行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
應用值積元素法分析混合邊界條件之矩形複合層板的動態特性
Application of the Quadrature Element Method to Dynamic Analysis of Laminated
Plates with Hybrid Boundaries
計畫類別：; 個別型計畫 □ 整合型計畫
計畫編號：NSC 94－2212－E－006－077
執行期間： 94 年 8 月 1 日至 95 年 10 月 31 日
計畫主持人：崔兆棠 國立成功大學航太系
共同主持人：
計畫參與人員： 林暐智、李仕宇 國立成功大學航太系
成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：;精簡報告 □完整報告
本成果報告包括以下應繳交之附件：
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處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、列
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執行單位：國立成功大學航太系
中 華 民 國 96 年 1 月 31 日
I. 中文摘要
本 研 究 計 畫 提 出 以 值 積 元 素 法 (Quadrature Element Method)探討混合邊界條件之矩形複材層板 的動態特性。本研究以古典板理論為基礎，分析同一 邊界上有不同邊界條件之矩形複材層板。首先應用微 分值積法則，由複材層板的控制方程式，推導層板元 素的離散化代數方程式；再經由適當的元素接合方 式，將可得到整個混合邊界條件之複材層板的離散代 數方程式，以求解其自然頻率及模態。本研究計畫在 編寫計算程式時並不如原來預期的可行，故目前未有 數值計算結果，有待進一步研究以完成原預期完成的 研究項目。 關鍵詞：複材層板、值積元素法、自然頻率、混合邊 界條件。 AbstractIn this research, the vibrational characteristics of rectangular laminated plates with hybrid boundary conditions is studied by using the quadrature element method (QEM). The mathematical model of laminated plates is based on the classical plate theory. The formulation of differential quadrature is first applied to transform the differential governing equations of laminated plate element into discrete algebraic equations, which are then assembled to obtain the discrete equations for the entire laminated plate with hybrid boundary conditions. Due to the difficulty encountered in computer programming, there are no numerical results in this report. Further effort is needed to complete the following research items, effects of stacking sequences, numbers of layers, aspect ratios and non-uniform thickness on natural frequencies of laminated plates with hybrid boundary conditions.
Key words: laminated plate, quadrature element method,
natural frequency, hybrid boundary condition.
II. 緣由與目的
由於複合材料比傳統金屬材料具有質量輕、高強 度對重量比、高勁度對重量比、耐磨損及耐腐蝕等許 多的優點，因而在工程上的應用迅速增加[1, 2]。工程 中使用的複材構件主要是積層板或積層殼，其疊層數 及每一疊層中纖維的方向可依特定的需求來設計，使 得複合層板的應用更有彈性，但其力學分析較等向性 金屬板的分析來得複雜。 而在分析工程問題的過程中，正確解是我們所欲 求取的。但大多數的工程問題都有複雜的幾何外型、 不同的外力及邊界條件，正確解通常是難以獲得的。 這類問題的分析常利用數值方法來求得其近似解，因 此數值方法便成為許多工程分析的重要工具。工程領 域中最被廣為使用的數值分析方法是有限元素法；然 而，為了獲得準確的分析結果，往往需要利用很多的 單元，並需要相當大量的計算時間。除了有限元素法 外，其他的數值分析方法如有限差分法及邊界元素法 等，亦都有其缺點。值積元素法(Quadrature Element Method, QEM) [3-6]是一種新發展的數值方法，其理論架構是在微分 值積法(Differential Quadrature Method) [7-9]的基礎 上，針對結構的幾何外形、邊界條件、材料性質及負 載有不連續時所提出的方法。其原理是將所欲分析的 結構分割為多個元素，每個元素中物理量對空間座標 的微分以權值矩陣及該物理量的乘積來表示[7]。藉由 這個方法可將單一元素的微分形式之運動方程式轉 化為代數方程式，最後將系統中每一元素的代數方程 式及邊界條件組合起來就可以得到離散型態的系統 運動方程式，從而可求出系統的靜態位移或動態特 性。Striz 等人[3]提出值積元素法分析結構的靜態位 移。 Han 與 Liew [4]使用值積元素法作 Mindlin 平板 的靜態分析。Liu 與 Liew [5] 使用值積元素法分析厚 板的動態特性。Chou [6]提出改良型微分值積元素 法，並實例舉出在結構力學上的應用。 本研究以古典板理論為基礎，使用值積元素法分 析同一邊界上有不同邊界條件之矩形複材層板的動 態特性，以求取層板的自然頻率及模態。並研究不同 纖維角度、疊層數及不均勻厚度對層板自然頻率的影 響。
III. 系統運動方程式
3.1 複材層板之控制方程式 本研究所採用之複合層板的數學模式以古典板 理論為基礎，矩形層板的幾何外形及座標系統如圖 1 所示。考慮如圖 2 所示之微小複材層板單元所受的合 應力，其中 及 為單位長度剪力， 、 及 為單位長度彎矩。假設平板作簡諧運動，由板元 素 z 方向的合力為零可得 x Q Qy Mx My xy M w h y Q x Qx y =− Ω2 ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ (1) 其中ρ 、h 及 Ω 分別代表複材層板的單位體積密度、 總厚度及自然頻率，w 為層板的側向位移。由板元素 的合應力對 y 軸及 x 軸的合力矩為零分別可得0 = − ∂ ∂ + ∂ ∂ x xy x Q y M x M (2a) 0 = − ∂ ∂ + ∂ ∂ y xy y Q x M y M (2b) 若複合層板的疊層為對稱時，其彎矩與曲率的關 係如下[2]： ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ xy y x xy y x D D D D D D D D D M M M κ κ κ 66 26 16 26 22 12 16 12 11 (3) 其中
[ ]
Dij 為層板的彎曲勁度矩陣，κ 、x κ 及y κ 為xy 曲率。κ 、x κ 及y κ 可表示為 xy ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = x y y x y x xy y y x x θ θ κ θ κ θ κ , , (4) 其中θ 及x θ 為平板的中平面沿 x 方向的及 y 方向的y 斜率： y w x w y x ∂ ∂ = ∂ ∂ = θ θ , (5)IV. 值積元素法
4.1 微分值積法之原理 微分值積法的原理是假設未知函數的變化是以 特定函數的形式呈現，將所欲分析的區域劃分出多個 取樣點後，未知函數在各點的微分值即由各階微分權 值矩陣乘上該點的函數值可得。對一未知函數 ， 其 一 階 微 分 的 微 分 值 積 法 則 (differential quadrature rule)如下[7]： ) ( x u N i x u W x u dx d j N j ij i) ( ), 1,2, , ( 1 L = ≅∑
= (6) 其中 為權值矩陣，N 為取樣點個數， 為第 i 個 取樣點的位置。取樣點的個數可任意選定，但必須大 於 統 御 方 程 式 中 最 高 的 微 分 階 數 。 可 依 Shu 與 Richards [10] 所提出的方法求取權值矩陣 。 ij W xi ij W 原始的微分值積法是直接將運動方程式中的微分 項轉變成權值矩陣，將運動方程式轉變為離散系統方 程後，再將邊界條件取代邊界點的離散系統方程。為 了改善 DQM 處理邊界條件的缺點，Choi 與 Chou [12] 提出邊界修正關係及新的推導規則；將系統的運動方 程式以一階微分的形式表示，在轉化為離散方程時根 據邊界條件而導入邊界修正關係，再耦合成整體的系 統方程式。現將其敘述如下： x y z b a h 2 h 圖 1 複合層板的座標示意圖 在邊界修正關係裡，函數值被分成二部分，一部 份是由邊界條件所決定的外顯函數值，另一部份是與 運動方程式有關的內部函數值。舉例來說：考慮一維 問題中的兩個離散的函數ui及θ , i = 1, 2, …, N，若i θi 有二個邊界條件分別是θ1=a1及θN =aN，於是其邊 界修正關係可寫成[12]:{ }
θi* =[ ]
Bij(θ){ }
θj +{ }
Ci(θ) (7) dx dy x 其中{ }
θi* ={
a1,θ2,L,θN−1,aN}
T為包括邊界條件的 函數值，上式等號右邊的第一項即為內部函數值，第 二項為外顯函數值，而[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) ( L L M M O M M L L θ ij B y Qy My M z xy M x Mx dx x ∂ + ∂ M x M xy Qy Qy dy y ∂ + ∂ M y My dy y ∂ + ∂ Mxy M xydy y ∂ + ∂ Qx Qx dx x ∂ + ∂ Qx M xy Mxy dx x ∂ + ∂ 圖 2 微小複材層板單元受力示意圖
{ }
Ci(θ) ={
a1,0,L,0,aN}
T 若θ 是 u 的一階導數，則藉由微分值積法則，即(6) 式，可知{ }
θi =[ ]{ }
Wij uj 將上式代入(7)式的邊界修正關係，可得{ }
θi* =[ ]
Bij(θ)[ ]
Wjk{ }
uk +{ }
Ci(θ) (8) 4.2 複材層板元素 考慮含混合邊界條件之矩形複材層板分割為 個元素，依微分值積法的轉化規則，在每一元素的 x 方向及 y 方向分別取 和 個取樣點。第 i 個複材 層板元素的運動方程式，經由值積法則[7]的轉換及利 用 Choi 與 Chou [12]提出修正關係式來處理邊界條 件，可把原先的微分方程式轉化為代數方程。複材層 板的離散運動方程式可從(1) ~ (5)式改寫如下： E N x N Ny ( ) ( ) ( ) ( )i ( )i y i y i x i x Q W Q h w W ~ + ~ =−ρ Ω2~ (9) ( )(
( ) ( ))
( )i Q i xy i y i x i x i x T W M W M C x Q~ = 1 ~()+ ~() + ~ (10) ( )(
( ) ( ))
( )i Q i xy i x i y i y i y y C M W M W T Q~ = 1 ~()+ ~() +~ (11)(
)
( )i M i xy i y i x i x T D D D C x M~() = 1 11κ~()+ 12κ~()+ 16κ~() +~ (12)(
)
( )i M i xy i y i x i y T D D D C y M~() = 1 12κ~()+ 22κ~()+ 26κ~() + ~ (13)(
)
( )i M i xy i y i x i xy T D D D C xy M~() = 1 16κ~()+ 26κ~() + 66κ~() + ~ (14) ) ( ) ( 1 ) ( ~ ~ i x i x i x TW θ κ =− (15) ) ( ) ( 1 ) ( ~ ~ i y i y i y TW θ κ =− (16)(
() () () ())
1 ) ( ~ ~ ~ i y i x i x i y i xy T W θ W θ κ =− + (17) ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ~ ~ ~ i i i x i x TW w Cθx θ = + (18) ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ~ ~ ~ i i i y i y TW w Cθy θ = + (19) 其中Wx( )i 和Wy( )i 為第 i 個元素的權值矩陣；C~∗( )i 則是 元素的邊界值向量；T 則是用來排除邊界條件的矩1 陣，我們用一大小為 的單位矩陣，若 第 j 個取樣點位於邊界上，則把 y x y xN N N N × jj T1 設為零。 將(9) ~ (19)式合併後，可將第 i 個複材層板元素 以w~( )i 為未知數的特徵值方程式表示如下： ( )i (i i w h w K()~ =−ρ Ω2~ ) 其中K(i)可視為第 i 個複材層板元素的勁度矩陣。 4-3 相鄰元素的接合 上一節中我們介紹了複材層板元素的離散方程 式，接下來把相對應變數所屬的勁度矩陣、描述邊界 值的矩陣和質量矩陣適當的組合起來，以得到整個系 統的代數方程式。依複材層板的不同邊界條件，利用 Choi 與 Chou [12]提出修正關係式的做法，可將邊界 條件修正矩陣併入系統的方程式中，進而可從特徵值 問題求出複材層板的自然頻率。V. 遭遇到的問題
本研究採用新發展的值積元素法(QEM)來分析混 合邊界條件之矩形複材層板的動態特性，然而當我們 嚐試將複材層板元素的方程式組合成為系統的方程 式時，在編寫計算程式時並不如原來預期的可行，故 本研究計畫目前未有數值計算結果，有待進一步研 究。VI. 計畫成果自評
本研究採用新發展的值積元素法(QEM)來分析混 合邊界條件之矩形複材層板的動態特性，目前完成推 導複材層板元素的離散化代數方程式；本研究計畫目 前未有數值計算結果，有待進一步研究以完成以下原 預期完成的研究項目： 1. 含混合邊界條件之矩形複材層板的振動特性 分析。 2. 不同疊層、邊界條件、長寬比及寬厚比對複材 層板之振動特性的影響。 3. 不均勻厚度對混合邊界條件之複材層板自然頻率的影響。
4. 比較值積元素法(QEM)與解析解和其他數值解 的誤差。
參考文獻
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