽象代數思維解決問題。
（三）教案實施過程探究
這份教案有兩節課，雖然時間簡短，我們從學生上課反應、學習心得與學習單觀察與分析。
經現場觀察全部同學都學會操作九連環。每一組都至少能找到解 5 個環的最少次數並進行記錄 觀察，如圖 9 學生運用圖解說明解環次數，左邊數次代表解環數，右邊數字代表環上下順序。
圖 9 之 3. 1↓ 3↓ 1↑ 2↓ 1↓ 表示解下前面 3 個環之步驟，為解下第 3 個環，如同下環基本 動作說明，只能有第 2 環在柄上，所以第 1 個步驟「1↓」表第 1 環直接解下。目前在第 3 環前
面僅第 2 環在柄上時，我們可以解下第 3 個環，即第 2 個步驟「3↓」。接著因為想解下第 2 個 環，所以需要第 1 個環在柄上，所以第 3 個步驟「1↑」將第 1 環上環。目前狀態第 1～2 在柄上，
第 3 環已解下。接著想解下第 2 個環，進行第 4 個步驟「2↓」，將第 2 環解下。最後第 5 步驟 只需直接將第 1 環解下，即「1↓」，因此解下第 1～3 環需要 5 個步驟。
圖 9 解 5 個環的最少次數紀錄。引自“Researching high school students’ strategies for solving the Chinese rings,” by T.-S. Chen, in E. Barbin, U. T. Jankvist, T. H. Kjeldsen, B. Smestad, & C.
Tzanakis (Eds.), Proceedings of the Eighth European Summer University on History and Epistemology in mathematics Education (p. 368), 2019, Oslo Metropolitan University.
如同 Chen（2019）觀察最後有五組（62.5%）能成功發現九連環次數間之關係（圖 10），
圖 10 呈現學生能利用符號 𝑎𝑛表示解下 n 個環次數，備註為小組從實際數據中進行推論，並歸 納分析其中關係，根據數量及代數知識與技能、並藉由操作紀錄次數，去預測關係（數量與代 數素養）。如同李源順（2013）所言，符號的使用只是進入代數思維的第一步，同學可以探索數 量之算術關係，察覺符號背後的代數想法，運用邏輯推理能力做預測，在備註中列出代數關係 式。教案實施中只有三組可以正確寫下解九連環次數的遞迴關係(1)（圖 11）。
1
1 2
2 1, 3,5,7,
( ) 1, 2, (1)
2 , 4,6,8,
n n
n
a n
f n n a a a
a n
設 為解 連環所需最少次數，
圖 10 卸下與回復九連環所需次數與關係
圖 11 解九連環次數的遞迴關係
（四）檢討與反思
根據整個教案實施情形和同學學習單的反應可以看出，同學確實學會操作中國傳統數學遊 戲九連環，分組互動討論相當熱絡，本份教案確實可以培養學習者觀察、探索、發現、分析與溝
通能力。教案實施中，八組中只有三組可以正確寫下解九連環次數的遞迴關係(1)，雖然另兩組 可以觀察出其中的關係，但卻無法寫出正確的遞迴關係式，可見其在數學符號表徵的學習上仍 需要加強，這也是教學者需要協助同學加強之處。一些學生面對數學抱持差不多的學習個性，
造成一些離譜的錯誤，如其中一組甚至連奇數的「奇」都寫成錯別字「積」。這些錯誤觀念的改 善未來都需要教學者循循善誘。
此外，我們可以運用符號工具來協助思考，以 1 表示該位置的環在劍柄上，利用 0 表示該 環在劍柄下。以5 個環為例，如 10110 表示由右邊算來第 1 個環在劍柄下、第 2 個環在劍柄上、
第3 個環亦在劍柄上、第 4 個環在劍柄下、最左邊的 1，則表示第 5 個環在劍柄上。我們可以將 全部環都在劍柄上的九連環，簡化為下面符號結構111111111。我們的目標是將全部環卸到劍柄 下，成為000000000 狀態。這裡使用的 0 與 1 只是記號，用 A 與 B 或其他記號也可以表示。
假設共有n 個環，若將 n 個環全部卸下需要 𝑎𝑛次。從定義來看，全部環在劍柄上的111…
111，需要移動 𝑎𝑛次，才能變為000…000。再從另一種角度想，我們分成幾個步驟卸下，從開 始的111…111，若把前面（n-2）個環移下來，即 110…000，需要𝑎𝑛−2次。在此狀態110…000，
我們只需要再1 次移動，就能把第 n 個環卸下，變成 010…000 狀態。接著為了把第（n-1）環下 移，我們需要將前面（n-2）個環再套上，又需要𝑎𝑛−2次，變為011…111 狀態。此時若要將全部
（n-1）個環全部下移，又需要𝑎𝑛−1次才可成為 000…000 狀態。因此我們得到一個遞迴關係式 為
𝑎𝑛＝𝑎𝑛−2＋1＋𝑎𝑛−2＋𝑎𝑛−1＝𝑎𝑛−1＋2 𝑎𝑛−2＋1。 (2)
運用符號進行結構式的抽象代數思維論證也是數學文化重要的一環，可惜此次教學活動沒有同 學可以發現遞迴關係式(2)。
教學現場中，研究結果顯示，所開發之九連環教案讓同學瞭解相關歷史文化脈絡，經過實 際操作可以有效引發學生學習興趣。有些同學運用數量之算術關係，察覺數量背後的代數想法，
運用邏輯推理能力做描述與預測代數關係式(1)（圖 10、11），展現出數量與代數素養。可惜參與 活動的同學欠缺更深一層運用符號進行結構式的抽象代數思維能力，在此次教案活動中無法發 現遞迴關係式(2)，這也是目前臺灣學生比較欠缺的能力。
陸、結論
目前臺灣學習落後學生百分比呈現了持續下降的趨勢，城鄉間的差距也微幅縮小，這些成 就呈現臺灣國中小學教師與各界對數學教育投入、關心和努力的成果，然而更值得我們長期關 注的是學生「對數學的學習興趣」與「數學教學吸引學生投入的程度」趨勢結果，兩項調查數據
百分比均低於國際平均，常常位居末段。從「撲克牌數學魔術」教案的教學研究結果發現，幾乎 全部同學都很認同此次教學活動，運用數學原理悅趣化學習方式變魔術對很多同學是很新鮮的 經驗，藉由結合國中等差數列單元的觀念，讓同學體會數學的妙用，確實能引發同學的學習興 趣。這和Koirala 與 Goodwin（2000）和 Lim（2018）利用數學魔術教學引發學習興趣具有類似 成效。「撲克牌數學魔術」教案教學的確可以增進學生對於等差數列單元概念理解與學習興趣。
透過所開發悅趣化學習教案，讓學生體會與運用規律做出歸納推理，進而運用數學規律，以培 養數量與代數素養。依據幾次「撲克牌數學魔術」教學經驗，每次中間下課 10 分鐘時間，多數 同學仍然留在教室中繼續玩數學魔術，可見悅趣化學習方式教學可以有效吸引學生投入。研究 結果顯現所開發悅趣化學習教案確實可以有效引發學生學習興趣，協助其瞭解教案之數量與代 數概念，增進學生對於等差數列單元概念理解，培養學生歸納推理的能力，最後運用數量與代 數素養表演魔術。
根據整個悅趣化學習九連環教案實施情形和同學學習單的反應可以看出，同學確實學會操 作中國傳統數學遊戲九連環，分組互動討論相當熱絡，本份教案確實可以培養學習者觀察、探 索、發現、分析與溝通能力，瞭解其中代數遞迴概念，讓學生運用規律做歸納推理，培養學生數 量與代數素養。可惜有些同學雖觀察出其中「關係」，但在數學表徵上卻出錯，除了缺乏精準的 邏輯推理外，這或許與臺灣一些學生面對數學抱持差不多的個性有關，造成一些離譜的錯誤，
這些未來都需要教學者多花些心思循循善誘。如同許多學者（洪萬生，1996a，1996b；袁媛，
1993；陳嘉皇，2006，2007；Laborde, 1990；Schliemann et al., 2007；Simon, 1980）指出，由「算 術」進入「代數」學習，對一些學生而言是一個很高的門檻，此次教學中大部分十二年級學生可 以利用數量之算術關係，運用數量與代數素養，察覺數字背後的代數想法，運用邏輯推理能力 做預測，發現代數關係式(1)，可惜同學無法更深一層運用符號進行結構式的抽象代數思維能力 發現遞迴關係式(2)。這也是未來中學代數教學需要大大著力之處。當初教案規劃重點在於教導 學生玩九連環與分析學生解九連環策略，為避免造成同學太多負擔，未調查學生的一些數學知 識觀點，所以欠缺一些相關資訊，未來可以考慮用其他模式彌補，如課後線上訪談或線上問卷 進行。
數學遊戲可以說是一種「庶民數學」，反映出不同地區居民的數學文化。Moyer（2001）就 主張，不同的文化元素可以提供我們對數學本質有更豐富的理解，只要在文化脈絡中適時注入 數學知識和技巧，不僅可以幫助學生的數學思考，更可以增進他們對於多元文化的認識。Fouze 與 Amit（2018）也指出，將充滿民族數學意涵的遊戲引入教學之中，不僅能提升學習數學的效 果，也能彰顯數學的文化價值，學生更容易融入。本研究觀察發現，悅趣化數學文化教案教學 確實能在短時間引發同學對數學的興趣，增進學生對於單元概念理解，所以建議學校教師可以
配合教學進度進行悅趣化數學文化教案教學，並繼續關注此類教學是否可以長期改善同學對數 學的態度、觀點與素養。或許一些教師覺得運用兩節課教授「撲克牌數學魔術」與「中國益智遊 戲九連環」教案，花費太多時間，但教育不是注水入壺，而是點亮蠟燭。教學有時「少即是多」， 適時利用玩中學，提升學習興趣，培養學生數量與代數素養，引領學生數學文化經驗的累積，
讓數學學習從工具性的層次延伸到智識性的層次，學習中體驗數學的過程和樂趣。
本論文教學限制為教學者實施教案活動前與參與同學都不認識，在教學初期不易掌握學生 程度來因材施教，只能透過慢慢觀察調整教學。因為只實施一次活動，後續追蹤與觀察都不容 易，教案活動實施成效長期效果不易追蹤。本研究的兩個教案活動所參與的對象，包含人數與 選定都受到限制，因此結論也有所侷限。期盼經由此次教案的活動初探研究，未來建議可以結 合一些相關教案發展一整學期的數學文化素養課程，並探究此類型素養課程對於學生是否有所 助益。
誌謝
本文是科技部專題研究計畫MOST 106-2511-S-167 -002 -MY2 之部份研究成果，感謝科技 部經費補助。感謝匿名審查者與臺灣數學教育期刊編輯委員所給予之建議和修正。
參考文獻
中華人民共和國教育部（2013）。普通高中數學課程標準（實驗稿）。北京：人民教育出版社。
【Ministry of Education of the People's Republic of China. (2013). Senior high school mathematics curriculum standard (experiment manuscript). Beijing: People's Education Press. (in Chinese)】
中華人民共和國教育部（2017）。普通高中數學課程標準。北京：人民教育出版社。【Ministry of Education of the People's Republic of China. (2017). Senior high school mathematics curriculum standard. Beijing: People's Education Press. (in Chinese)】
方延明（2007）。數學文化。北京：清華大學出版社。【Fang, Yen-Ming (2007). Mathematical culture.
Beijing: Tsinghua University Press. (in Chinese)】
王憲昌、劉鵬飛、耿鑫彪（2010）。數學文化概論。北京：科學出版社。【Wang, Hsien-Chang, Liu, Peng-Fei, & Keng, Hsin-Piao (2010). Introduction to mathematical culture. Beijing: Science Press. (in Chinese)】
李國偉、黃文璋、楊德清、劉柏宏（2013）。提升國民素養實施方案-數學素養期末報告。新北 市：國家教育研究院。【Lih, Ko-Wei, Huang, Wen-Jang, Yang, Der-Ching, & Liu, Po-Hung (2013). MOE project for uplifting citizen literacy: Final report of math literacy project. Taipei:
Ministry of Education. (in Chinese)】
李源順（2013）。數學這樣教：國小數學感教育。臺北：五南。【Lee, Yuan-Shun (2013). Teach math like this: Elementary school mathematics sense education. Taipei: Wu-nan. (in Chinese)】
林壽福、吳如皓（2009）。數學魔術：27 個數學概念奇蹟。臺北：尖端。【Lin, Shou-Fu & Wu, Ju-Hao (2009). Mathematical magic: 27 miracles of mathematical concepts. Taipei: Sharp point.
(in Chinese)】
侯惠澤（2016）。遊戲式學習：啟動自學 × 喜樂協作，一起玩中學！臺北：親子天下。【Hou, Huei-Tse (2016). Game-based learning: Start self-study × joy collaboration, play learning together! Taipei: Education．Parenting Family Lifestyle. (in Chinese)】
俞昕（2015）。摭談數學選修課“九連環”教學。中學數學雜誌，5，6-8。【Yu, Hsin (2015). Talking about the "Chinese ring" teaching of mathematics elective subject. Zhongxue Shuxue Zazhi, 5, 6-8.
(in Chinese)】
洪萬生（1996a）。康熙皇帝與符號代數。HPM 通訊，2（1），1-3。【Horng, Wann-Sheng (1996b).
Emperor Kangxi and symbolic algebra. HPM TongXun, 2(1), 1-3. (in Chinese)】
洪萬生（1996b）。數學史與代數學習。科學月刊，27（7），560-567。【Horng, Wann-Sheng (1996a).
History of mathematics and learning of algebra. Science Monthly, 27(7), 560-567. (in Chinese)】
唐慧榮（2019）。古典數學遊戲走進小學數學課堂——“九連環”課堂實踐。小學數學教師，6，
19-22。【Tang, Hui-Jung (2015). The practice of classical math games enter the primary school mathematics classroom -"Chinese ring". Primary School Teaching Research, 6, 19-22. (in Chinese)】
袁媛（1993）。國中一年級學生的文字符號概念與代數文字題的解題研究（未出版之碩士論文）。
國立高雄師範大學，高雄市。【Yuan, Yuan (1993). Research on symbolic concept of letters and word problem solving (Unpublished master’s thesis). National Kaohsiung Normal University, Kaohsiung. (in Chinese)】
高將、崔志永（2012）。關於九連環入選初中活動課程的價值研究。中國科教創新導刊，29，
64。【Kao, Chiang, & Tsui, Chih-Yung (2012). Research on the value of Chinese ring selected into the junior middle school activity curriculum. China Education Innovation Herald, 29, 64. (in Chinese)】
張海潮（2011）。從代數到算術——獻給國中小的老師。數學傳播，35（4），49-51。【Chang, Hai-Chao (2011). From algebra to arithmetic, dedicated to elementary and junior high school teachers. Mathmedia, 35(4), 49-51. (in Chinese)】
張奠宙、梁紹君、金家梁（2003）。數學文化的一些新視角。數學教育學報，12（1），37-40。
【Chang, Tien-Chou, Liang, Shao-Chun, & Chin, Chia-Liang (2003). Some new perspectives of mathematical culture. Journal of Mathematics Education, 12(1), 37-40. (in Chinese)】
張維忠、唐恒鈞（2008）。民族數學與數學課程改革。數學傳播，32（4），80-87。【Chang, Wei- Chung, & Tang, Heng-Chun (2008). Ethnomathematics and mathematics curriculum reform.
Mathmedia, 32(4), 80-87. (in Chinese)】
教育部（2018）。十二年國民基本教育國民中小學暨普通型高級中等學校課程綱要（數學領域）。
臺北：作者。【Taiwan Ministry of Education. (2018). Curriculum guidelines of 12-year basic education: Elementary and junior high school and general senior high school (mathematics).
Taipei: Author. (in Chinese)】
教育部（2020 年 12 月 8 日）。臺灣參加國際數學與科學教育成就趨勢調查（TIMSS 2019）成
果 發 表 。 檢 自
https://www.edu.tw/News_Content.aspx?n=9E7AC85F1954DDA8&s=B822E38553C1D561
【Taiwan Ministry of Education. (2018, December 8). The report of trends in international
mathematics and science study 2019 for Taiwan. Retrieved from https://www.edu.tw/News_Content.aspx?n=9E7AC85F1954DDA8&s=B822E38553C1D561 (in Chinese)】
陳嘉皇（2006）。國小五年級學童代數推理策略應用之研究：以「圖卡覆蓋」解題情境歸納算式 關係為例。屏東教育大學學報，25，381-412。【Chen, Chia-Huang (2006). A study of apply strategies on algebraic reasoning: An example from cover and arrange grids to generalize mathematical equation. Journal of National Pingtung University of Education, 25, 381-412. (in Chinese)】
陳嘉皇（2007）。學童「圖卡覆蓋」代數推理歷程之研究—以三個個案為例。國民教育研究學報，
19，79-107。【Chen, Chia-Huang (2007). A study on the development process analysis of algebraic reasoning—Three examples from student’s cardboard covering. Journal of Research on Elementary and Secondary Education, 19, 79-107. (in Chinese)】
賓靜蓀（2020 年 12 月 11 日）。TIMSS 調查：台灣學生科學、數學成績全球排行前五，卻不愛 學 。 親 子 天 下 。 檢 自 https://flipedu.parenting.com.tw/article/6309 【 Pin, Ching-Sun (2020, December 11). TIMSS survey: Taiwanese students rank among the top five in science and mathematics in the world, but they don’t like to learn. Taipei: Education．Parenting Family Lifestyle. (in Chinese)】
劉柏宏（2016）。從數學與文化的關係探討數學文化素養之內涵─理論與案例分析。臺灣數學教 育期刊，3（1），55-83。doi: 10.6278/tjme.20160413.001【Liu, Po-Hung (2016). Discourse on the constituent of literacy for mathematical culture in terms of the relationship between mathematics and culture - Theoretical and case analysis. Taiwan Journal of Mathematics Education, 3(1), 55-83. doi: 10.6278/tjme.20160413.001 (in Chinese)】
歐陽絳（2008）。數學方法溯源。大連：大連理工大學出版社。【Ouyang, Chiang (2008). Trace to the source of mathematical methods. Dalian: Dalian University of Technology Press. (in Chinese)】
謝于婷、吳嘉文（2015 年 6 月 18 日）。猜對了嗎？“停車格數學題超難”【新聞影片】。中華電 視公司。取自 https://news.cts.com.tw/cts/general/201506/201506181626784.html【Hsien, Yu- Ting, & Wu, Chia-Wen (2015, June 18). Did you guess right? "The mathematical problem of parking grid is super difficult" [news film]. Chinese Television System. Retrieved from https://news.cts.com.tw/cts/general/201506/201506181626784.html (in Chinese)】
米山國藏（1986）。數學的精神、思想與方法（毛正中、吳素華譯）。成都：四川教育出版社。
（原作出版於 1969 年）【Yoneyama, Kunizo (1986). The spirit, thoughts and methods of mathematics (Zheng-Zhong Mao & Su-Hua Wu, Trans.). Chengdu: Sichuan Education Press.
(Original work published 1969) (in Chinese)】
Burton, L. (2009). The culture of mathematics and the mathematical culture. In O. Skovsmose, P.
Valero, & O. R. Christensen (Eds.), University science and mathematics education in transition (pp. 157-173). New York, NY: Springer. doi: 10.1007/978-0-387-09829-6_8
Cajori, F. (1928). A history of mathematical notations. La Salle, IL: Open Court.
Chen, T.-S. (2019). Researching high school students’ strategies for solving the Chinese rings. In E.
Barbin, U. T. Jankvist, T. H. Kjeldsen, B. Smestad, & C. Tzanakis (Eds.), Proceedings of the Eighth European Summer University on History and Epistemology in mathematics Education (pp. 367- 369). Oslo, Norway: Oslo Metropolitan University.
Fouze, A. Q., & Amit, M. (2018). Development of mathematical thinking through integration of ethnomathematic folklore game in math instruction. Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education, 14(2), 617-630. doi: 10.12973/ejmste/80626
Garris, R., Ahlers, R., & Driskell, J. E. (2002). Games, motivation, and learning: A research and practice model. Simulation & Gaming: An Interdisciplinary Journal of Theory, Practice and Research, 33(4), 441-467. doi: 10.1177/1046878102238607
Haverty, L. A., Koedinger, K. R., Klahr, D., & Alibali, M. W. (2000). Solving inductive reasoning problems in mathematics: Not-so-trivial pursuit. Cognitive Science, 24(2), 249-298. doi:
10.1207/s15516709cog2402_3
Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 390-419). New York, NY: Macmillan.
Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels: Building meaning for symbols and their manipulation. In F. K. Lester, Jr. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 707-762). Charlotte, NC: Information Age.
Kline, M. (1953). Mathematics in western culture. New York, NY: Oxford University Press. doi:
10.1002/sce.37303903111
Koirala, H. P., & Goodwin, P. M. (2000). Teaching algebra in the middle grades using mathmagic.
Mathematics Teaching in the Middle School, 5(9), 562-566. doi: 10.5951/MTMS.5.9.0562
Laborde, C. (1990). Language and mathematics. In P. Nesher & J. Kilpatrick(Eds.), Mathematics and cognition: A research synthesis by the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp. 53-69). New York, NY: Cambridge University Press. doi:
10.1017/CBO9781139013499.005
Lim, K. H. (2018). Using math magic to reinforce algebraic concepts: An exploratory study.
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 50(5), 747-765. doi:
10.1080/0020739X.2018.1537450
Molnár, G., Greiff, S., & Csapó, B. (2013). Inductive reasoning, domain specific and complex problem solving: Relations and development. Thinking Skill and Creativity, 9, 35-45. doi:
10.1016/j.tsc.2013.03.002
Moyer, P. (2001). Making mathematics culturally relevant. Mathematics Teaching, 176, 3-5.
Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Foy, P., Kelly, D. L., & Fishbein, B. (2020). TIMSS 2019 international results in mathematics and science. Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS International Study Center, Boston College.
National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics.
Reston, VA: Author.
Organisation for Economic Co-operation and Development. (2018, November). PISA 2021 mathematics
framework (draft). OECD. https://pisa2021-
maths.oecd.org/files/PISA%202021%20Mathematics%20Framework%20Draft.pdf
Plass, J. L., Perlin, K., & Nordlinger, J. (2010, March). The games for learning institute: Research on design patterns for effective educational games. Paper presented at the Game Developers Conference, San Francisco, CA.
Plass, J. L., Homer, B. D., & Kinzer, C. K. (2015). Foundations of game-based learning. Educational Psychologist, 50(4), 258-283. doi: 10.1080/00461520.2015.1122533
Polya, G. (1954). Mathematics and plausible reasoning, Volume I: Induction and analogy in mathematics. Princeton, NJ: Princeton University Press. doi: 10.2307/j.ctv14164db
Schliemann, A. D., Carraher, D. W., & Brizuela, B. M. (2007). Bringing out the algebraic character of arithmetic: From children’s ideas to classroom practice. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. doi: 10.4324/9780203827192
Simon, H. A. (1980). Problem solving and education. In D. T. Tuma & F. Reif (Eds.), Problem solving and education: Issues in teaching and research (pp. 81-96). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Van Vo, D., & Csapó, B. (2020). Development of inductive reasoning in students across school grade levels. Thinking Skill and Creativity, 37, 100699. doi: 10.1016/j.tsc.2020.100699
Wilder, R. L. (1950). The cultural basis of mathematics. In L. M. Graves, E. Hille, P. A. Smith, & O.
Zariski (Eds.), Proceedings of the International Congress of Mathematicians (pp. 258-271).
Providence, RI: American Mathematical society.
Zazkis, R., & Liljedahl, P. (2002). Arithmetic sequence as a bridge between conceptual fields. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 2(1), 91-118. doi:
10.1080/14926150209556501
