行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
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※ 微機電系統動態與可靠度分析設計方法之研究 ※
※ Structured Design for Microelectromechanical System: ※
※ System Dynamics and Structural ※
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計畫類別：□個別型計畫 □整合型計畫 計畫編號：NSC90－2212－E－006－055
執行期間：89 年 08 月 01 日至 90 年 07 月 31 日
計畫主持人：陳國聲 教授 國立成功大學機械工程研究所
計畫參與人員：黎立民 歐廣順 (碩士班研究生) 本成果報告包括以下應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告一份
□赴大陸地區出差或研習心得報告一份
□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□國際合作研究計畫國外研究報告書一份
執行單位： 國立成功大學機械系
中 華 民 國 91 年 10 月 3 日
微機電系統動態與可靠度分析設計方法之研究
Structured Design for Microelectromechanical System: System Dynamics and Structural Reliability
計畫編號: NSC90-2212-E-006-055 執行期限: 91 年 7 月 31 日
主持人: 陳國聲 教授 國立成功大學機械工程研究所 參與研究人員: 黎立民 歐廣順 (碩士班研究生)
一: 中文摘要
在微機電系統中所使用的材料，多為脆性材 料，本文以常尺度之脆性材料結構設計為核心，對 於應力分析模式加入機率分析修正以合乎微機電 結構設計之需要。並對如何決定結構材料強度參 數，設計出一流程，作為微機電結構設計之方法。
關鍵字: 微機電，結構設計,機率分析，脆性材 料
Abstract
In this project, a probabilistic based design method is developed for structural integrity evaluation of MEMS structures. Based on the weakest link theory and Weibull statistics, this method can predict structural failure probability based on both material testing data and the state of stress and provide guideline for improving the integrity.
In addition, a methodology is also developed in order to scale the MEMS material testing data to appropriated value for subsequent MEMS structural design.
Keyword: MEMS, Structural Design, Probability Analysis, Brittle Materials
二: 計畫緣由及目的
近年來隨著微細加工技術的發展，微機電系統 成為一新興之研究領域。一個微機電系統之設計牽 涉到許多專業領域之整合與應用上的考量，必須將 所有細節一併考慮方能決定最佳設計。一般設計 者，忽略了兩個重要的問題，一.機械系統之特性參 數 經 常 與 其 所 用 材 料 及 選 用 的 尺 寸 有 著 密 切 關 係，若一開始這些因素被摒除在設計流程之外，最
後 可 能 是 設 計 出 一 個 性 能良 好 但 卻 不 可 行 之 設 計。此外，在微尺寸下，任何由於製程技術上之不 確定性，極易使得機械參數產生重大的變化，進而 影響最後之系統性能。其二，在追求機械動態特性 的要求下，最低程度仍需滿足結構安全的需求，這 一部份在所有 MEMS 設計方法中未見提及，尤有甚 者，目前的 MEMS 結構設計仍以”Deterministic”方 式為依據，假設已知強度。Yield stress.安全係數的 方 式 來 做 機 械 結 構 安 全 設計 ， 卻 忽 略 了 大 部 份 MEMS 材料均屬於脆性陶瓷，而以上述之設計方 法，嚴格來說，根本不適用。簡而言之，在 MEMS 性能設計時，不能只把其機械系統視為簡單之等效 電路而已。機械動態特性、結構安全、及機械系統 設計與製程之不確定性之互動，必須在整個 MEMS 設計之 Design loop 之內，而不是等待 MEMS 性能 設計完成之後，再做事後詳細設計。
本研究計畫以常尺度之脆性材料結構設計為 核心，對於所需要之應力分析模式加以修正以合乎 微機電結構設計之需要。並對如何決定結構材料強 度參數加以設計。其最終目的在於提供一套較精確 之結構設計模式以利微機電系統之性能提昇。
三: 理論分析
針對脆性材料，瑞典工程師 Weibull 提出一個 材料強度的分佈與統計方法[Weibull, 1939][Weibull, 1951]，它 以三個參數來代表材料之強度特性，
P V V
f V
( , )s exp( (s l) )m
= - - s-
1
0 0
，
其中 Pf 是材料之破壞機率，s是材料所承受之應 力，V 是材料體積。V0 是測試材料之體積又稱
reference volume。 三個參數之意義分別如下： l 稱為 threshold 參數，它代表材料之最低強度；s0
稱為 reference strength，代表了使材料破壞機率達 到 63.2% 時所需之應力值； m 稱為 Weibull modulus，是度量材料強度均勻度之指標。這些參數 必須由實驗決定，實驗中有詳細規定試片大小及尺 寸。而整個結構設計之標準則是如何設計使得整體 結構之破壞或失效機率小於一特定值。此理論與 Principle of Independent Action (PIA) [Barnett, 1967] 結 合後，它已被廣泛的用於多軸負載上。在實際應用 上，破壞機率經常藉由有限元素法之計算而得。
在材料參數求得方面，在 MEMS 中的材料測 試無統一之規定，造成各家測試同一種材料卻有不 同強度，使得設計者無所適從。以同一材料，在同 一種製程中，有相同之 Weibul modulus 的觀點中，
可用下列流程，將各家測試結果轉換至，適合結構 設計之強度。首先，如圖一所示，將各種測試方法，
如：三點彎曲測試，以破壞機率相等之狀態，將三 點彎曲測試之強度，轉換成同體積單軸拉伸之強 度，這是做負載效應之轉換。接下來，如圖二所示，
將單軸拉伸強度轉換之另一單軸拉伸上(與結構設 計之體積相同)，這是做尺寸效應之轉換。最後，如 圖三所示，將轉換後之單軸拉伸強度，在轉換至諸 如壓力感測器等，結構強度上。經此轉換後，即可 求出適合結構設計的強度。
圖一：將測試強度轉換至相同尺寸單軸拉伸強度。
圖二：不同尺寸單軸拉伸間強度轉換。
圖三：相同尺寸之單軸拉伸強度轉換至欲設計之結 構上。
四: 結果與討論
假設一試件，其材料的 Weibull modulus 為 11，體 積為 2.5132×10-8 m3，材料達 63.2%破壞時之強度為 2GPa。如圖四所示，使用 320 個軸對稱元素建構，其有 限元素之模擬，並將此試件各別施予軸向拉力，與彎曲 負載。對軸向拉伸負載，施力到達內部最大應力為 2GPa，
經機率分析，此時試件的破壞機率為 63.2%。但對於彎曲 負載，施予內部最大應力為 2GPa 時，經機率分析，其破 壞機率約為 1.46% 而非 63.2%。約需施予內部最大應力 達 2.9311GPa，此試件才達到 63.2%。這是因為負載的方 式不同，造成同一中材料，可承受之最大應力不同。所 以假若由彎曲測試獲得的強度，想應用於軸向拉伸設計 時，強度應做適當之轉換。如本例，彎曲測試得到的強 度應減少至 0.6823 倍，才能適用於軸向拉伸設計。假若 設計者貿然取一材料強度值作為設計之參考，可能造成 未到達設計之目標就產生結構破壞。在設計時，應考慮 獲得材料強度的測試方法，並利用機率分析作材料測試 強度與設計強度之間的轉換。
axisymmetric Y symmetric 4mm
500μm
圖四：試件之有限元素模型。
接下來，將機率分析方法運用於設計上，如圖五所 示，一典型隔板與基材材料相同之壓力感測器，其材料 之楊氏係數為 170GPa、波松比為 0.1，使用軸對稱元素 模擬，內部施以均勻內壓之負載。
假設此結構之材料，在單軸拉伸試驗中，測得強度 為 1.2GPa，Weibull modulus 為 8，試片體積 5.64×10-9m3(與 結構體積相同)。如圖六所示，為其以破壞機率分析結果，
可獲得此結構產生 63.2%破壞機率之強度約為 3.3GPa。
在設計時，要求之破壞機率約在 0.1%至 1×10-5%間，故 圖六之結果展示較不適合設計者使用。如圖七所示，將 結果經運算後( (-ln(1-Pf)) 的值小於 1 時，約等於 Pf )，再 取 log scale 後，可明滿足設計者之需求，供其設計使用。
4.2mm
3.2mm 30μm
圖五： 圓形隔板壓力感測器結構示意圖。
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 2.0 4.0 6.0
Maximum stress(GPa)
Pf
圖六：破壞機率分析結果，為結構最大應力與破壞機率 之關係。
1E-10 1E-08 1E-06 0.0001 0.01 1 100
0.1 1.0 10.0
Maximum stress(GPa)
-ln(1-Pf)
圖七：結構最大應力與破壞機率以 log scale 顯示。
此外，在一般設計結構時，常將強度除以一安全係 數後，得到容許應力，並在設計時以不超過容許應力為 原則。但安全係數之選定，通常為憑經驗法則，沒有學 理支持，但此方法較機率分析法簡易，且較容易受一般 設計者接受。如圖八所示，可將安全係數與破壞機率作 一結合，圖八中為不同 Weibull modulus 以體破壞機率分 析壓力感測器與安全係數之關係，從圖中可依設計要求 之破壞機率，換算出所需之安全係數，使安全係數之選 定有所依據，而非只單憑經驗法則。圖九為其結構以面
破壞機率分析與安全係數之關係。
1.E-14 1.E-12 1.E-10 1.E-08 1.E-06 1.E-04 1.E-02 1.E+00
1 1.5 2 2.5 3 SF
Pf
m=3 m=8 m=13 m=18
圖八：不同 Weibull 下，以體破壞機率分析，結構破壞機 率與結構安全係數之關係。
1.E-12 1.E-10 1.E-08 1.E-06 1.E-04 1.E-02 1.E+00
1 1.5 2 2.5 3
SF
Pf
m=3 m=8 m=13 m=18
圖九：不同 Weibull 下，以面破壞機率分析，結構破壞機 率與結構安全係數之關係。
另外，從圖八或圖九中可發現，當此材料之 Weibull modulus 較小時，如：m=3 時，不管安全係數加到 2 或 3，
其破壞機率並無明顯降低。若遭遇此情況，一眛的增加 安全係數並不會有無明顯的降低破壞機率，此時需運用 Proof testing 將缺陷品剔除，進而增加 Weibull modulus 的值，以求改善此情況。
六: 應用
材料尺寸微小化後，尺寸效應時常成為討論之 焦點，Sharp 曾經針對單軸拉伸測試，以不同尺寸 的試片做一系列的的實驗[Sharpe,2001]，驗證尺寸之效 應。針對其試片，我們亦做了一系列的機率分析，
其試片與體積的關係如表一。如圖十所示為以三維 元素模擬其試片受力後之變形。
圖十：Sharpe 拉伸試片受力後之變形圖，紅色為未 受力前，藍色為受力後
首先以試片 1 (體積為 5.25×10-14m3)為假想之 試片，再將其他尺寸之試片視為設計結構，並以體 破壞機率分析。若假想試片強度值為 1.296GPa，
Weibull module 為 27。如圖十一所示，為針對破壞 機率為 63.2%處作局部放大，橫軸為結構可承受最 大應力之無因次化，縱軸為破壞機率。將其排序可 得結果如下：
尺寸大小：
6<2<1<8<7<4<3<9<5 強度(可容許之最大應力)
6>2>1>8>7>4>3>9>5
可觀察出其尺寸效應，這與 Sharpe 之實驗趨勢吻 合。
test1 test2 test3 test4 test5 test6 test7 test8 test9 0.615
1 0.62
0.625 0.63 0.635 0.64 0.645
Pf
max 0
s s
圖十一針對破壞機率為 63.2%時，無因次化最大應 力與破壞機率之局部放大圖。
表一：Sharpe 試片編號之體積對照。
No. Volume(m3) No. Volume(m3) 1 5.25×10-14 6 0.225×10-14 2 0.3×10-14 7 0.9×10-14 3 1.2×10-14 8 0.75×10-14 4 1.0×10-14 9 3.0×10-14 5 4.0×10-14
七: 結論與未來展望
在做微機電系統之結構設計時，材料之強度應 慎選，須知其測試方式，試片尺寸等資訊，並運用 機率分析法，轉換求得結構設計之強度，才不至於 使結構未達到預期負載之前就產生破壞。此外在未 來，可將結構尺寸不確定性納入分析之內，以達到 更精確之分析，進一步提高之生產良率。
八: 成果自評
本計畫之目標在於建立微機電設計方法。就年 度之計畫而言，可謂完全符合計畫目標，然而，在 尺寸不確定性部份，對於整體結構分析，有相當大 之影響，在未來可加以研究。整體上，此結果應對 於微機電結構設計有相當重要之貢獻。在學術發展 上提供重大之進展，並對國內之微機電結構設計有 相當大的幫助。
參考文獻
Barnett R. L. et al., US Air Force Flight Dynamics Laboratory, AFDRL-TR-66-220, 1967.
Sharpe, W. N., et al., J. MEMS, Vol. 10, No. 3, pp.317-326, 2001.
Weibull, W. Ing. Vetenskaps Akad. Handl., No. 151, pp. 45, 1939.
Weibull, W. J. Appl. Mech., Vol. 18, pp. 293-297, 1951.
