利用智慧手機測量聲速

利用智慧手機測量聲速

曾耀寰

中央研究院天文及天文物理研究所 yhtseng@asiaa.sinica.edu.tw

（投稿日期：民國110 年 05 月 02 日，接受日期：110 年 05 月 17 日）

摘要：德國物理學家肯特（August Kundt）首次在 1866 年設計實驗測量氣體或固 體桿的音速，現今已成為實驗室或課堂上常見的聲學實驗或演示（肯特管實驗）。

由於聲音在管子內產生駐波，使得管內的少量細微粉末或保力龍球在兩駐波節點 之間聚集，從駐波波長求得音速。本論文主要利用智慧手機內建的麥克風和喇叭，

測量管內聲音傳播的速度，以簡單且便宜的方式進行肯特管實驗，讓學生藉由動 手做的過程，瞭解駐波現象。

關鍵詞：肯特管實驗、駐波、音速、智慧手機、動手做

壹、 前言

通常簡單的實驗可以透過一般視覺的方式，測量相關的物理量，但由於聲音不容易以視 覺方式呈現，需要特別設計的方式，將聲音的特性表現出來，例如以彈簧的伸展來呈現聲音 的縱波現象。此外像是肯特管實驗，則是可以讓學生能看到透明管內聲音的駐波現象。

肯特管是根據德國物理學家肯特在 1866 年提出的聲學實驗，現今實驗主要是用一根透 明管子，裡頭放置保力龍微粒，當管子一端發出特定頻率的聲音，可以透過管子看到保力龍 微粒會在一連串相同間隔的位置聚集，改變聲音頻率，也會改變間隔。這是因為音波在管子 內產生駐波，保力龍微粒在駐波節點上聚集。藉由量測節點之間的距離，得到駐波的波長，

進而求得音速。

課堂實驗講求學生能在動手做的過程中，不以背誦的方式，學習物理的內容以及邏輯概 念，不僅看到實驗現象，還需透過實作，測量當中的物理量，但由於肯特管實驗器材所費不 貲，少有學校能讓每位學生都有一台肯特管進行實驗。由於近年智慧手機的盛行，幾乎每位 成人、每個家庭，甚至每位學生都擁有智慧手機，智慧手機不再只是通訊通話的功能，舉凡 以前電腦能做的事，它都能做得到。尤有甚者，因為智慧手機的輕巧方便，能隨時隨地發揮

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功能，已經大大取代電腦絕大部分的工作。智慧手機為了求輕巧方便，當中裝了不少的微機 電裝置，例如磁強計（magnetometer）可以訂出手機的方位，鄰近感測器（proximity sensor）

可以讓人接電話時，臉部一靠近手機就關閉螢幕顯示，而手機的加速度計（accelerometer）是 玩手機遊戲的重要感測工具。但這些感測器也能做簡單的物理實驗，2016 年邱家媛等人利用 手機的加速度計測量彈簧的彈力係數k 值，藉此瞭解彈簧串聯並聯的特性 [1]，2017 年曾耀 寰進一步利用加速度計測量單擺的周期，進而測量當地的重力加速度g [2]。2017 年逢甲大學 物理教學研究中心的李欣等人利用手機的磁強計測量地球的磁場 [3]，2021 年同一研究中心 的江俊明等人則是利用手機的磁強計測量彈簧的彈力係數，進行了彈簧的簡諧運動 [4]。

這些智慧手機的感測器較不為人所知，但手機的照相機功能、麥克風和喇叭也可以作物 理實驗。2018 年曾耀寰利用照相機拍攝不同濃度溶液的顏色，透過手機 APP 比較顏色變化，

進而推算濃度與光強度的線性關係 [5]。以上都是以智慧手機現有的感測器以及 APP 程式，

搭配簡易的實驗器材進行實驗，並獲得有意義的物理測量值，驗證課堂中所學的物理定律。

手機的麥克風和喇叭設備是可以用於簡單的物理聲學相關實驗，如前所述的肯特管實驗，

就是利用聲音在管內產生的駐波現象，透過保力龍微粒顯現出來（圖1）。2015 年 Parolin 等 人利用手機喇叭以特定頻率發聲 [6]，經過一般的透明壓克力管，再用麥克風接收，藉由 APP 的分析，看到單音頻的震幅變化。Parolin 將接收音訊的手機深入管內，在經過不同的駐波節 點時，可以看到接收的音波震幅變小，逐漸趨近為零，在兩個節點之間的距離就是音波的波 長，進而推算音速。

圖1：肯特管實驗，通常在透明壓克力管內的保力龍微粒受振動而高低起伏且整齊排列。

本文也是利用智慧手機的麥克風和喇叭，搭配Android 系統的 APP，進行簡易的肯特管 實驗，與Parolin 不同之處在於實驗器材更為簡便，無須使用訂製的壓克力管，而是 3D 列印 的管子，甚至日常使用剩餘的紙管（例如廚房用保鮮膜內的紙管），容易取得。在發聲端，手 機是發出白噪音的方式，以各種不同頻率的聲音從管子的一端輸入，根據共振原理，只有特 定頻率的聲音能駐留在管內，並產生共振，形成駐波。另一台手機則是接收音訊，透過APP 的FFT 轉換，得到震幅最強的單頻音，也就是管內的駐波。根據理論，從管子的長度和駐波 的頻率，求得音速。本論文接下來的架構如下，有關肯特管相關原理以及公式將在第二節介 紹，而實驗所需的材料、需要下載使用的手機APP、實驗器材的設置，資料的取得方式和分 析都在第三節有明確說明，第四節則是分別根據不同管子長度以及開口狀況列出實驗得到的 基頻結果，第五節討論實驗結果以及未來可以進一步改進的方向。

貳、 原理

肯特管實驗主要是呈現聲音在管子內形成駐波，並從中得到駐波的頻率、管子長度以及 音速之間的關係。如圖 2 所示，管子在兩端開口和一端開口的情形下，會形成不同的駐波，

假設管子長度為 L，則兩端開口的管子內，產生駐波的基波頻率（fundamental frequency）f0

見式(1)，c 為音速，若是一端開口的管子，基波頻率 f0見式(2)。相對應的諧波頻率則是 fk=(k+1) f0, k =0,1,2…，以及 fk=(2 k +1) f0, k =0,1,2…。

𝑓

=

2𝐿

𝑓

=

4𝐿 (2)

圖2：雙開口（左）和單開口（右）肯特管示意圖，雙開口肯特管基頻波長是管長的二分之一，單開 口肯特管內的基頻波長是管長的四分之一。下方圖是分子在管內振動方向示意圖，在節點位置，分

子振動最小。

管內駐波節點的位置是聲波震幅最小的位置，理論上量到的音量最小。除了基波外，管 內仍可有其他不同頻率倍數的諧波，但音量較基波小。從管長以及音速，根據式(1)或式(2)可 以算出產生駐波的頻率，若從管子一側以此頻率發聲，則該頻率之音波會在管內形成駐波。

但若以相同方式，改以白噪音發聲，管內會只剩該特定駐波，其他非駐波的其他頻率聲 波則會很快消散，因此從測量駐波頻率，以及肯特管長度，可以從式(1)或式(2)，算出聲速，

而空氣中的聲速和溫濕度有關，通常乾燥空氣的聲速如式(3)，當中溫度 T 的單位為攝氏度，

可與實驗結果相互驗證。

𝑐_𝑎𝑖𝑟 = 331 + 0.6 𝑇 𝑚/𝑠𝑒𝑐 (3)

參、 實驗步驟

一、實驗設置

實驗使用的量測工具是智慧手機內建的麥克風收音和喇叭發聲設備，一般手機都有這兩 項功能，實驗配置方式如圖3 所示，管子兩端開放的情形，一支手機在一端播放聲音，另一 支手機在另一端用麥克風收音。一端開放的情形，用一瓶蓋遮住一端，兩支手機都在同一端。

整個實驗的兩支手機，分別是Google Pixel4a（負責收音）和紅米 Note 8T（負責發聲），

此外為方便實驗時收音，額外採用不到新台幣100 元的迷你手機用麥克風（圖 4），以及兩個 不同長度和材質的管子（3D 列印 PLA 材質和硬紙）。

圖3：實驗配置圖，左圖為雙開口肯特管實驗，右圖為單開口肯特管實驗，白噪音從右側的智慧手機 發出，透過迷你麥克風放在左側（雙開口），或右側（單開口）收音。

圖4：左圖是迷你手機用麥克風，右圖是實驗所用的管子。

二、記錄資料

在實驗當中，我們需要下載可以發聲和記錄分析的適當APP。由於需要產生白噪音和能 FFT 分析的 Android 版本 APP，類似功能的 APP 很多，本文採用 AMICOOLSOFT 發展的白 噪音產生器 White Noise Generator。白噪音的基本定義是一種功率譜密度均勻的隨機訊號，

此APP 能夠產生多種不同的白噪音，原則上都可以使用，只是有些白噪音在低頻或高頻有較 強的音量。在接收分析部分，採用的是 Wojciech Czaplejewicz 發展的頻譜分析 Advanced Spectrumn Analyzer PRO，此 APP 可以直接將音訊經過 FFT 轉換成頻率域，並且可以將幾個 頻率的峰值標示出來，這兩款Android 版本的 APP 都是可以從手機的 Google Play 搜尋下載 免費使用。

根據實驗的操作原理，當白噪音進入管子後，只有特定波長的駐波留下，因此在頻率域 上會出現特定的峰值，頻率最低的是基頻，其他為諧頻，從手機螢幕可以記錄峰值的頻率。

兩款APP 使用並不困難，白噪音產生器 APP 在開啟後，直接點選上端的 white noise，

或pink noise，然後點選右下方三角形 開始鍵，就可以聽到手機發出雜音（圖 5）。頻譜 分析 APP 也是直接開啟，就可以看到螢幕分析現下背景聲音的頻譜分布（圖 6），橫座標是 頻率，越向左邊，頻率越低。左上角Fs:44100Hz，表示取樣頻率值，Window: Hanning 表示 選擇用Hanning 的視窗函數，FFT size: 4096，是對 4096 筆數據進行 FFT。這幾個參數都可以 點選右上角三條橫線，做進一步設定（Settings）。右上角的三角形開始鍵，可以顯示即時的 頻譜分析，再次點選可以螢幕暫停，方便記錄螢幕顯示的頻率峰值。此外點選右上角三條橫 線，可以選擇螢幕輸出（Screenshot），圖片會儲存在內部儲存空間的 Vuche/ASAP 目錄內。

圖5：White Noise Generator 噪音產生器 APP 的手機螢幕截圖。

圖6：Advanced Spectrumn Analyzer PRO 頻譜分析 APP 的手機螢幕截圖。

除了紀錄基頻，還要記錄管子的長度和口徑，以及實驗時的溫度，溫度會影響當時所量 的音速。

肆、 實驗結果

一、雙開口管子

實驗針對兩種管長以及雙開口狀況量得的基頻結果如表1、表 2，每種配置量測三次，求 平均，雙開口管長20 公分的平均基頻為 764Hz，雙開口管長 30.7 公分的平均基頻為 519.6Hz

（圖 7），根據第(1)式，管長 20 公分所算的聲速為 305.6 m/sec，管長 30.7 公分算的聲速為 319.0 m/sec。實驗時的室溫為 26℃，根據第(3)式算的聲速為 346.8 m/sec。管長 20 公分計算 聲速的誤差為11.9%，管長 30.7 公分算的聲速誤差為 8%。

圖7：上圖為雙開口管長 20 公分的頻譜圖，下圖為雙開口管長 30.7 公分的頻譜圖。

表1：雙開口測量的基頻 管長L

（cm）

管內徑R

（cm）

基頻 (Hz)

開口

20 2 764 雙開口 20 2 764 雙開口 20 2 764 雙開口 30.7 2 516 雙開口 30.7 2 527 雙開口 30.7 2 516 雙開口

表2：單開口測量的基頻 管長L

（cm）

管內徑R

（cm）

基頻 (Hz)

開口

20 2 441 單開口 20 2 441 單開口 20 2 452 單開口 30.7 2 258 單開口 30.7 2 258 單開口 30.7 2 258 單開口

二、單開口管子

單開口狀況量得的基頻結果如表2，管長 20 公分的平均基頻為 444.7Hz，管長 30.7 公分 的平均基頻為258 Hz（圖 8），從第(2)式可以算聲速分別為 355.8 m/sec 和 316.8 m/sec。管長 20 公分計算聲速的誤差為 2.6%，管長 30.7 公分算的聲速誤差為 8.6%。

圖8：上圖為單開口管長 20 公分的頻譜圖，下圖為單開口管長 30.7 公分的頻譜圖。

伍、 討論

108 課綱在自然科領域特別強調探究與實作，既是實作，就聯想到自然學科常見的實驗 課程。以往國高中自然科學教學常為人詬病的是實驗課程不落實，學生要不沒好好做實驗，

就是實驗課程被挪做其他課程教學。動手做實驗是重要的，實驗不僅只是按照實驗步驟操作，

還需瞭解實驗的目的以及原理，並且動手做實驗常會遇上各式各樣的疑問和困難，科學原理 的問題，或是操作問題，都需要透過思考一一解決，甚至更進一步深入瞭解問題，設計並解 決問題。

在實際運作中，會有一些不容忽視的干擾，例如背景噪音。在本次實驗中，原本在電腦 桌前進行，結果發現電腦散熱風扇會持續產生215Hz 的低頻噪音（圖 9），為瞭解其他干擾噪 音，可以事先量測實驗所使用的白噪音頻譜，兩相比較，以便排除不需要的噪音。

圖9：左圖是散熱風扇產生的特定頻率噪音，右圖是實驗使用的白噪音頻譜。

此外，實驗數據是直接從APP 的螢幕截取，而 FFT 的頻譜分布是即時反應，頻譜會不 斷跳動，雖然螢幕會顯示峰值數據，但也只是當下的峰值，也就是說螢幕上取得的峰值就有 誤差存在。較為理想的方式是透過錄音方式紀錄一段聲音，然後在用電腦經過FFT 分析出峰 值，但這操作方式對一般中學生有較大的難度，但對這課題有興趣的學生有進一步學習的空 間。

受限於實驗地點、時間，以及實驗器材，並不是每位學生都能在學校實驗室裡好好做實 驗，但若能隨時隨地自己做實驗，自己設計實驗，這對學生來說是另一種學習途徑。現今的 智慧手機已具備許多測量的功能，並且有可接受的精確度，若能善用智慧手機內建的微機電 裝置，設計國高中生需要學習的實驗，也可符合各種不同學習能力的學生需求。

本論文顯示即便是單一個人也可以透過智慧手機做肯特管實驗，並獲得簡單的實驗數據，

計算出聲速。實驗數值雖不很理想，但整個過程仍有改進空間以及延伸方向，例如可以針對 不同長度，不同口徑的管子進行實驗，以加強驗證理論，甚至擴展到彎曲管子，找出相對的 規律。此外也可以設計如何將迷你麥克風深入管內，測量不同深度的頻率和音量強度，尋找 各個駐波節點的位置，測量駐波波長，這都是未來可以發展的方向。

參考文獻

1. 江俊明、李欣 （2021）。使用智慧型手機進行簡諧運動的創新實驗。物理教育學刊

（submitted）。

2. 李欣、羅道正、江俊明（2017）。普通物理實驗的創新－利用手機APP 量測地球磁場。物 理教育學刊，18(2)，83-98。

3. 邱家媛、曾耀寰（2016）。透過智慧手機瞭解彈簧串聯和並聯現象。物理教育學刊，17(2)，

57-66。

4. 曾耀寰（2017）。利用智慧手機測量單擺周期。物理教育學刊，18(1)，65-76。

5. 曾耀寰（2018）。智慧手機在比色法濃度檢驗的應用。物理教育學刊，19(1)，59-72。

6.

Measurement of the sound speed in the Kundt’s tube by Smartphone

Yao-Huan Tseng

Institute of astronomy and astrophysics, Academia Sinica yhtseng@asiaa.sinica.edu.tw

Abstract

The Germany physicist August Kundt first invented an experimental acoustical apparatus which can measure the sound speed in a gas or a solid rod in 1866. This so called Kundt’s tube experiment became one of the popular acoustical demonstrations in class or in laboratory. The standing wave excited in the Kundt’s tube make the fine powder or small Styrofoam balls in the tube concentrate the regions between the nodes of the standing wave.

The sound speed can be measured from the distance between the nodes, the half-wavelength of the acoustic wave. In this paper, we will show how to use the microphone and speaker in the smartphone to measure the sound speed in the Kundt’s tube with an easy and cheap way.

Students can use their own smartphone to feel and measure the phenomena of the acoustical wave and the standing wave in a tube.

Key words

: Kundt’s tube, standing wave, sound speed, smartphone.