多邊形鏡射性質之探討

多邊形鏡射性質之探討

林毓暄

台北市立建國高級中學

Abstract

Given an N-polygon and a point P, using this N-polygon’s each side as the axis of symmetry with the point P being mirrored we get the new N points. These new N points form a new N-polygon and we call this action the mirror transformation.

In this project we discuss iterations of the mirror transformation, in particular the relationship between the new N-polygon and the original given one. I found that the N-th N-polygon and the original one is similar to each other with a fixed ratio.

摘

摘摘要要要: 給定一個 N 邊形和任意一點 P, 以此 N 邊形各邊所在的直線分別為對稱軸, 將 P 點作鏡射後, 可以得到新的 N 個點, 這新的 N 個點可以構成一個新的 N 邊形, 這個動 作我們稱為“鏡射變換 ”.

本研究主要是探討作了 N 次鏡射變換後所形成的新 N 邊形和原先給定的 N 邊形 之間的關係, 我們發現當重複此動作 N 次後, 得到的第 N 個 N 邊形會和原先給定的 N 邊形相似, 而且比值為定值.

1 簡 簡 簡介 介 介

1.1 動 動 動機 機 機

在一次的數學課上, 老師偶然的提到三角形的鏡射變換: 給定一個三角形和一點 P, 將 P 點 以三角形 ABC 各邊為對稱軸做鏡射後, 可得到的新的三個點, 這三點可構成新的三角形 DEF, 這稱為一次鏡射變換, 再以 P 點對三角形 DEF 做一次鏡射變換, 又得到另一新的三 角形 GHI, 以此類推. 我發現當做了三次鏡射變換後, 得到的三角形會和原先的三角形相 似. 而且當 P 點在特殊位置時, 變換後得到的三角形會有退化成直線的情形. 另外, 當把所 有鏡射變換後的三角形放在一起時, 在某些情況下會形成一個螺旋狀的圖形如圖 1, 或者 形成一些特別的圖形, 這些特別的性質引起我的興趣, 所以我想要深入的研究它.

1.2 研 研 研究 究 究 主 主 主題 題 題與 與 與參 參 參考 考 考資 資 資料 料 料

關於之前的研究成果只找到第六屆旺宏科學獎林耿任同學的作品“三角形的鏡射變換”, 但 是他鏡射的方法和我不一樣, 因此參考價值不高. 而本次研究主要是研究一點對多邊形鏡

射變換後的情形, 證明當任意 N 邊形鏡射過 N 次後會和原多邊形相似, 找出它們之間相 似的比例關係, 並找出一次鏡射後為凹多邊形或凸邊形的原因.

圖 1

1.3 研 研 研究 究 究方 方 方法 法 法

首先利用鏡射三角形會和垂足三角形相似, 再利用垂足三角形的四點共圓性質來證明: 當 P 點在三角形內部時經過三次鏡射變換後的新三角形會和原三角形相似, 又以相同的方法 來證明 P 點在原三角形外部時, 鏡射變換後的三角形, 發現角度變換的關係和之前不同, 因此無法單純的使用四點共圓, 在此又加上了正弦定理來證明此現象.

當邊數大於等於四以上且 P 點在內部時, 本來使用和三角形一樣的方法. 但是發現凸 四邊形鏡射後可能會變成凹四邊形, 這和原先的假設不同. 因此衍生出用角度旋轉的概念 來證明.

1.4 符 符 符號 號 號 定 定 定義 義 義

設原來 N 邊形為 A¹₁A¹₂A¹₃

· · ·

A¹_N, 把第 M 次變換的垂足 N 邊形稱為 A^M+1₁ A₂^M+1A₃^M+1

· · ·

A^M+1_N . 其中 P 對 A^K_JA^K_J+1的垂足為 A^K+1_J ;其中 P 對 A^K_J+1A^K_J+2的垂足為 A^K+1_J+1;其中 P 對 A^K_NA^K₁

的垂足為 A^K+1_N , 如圖 2.

圖 2

2 研 研 研究 究 究 內 內 內容 容 容

2.1 當 當 當 P 點 點 點在 在 在三 三 三角 角 角形 形 形的 的 的內 內 內部 部 部時 時 時 性 性 性質 質 質和 和 和當 當 當 P 點 點 點在 在 在三 三 三角 角 角形 形 形外 外 外部 部 部的 的 的性 性 性質 質 質 不 不 不同 同 同, 所

所 所以 以 以首 首 首先 先 先探 探 探討 討 討當 當 當 P 點 點 點在 在 在多 多 多邊 邊 邊形 形 形內 內 內部 部 部時 時 時的 的 的狀 狀 狀況 況 況

2.1.1

證證證明明明三三三角角角形形形鏡鏡鏡射射射後後後的的的性性性質質質

1. 鏡射變換後的三角形與垂足三角形相似, 一次鏡射變換後的三角形是第一垂足三角 形以 P 點為中心, 做位似變換, 放大兩倍後的結果; 二次鏡射變換後的三角形是第二 垂足三角形以 P 點為中心, 做位似變換, 放大四倍後的結果; 同理 n 次鏡射變換後的 三角形是第 n 垂足三角形以 P 點為中心, 做位似變換, 放大 2ⁿ倍後的結果. 所以我 們得知若欲證明原三角形和做三次鏡射變換後的三角形相似, 可改為證明原三角形 和第三垂足三角形相似.

2. 設三角形 A1A2A3的第一垂足三角形為 B1B2B3,第二垂足三角形為 C1C2C3,第三垂 足三角形為 D1D2D3, 如圖 3 所示. 藉由四點共圓的性質我們可以證明第三垂足三角 形與原三角形相似, 證明如下:

圖 3

∠

PA1A3

= ∠

PB1B3

(

P, A1, B3, B1四點共圓, 對等弧

)

∠

PB₁B3

= ∠

PC₁C3

(

P, C₁, B₁, C3四點共圓, 對等弧

)

∠

PC₁C₃

= ∠

PD₁D₃

(

P, D₁, C₁, D₃四點共圓, 對等弧

)

∴ ∠

PA1A3

= ∠

PD1D3

∠

PA₁A₂

= ∠

PB₃B₁

(

P, A₁, B3, B1四點共圓, 對等弧

)

∠

PB3B1

= ∠

PC2C3

(

_{P, C2, B3, C3}四點共圓, 對等弧

)

∠

PC2C3

= ∠

PD1D2

(

P, C2, D1, D2四點共圓, 對等弧

)

∴ ∠

PA1A2

= ∠

PD1D2

故

∠

A2A1A3

= ∠

PA1A3

+ ∠

PA1A2

= ∠

PD1D3

+ ∠

PD1D2

= ∠

D2D1D3.

∠

PA3A₁

= ∠

PB2B3

(

P, B2, B3, A3四點共圓, 對等弧

)

∠

PB2B3

= ∠

PC₁C2

(

P, C2, B2, C₁四點共圓, 對等弧

)

∠

PC₁C₂

= ∠

PD₃D₁

(

P, D₁, C₁, D₃四點共圓, 對等弧

)

∴ ∠

PA3A1

= ∠

PD3D1

∠

PA₃A₂

= ∠

PB₃B₂

(

P, B₂, B3, A3四點共圓, 對等弧

)

∠

PB3B2

= ∠

PC3C2

(

P, B3, C3, C2四點共圓, 對等弧

)

∠

PC3C2

= ∠

PD3D2

(

P, C3, D3, D2四點共圓, 對等弧

)

∴ ∠

PA3A2

= ∠

PD3D2

故

∠

A2A3A1

= ∠

PA3A1

+ ∠

PA3A2

= ∠

PD3D1

+ ∠

PD3D2

= ∠

D2D3D1, 所以

4

A₁A₂A₃相似於

4

D₁D₂D₃.

2.2 當 當 當 P 點 點 點在 在 在三 三 三角 角 角形 形 形之 之 之外 外 外時 時 時的 的 的狀 狀 狀況 況 況

2.2.1

證證證明明明三三三角角角形形形鏡鏡鏡射射射後後後的的的性性性質質質

1. 當 P 點在外部時, 進行一次鏡射變換的性質和 P 點在內部時不同, 所以無法用相同 的證法講明.

2. 當 P 點在三角形外部時, 有兩種情形, 一種是在 P 點在區域 I 的時候, 另一種是在 P 點在區域 II 的時候, 如圖 4 所示.

圖 4

所以我們將證明 P 點在區域 I 的時候和 P 點在區域 II 的時候, 可以獲得相同的結果.

3. 探討 P 點在區域 I 時, 第一垂足三角形 A²₁A²₂A²₃和原三角形 A¹₁A¹₂A¹₃角度的關係:

圖 5

如圖 5 所示,

∠

PA¹₁A¹₂

= ∠

PA²₃A²₁

(

P, A¹₁, A²₁, A²₃四點共圓

)

∠

PA¹₁A¹₃

= ∠

PA²₁A²₃

(

P, A¹₁, A²₁, A²₃四點共圓

)

∠

PA¹₂A¹₁

=

180^◦

− ∠

PA²₂A²₁

(

P, A¹₂, A¹₁, A²₁四點共圓

)

∠

PA¹₂A¹₃

= ∠

PA²₁A²₂

(

P, A¹₂, A¹₁, A²₁四點共圓

)

∠

PA¹₃A¹₁

=

180^◦

− ∠

PA²₂A²₃

(

P, A¹₃, A²₂, A²₃四點共圓

)

∠

PA¹₃A¹₂

= ∠

PA²₃A²₂

(

P, A¹₃, A²₂, A²₃四點共圓

)

由上面關係可以知道, 當 P 點在三角形外面時, 令 K, I 為任意正整數, 則

∠

PA^K_I−1A^K_I 不一定等於

∠

PA^K+1_I−2A^K+1_I−1,

∠

PA^K_I+1A^K_I 也不一定等於

∠

PA^K+1_I+1A^K+1_I . 所以我們無法 用解 P 點在三角形內部的方法, 解 P 點在三角形外部的情況.

4. 探討 P 點在區域 II 時, 第一垂足三角形 A²₁A²₂A²₃和原三角形 A¹₁A¹₂A¹₃的關係:

圖 6

如圖 6 所示,

180^◦

− ∠

PA¹₁A¹₂

= ∠

PA²₃A²₁

(

P, A¹₁, A²₁, A²₃四點共圓

)

∠

PA¹₁A¹₃

= ∠

PA²₁A²₃

(

P, A¹₁, A²₁, A²₃四點共圓

)

180^◦

− ∠

^PA12A¹₁

= ∠

PA²₂A²₁

(

P, A¹₂, A¹₁, A²₁四點共圓

)

∠

PA¹₂A¹₃

= ∠

PA²₁A²₂

(

P, A¹₂, A²₂, A²₁四點共圓

)

180^◦

− ∠

PA¹₃A¹₁

= ∠

PA²₂A²₃

(

P, A¹₃, A²₂, A²₃四點共圓

)

180^◦

− ∠

PA¹₃A¹₂

= ∠

PA²₃A²₂

(

P, A¹₃, A²₂, A²₃四點共圓

)

由上面關係可以知道 P 點在區域 II 時, 角度關係和 P 點在區域 I 時不同, 所以 P 點 在三角形外部時不能透過單純的角度關係來證明.

5. P 點在三角形外部時, 角度的關係式:

藉由上面求出來的關係式, 我發現角度的關係和 P 點在三角形內部的不同, 在於有 可能變成補角, 所以只要在 P 點在三角形內部的關係式前加上 sin 即可.

令 K, I 為任意正整數,

⇒

sin

∠

A^K_I−1A^K_IP

=

sin

∠

A^K+1_I−1A^K+1_I P

⇒

sin

∠

A^K_I+1A^K_IP

=

_sin

∠

A^K+1_I A^K+1_I−1P

因為四邊形 A^K_IA^K+1_I PA^K+1_I−1 四點共圓, 所以

sin

∠

A^K+1_I PA^K+1_I−1

=

sin

∠

A^K_I+1A^K_IA^K_I−1.

因為在原三角形 A¹₁A¹₂A¹₃中, PA¹₁

PA¹₃

=

^sin

∠

PA¹₃A¹₁ sin

∠

PA¹₁A¹₃, PA¹₃

PA¹₂

=

^sin

∠

PA¹₂A¹₃ sin

∠

PA¹₃A¹₂, PA¹₂

PA¹₁

=

^sin

∠

PA¹₁A¹₂ sin

∠

PA¹₂A¹₁,

⇒

^PA

1 1

PA¹₃

×

^PA

1 2

PA¹₁

×

^PA

1 3

PA¹₂

=

^sin

∠

PA¹₃A¹₁

sin

∠

PA¹₁A¹₃

×

^sin

∠

PA¹₂A¹₃

sin

∠

PA¹₃A¹₂

×

^sin

∠

PA¹₁A¹₂ sin

∠

PA¹₂A¹₁

⇒

sin PA¹₃A¹₁

×

sin PA¹₂A¹₃

×

sin PA¹₁A¹₂

=

sin

∠

PA¹₁A¹₃

×

sin

∠

PA¹₃A¹₂

×

sin

∠

PA¹₂A¹₁. 6. P 點在三角形外部時的證明:

圖 7

A⁴₁A⁴₂ A⁴₂A⁴₃

=

^A

4 1A⁴₂ PA⁴₂

×

^PA

42

A⁴₂A⁴₃

=

^sin

∠

A⁴₂PA⁴₁

sin

∠

A⁴₂PA⁴₃

×

^sin

∠

A⁴₂A⁴₃P sin

∠

A⁴₂A⁴₁P

=

^sin

∠

A³₃A³₂A³₁

sin

∠

A³₂A³₃A³₁

×

^sin

∠

A³₂A³₃P sin

∠

A³₃A³₂P

=

^A

3 3A³₁

A³₂A³₁

×

^sin

∠

A¹₂A¹₃P sin

∠

A¹₂A¹₁P,

A³₃A³₁ A³₁A³₂

=

^A

33A³₁ PA³₁

×

^PA

31

A³₂A³₁

=

^sin

∠

A²₂A²₁A²₃

sin

∠

A²₂A²₁P

×

^sin

∠

A²₁A²₂P sin

∠

A²₃A²₂P

=

^A

22A²₃

A²₃A³₁

×

^sin

∠

A¹₁A¹₂P sin

∠

A¹₃A¹₂P,

A²₂A²₃ A²₃A³₁

=

^A

22A²₃ PA²₃

×

^PA

23

A²₃A²₁

=

^sin

∠

A¹₂A¹₃A¹₁

sin

∠

A¹₂A¹₁A¹₃

×

^sin

∠

A¹₃A¹₁P sin

∠

A¹₁A¹₃P

=

^A

1 2A¹₁

A¹₂A¹₃

×

^sin

∠

A¹₃A¹₁P sin

∠

A¹₁A¹₃P,

⇒

^A

4 1A⁴₂ A⁴₂A⁴₃

=

^A

33A³₁

A³₂A³₁

×

^sin

∠

A¹₂A¹₃P sin

∠

A¹₂A¹₁P

=

^A

22A²₃

A²₃A³₁

×

^sin

∠

A¹₁A¹₂P

sin

∠

A¹₃A¹₂P

×

^sin

∠

A¹₂A¹₃P sin

∠

A¹₂A¹₁P

=

^A

12A¹₁

A¹₂A¹₃

×

^sin

∠

A¹₃A¹₁P

sin

∠

A¹₁A¹₃P

×

^sin

∠

A¹₁A¹₂P

sin

∠

A¹₃A¹₂P

×

^sin

∠

A¹₂A¹₃P sin

∠

A¹₂A¹₁P

=

^A

12A¹₁ A¹₂A¹₃,

三對應邊成比例, 所以三角形 A¹₁A¹₂A¹₃與三角形 A⁴₁A⁴₂A⁴₃相似, 即第三鏡射三角形 與原三角形相似, 見圖 7.

2.3 P 點 點 點在 在 在凸 凸 凸多 多 多邊 邊 邊形 形 形內 內 內部 部 部時 時 時鏡 鏡 鏡射 射 射後 後 後的 的 的性 性 性質 質 質

2.3.1

P 點點點在在在鏡鏡鏡射射射後後後的的的多多多邊邊邊形形形內內內部部部

圖 8

如圖 8, 射線 PA2對鏡射後的新多邊形, 假如有除了 K 之外的其他交點, 設交點所屬的邊 為 FG, 因為 FG 為相鄰的兩垂足, 所以

∠

GPF中間不可能有點存在, 故矛盾, 所以假設錯 誤.

2.3.2

凸凸凸多多多邊邊邊形形形可可可以以以鏡鏡鏡射射射出出出凹凹凹多多多邊邊邊形形形

圖 9

先給出凸多邊形的四點 A1, A2, A3, A₄和由 P 點對三邊所作的垂足 B1, B2, B3以及 A1A2

和 A3A4的交點 Q, 因為 P 點在凸多邊形的內部, 所以

∠

PB2B1

= ∠

PA2A1(P, B2, B1, A2

四點共圓), 以及

∠

PB₂B₃

= ∠

PA₃A₄(P, B2, B3, A3四點共圓), 因為 P 點在凸多邊形內部, 所以當

∠

PB2B1

+ ∠

PB2B3

>

180^◦時鏡射出的四邊形就會變成凹多邊形.

若

∠

PB2B1

+ ∠

PB2B3

>

180^◦, 則

∠

PA3A4

+ ∠

PA2A1

>

180^◦,

⇒∠

PA2Q

+ ∠

PA3Q

<

180^◦

⇒∠

A2QA3

+ ∠

A2PA3

>

180^◦.

只要 P 點在三角形 A2, Q, A3的外接圓內部, 鏡射出的多邊形即為凹多邊形.

2.3.3

只只只有有有平平平行行行四四四邊邊邊形形形無無無法法法鏡鏡鏡射射射出出出凹凹凹多多多邊邊邊形形形

圖 10 如圖 10,

∠

PB2B1

+ ∠

PB2B3

= ∠

PA2A1

+ ∠

PA3A4,

因為 A2A₁平行於 A3A₄, 所以

∠

PA2A1

+ ∠

PA3A4

< ∠

A3A2A1

+ ∠

A2A3A4

=

180^◦, 所以平行四邊形鏡射不出凹多邊形.

假如 A2A1不平行於 A3A4則兩邊相交, 藉由之前的證明可以找到一點, 使其鏡射出 形成凹多邊形, 所以若要不能鏡射出凹多邊形則 A2A1要平行於 A₃A4.

若原多邊形邊數大於六, 則 A2A₁ A3A₄ A5A6. 因為若有三邊平行, 則一定有一 邊,在其兩側存在相異兩頂點, 但因為凸邊形的定義中不能有一個邊把頂點分成相異兩側, 所以邊數大於六的凸多邊形, 必存在一點使其對原多邊形鏡射後的圖形為凹多邊形.

若是五邊形時 A5A1 A2A3 A4A5, 所以 A5A1 A4A5, 此和原多邊形為五邊形矛 盾, 所以除了平行四邊形外, 邊數大於四之凸邊形, 都可以鏡射出凹多邊形.

2.3.4

凸凸凸多多多邊邊邊形形形鏡鏡鏡射射射後後後的的的圖圖圖形形形不不不會會會相相相交交交

圖 11

因為 P 點在凸多邊形內部時,

∠

PA₃A₂

= ∠

PB₃B₂,

∠

PA₂A₃

= ∠

PB₁B₂,

∠

PA₂A₁

= ∠

PB₂B₁,

∠

PA₁A₂

= ∠

PB₄B₁,

∠

PA₁A₄

= ∠

PB₁B₄,

∠

PA₄A₁

= ∠

PB₃B₄,

∠

PA4A3

= ∠

PB4B3,

∠

PA3A4

= ∠

PB2B3, 所以

∠

PB1B2

+ ∠

PB2B1

+ ∠

PB3B2

+ ∠

PB2B3

+ ∠

PB1B4

+ ∠

PB4B1

+ ∠

PB4B3

+ ∠

PB3B4

=

360^◦,

故

∠

B₁B₂B₃

+ ∠

B₂B₃B₄

+ ∠

B₃B₄B₁

+ ∠

B₄B₁B₂

=

360^◦, 見圖 11, 而當兩邊相交後,

圖 12

明顯

∠

B₁B2B3

+ ∠

B2B3B₄

+ ∠

B3B₄B₁

+ ∠

B₄B₁B2不等於 360^◦, 所以凸多邊形鏡射後的邊 長不會相交, 見圖 12.

2.4 證 證 證明 明 明 N 邊 邊 邊形 形 形鏡 鏡 鏡射 射 射後 後 後的 的 的性 性 性質 質 質

1. 同理, 根據 2.1.1 的結果, 我們一樣可以發現, 鏡射變換後的 N 邊形和垂足 N 邊形是 以 P 點為中心, 做位似變換的結果, 所以我們只要證明第 N 個垂足 N 邊形和原 N 邊形相似就好.

2. 在 N 邊形

(

N

≥

4

)

時, 因為無法使用正弦定理, 所以之前三角形的相關證明時, 所利 用的方法無法使用.

3. 因為 A^K_IA^K+1_I−1A^K+1_I P 四點共圓, sin

∠

A^K_I−1A^K_IP

=

sin

∠

A^K+1_I−1A^K+1_I P仍然成立, 同理 sin

∠

A^K_I+1A^K_IP

=

sin

∠

A^K+1_I A^K+1_I−1P.

4. 假如有一 K 邊形 P 點在外部和它鏡射 K 次的 K 邊形角度關係為:

sin

∠

A^K+1_I+1A^K+1_I P

=

sin

∠

A^K_I+2A^K+1_I+1P

= · · · =

sin

∠

A¹_I+K+1A¹_I+KP, 因為是 K 邊形所以 sin

∠

A¹_I+K+1A¹_I+KP

=

sin

∠

A¹_I+1A¹_IP,

sin

∠

A^K+1_I A^K+1_I+1P

=

sin

∠

A^K_IA^K_I+1P

= · · · =

sin

∠

A¹_IA¹_I+1P.

5. 因為

PA^K+1_I+1

PA^K+1_I

=

^sin

∠

A^K+1_I+1A^K+1_I P

sin

∠

A^K+1_I A^K+1_I+1P

=

^sin

∠

A¹_I+1A¹_IP sin

∠

A¹_IA¹_I+1P

=

^PA

1I+1

PA¹_I , 同理

PA^K+1₁ PA¹₁

=

^PA

K+1 2

PA¹₂

=

^PA

K+1 3

PA¹₃

= · · · =

^PA

K+1 I+1

PA¹_I+1.

2.5 旋 旋 旋 轉 轉 轉後 後 後的 的 的角 角 角度 度 度 關 關 關係 係 係

(以下角度都有方向性,

∠

ABC 表示以射線 BA 為始邊旋轉至射線 BC 所旋轉, 順時針旋轉 方向為負, 逆時針為旋轉方向為正.)

2.5.1

當當當角角角度度度為為為鈍鈍鈍角角角時時時

如圖 13, 當

∠

A₃A₂P 大於 90^◦時, 設

∠

A₃A₂P為 X^◦(以射線 A2A₃為始邊旋轉至射線 A2P),則

∠

A2PB2為

(

90

−

X

)

^◦_{(以射線 PA2}為始邊旋轉至射線 PB2).

圖 13

2.5.2

當當當角角角度度度為為為銳銳銳角角角時時時

如圖 14, 當

∠

A3A2P 小於 90^◦時, 設

∠

A3A2P為 X^◦,則

∠

A2PB2為

(

90

−

X

)

^◦.

圖 14

2.5.3

四四四點點點共共共圓圓圓時時時

如圖 15, 因為 PA²₁A²₂A¹₂四點共圓, 所以

∠

PA²₁A²₂

= ∠

PA¹₂A²₂, 所以

∠

A²₁PA³₁

= ∠

A¹₂PA²₂, 同理

∠

A¹₁PA²₁

= ∠

A²_nPA³_n

= ∠

A³_n−1PA⁴_n−1

= · · · = ∠

Aⁿ⁻¹₃ PAⁿ₂.

圖 15

2.5.4

鏡鏡鏡射射射 n 次次次後後後旋旋旋轉轉轉的的的角角角度度度

⇒ ∠

A¹₁PAⁿ⁺¹₁

= ∠

A¹₁PA²₁

+ ∠

A²₁PA³₁

+ · · · + ∠

Aⁿ₁PA₁ⁿ⁺¹,

⇒ ∠

A¹₁PAⁿ⁺¹₁

= ∠

A¹₁PA²₁

+ ∠

A¹₂PA²₂

+ · · · + ∠

A¹_nPA²_n, 同理

⇒ ∠

A¹_kPAⁿ⁺¹_k

= ∠

A¹₁PA²₁

+ ∠

A¹₂PA²₂

+ · · · + ∠

A¹_nPA²_n, 所以每點旋轉的角度都一樣, 因為

PA₁^K+1 PA¹₁

=

^PA

K+1 2

PA¹₂

=

^PA

K+1 3

PA¹₃

= · · · =

^PA

K+1 I+1

PA¹_I+1,

所以新 N 邊形是原 N 邊形, 以 P 點為中心作位似旋轉變換, 故原 N 邊形和新 N 邊形相 似.

2.6 N 邊 邊 邊形 形 形鏡 鏡 鏡射 射 射 N 次 次 次後 後 後和 和 和其 其 其自 自 自身 身 身的 的 的面 面 面積 積 積比 比 比例 例 例

2.6.1

探探探討討討三三三角角角形形形的的的相相相似似似比比比例例例

圖 16

如圖 16,

4

A₁A₂A₃相似於

4

D₁D₂D₃,

4

PA₁A₂相似於

4

PD₁D₂,

4

D1D2D3

4

A1A2A3

= 4

PD1D2

4

PA1A2

=

^PD1 PA1

2

=

^PC1

×

sin

(∠

PC1D1

)

PA1

2

=

^PC1

×

sin

(∠

PA3A1

)

PA1

2

=

^PB1

×

sin

(∠

PB1C1

) ×

sin

(∠

PA3A1

)

PA1

2

=

^PA1

×

sin

(∠

PA₁B₁

) ×

_sin

(∠

PA₂A₃

) ×

_sin

(

PA₃A₁

)

PA1

2

= (

sin

(∠

PA₁A2

) ×

sin

(∠

PA2A3

) ×

sin

(∠

PA3A₁

))

²

=

^PB1

×

PB₂

×

PB₃ PA1

×

PA2

×

PA3

2

.

此為原三角形與第三垂足三角形的比例, 所以三次鏡射後的三角形與原三角形面積的比例 就是

PB₁

×

PB₂

×

PB₃ PA1

×

PA2

×

PA3

2

×

64

=

^8 PB₁

×

PB₂

×

PB₃ PA1

×

PA2

×

PA3

2

.

2.6.2

探探探討討討四四四邊邊邊形形形的的的相相相似似似比比比例例例

圖 17 如圖 17, 原四邊形和第四垂足四邊形的邊長比為

PE1

PA1

=

^PD1

×

sin

(∠

PD1E1

)

PA1

=

^PC1

×

sin

(∠

PC1D1

) ×

_sin

(∠

PA4A1

)

PA1

=

^PB1

×

sin

(∠

PB₁C₁

) ×

_sin

(∠

PA₃A₄

) ×

_sin

(∠

PA₄A₁

)

PA1

=

^PA1

×

sin

(∠

PA₁B₁

) ×

sin

(∠

PA₂A₃

) ×

sin

(∠

PA₃A₄

) ×

sin

(∠

PA₄A₁

)

PA1

=

sin

(∠

PA1A2

) ×

sin

(∠

PA2A3

) ×

sin

(∠

PA3A4

) ×

sin

(∠

PA4A1

)

=

^PB1

×

PB₂

×

PB₃

×

PB₄ PA1

×

PA2

×

PA3

×

PA4

四邊形 E₁E₂E₃E₄

四邊形 A₁A₂A₃A₄

=

^2⁴ PB₁

×

PB₂

×

PB₃

×

PB₄ PA1

×

PA2

×

PA3

×

PA4

2

.

2.6.3

探探探討討討 N 邊邊邊形形形的的的相相相似似似比比比例例例

因為原 N 邊形和第 N 垂足 N 邊形相似, 所以面積比等於邊長比的平方. 因為

∠

PA^N₁A₁^N−1

=

90^◦, 所以

PA^N₁ PA¹₁

=

^PA

N−1

1

×

sin

∠

PA^N−1₁ A₁^N PA¹₁

⇒

^PA

N+1 1

PA¹₁

=

^PA

N

1

×

sin

∠

PA^N−1₁ A₁^N PA¹₁

=

^PA

N−2

1

×

sin

∠

PA^N−1₁ A₁^N

×

sin

∠

PA₁^N−2A^N−1₁ PA¹₁

=

^PA

N−3

1

×

sin

∠

PA^N−1₁ A₁^N

×

sin

∠

PA₁^N−2A^N−1₁

×

sin

∠

PA^N−3₁ A₁^N−2 PA¹₁

= · · · =

^PA

11

×

sin

∠

PA₁^N−1A^N₁

×

sin

∠

PA^N−2₁ A₁^N−1

× · · · ×

sin

∠

PA¹₁A¹₂ PA¹₁

=

^PA

11

×

sin

∠

^PA1_N−1^A1_N

×

sin

∠

^PA1_N−2^A1_N−1

× · · · ×

sin

∠

^PA1₁^A1₂ PA¹₁

=

^PA

2

1

×

PA²₂

×

PA²₃

× · · · ×

PA²_N PA¹₁

×

PA¹₂

×

PA¹₃

× · · · ×

PA¹_N. 所以 N 邊形面積相似的比例

2^N

×

^PA

21

×

PA²₂

×

PA²₃

× · · · ×

PA²_N PA¹₁

×

PA¹₂

×

PA¹₃

× · · · ×

PA¹_N

!2

.

參 參 參考 考 考文 文 文獻 獻 獻

[1] 林耿任 (民 96),《三角形的鏡射變換》, 第六屆旺宏科學獎, 未出版, 台北市.

[2] 蕭振綱 (民 94),《幾何變換》, 上海市: 華東師範大學出版社.