動量平衡運動方程式在衝擊載重與波傳問題上的應用

動量平衡運動方程式在衝擊載重與波傳問題上的應用

張順益

國立台北科技大學土木工程系

摘 要

利用傳統逐步積分法來分析衝擊載重或波傳問題時，一般都是針對動力平 衡運動方程式來進行逐步積分，但由於脈衝的作用時間往往是非常的短，因而 進行逐步積分時所採用的積分時間步長就必須遠小於脈衝的作用時間才能有 效地抓住外力的變化。如此一來，積分時間步長可能遠小於精確度的要求而大 幅度增加電腦計算所需的時間。為了克服此一困難，可以將動力平衡運動方程 式對時間積分一次而轉換成動量平衡運動方程式。先前所發展的積分型逐步積 分法即是針對此動量平衡運動方程式來進行逐步積分以獲得結構系統的動態 歷時反應。在此積分法中，運動方程式之外力已因對時間的一次積分而轉換成 動量。由於積分所特別具有的平滑與累加效應，將使動量在逐步積分的過程中 比外力更為容易掌握，甚至於使用大於脈衝作用時間的積分時間步長仍可被完 全正確的掌握住，並且與脈衝的形狀幾乎完全無關。相反的，傳統逐步積分法 則可能需採用小於脈衝作用時間的101

為積分時間步長才有可能得到較為可靠 的數值解，並且隨脈衝的形狀而有相當大的差異。是以積分型逐步積分法非常 適用於衝載重擊或波傳問題的歷時分析中而可大量地節省計算所需的時間。

關鍵詞：動量平衡運動方程式、積分型逐步積分法、衝擊載重。

APPLICATION OF MOMEMTUM EQUATIONS OF MOTION TO IMPACT AND WAVE PROPAGATION PROBLEMS

Shuenn-Yih Chang Department of Civil Engineering, National Taipei University of Technology

Taipei, Taiwan 106, R.O.C.

Key Words: momentum equation of motion, integral form, impulse.

ABSTRACT

The use of a step-by-step integration method to obtain the shock re- sponse from an impulse is usual to solve the force equation of motion.

Since the loading time is very short, the time step used for step-by-step in- tegration must be smaller than the loading time, so that the variation of impulse can be effectively captured. Thus, this time step may be much smaller than the time step needed for accuracy and thus the cost of com- puting is increased. To overcome this difficulty, the momentum equations of motion are obtained from the time integration of force equations of mo- tion. An integral form step-by-step integration method, which has been developed previously, is used to solve the momentum equation of motion.

In this method, an external force is integrated with time and becomes an

技術學刊 第二十卷 第三期 民國九十四年 221

Journal of Technology, Vol. 20, No. 3, pp. 221-230 (2005)

external momentum. Thus, it can be easily captured due to the smoothing effect of time integration. In fact, an external momentum can be reliably captured even if the time step is larger than the loading time for any shape of impulse. Whereas, when using an original form of step-by-step integra- tion method, the time step might be as small as or less than ₁₀¹ of the loading time to allow reliable solutions to be achieved. The choice of this time step is very shape-dependent. Thus, the integral form step-by-step in- tegration method is very suitable to measure shock response from an impulse or in wave propagation problems.

一、簡 介

一般結構動力學上所謂的逐步積分法即是指在求解 結構系統的運動方程式時，將時間歷時分成若干個積分時 間步長，然後依據所給定的起始條件以及兩個積分方程式 來一步一步的進行逐步積分以求得該結構系統的動態歷時 反應。選用某些特定的積分方程式來求解運動方程式就組 合成各種不同的逐步積分方法。逐步積分法基本上可以分 為外顯式積分法（explicit method）與內隱式積分法（implicit method）。外顯式積分法是指結構系統的每一步動態歷時反 應皆可根據其前一步或前幾步的反應直接計算而得；而內 隱式積分法則是指結構系統的每一步動態歷時反應除了必 須利用到前一步或前幾步的反應外，同時還必須考慮到同 一步的反應後，才可共同決定出本步的反應[2,3,13]。一般 而言，外顯式積分法在應用與計算上較為簡單與經濟，但 因其有條件穩定條件的數值特性則限制了積分時間步長的 大小；而內隱式積分法則因每一步經常都使用迭代法來求 解聯立方程組[2,3]，故在應用與計算上較為複雜與耗時，

但可能具有無條件穩定的優點，因而在決定積分時間步長 時，可以不需考慮到穩定條件的限制。

關於衝擊載重與波傳問題，其動態反應來自於所有振 態的貢獻，並不像一般的結構動力問題幾乎完全由低頻振 態所控制而可忽略高頻振態的貢獻[2,3,13]。因此，在進行 逐步積分時，就必須將所有的振態做正確的積分，才能得 到可靠的結果。由於高頻振態也要做正確的積分，這將使 得積分時間步長變得非常的小。事實上，往往遠小於外顯 式積分法中的穩定條件限制。於是對於衝擊載重與波傳問 題一般皆採用外顯式積分法而不使用內隱式積分法。

在利 用傳統逐步 積分法分析衝擊 載重或波傳 問題 時，極有可能為了抓住脈衝的變化特性而使得進行逐步積 分時所採用的積分時間步長遠小於數值精確度的要求。這 是因為一般而言脈衝的作用時間都非常的短，要完全抓住 其變化的特性唯有使用更小的積分時間步長方能達成此一 目的。如此一來，將會花費較多的電腦計算時間而顯得不 經濟。由筆者[4,8]所發展完成的積分型逐步積分法已被證 實能有效抓住外力急遽變化特性。積分型逐步積分法與傳

統逐步積分法的主要差異乃在於求解不同的控制方程式。

傳統的逐步積分法係以動力平衡運動方程式做為控制方程 式[1,5-7,11,12,14,15]，而積分型逐步積分法則是將整個動 力平衡運動方程式對時間積分一次而得之動量平衡運動方 程式做為控制方程式。在此動量平衡運動方程式中，因外 力對時間積分一次而得之動量將因時間積分而顯得較為平 滑，同時對於時間步長內外力的變化情形亦可以加以掌握 [3-5,8,9]。因此，採用比脈衝作用時間還長的時間步長仍有 可能抓住其外力變化的特性而有效提高計算的效率。本文 將應用此積分型逐步積分方法於 Newmark 外顯式積分法 [14]來求解一般的衝擊載重與波傳問題，經由數值模擬證 實其應用在此類問題上的優異性。同時對於動量平衡運動 方程式的推演以及所蘊含的物理意義亦加以詳加闡述。

二、動力平衡運動方程式與原始型逐步積分法

對於本質上連續的結構系統在進行動力分析之前，一 般都會先進行空間的離散化而求得相對應的動力平衡運動 方程式[10]。對於單自由度結構系統，其控制方程式可以 表示成：

( ) ( ) ( ) ( )^{t cvt kvt f t}

v

m&& + & + = (1)

在一般的動態歷時分析中，Newmark 外顯式積分法 是最常被用來求解衝擊載重與波傳問題的逐步積分法，而 當其在求解式(1)之單自由度結構系統時可以表示為：

mai+1+cvi+1+kdi+1=fi+1

dn+1=dn+(Δt)vn+₂¹ (Δt)²an

vn+1=vn+₂¹ (Δt)(an+an+1) (2)

由於衝擊載重與波傳問題的外力作用時間都相當短 暫，因此可忽略其阻尼力的作用[10]。其詳細的計算步驟 如下：

(一) 根據式 2 之第二式計算下一步的位移 dn+1。 (二) 根據式 2 之第一式計算下一步的加速度 an+1。

張順益：動量平衡運動方程式在衝擊載重與波傳問題上的應用 223

圖1 Comparison of relative period error

(三) 根據式 2 之第三式計算下一步的速度 νn+1。 (四) 重覆步驟 1、2、3 至反應結束。

上述的逐步積分法除了受限於穩定條件的限制必須 使用較小的積分時間步長外，也往往為了要能正確的抓住 作用時間非常短暫的衝擊載重或波傳擾動而被迫採用更小 的積分時間步長來進行逐步積分。也就是說將花費更多的 計算時間來抓住外力急遽變化的特性，才能得到可靠的解。

三、動量平衡運動方程式與積分型逐步積分法

從Duhamel Integral 的過程中[10]可以看出其以衝量來 處理衝擊載重的優越性。根據此一觀念的延伸，似乎隱含 著求解結構系統的動量平衡運動方程式將比求解其動力平 衡運動方程式來得更為容易掌握脈衝的變化情形。結構系 統的動量平衡運動方程式可直接利用動量平衡的觀念推導 而來。當然，也可以將動力平衡運動方程式對時間積分 一次後而取得。如果我們將式(1)的動力平衡運動方程式對 時間積分一次，就可以得到以下的動量平衡運動方程式：

) ( ) ( ) ( )

(t cvt kv t f t v

m& + + = (3)

其中

dτ f t f , dτ v t

v()⁼

∫

∫

此動量平衡運動方程式亦可直接由動量的平衡來推導並表 示成如下之型式，而更能彰顯出其所代表的物理意義：

M1 + MD + MS = MF (5) 其中

MI =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

M_F =

∫

∫

從式(5)可以看出動量平衡運動方程式事實上即是由於結構 系統之慣性力、阻尼力、回復力以及外作用力所引起之動 量的平衡方程式。

本文所謂的積分型逐步積分法，即是根據動量平衡運 動方程式來進行逐步積分的數值方法，而不像傳統的逐步 積分法係針對動力平衡運動方程式來進行逐步積分。例 如，我們可以輕易地將原始型的Newmark 外顯式積分法改 成如下的積分型逐步積分法：

mv_n+1+ ks_n+1 = P_n+1

Sn+1=Sn+(∆t)dn+₂¹ (∆t)²vn

dn+1=dn+₂¹ (∆t)(vn+vn+1) (6)

其中的S_n+1與P_n+1則分別代表^v( )^{t 與f}( )^{t 在t=(n+1)∆t}

的近似值。至於其詳細的計算流程則與原始型的Newmark 外顯式積分法幾乎完全一樣，只是將原來的加速度、速度 與位移等三參數相對應地改變成速度、位移與位移對時間的 一次積分等三參數，而外力則以外力所引起之動量來代替。

四、Newmark 外顯式積分法之數值特性

Newmark 外顯式積分法是最被常用的外顯式積分 法，此積分法係一有條件穩定的外顯式積分法，其穩定條 件的限制為系統的最高振動頻率與積分時間步長的乘積必 須小於 2。除此之外，此積分法具有二階的精確度而不具 備任何數值消散的能力。先前的研究結果顯示，積分型 Newmark 外顯式積分法完全承襲了原始型 Newmark 外顯 式積分法的數值特性[4,5]，這包括了穩定性、精確度、收 斂性以及數值消散特性等等。關於此兩種積分法的相對週 期誤差與∆t /T^{的關係可求得如圖1 所示。其中之T 代表} 單自由度系統的自然週期而則 T^* 代表該系統的數值計算 週期。至於，(T-T ^*) /T 則定義為相對週期誤差，從此圖中 可以明顯地看出此兩種積分法具有完全相同的相對週期誤 差。 特別值得 注意的是 因外力急 遽變化所 造成原始型 Newmark 外顯式積分法的積分時間步長限制在積分型的 Newmark 外顯式積分法則可望得到重大的改善。這是因為 積分型 Newmark 外顯式積分法係採用外力所引起之較平 滑的動量來計算，而不直接使用變化極為快速的外力來計 算。另外，對於單一脈衝的作用，原始型Newmark 外顯式 積分法勢必要採用小於脈衝的作用時間方能抓住外力的變 化特性，而積分型的 Newmark 外顯式積分法則因採用外力 所引起之動量而無此限制。詳細的情形則將利用以下的數 值釋例來詳加說明。

(a) 長方形衝擊載重

(b) 半正弦波衝擊載重

(c) 三角形衝擊載重

圖2 不同形式之衝擊載重

五、數值釋例

本研究將針對積分型 Newmark 外顯式積分法在單自 由度及多自由度結構系統的實際應用情形做一深入的探 討。同時，對於原始型Newmark 外顯式積分法亦將加以比 較研究。以下的數值釋例將分別被用來評估此兩種逐步積 分法的數值特性：

1. 單自由度系統分別遭受到長方形、半正弦波以及三角形 衝擊載重：主要用來闡述積分型Newmark 外顯式積分法 比原始型 Newmark 外顯式積分法更能有效抓住外力急 遽變化的特性。

2. 多自由度系統之鋼棒波傳問題：主要用來舉例說明積分 型的 Newmark 外顯式積分法在計算效率上比原始型的 Newmark 外顯式積分法更為經濟。

1. 單自由度系統之衝擊載重問題

在此釋例中，我們將考慮一個週期 T=1 秒之線性單 自由度系統，其集中質量為1kg 而與其相對應的勁度則為 4π² N/m²。此系統將分別受到如圖 2(a)所示之長方形、圖 2(b)所示之半正弦波以及圖 2(c)所示之三角形等三種不同 形狀的衝擊載重，並假設脈衝的作用時間皆為td =0.05 秒。

其中各個左圖係代表外力的歷時圖，而右圖則是與其相對 應的動量歷時圖。值得注意的是當左圖中的脈衝作用終止 後，與其相對應之右圖中的動量將維持不變，並且等於左

圖的陰影面積。對這三種不同形狀的衝擊載重分別選用不 同的最大振幅，其目的在使此三種不同形狀的衝擊載重具 有相同的衝量，亦即具有相同的面積，進而將激發出相同 的結構動態歷時反應。

原始型與積分型 Newmark 外顯式積分法都將被用來 求解此線性單自由度系統分別受到上述三種不同形狀衝擊 載重的動態歷時反應，並針對使用不同積分時間步長所得 的結果與理論解[10]做一詳細比較，以探討其抓住外力急 遽變化的特性。在此研究中，我們所使用的積分時間步長 分別為0.005 秒、0.0125 秒、0.025 秒、0.0375 秒、0.05 秒 以及 0.1 秒。這些積分時間步長與脈衝的作用時間比則分 別為0.10、0.25、0.50、0.75、1.00 以及 2.00。至於這些積 分時間步長所對應之∆t /T 則分別為200

1 、80 1 、40

1 、80

3 、

201

以及101

，這意味著所採用的這些積分時間步長並不會因 精確度的不足而引起過大的相對週期誤差。應用原始型與 積分型的 Newmark 外顯式積分法所求得此單自由度系統 受到長方形、半正弦波以及三角形衝擊載重的動態位移歷 時反應分別繪製於圖3 到圖 5 中。為了易於比較數值結果 的正確性，理論解亦描繪在各圖中。每一圖均由六個小圖 所組成，由(a)至(f)分別對應於 ∆t /td 0.10、0.25、0.50、0.75、

1.00 以及 2.00。在圖 3(a)、圖 4(a)以及圖 5(a)中，可以發現 原始型 Newmark 外顯式積分法必須以脈衝作用時間的101

做為積分時間步長，方能抓住其外力的變化情形而得到大 致可以被接受的數值解。事實上，對於長方形及三角形衝 擊載重的數值結果仍存有不算小的誤差。而隨著積分時間 步長的加大，也呈現出各種大小不同的誤差現象。特別值 得注意的是誤差的大小並不是隨著積分時間步長的加大而 變大，例如，在圖3-圖 5 中，所有 ∆t =0.75td所得到的數值 解與理論解的誤差反而比 ∆t =0.50td所產生的誤差來得較 小。當∆t =1.00td時，對於所有三種不同形狀之衝擊載重而 言，僅有在脈衝作用這段時間的起點與終點的值被施加到 系統內，而脈衝在起點與終點之間的變化情形則完全不被 考慮，因而勢必會產生為數不小的數值誤差。尤其是對於 半正弦波衝擊載重，在脈衝作用時間的起點與終點，其外 力大小均為零，因而使整個系統呈靜止狀態。很顯然這完 全是因為忽略脈衝在起點與終點之間的變化情形所引起 的。至於當 ∆t =2.00td時，對於所有三種不同形狀衝擊載 重，此時僅有脈衝作用時間的起點會被施加到系統內，因 而更大的數值誤差將可預期。雖然在圖(3f) 中，其結果與 理論解差異不大，但相信這是純屬巧合而非常態。事實上，

在圖(4f) 與圖(5f) 中則因完全漏失脈衝的變化情形而得到 零解。另外，我們還可以發現在積分時間步長小於脈衝作 用時間的情況之下，原始型Newmark 外顯式積分法對於半 正弦波之衝擊載重會有較好的掌握而相對而言產生較小的 誤差，其次則為長方形衝擊載重。至於三角形衝擊載重則 最不 易掌握而 有最大的 誤差。這 些現象隱 含著原始型 Newmark 外顯式積分法對脈衝的掌握能力係隨著衝擊載重 的形狀而改變。

張順益：動量平衡運動方程式在衝擊載重與波傳問題上的應用 225

圖3 Shock response from triangular impulse

圖4 Shock response from half-sine impulse

張順益：動量平衡運動方程式在衝擊載重與波傳問題上的應用 227

圖5 Shock response from rectangular impulse

表一 cpu 時間比較

算例 逐步積分方法 積分時間步長 CPU

1 原始型Newmark 外顯法 Δt =1.0×10^-8 84.06 秒 2 原始型Newmark 外顯法 Δt =5.0×10^-8 17.18 秒 3 積分型Newmark 外顯法 Δt =3.0×10^-7 3.53 秒

圖6 Shock response for a steel bar at the fixed end

數值特性完全不同於原始型 Newmark 外顯式積分 法，積分型Newmark 外顯式積分法對於當積分時間步長為

∆t / t_d =0.10、0.25、0.50、0.75、1.00 以及 2.00 時，幾乎都 可以提供正確的動態歷時反應。即使在∆t =2.00t_d時，對於 所有三種不同形狀的衝擊載重，仍可得到相當可靠的數值 解。這是因為原始型Newmark 外顯式積分法無法有效掌握 外力的變化特性而引起大小不同的振幅誤差，至於積分型 Newmark 外顯式積分法則因仍能有效抓住動量的變化情形 而得到可靠的數值解。特別值得注意的是積分型Newmark 外顯式積分法在使用遠大於脈衝作用時間的積分時間步長 仍能取得正確的解，這是因為此時的脈衝已因為對時間積 分一次而變成動量，進而被施加到結構系統上。很明顯地，

這一特殊現象在傳統的逐步積分法中是絕對不可能看到 的，因為一旦積分時間步長大於脈衝的作用時間，傳統的 逐步積分法將因無法抓住外力的變化情形而完全失去其正 確 性 。 在此 要 特別 說 明的 是當 ∆t =2.00t_d時 ， 積 分 型 Newmark 外顯式積分法所求得的數值解發現有週期縮短的 現象，這是因為此時的∆t /T=₁₀¹ ，因而會有大約1.7%的相 對週期誤差。

從此單自由度系統受到脈衝載重的歷時分析中，我們 可以觀察到以下的重要結論：

(一) 積分型Newmark 外顯式積分法比原始型 Newmark 外 顯式積分法更能有效抓住外力的變化情形，而在積分 時間步長大於脈衝作用時間之下，仍有可能提供可靠 的數值解。

(二) 原始型 Newmark 外顯式積分法在掌握外力的變化情 形似乎隨著衝擊載重的形狀而改變。相反的，積分型

Newmark 外顯式積分法則幾乎與形狀無關而具有相當 的一致性。

(三) 在不考慮精確度的要求下，原始型Newmark 外顯式積 分法大概要使用脈衝作用時間的十分之一做為積分時 間步長，方能有效掌握外力的變化情形而獲得可靠的 解。

2. 多自由度系統之鋼棒波傳問題

一維 的均質鋼棒 其一端為固定端 而另一端為 自由 端，當自由端受到一半正弦波的衝擊擾動時，其波的傳導 過程將分別利用原始型與積分型之 Newmark 外顯式積分 法來分析。此均質鋼棒的全長為 500mm，其斷面積為 100mm²，彈性模數為 2.0×10⁵N/mm²以及材料之密度為 8.0×10^-9 N-sec²/mm⁴。至於半正弦波的脈衝作用時間為 td

=1.0×10^-7秒，其脈衝作用力的最大值為p =1000N。

這一均質鋼棒在此分析中將以 50 個有限元素法中的 桁架元素(truss element)來進行模擬。根據此有限元素數學 分析模型可以求得此結構系統的最小與最大自然頻率分別 為1.57×10⁴ rad/sec 與 1.00×10⁶ rad/sec。亦即與其相對應之 最長與最短之週期分別為4.00×10^-4秒與6.28×10^-6秒。針對 此一波傳問題利用外顯式逐步積分法來求解的首要問題即 是如何選定合適的積分時間步長。一般而言，積分時間步 長的決定必須考慮穩定性與精確性的要求，由於此例係一 多自由度線性系統，因而無須考慮線性化誤差(linearization error)的影響。至於另一重要的考慮因素則是本研究所探討 的如何抓住外力急遽變化的特性。

為了滿足穩定性的要求，對 Newmark 外顯式積分法 而言，結構系統的最大自然頻率與積分時間步長的乘積必 須小於2，因此積分時間步長必須滿足 Δt ≤ 2.0 ×10^-6秒。

在考量精確性的要求時，特別值得注意的是衝擊問題與波 傳問題的所有振態都會對結構的動態反應有所貢獻，因而 所有振態的反應都必須正確的逐步積分方能獲得可靠的結 果。此一特性與一般的結構動力學問題只須正確的對低頻 振態積分即可得到滿意的答案是截然不同的。因而為求能 對所有的振態做正確的積分，合適的積分時間步長應為 3.14×10^-7秒。此係根據積分時間步長與對應於各振態週期 的比必須小於或等於0.05 之標準而來，亦即 ∆t / Tn < 0.05，

其中Tn代表第n個振態的週期。根據釋例一的研究結果得 知必須選用積分時間步長小於脈衝作用時間的十分之一才 能有效掌握外力的變化情形，因而本釋例作為比較之用的 正確解將利用原始型 Newmark 外顯式積分法以積分時間

張順益：動量平衡運動方程式在衝擊載重與波傳問題上的應用 229

步長∆t=0.10td=1.0×10^-8秒來求得。在圖6 中可以清楚的發 現原始型Newmark 外顯式積分法使用 ∆t=5.0×10^-8秒並不 能得到正確的結果，事實上可看出有明顯的振幅縮小現 象，這說明了使用三點的脈衝作用力並不能完全抓住此半 正弦波的變化特性。然而積分型Newmark 外顯式積分法使 用∆t=3.0×10^-7秒卻仍能提供相當可靠的解，這印證了積分 型Newmark 外顯式積分法比原始型 Newmark 外顯式積分 法更能有效掌握外力的變化情形，因而即使積分時間步長 已放大為脈衝作用時間的三倍仍舊可以取得正確的解。至 於所使用的CPU 時間則整理如表一所示。

根據此表可以得知原始型 Newmark 外顯式積分法花 了17.18 秒的 CPU 時間仍不能夠得到可靠的答案，而積分 型Newmark 外顯式積分法只需花費 3.53 秒的 CPU 時間即 可獲得相當不錯的結果，是以其所節省的CPU 時間相當可 觀。事實上，大概只有五分之一而已。

六、結 論

本研究從動量平衡的觀點來闡述積分型逐步積分法 的特性。相較於動量平衡方程式在碰撞問題上的重要性以 及 Duhamel Integral 在求解脈衝載重作用下之歷時反應的 有效性，似乎也可以窺探出積分型逐步積分法在處理衝擊 與波傳問題上的優異性。積分型Newmark 外顯式積分法比 原始型 Newmark 外顯式積分法更能有效抓住外力的變化 特性以及積分型 Newmark 外顯式積分法在積分時間步長 大於脈衝作用時間之下仍有可能求得可靠的數值解已在本 研究中得到充分驗證。另外，研究結果也顯示在滿足精確 度的要求下，原始型Newmark 外顯式積分法在掌握外力變 化情形的能力係隨著衝擊載重的形狀而改變，而積分型 Newmark 外顯式積分法則與衝擊載重的形狀幾乎完全無 關。最後，在不需考慮精確度的問題之下，原始型Newmark 外顯式積分法必須採用小於脈衝作用時間的十分之一做為 積分時間步長，才可以獲得可靠的數值解。

誌 謝

本研究係接受國科會NSC-93-2211-E-027-012 計畫補 助，謹此致謝。

符號索引

c 結構系統的阻尼 )

(t

f 作用於該系統的外作用力

k 結構系統的勁度

M_D

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

m 結構系統的質量 )

(t

v 結構系統反應的位移 )

(t

v& 結構系統反應的速度 )

(t

v&& 結構系統反應的加速度

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2004 年 11 月 12 日 收稿 2005 年 05 月 09 日 初審 2005 年 06 月 07 日 複審 2005 年 06 月 24 日 接受