時間序列分析 –

(1)

時間序列分析

– 總體經濟與財務金融之應用 _–

單根與隨機趨勢

陳旭昇

2013.12

陳旭昇(國立台灣大學經濟學系) 時間序列分析–總體經濟與財務金融之應用– 2013.12 1 / 60

(2)

2 非定態時間序列:帶有趨勢之序列

3 隨機趨勢造成的問題

4 時間序列的單根檢定

5 ADF檢定的檢定力

6 其他單根檢定

7 如何處理時間序列的單根

8 去除趨勢後定態VS.差分後定態

(3)

定態與非定態自我迴歸模型

給定簡單的_AR(1)模型

y_t= β⁰+ β¹y_t−1+ εt, ε_t∼^i.i.d. (0, σ²).

AR(1)模型為定態的條件為_∣β₁_{∣ < 1}。

當_∣β₁∣ > 1, AR(1)模型會是一個爆炸的序列(explosive series)。當_β₁_{= 1}時_{, AR(1)}模型變成

y_t= β⁰+ y^t−1+ ε^t.

此模型稱為帶有漂移項_(drift)的隨機漫步模型(random walk model), β0就是模型中的漂移項。

(4)

定態與非定態自我迴歸模型

如果不具漂移項,

y_t= y^t−1+ ε^t, 就是一個簡單的隨機漫步模型。且

E_t(yt) = yt−1, 亦即對於下一期最佳的預測值就是本期的值。

(5)

定態與非定態自我迴歸模型

假設起始點為 _y₀_,透過反覆疊代_, 不具漂移項_:

y_t= ε^t+ ε^t−1+ ⋯ + ε¹+ y⁰, 具漂移項_:

yt= ε^t+ ε^t−1+ ⋯ + ε¹+ y⁰+ β⁰t.

(6)

定態與非定態自我迴歸模型

具漂移項的隨機漫步模型將有一個固定趨勢項_{: β}₀_t,若_β₀大於為零_,則_y_t將有一隨時間遞增的固定趨勢_;反之_,則為遞減趨勢。

如果隨機漫步模型具漂移項與固定趨勢,則該隨機漫步模型將會有二次式的固定趨勢(quadratic trend)。

(7)

非定態時間序列 _: 帶有趨勢之序列

所謂的趨勢_(trend)係指時間序列資料持續而長期性的移動_,而時間序列資料則沿著它的趨勢上下波動。

在時間序列分析中_,有兩種可能的趨勢使時間序列為非定態_:固定趨勢(deterministic trend)與隨機趨勢(stochastic trend)。

(8)

固定趨勢

給定

y_t= β⁰+ β¹t+ ε^t, ε_t ∼ WN(0, σ²).

則

E(y^t) = β⁰+ β¹t, E(yt+s) = β⁰+ β¹(t + s),

亦即_E_(y_t_{) ≠ E(y}_t+s_{), y}_t非定態。這樣的時間序列稱為去除趨勢後定態(trend stationary, TS),簡稱_TS。

一般去除固定趨勢的方法為估計固定趨勢模型後_,得到殘差序列_,

(9)

單根與隨機趨勢

所謂的隨機趨勢就是時間序列資料持續而長期性的隨機移動。以總體經濟學的解釋來看_,意指經濟體系中的外生衝擊(exogenous shocks)對於總體經濟變數的影響為恆久(permanent)。任意一次的隨機衝擊就會造成時間序列資料持續而長期性的改變。

(10)

單根與隨機趨勢

給定_AR(p)模型

β(L)yt = β⁰+ εt. 如果多項式方程式

β(z) = 1 − β¹z− β²z²− ⋯ − β^pz^p= 0

有一個根為_1,則我們稱此_AR(p)為一具有單根(unit root)的序列。

(11)

單根與隨機趨勢

如果時間序列 _y_t具有單根_,則_y_t具有隨機趨勢(stochastic trend)。一般來說_,單根與隨機趨勢被視作相同的概念。

單根的概念對於近代的總體經濟學的發展具有舉足輕重的影響。單根原本只是統計學上的性質_,然而, Nelson and Plosser (1982)在 Journal of Monetary Economics發表“Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series”一文後_,改變了實證總體經濟學的方向。

(12)

單根與隨機趨勢

在過去_,人們對於第一章中的總體經濟時間序列均認定為具有固定趨勢_,因此_,一般的作法是以固定趨勢模型去除掉總體經濟時間序列的固定趨勢後_,序列就是定態_,可予以分析。

然而, Nelson and Plosser (1982)發現_,大多數的總體經濟時間序列均具有隨機趨勢,因此僅去除掉總體經濟時間序列的固定趨勢,並未去除時間序列的隨機趨勢_,之後的分析就大有問題。

(13)

隨機趨勢造成的問題

隨機趨勢造成的問題有三:

1 以自我迴歸模型估計隨機趨勢序列_,所得到的自我迴歸係數有小樣本向下偏誤(small-sample downward bias)。

2 以自我迴歸模型估計隨機趨勢序列,所得到自我迴歸係數的_t-統計量(t-statistic)的極限分配不為標準常態。

3 虛假迴歸(spurious regression)。

(14)

小樣本向下偏誤

以_AR(1)為例_,如果時間序列具有隨機趨勢,亦即實際的資料生成過程

(data generating process)為

y_t= y^t−1+ ε^t,

然而我們不知道真正的資料生成過程_,卻以_AR(1)模型估計之_: yt= β⁰+ β¹yt−1+ ε^t,

因此,在真正的_β₁_{= 1}的情形下_,我們所估計的_β^ˆ₁將有向下偏誤:

5.3 5.3

(15)

小樣本向下偏誤

圖_:_{E( ˆβ}₁₎與樣本大小

(16)

t- 統計量的極限分配不為標準常態

給定資料生成過程為

y_t = β¹y_t−1+ ε^t, 欲檢定虛無假設_{: β}₁_{= B,}其中_B為真實的_β₁之值。

若−1 < B < 1,亦即 _y_t為定態_,則_t-統計量的極限分配為標準常態_,

t= √βˆ1− B Var̂( ˆβ¹)

Ð→ N(0, 1),d

(17)

t- 統計量的極限分配不為標準常態

當_B_{= 1,}亦即_y_t有隨機趨勢₍單根_),則_t-統計量

t= βˆ1− B

√Var̂( ˆβ¹) = βˆ1− 1

√Var̂( ˆβ¹)

的極限分配不為標準常態。

(18)

t- 統計量的極限分配不為標準常態

以_T_{= 1000 (}大樣本₎為例_,在_β₁ _{= 1}的虛無假設下以電腦模擬上述 t-統計量_,所得的_t-統計量之抽樣分配_,該分配顯然不是標準常態分配₍別忘了標準常態分配的均數為零₎。

(19)

t- 統計量的極限分配不為標準常態

圖_:模擬在虛無假設_β₁_{= 1}下_t-統計量之抽樣分配

(20)

虛假迴歸

虛假迴歸(spurious regression)是由Granger and Newbold(1974) 所提出。

一般而言_,如果有兩個獨立且定態的時間序列_x_t與_z_t_,由於獨立之性質_,則以下的迴歸分析

x_t = a⁰+ a¹z_t+ ut

應該會得到

1 a1的估計式不具統計上顯著_,

(21)

虛假迴歸

如果_x_t與_z_t雖然獨立但卻都具隨機趨勢,則他們發現,在多次電腦模擬中_,在_5%的顯著水準下_,可以拒絕_a₁_{= 0}的虛無假設的機會 (百分比₎竟高達_75%,而_R²也異常地高。亦即_,兩個毫不相干的變數_,只因為具有隨機趨勢,就會讓我們估計出一個不存在的相關性, 這就叫做虛假迴歸。

(22)

時間序列的單根檢定

既然時間序列存在單根會造成許多問題_,一如Nelson and Plosser

(1982)所揭示_,如果我們忽略總體經濟變數具有單根之問題_,則過

去實證總體經濟研究中所得到的統計推論都是錯的。

我們接下來的問題就是_,如何檢定單根的存在。一個最常使用的檢定稱為Augmented Dickey-Fuller檢定_{(ADF test)}。

(23)

時間序列的單根檢定

考慮一個_AR(k)模型_:

φ(L)y^t= µ + ε^t, (1)

ε_t ∼^i.i.d. (0, σ²), 其中

φ(L) = 1 − φ¹L− ⋯ − φkL^k. (2)

(24)

時間序列的單根檢定

性質(Dickey-Fuller重新參數化) 令_p_{= k − 1,}我們可以透過計算得到

φ(L) = (1 − L) − α0L− α1(L − L²) − ⋯ − αp(L^p− L^p+1), 其中係數_α_i符合

α₀= −1 +∑^k

j=1

φ_j,

α_i= − ∑^k φ_j, for i= 1, 2, . . . , p

(25)

時間序列的單根檢定

性質(Dickey-Fuller重新參數化(續₎₎ 因此,根據第(2)式,式(1)可改寫成:

∆y_t= µ + α0y_t−1+ α1∆y_t−1+ ⋯ + αp∆y_t−p+ εt. (3) 第₍₃₎式稱為第₍₁₎式的Dickey-Fuller重新參數化。

(26)

時間序列的單根檢定

如果_φ_{(z) = 0}有一個根落在單位圓之上_,亦即_φ_{(1) = 0,}則稱_y_t具有單根。注意到

φ(1) = (1 − 1) − α⁰− α¹(1 − 1²) − ⋯ − α^p(1^p− 1^p+1) = −α⁰, 檢定_y_t是否具有單根_{, H}₀∶ φ(1) = 0,就等同於檢定第(3)式中 H0 ∶ α0= 0之假設。

(27)

時間序列的單根檢定

定義(Augmented Dickey-Fuller檢定)

若虛無假設為_y_t具單根,對立假設_y_t為定態,考慮以下迴歸式

∆y_t= β0+ δ yt−1+ γ1∆y_t−1+ ⋯ + γp∆y_t−p+ ut, 並檢定_H₀∶ δ = 0 vs. H1∶ δ < 0。

(28)

時間序列的單根檢定

定義(Augmented Dickey-Fuller檢定(續))

若虛無假設為_y_t具單根_,對立假設_y_t為去除趨勢後定態。考慮以下迴歸式

∆y_t= β0+ αt + δ yt−1+ γ1∆y_t−1+ ⋯ + γp∆y_t−p+ ut,

並檢定_H₀∶ δ = 0 vs. H1∶ δ < 0。其中_{, γ}₁_∆y_t−1_{+ ⋯ + γ}_p_∆y_t−p稱為_ADF檢定的增廣項(augmented part),增廣項的最適落後期數_p可利用AIC或是BIC (SIC) 決定之。

(29)

時間序列的單根檢定

在_ADF檢定中_,檢定_H₀ _{∶ δ}_{= 0}的_t統計量又稱_ADF-t統計量_,

ADF-t= δˆ

√Var̂(ˆδ) .

在虛無假設下_{, ADF-t}統計量的實際抽樣分配不為_t分配_,其極限分配也不是標準常態_N_{(0, 1),}而是一個非常態的特殊分配_,其臨界值如下表所示。

(30)

時間序列的單根檢定

表_:_ADF-t統計量的大樣本臨界值

ADF迴歸模型 _10% _5% _1%

只有截距項_(β₀₎ _-2.57 _-2.86 _-3.43 截距項_(β₀)與固定趨勢_(t) -3.12 -3.41 -3.96

因此_{, ADF-t}檢定是一個左尾檢定_{, ADF-t}統計量越小_,越能提供證據拒

(31)

時間序列的單根檢定

如果移去_ADF迴歸式中的所有增廣項_,

∆y_t= β⁰+ αt + ut,

這就是Dickey and Fuller(1979)原始的概念_,因此我們又將不具增廣項的_ADF檢定稱做Dickey-Fuller檢定_,簡稱_DF檢定。放進增廣項的目的在於控制殘差項_u_t中可能的序列相關。

(32)

ADF 檢定的檢定力

ADF檢定雖然是最常用的單根檢定_,但是其檢定力在真正的_AR(1) 係數很接近1 (但不等於1)時非常低。也就是說_{, ADF}檢定犯型_II誤差的機率非常高₍實際上是定態時間序列_,卻無法拒絕具有單根的虛無檢定₎。

假設真正的資料過程為定態的_AR(1)模型_:

yt= β1yt−1+ εt, εt∼^{i .i .d .} N(0, σ²), 其中_∣β_{∣ < 1}。

(33)

ADF 檢定的檢定力

以電腦模擬_ADF檢定在不同的對立假設下₍亦即不同的

0.5≤ β¹≤ 1)的檢定力₍顯著水準為_5%),當_β₁_{= 0.5}左右時_{, ADF}檢定的檢定力極高₍接近₁₎。

隨著_β₁變大_,檢定力亦隨之下降_,舉例來說_,當真正的_β₁ _{= 0.93}左右_,檢定力只有_10%,亦即_ADF檢定犯型_II誤差的機率高達_90%,

每₁₀₀個定態_AR(1)序列有₉₀個會因無法拒絕單根而被誤判為

I(1)序列。

(34)

ADF 檢定的檢定力

圖_:_ADF檢定之檢定力(橫軸為AR(1)係數_β₁,縱軸為檢定力)

(35)

其他單根檢定法

表_:其他單根檢定檢定方法提出人

PP檢定 Phillips and Perron (1988) KPSS檢定 _KPSS(1992)

DF-GLS檢定 Elliott et al.(1996) ERS檢定 Elliott et al.(1996) NP檢定 Ng and Perron(2001)

(36)

其他單根檢定

ADF檢定中的增廣項是為了控制殘差項的序列相關。Phillips and Perron(1988)則以無母數(non-parametric)之方法處理此問題,稱之為Phillips-Perron (PP)檢定。然而_,根據類似的電腦模擬分析顯示_{, PP}檢定與_ADF檢定一樣_,都有「低檢定力」之問題。

(37)

其他單根檢定

一般的單根檢定都是將「序列具有單根」放在虛無假設_,而對立假設則是「序列為定態」。而KPSS檢定正好相反_,其虛無假設是「序列為定態」。因此_,有些學者如Cheung and Chinn (1996)主張_,應該同時考慮將「序列具有單根」放在虛無假設與將「序列為定態」放在虛無假設的檢定_,以做為一種「確認分析」(confirmatory analysis)。唯有兩種不同檢定具有一致結果_,才能「確認」序列是否為單根之結論。

(38)

其他單根檢定

Maddala and Kim (1998)卻有不同之看法。他們認為給定_KPSS檢

定與_ADF/PP檢定一樣_,檢定力也不高_,這種確認分析並沒有太大意

義。他們援引文獻上的電腦模擬分析以支持此論點。簡單地說_,「確認分析」猶如問道於兩個盲人(There is no chance to get better since you are guided by TWO Blind MEN)。

(39)

其他單根檢定

除了「低檢定力」的問題之外_{, ADF/PP}等傳統檢定還存在著「高型_I 誤差的扭曲」(large size distortion)。Schwert(1989)與_{DeJong ,} Nankervis , Savin and Whiteman (1992)均發現實際資料生成過程 (data generating process)中的移動平均誤差(moving-average component)會導致傳統_ADF/PP單根檢定之型_I誤差的扭曲。

(40)

其他單根檢定

Ng and Perron (2001)除了修正傳統的單根檢定_,對於選取增廣項最適落後期數的資訊準則也有所修正_,稱之為修正AIC (modified AIC, MAIC)與修正SIC (modified SIC, MSIC)等。

(41)

其他單根檢定

DF-GLS, ERS,以及_NP檢定為最近提出來的一些新檢定_,意圖解決

傳統_ADF/PP單根檢定之問題。然而,一如Maddala and Kim

(1998)所指出_,大多數的新檢定或許彌補了_ADF/PP檢定的原有缺

點_,卻也存在若干新的缺失。目前為止似乎還沒有一個簡單好用且能夠解決所有問題的優質檢定。譬如說_,有的新檢定引進了一些不易決定的新參數_,有的檢定則有計算上的困難_,或是步驟太過繁複。

此外_,這些新檢定的普遍性亦不足_,僅在某些特定的資料產生過程或是特定的模型設定下表現較好。

(42)

其他單根檢定法

即使各種新檢定並不能適用在每一個模型設定_,這些新檢定的表現都遠勝過傳統ADF/PP檢定。因此, Maddala and Kim (1998)建議應該揚棄_ADF/PP檢定(it is time to completely discard the ADF/PP tests)。

(43)

如何處理時間序列的單根

一個具有單根的時間序列如

y_t= β⁰+ yt−1+ εt, ε_t∼^i.i.d. N(0, σ²).

取一階差分

∆yt= y^t− yt−1= β⁰+ εt

就變成一個定態的時間序列_,因此_,將具單根的數列取一階差分就能去除其隨機趨勢。

一般來說_,如果一個非定態的時間序列取一階差分後就變成定態的時間序列_,我們稱此時間序列為差分後定態(difference stationary)

(44)

如何處理時間序列的單根

對於一階差分後定態的時間序列以 _y_t _{∼ I(1)}表示之_,意指一階自積 (integrated of degree one),亦即_,經過一階差分後為定態。

如果時間序列不具隨機趨勢,本來就是一個定態序列,以_y_t_{∼ I(0)} 表示之。

如果時間序列經過_d階差分後方為定態_,亦即_∆^d_y_t_{∼ I(0),}則以 y_t∼ I(d)表示之。

由於在對_I₍₁₎時間序列作統計分析時_,存在之前提過的三大問題_, 一般的作法是_:一旦發現時間序列包含隨機趨勢_,就予以差分_,並以

(45)

去除趨勢後定態 _VS. 差分後定態

去除趨勢後定態_(TS)與差分後定態_(DS)兩種序列具有完全不同的性質_, 將該序列轉換為定態的方式亦不同。

如果我們將_TS序列予以一階差分_,造成的問題是引進了一個不可逆的_MA,舉例來說_,

y_t= y⁰+ a1t + εt

一階差分後_,

∆yt = a¹+ εt− εt−1

變成一不可逆之_MA序列_,使得_∆_y_t無法表示為_AR模型。

(46)

去除趨勢後定態 _VS. 差分後定態

反之_,如果我們將一個_DS序列去除掉固定趨勢後_,未必能夠得到定態序列。舉例來說_,

y_t = y⁰+ a0t +

t

∑

i=1

ε_i 減去_(y₀_{+ a}₀_t₎後_,

y˜_t= yt−(y⁰+ a0t)

=∑^t

i=1

ε_i

(47)

去除趨勢後定態 _VS. 差分後定態

由於目前並不存在一個最具檢定力(uniformly powerful)的單根檢定_,即使我們無法拒絕序列具有單根_,並不代表序列一定有單根。

對於一個無法拒絕具有單根的序列_,雖不隱含該序列一定具有單根_, 但是從另一個角度來說_{, I(1)}序列會是該序列的一個良好近似_,我們可以將該序列_“視為_”一個具隨機趨勢的序列。因此_,我們可以依照一般作法_,將該序列差分後再予分析。

(48)

Hodrick-Prescott 分解

給定序列_y_t為非定態序列_,我們可以將其分解(decompose)成定態部分(stationary component)與非定態部分(nonstationary component)。

舉例來說_,實質景氣循環(real business cycle, RBC)模型認為實質產出受到恆常性衝擊(permanent shocks)與暫時性衝擊

(temporary shocks)的交互影響_,使得實質產出沿著一個隨機趨勢上下波動。因此_,將實質產出分解成定態部分與非定態部分以_RBC 的觀點來看_,就是分解成趨勢_(trend)與波動_(cycle)兩部分。

(49)

Hodrick-Prescott 分解

實質景氣循環文獻上最常用的分解方法稱為Hodrick-Prescott分解(Hodrick-Prescott decomposition),又稱Hodrick-Prescott濾器 (Hodrick-Prescott filter),簡稱_HP分解(HP decomposition)或是 HP濾器(HP filter)

HP分解的概念為_,在_y_t中分解出一個恆常序列₍隨機趨勢_{) TR}_t以極小化_y_t圍繞著_TR_t的變異數_:

T

∑t=1(y^t− T Rt)².

(50)

Hodrick-Prescott 分解

然而_,如果我們只有以上的目標函數_,則設定_TR_t _{= y}_t就能達到極小值_,不但沒意義,也使_TR_t的波動過大。

因此,我們的目標函數加入一個懲罰項_,亦即 TR^HP_t = arg min

{TRt}^T_t=1 T

∑t=1(yt− T Rt)²

+ λ

T−1

∑t=2[(TR^t+1− T Rt) − (TR^t− T Rt−1)]².

(51)

Hodrick-Prescott 分解

參數_λ控制了_TR_t的平滑程度_{, λ}越大_{, TR}_t就越平滑。

Hodrick and Prescott (1997)建議設定_λ為_{100 (}年資料_{), 1600 (}季資料₎以及_{14400 (}月資料₎。而_CY_t^HP _{= y}_t_{− T R}^HP_t 就是_y_t的波動部分。

(52)

Hodrick-Prescott 分解

圖_:Hodrick-Prescott分解_:新台幣兌美元匯率

-.05 .00 .05 .10 .15

3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Hodrick-Prescott Filter (lambda=1600)

(53)

常用的追蹤資料單根檢定

已知單一序列的單根檢定有低檢定力的問題。既然不可能增加單一時間序列的樣本大小_,一種可能的解決方法就是使用追蹤資料。

舉例來說_,在檢定購買力平價說時_,特定國家貨幣對美元的實質匯率追朔到Bretton Woods System崩潰後的浮動匯率期間_,以月資料來說_,迄今最多只有₃₁₀個樣本點(1972:1–2007:10),然而_,如果考慮七大工業國₍美國為基準_),則可以得到_{6 × 310}_{= 1860}個樣本點。

文獻上最常用的追蹤資料單根檢定(panel unit root tests)為

1 Levin,Lin and Chu(2002) test (LLC)

2 Im,Pesaran and Shin(2003) test (IPS)

(54)

常用的追蹤資料單根檢定

考慮以下的追蹤資料_ADF迴歸式

∆y_it= aⁱ⁰+ γiy_it−1+ ai2t +

Pi

∑j=1

β_{i j}∆y_{it− j}+ εit

其中_i= 1, 2, ...n.。_LLC檢定與_IPS檢定有兩大的不同處。

1 LLC檢定混合的是資料_,而_IPS檢定混合的是檢定量。

2 對立假設不同

(55)

常用的追蹤資料單根檢定

1 LLC檢定

H0 ∶ γ1= γ²= ...γn = γ = 0 H1∶ γ1 = γ² = ...γn = γ < 0

2 IPS檢定

H0∶ γ1 = γ² = ... = γⁿ = γ = 0 H₁∶至少有一個_γ_i 不為零

顯而易見地_{, LLC}檢定的對立假設要求所有的_γ_i都相等_,限制較大_,而 IPS檢定的對立假設限制較小。

(56)

IPS 追蹤資料單根檢定

在此只簡單介紹如何執行IPS檢定。

1 對每一個_i,估計_γ_i 且計算_ADF_t_,以_t_i 表示_,其中_i= 1, 2, ...n.

2 將_ADF_t統計量混合_(pool)在一起

¯t= ∑ⁿⁱ⁼¹t_i n

3 建構_Z_tbar統計量_:

Z_tbar=

√n√(¯t − E[¯t]) Var(¯t)

(57)

IPS 追蹤資料單根檢定

4 Im et al. (2003)證明

Z_tbar→ N^d (0, 1), 且提供了小樣本檢定臨界值

5 我們也可以利用蒙地卡羅模擬或是_Bootstrap來自行計算臨界值 (參見第₁₄章₎

(58)

追蹤資料單根檢定之性質

1 IPS檢定的對立假設為

H1∶至少有一個_γ_i 不為零然而_,我們無法得知道到底使那一個_γ_i 不為零。

2 追蹤資料檢定的大樣本性質仍有待商榷。可能的漸近性質為

(a) T固定_{, N → ∞} (b) T → ∞, N固定

(c) T → ∞, N → ∞而^T

N → c

(59)

追蹤資料單根檢定之性質

3 常用的追蹤資料單根檢定(LLC, Breitung, IPS, Fisher-ADF, Fisher-PP, Hadri)都假設誤差項_{ε_it_}無序列相關且無當期相關 (serially uncorrelated and contemporaneously uncorrelated),亦即_,

E(εitε_jt) = 0.

序列相關的問題可以用增廣項(augmented part)予以解決_,然而_, 若_E_(ε_it_ε_jt_{) ≠ 0,}則以上的LLC, Breitung, IPS, Fisher-ADF, Fisher-PP

以及_Hadri檢定可能會導致錯誤的統計推論。文獻上如_O’Connell

(1998)與Pesaran (2006)都曾指出_,如果追蹤資料單根檢定忽略了誤差項的當期相關_,則會產生極高的型I誤差機率(substantial size distortions)。

(60)

追蹤資料單根檢定之性質

4 對於_E_(ε_it_ε_jt_{) ≠ 0}的問題_,目前文獻上的解決方法可以參考

(a) Maddala and Wu (1999) (b) Pesaran (2006)

時間序列分析 –