2019/11/19

(1)

臺德數學教育雙邊研討會

科技融入的數學課程重新思考以函數圖形為例

臺灣師範大學公館校區數學館 M212

單維彰

國立中央大學師資培育中心與數學系民國 108 年 11 月19 日

前情提要

108 數學課綱的

「正確使用工具」理念尚未落實，

科學型電算器

在數學教學與評量中的角色與功能，

還沒有真正發揮出來。

三千名數學教師的數學觀尚待調適…

²

2019/11/19單維彰．科技融入的數學課程重新思考

但是

仍應挪出時間與精力，

探究下一代課綱的願景。

3 工具方面



Graphing Calculator / App 繪圖計算機



Symbolic Calculator / App 代數計算機

(CAS: Computer Algebra System)



朝向前者 (GC) 努力。

⁴

(2)

工具並不僅及計算與解題，

也影響認知的進路。

工具不僅涉及

教材、教法與評量，

課程也需重新規劃

以便發揮工具的學習效用。 ⁵

課程也需重新規劃



加強被工具需要的數學



弱化被工具取代的數學



探究被工具「賦能」的可能性



課綱該為工具提供設計有效教學活動

的機會

⁶

例如 108 課綱

因應電算器調整了



指對數



三角比

的課程規劃，讓電算器有機會在教學中發揮更積極的功能。

7 假如從高中階段起使用繪圖計算機，

國中小的數學學習目標應有如何的調整？

8

(3)

平面 vs 坐標幾何



GC 是坐標幾何的工具

（學生版的「解析幾何」）



如何安置平面幾何？



平面幾何也有工具，但是在現實中

「測量」工具大量取代了它

（不是故意要拋棄它）

⁹

大目標是什麼？

空間概念、微積分、線性代數



平面幾何支持解析幾何



平面幾何也支持（歐氏）空間概念



解析幾何引出微積分



解析幾何也引出線性代數

10 平面需求



直線：平行（截線）、垂直



圓（球的截面或視覺成像）



直角三角形（半個長方形）



銳角：直角三角形的內角（鈍角…）



（直角）三角形的相似（勾股術）



測量公設：線段與角皆可任意 N 等分

¹¹

現行課綱的某些困境



二元一次方程式的圖形先於平行線、相似三角形（7 年級）



空間中的距離先於

（長方體上的）法線性質（8年級）



兩面角、旋轉體：經驗匱乏



正射影：教過嗎？（寄望於視圖）

¹²

(4)

哪些操作變簡單了？



二元方程式的圖形



單變函數的圖形



一元方程的近似根



單變函數的極值（概數）



單變函數的不等式解區間（概數）



圖形的 Global / Local 特徵

¹³

當方程式圖形垂手可得，

數學學習的目標該做哪些調整？

14 哪些目標變得更關鍵？



知：方程式「的圖形」是什麼意思？

（無窮多點聚集而成）



行：從方程式的圖「讀」出資訊。



識：並非先有方程式，然後「發現」

它的圖形；方程式和它的圖形是

一起被「發明」的。

¹⁵

動手做

（全班一起，共同擁有）

16

(5)

17 2 3

2 x − xy = y

學生回饋：

超有感。

我國課程

向來偏薄的空間概念，

可否藉助於工具

而有較多的學習機會？

18 空間中的平面圖形



球的截面；長方體：理想化的房間



角錐（臺）的面：等腰三角形、梯形



視角下的長方體：平行四邊形、梯形



圓柱：縱截面、橫截面、旋轉、展開



視角下的圓柱體



圓錐：縱截面、橫截面、旋轉、展開

¹⁹

當函數圖形在操作上

僅為特殊的方程式圖形，

函數觀念是否可以重新設計？

20

(6)

假如從國中階段起使用繪圖計算機，

有無可能節省出一些時間安排新的重要內容？

例如

國中：數據素養、機率

高中：微積分、線性代數 ²¹

水能載舟亦能覆舟

22 預防「科技盲動」



缺乏「行為學」基礎的「賦能」

成為沒有文化價值的「盲動」



例 1：解了二次、三次方程之後，

立刻解七次方程（7 年級，CAS）



例 2：作圖之後，固定它們，

伸縮、旋轉坐標軸（8 年級，GGB）

²³

2 x − = y 1

不要只因為一件事「做得到」

就去做它，

人類行為與文化發展都不是隨機的。

對我們而言：

謹守教育目標。 ²⁴

(7)

請指教與討論…

25

2019/11/19

臺德數學教育雙邊研討會

科技融入的數學課程重新思考 以函數圖形為例

前情提要

2

但是

仍應挪出時間與精力，

探究下一代課綱的願景。

3

工具方面







4

工具並不僅及計算與解題，

也影響認知的進路。

工具不僅涉及

教材、教法與評量，

課程也需重新規劃

以便發揮工具的學習效用。 5

課程也需重新規劃









6

例如 108 課綱





7

假如從高中階段起 使用繪圖計算機，

國中小的數學學習目標 應有如何的調整？

8

平面 vs 坐標幾何







9

大目標是什麼？

空間概念、微積分、線性代數









10

平面需求









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11

現行課綱的某些困境









12

哪些操作變簡單了？













13

當方程式圖形垂手可得，

數學學習的目標 該做哪些調整？

14

哪些目標變得更關鍵？







15

動手做

16

17

2 3

2 x − xy = y

科技融入的數學課程重新思考以函數圖形為例

²

⁴

以便發揮工具的學習效用。 ⁵

⁶

假如從高中階段起使用繪圖計算機，

國中小的數學學習目標應有如何的調整？

⁹

¹¹

¹²

¹³

數學學習的目標該做哪些調整？

¹⁵

¹⁹

當函數圖形在操作上

假如從國中階段起使用繪圖計算機，

有無可能節省出一些時間安排新的重要內容？

高中：微積分、線性代數 ²¹

水能載舟亦能覆舟

²³

人類行為與文化發展都不是隨機的。

謹守教育目標。 ²⁴