時間序列分析 –

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(1)

時間序列分析

– 總體經濟與財務金融之應用

單根與隨機趨勢

陳旭昇

2013.12

陳旭昇(國立台灣大學經濟學系) 時間序列分析總體經濟與財務金融之應用 2013.12 1 / 60

(2)

2 非定態時間序列:帶有趨勢之序列

3 隨機趨勢造成的問題

4 時間序列的單根檢定

5 ADF檢定的檢定力

6 其他單根檢定

7 如何處理時間序列的單根

8 去除趨勢後定態VS.差分後定態

(3)

定態與非定態自我迴歸模型

給定簡單的AR(1)模型

yt= β0+ β1yt−1+ εt, εti.i.d. (0, σ2).

AR(1)模型為定態的條件為∣β1∣ < 1

∣β1∣ > 1, AR(1)模型會是一個爆炸的序列(explosive series)。 當β1= 1, AR(1)模型變成

yt= β0+ yt−1+ εt.

此模型稱為帶有漂移項(drift)的隨機漫步模型(random walk model), β0就是模型中的漂移項。

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定態與非定態自我迴歸模型

如果不具漂移項,

yt= yt−1+ εt, 就是一個簡單的隨機漫步模型。 且

Et(yt) = yt−1, 亦即對於下一期最佳的預測值就是本期的值。

(5)

定態與非定態自我迴歸模型

假設起始點為 y0,透過反覆疊代, 不具漂移項:

yt= εt+ εt−1+ ⋯ + ε1+ y0, 具漂移項:

yt= εt+ εt−1+ ⋯ + ε1+ y0+ β0t.

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定態與非定態自我迴歸模型

具漂移項的隨機漫步模型將有一個固定趨勢項: β0t,β0大於為 零,yt將有一隨時間遞增的固定趨勢;反之,則為遞減趨勢。

如果隨機漫步模型具漂移項與固定趨勢,則該隨機漫步模型將會有 二次式的固定趨勢(quadratic trend)。

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非定態時間序列 : 帶有趨勢之序列

所謂的趨勢(trend)係指時間序列資料持續而長期性的移動,而時 間序列資料則沿著它的趨勢上下波動。

在時間序列分析中,有兩種可能的趨勢使時間序列為非定態:固定趨 勢(deterministic trend)與隨機趨勢(stochastic trend)。

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固定趨勢

給定

yt= β0+ β1t+ εt, εt ∼ WN(0, σ2).

E(yt) = β0+ β1t, E(yt+s) = β0+ β1(t + s),

亦即E(yt) ≠ E(yt+s), yt非定態。 這樣的時間序列稱為去除趨勢後 定態(trend stationary, TS),簡稱TS

一般去除固定趨勢的方法為估計固定趨勢模型後,得到殘差序列,

(9)

單根與隨機趨勢

所謂的隨機趨勢就是時間序列資料持續而長期性的隨機移動。 以總體經 濟學的解釋來看,意指經濟體系中的外生衝擊(exogenous shocks)對於 總體經濟變數的影響為恆久(permanent)。 任意一次的隨機衝擊就會造 成時間序列資料持續而長期性的改變。

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單根與隨機趨勢

給定AR(p)模型

β(L)yt = β0+ εt. 如果多項式方程式

β(z) = 1 − β1z− β2z2− ⋯ − βpzp= 0

有一個根為1,則我們稱此AR(p)為一具有單根(unit root)的序列。

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單根與隨機趨勢

如果時間序列 yt具有單根,yt具有隨機趨勢(stochastic trend)。 一般來說,單根與隨機趨勢被視作相同的概念。

單根的概念對於近代的總體經濟學的發展具有舉足輕重的影響。 單 根原本只是統計學上的性質,然而, Nelson and Plosser (1982)在 Journal of Monetary Economics發表“Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series”一文後,改變了實證總體經濟學的 方向。

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單根與隨機趨勢

在過去,人們對於第一章中的總體經濟時間序列均認定為具有固定 趨勢,因此,一般的作法是以固定趨勢模型去除掉總體經濟時間序列 的固定趨勢後,序列就是定態,可予以分析。

然而, Nelson and Plosser (1982)發現,大多數的總體經濟時間序列 均具有隨機趨勢,因此僅去除掉總體經濟時間序列的固定趨勢,並未 去除時間序列的隨機趨勢,之後的分析就大有問題。

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隨機趨勢造成的問題

隨機趨勢造成的問題有三:

1 以自我迴歸模型估計隨機趨勢序列,所得到的自我迴歸係數有小樣 本向下偏誤(small-sample downward bias)。

2 以自我迴歸模型估計隨機趨勢序列,所得到自我迴歸係數的t-統計 量(t-statistic)的極限分配不為標準常態。

3 虛假迴歸(spurious regression)。

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小樣本向下偏誤

AR(1)為例,如果時間序列具有隨機趨勢,亦即實際的資料生成過程

(data generating process)為

yt= yt−1+ εt,

然而我們不知道真正的資料生成過程,卻以AR(1)模型估計之: yt= β0+ β1yt−1+ εt,

因此,在真正的β1= 1的情形下,我們所估計的βˆ1將有向下偏誤:

5.3 5.3

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小樣本向下偏誤

:E( ˆβ1)與樣本大小

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t- 統計量的極限分配不為標準常態

給定資料生成過程為

yt = β1yt−1+ εt, 欲檢定虛無假設: β1= B,其中B為真實的β1之值。

若−1 < B < 1,亦即 yt為定態,t-統計量的極限分配為標準常態,

t= √βˆ1− B Var̂( ˆβ1)

Ð→ N(0, 1),d

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t- 統計量的極限分配不為標準常態

B= 1,亦即yt有隨機趨勢(單根),t-統計量

t= βˆ1− B

√Var̂( ˆβ1) = βˆ1− 1

√Var̂( ˆβ1)

的極限分配不為標準常態。

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t- 統計量的極限分配不為標準常態

T= 1000 (大樣本)為例,β1 = 1的虛無假設下以電腦模擬上述 t-統計量,所得的t-統計量之抽樣分配,該分配顯然不是標準常態分 配(別忘了標準常態分配的均數為零)

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t- 統計量的極限分配不為標準常態

:模擬在虛無假設β1= 1t-統計量之抽樣分配

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虛假迴歸

虛假迴歸(spurious regression)是由Granger and Newbold(1974) 所提出。

一般而言,如果有兩個獨立且定態的時間序列xtzt,由於獨立之 性質,則以下的迴歸分析

xt = a0+ a1zt+ ut

應該會得到

1 a1的估計式不具統計上顯著,

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虛假迴歸

如果xtzt雖然獨立但卻都具隨機趨勢,則他們發現,在多次電腦 模擬中,5%的顯著水準下,可以拒絕a1= 0的虛無假設的機會 (百分比)竟高達75%,R2也異常地高。 亦即,兩個毫不相干的變 數,只因為具有隨機趨勢,就會讓我們估計出一個不存在的相關性, 這就叫做虛假迴歸。

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時間序列的單根檢定

既然時間序列存在單根會造成許多問題,一如Nelson and Plosser

(1982)所揭示,如果我們忽略總體經濟變數具有單根之問題,則過

去實證總體經濟研究中所得到的統計推論都是錯的。

我們接下來的問題就是,如何檢定單根的存在。 一個最常使用的檢 定稱為Augmented Dickey-Fuller檢定(ADF test)

(23)

時間序列的單根檢定

考慮一個AR(k)模型:

φ(L)yt= µ + εt, (1)

εti.i.d. (0, σ2), 其中

φ(L) = 1 − φ1L− ⋯ − φkLk. (2)

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時間序列的單根檢定

性質(Dickey-Fuller重新參數化) p= k − 1,我們可以透過計算得到

φ(L) = (1 − L) − α0L− α1(L − L2) − ⋯ − αp(Lp− Lp+1), 其中係數αi符合

α0= −1 +k

j=1

φj,

αi= − k φj, for i= 1, 2, . . . , p

(25)

時間序列的單根檢定

性質(Dickey-Fuller重新參數化(續)) 因此,根據第(2),(1)可改寫成:

∆yt= µ + α0yt−1+ α1∆yt−1+ ⋯ + αp∆yt−p+ εt. (3) (3)式稱為第(1)式的Dickey-Fuller重新參數化。

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時間序列的單根檢定

如果φ(z) = 0有一個根落在單位圓之上,亦即φ(1) = 0,則稱yt具 有單根。 注意到

φ(1) = (1 − 1) − α0− α1(1 − 12) − ⋯ − αp(1p− 1p+1) = −α0, 檢定yt是否具有單根, H0∶ φ(1) = 0,就等同於檢定第(3)式中 H0 ∶ α0= 0之假設。

(27)

時間序列的單根檢定

定義(Augmented Dickey-Fuller檢定)

若虛無假設為yt具單根,對立假設yt為定態,考慮以下迴歸式

∆yt= β0+ δ yt−1+ γ1∆yt−1+ ⋯ + γp∆yt−p+ ut, 並檢定H0∶ δ = 0 vs. H1∶ δ < 0

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時間序列的單根檢定

定義(Augmented Dickey-Fuller檢定(續))

若虛無假設為yt具單根,對立假設yt為去除趨勢後定態。 考慮以下迴歸式

∆yt= β0+ αt + δ yt−1+ γ1∆yt−1+ ⋯ + γp∆yt−p+ ut,

並檢定H0∶ δ = 0 vs. H1∶ δ < 0。 其中, γ1∆yt−1+ ⋯ + γp∆yt−p稱為ADF檢定的 增廣項(augmented part),增廣項的最適落後期數p可利用AIC或是BIC (SIC) 決定之。

(29)

時間序列的單根檢定

ADF檢定中,檢定H0 ∶ δ= 0t統計量又稱ADF-t統計量,

ADF-t= δˆ

√Var̂(ˆδ) .

在虛無假設下, ADF-t統計量的實際抽樣分配不為t分配,其極限分配也 不是標準常態N(0, 1),而是一個非常態的特殊分配,其臨界值如下表所 示。

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時間序列的單根檢定

:ADF-t統計量的大樣本臨界值

ADF迴歸模型 10% 5% 1%

只有截距項0) -2.57 -2.86 -3.43 截距項0)與固定趨勢(t) -3.12 -3.41 -3.96

因此, ADF-t檢定是一個左尾檢定, ADF-t統計量越小,越能提供證據拒

(31)

時間序列的單根檢定

如果移去ADF迴歸式中的所有增廣項,

∆yt= β0+ αt + ut,

這就是Dickey and Fuller(1979)原始的概念,因此我們又將不具增廣項 的ADF檢定稱做Dickey-Fuller檢定,簡稱DF檢定。 放進增廣項的目的 在於控制殘差項ut中可能的序列相關。

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ADF 檢定的檢定力

ADF檢定雖然是最常用的單根檢定,但是其檢定力在真正的AR(1) 係數很接近1 (但不等於1)時非常低。 也就是說, ADF檢定犯型II誤 差的機率非常高(實際上是定態時間序列,卻無法拒絕具有單根的 虛無檢定)

假設真正的資料過程為定態的AR(1)模型:

yt= β1yt−1+ εt, εti .i .d . N(0, σ2), 其中∣β∣ < 1

(33)

ADF 檢定的檢定力

以電腦模擬ADF檢定在不同的對立假設下(亦即不同的

0.5≤ β1≤ 1)的檢定力(顯著水準為5%),β1= 0.5左右時, ADF檢 定的檢定力極高(接近1)

隨著β1變大,檢定力亦隨之下降,舉例來說,當真正的β1 = 0.93左 右,檢定力只有10%,亦即ADF檢定犯型II誤差的機率高達90%,

100個定態AR(1)序列有90個會因無法拒絕單根而被誤判為

I(1)序列。

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ADF 檢定的檢定力

:ADF檢定之檢定力(橫軸為AR(1)係數β1,縱軸為檢定力)

(35)

其他單根檢定法

:其他單根檢定 檢定方法 提出人

PP檢定 Phillips and Perron (1988) KPSS檢定 KPSS(1992)

DF-GLS檢定 Elliott et al.(1996) ERS檢定 Elliott et al.(1996) NP檢定 Ng and Perron(2001)

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其他單根檢定

ADF檢定中的增廣項是為了控制殘差項的序列相關。Phillips and Perron(1988)則以無母數(non-parametric)之方法處理此問題,稱 之為Phillips-Perron (PP)檢定。 然而,根據類似的電腦模擬分析顯 示, PP檢定與ADF檢定一樣,都有 「低檢定力」 之問題。

(37)

其他單根檢定

一般的單根檢定都是將 「序列具有單根」 放在虛無假設,而對立假設 則是 「序列為定態」。 而KPSS檢定正好相反,其虛無假設是 「序列為 定態」。 因此,有些學者如Cheung and Chinn (1996)主張,應該同 時考慮將 「序列具有單根」 放在虛無假設與將 「序列為定態」 放在虛 無假設的檢定,以做為一種 「確認分析」(confirmatory analysis)。 唯 有兩種不同檢定具有一致結果,才能 「確認」 序列是否為單根之結 論。

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(38)

其他單根檢定

Maddala and Kim (1998)卻有不同之看法。 他們認為給定KPSS

定與ADF/PP檢定一樣,檢定力也不高,這種確認分析並沒有太大意

義。 他們援引文獻上的電腦模擬分析以支持此論點。 簡單地說,「確 認分析」 猶如問道於兩個盲人(There is no chance to get better since you are guided by TWO Blind MEN)。

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其他單根檢定

除了 「低檢定力」 的問題之外, ADF/PP等傳統檢定還存在著 「高型I 誤差的扭曲」(large size distortion)。Schwert(1989)與DeJong , Nankervis , Savin and Whiteman (1992)均發現實際資料生成過程 (data generating process)中的移動平均誤差(moving-average component)會導致傳統ADF/PP單根檢定之型I誤差的扭曲。

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其他單根檢定

Ng and Perron (2001)除了修正傳統的單根檢定,對於選取增廣項 最適落後期數的資訊準則也有所修正,稱之為修正AIC (modified AIC, MAIC)與 修正SIC (modified SIC, MSIC)等。

(41)

其他單根檢定

DF-GLS, ERS,以及NP檢定為最近提出來的一些新檢定,意圖解決

傳統ADF/PP單根檢定之問題。 然而,一如Maddala and Kim

(1998)所指出,大多數的新檢定或許彌補了ADF/PP檢定的原有缺

,卻也存在若干新的缺失。 目前為止似乎還沒有一個簡單好用且 能夠解決所有問題的優質檢定。 譬如說,有的新檢定引進了一些不 易決定的新參數,有的檢定則有計算上的困難,或是步驟太過繁複。

此外,這些新檢定的普遍性亦不足,僅在某些特定的資料產生過程或 是特定的模型設定下表現較好。

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其他單根檢定法

即使各種新檢定並不能適用在每一個模型設定,這些新檢定的表現 都遠勝過傳統ADF/PP檢定。 因此, Maddala and Kim (1998)建議 應該揚棄ADF/PP檢定(it is time to completely discard the ADF/PP tests)。

(43)

如何處理時間序列的單根

一個具有單根的時間序列如

yt= β0+ yt−1+ εt, εti.i.d. N(0, σ2).

取一階差分

∆yt= yt− yt−1= β0+ εt

就變成一個定態的時間序列,因此,將具單根的數列取一階差分就能 去除其隨機趨勢。

一般來說,如果一個非定態的時間序列取一階差分後就變成定態的 時間序列,我們稱此時間序列為差分後定態(difference stationary)

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如何處理時間序列的單根

對於一階差分後定態的時間序列以 yt ∼ I(1)表示之,意指一階自積 (integrated of degree one),亦即,經過一階差分後為定態。

如果時間序列不具隨機趨勢,本來就是一個定態序列,以yt∼ I(0) 表示之。

如果時間序列經過d階差分後方為定態,亦即dyt∼ I(0),則以 yt∼ I(d)表示之。

由於在對I(1)時間序列作統計分析時,存在之前提過的三大問題, 一般的作法是:一旦發現時間序列包含隨機趨勢,就予以差分,並以

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去除趨勢後定態 VS. 差分後定態

去除趨勢後定態(TS)與差分後定態(DS)兩種序列具有完全不同的性質, 將該序列轉換為定態的方式亦不同。

如果我們將TS序列予以一階差分,造成的問題是引進了一個不可 逆的MA,舉例來說,

yt= y0+ a1t + εt

一階差分後,

∆yt = a1+ εt− εt−1

變成一不可逆之MA序列,使得yt無法表示為AR模型。

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去除趨勢後定態 VS. 差分後定態

反之,如果我們將一個DS序列去除掉固定趨勢後,未必能夠得到定 態序列。 舉例來說,

yt = y0+ a0t +

t

i=1

εi 減去(y0+ a0t),

t= yt−(y0+ a0t)

=∑t

i=1

εi

(47)

去除趨勢後定態 VS. 差分後定態

由於目前並不存在一個最具檢定力(uniformly powerful)的單根檢 定,即使我們無法拒絕序列具有單根,並不代表序列一定有單根。

對於一個無法拒絕具有單根的序列,雖不隱含該序列一定具有單根, 但是從另一個角度來說, I(1)序列會是該序列的一個良好近似,我們 可以將該序列視為一個具隨機趨勢的序列。 因此,我們可以依照一 般作法,將該序列差分後再予分析。

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Hodrick-Prescott 分解

給定序列yt為非定態序列,我們可以將其分解(decompose)成定 態部分(stationary component)與非定態部分(nonstationary component)。

舉例來說,實質景氣循環(real business cycle, RBC)模型認為實質 產出受到恆常性衝擊(permanent shocks)與暫時性衝擊

(temporary shocks)的交互影響,使得實質產出沿著一個隨機趨勢 上下波動。 因此,將實質產出分解成定態部分與非定態部分以RBC 的觀點來看,就是分解成趨勢(trend)與波動(cycle)兩部分。

(49)

Hodrick-Prescott 分解

實質景氣循環文獻上最常用的分解方法稱為Hodrick-Prescott分 解(Hodrick-Prescott decomposition),又稱Hodrick-Prescott濾器 (Hodrick-Prescott filter),簡稱HP分解(HP decomposition)或是 HP濾器(HP filter)

HP分解的概念為,yt中分解出一個恆常序列(隨機趨勢) TRt以 極小化yt圍繞著TRt的變異數:

T

t=1(yt− T Rt)2.

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(50)

Hodrick-Prescott 分解

然而,如果我們只有以上的目標函數,則設定TRt = yt就能達到極 小值,不但沒意義,也使TRt的波動過大。

因此,我們的目標函數加入一個懲罰項,亦即 TRHPt = arg min

{TRt}Tt=1 T

t=1(yt− T Rt)2

+ λ

T−1

t=2[(TRt+1− T Rt) − (TRt− T Rt−1)]2.

(51)

Hodrick-Prescott 分解

參數λ控制了TRt的平滑程度, λ越大, TRt就越平滑。

Hodrick and Prescott (1997)建議設定λ100 (年資料), 1600 (季 資料)以及14400 (月資料)。 而CYtHP = yt− T RHPt 就是yt的波動 部分。

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Hodrick-Prescott 分解

:Hodrick-Prescott分解:新台幣兌美元匯率

-.05 .00 .05 .10 .15

3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Hodrick-Prescott Filter (lambda=1600)

(53)

常用的追蹤資料單根檢定

已知單一序列的單根檢定有低檢定力的問題。 既然不可能增加單一 時間序列的樣本大小,一種可能的解決方法就是使用追蹤資料。

舉例來說,在檢定購買力平價說時,特定國家貨幣對美元的實質匯率 追朔到Bretton Woods System崩潰後的浮動匯率期間,以月資料 來說,迄今最多只有310個樣本點(1972:1–2007:10),然而,如果考 慮七大工業國(美國為基準),則可以得到6 × 310= 1860個樣本點。

文獻上最常用的追蹤資料單根檢定(panel unit root tests)為

1 Levin,Lin and Chu(2002) test (LLC)

2 Im,Pesaran and Shin(2003) test (IPS)

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常用的追蹤資料單根檢定

考慮以下的追蹤資料ADF迴歸式

∆yit= ai0+ γiyit−1+ ai2t +

Pi

j=1

βi j∆yit− j+ εit

其中i= 1, 2, ...n.。LLC檢定與IPS檢定有兩大的不同處。

1 LLC檢定混合的是資料,IPS檢定混合的是檢定量。

2 對立假設不同

(55)

常用的追蹤資料單根檢定

1 LLC檢定

H0 ∶ γ1= γ2= ...γn = γ = 0 H1∶ γ1 = γ2 = ...γn = γ < 0

2 IPS檢定

H0∶ γ1 = γ2 = ... = γn = γ = 0 H1∶至少有一個γi 不為零

顯而易見地, LLC檢定的對立假設要求所有的γi都相等,限制較大,而 IPS檢定的對立假設限制較小。

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IPS 追蹤資料單根檢定

在此只簡單介紹如何執行IPS檢定。

1 對每一個i,估計γi 且計算ADFt,ti 表示,其中i= 1, 2, ...n.

2ADFt統計量混合(pool)在一起

¯t= ∑ni=1ti n

3 建構Ztbar統計量:

Ztbar=

√n√(¯t − E[¯t]) Var(¯t)

(57)

IPS 追蹤資料單根檢定

4 Im et al. (2003)證明

Ztbar→ Nd (0, 1), 且提供了小樣本檢定臨界值

5 我們也可以利用蒙地卡羅模擬或是Bootstrap來自行計算臨界值 (參見第14)

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追蹤資料單根檢定之性質

1 IPS檢定的對立假設為

H1∶至少有一個γi 不為零 然而,我們無法得知道到底使那一個γi 不為零。

2 追蹤資料檢定的大樣本性質仍有待商榷。 可能的漸近性質為

(a) T固定, N → ∞ (b) T → ∞, N固定

(c) T → ∞, N → ∞T

N → c

(59)

追蹤資料單根檢定之性質

3 常用的追蹤資料單根檢定(LLC, Breitung, IPS, Fisher-ADF, Fisher-PP, Hadri)都假設誤差項it}無序列相關且無當期相關 (serially uncorrelated and contemporaneously uncorrelated),亦 即,

E(εitεjt) = 0.

序列相關的問題可以用增廣項(augmented part)予以解決,然而,Eitεjt) ≠ 0,則以上的LLC, Breitung, IPS, Fisher-ADF, Fisher-PP

以及Hadri檢定可能會導致錯誤的統計推論。 文獻上如O’Connell

(1998)與Pesaran (2006)都曾指出,如果追蹤資料單根檢定忽略了 誤差項的當期相關,則會產生極高的型I誤差機率(substantial size distortions)。

陳旭昇(國立台灣大學經濟學系) 時間序列分析總體經濟與財務金融之應用 2013.12 59 / 60

(60)

追蹤資料單根檢定之性質

4 對於Eitεjt) ≠ 0的問題,目前文獻上的解決方法可以參考

(a) Maddala and Wu (1999) (b) Pesaran (2006)

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