x x 之週期為 π

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：95.05.30 班級

範

圍 3-1 三角函數圖形

座號

姓 名 一、單一選擇題 (每題 10 分)

1、( D ) 下列敘述何者正確？

(A)所有三角函數的週期皆為 2π

(B)正弦函數在 0 與π之間是嚴格遞增函數 (C)正弦、餘弦函數的值域都是[0, 1]

(D)y = sin(x 4

−π )為 y = sinx 的圖形向右移 4 π (E)正切函數的定義域為\

解析：(A)sin , cos , sec , cscx x x x之週期為 2

π

， tan , cot

x x 之週期為 π

(B)正弦函數 sin 在 0 與

x

2

π 之間是嚴格遞增函數由 0 增至 1，在 2

π 與

π

之間是嚴格遞 減函數由 1 降至 0。

(C)正弦、餘弦函數的值域都是[−1, 1]。

(D)正切函數

y

=tan

x

的定義域為\，但 , x≠nπ±π2 n∈Z 2、( C ) 請由下列各三角函數中，選出週期最小者

(A)cos 3x (B)2 cos x (C)cos 2x (D) tan x (E)2 tan x 解析： cos3x之週期為²

3

π ，2 cos x之週期為 2

π

， cos 2x 之週期為^{1 2}( )

2 2 2

π π

= ， tan x 之週期為

π

， 2 tan x之週期為

π

。

3、( A ) 方程式 sec 2

π x

= − ，在− ≤ ≤12

x

的範圍內有 k 個解，則

k

= (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (E)7

解析：

sec 2

y x

y

π

⎧ =

⎨ = −

⎩ , − ≤ ≤12

x

，有 3 個解

4、( C ) 方程式 8cos x= 有 k 個相異實根，則 k = (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (E)7

x

解析：

cos 8

y x

y x

⎧ =

⎪⎨

⎪⎩ = ∴ 5 個相異實根

5、( A ) 設

a

=sin 2,

b

=sin 4, ，則 (A) (B) (C) (D) (E) c

a

sin 5

c

=

a

> >

b c a

> >

c b b

> >

c a b

> >

a c

> >

b

解析： sin 2≒sin114.6 sin 65.4 ³

° = ° > 2 sin 4 ≒

≒

∴ a b c

sin 229.2° = −sin 49.2° sin 5 sin 286.5° = −sin 73.5°

> >

二、填充題 (每題 10 分)

6、 一扇形之周長為 12，中心角為

θ

時，有最大面積為 M，則(

θ

, M) = _______。

答案：(2, 9)

解析：依題意 2

r

+

r θ

=12

2 2 2

2 1

2 36 2 , 18

2 2

r r

r r r r r 9

θ θ θ θ

+ ≥ ⋅ ⇒ ≥ ≤ ⇒ ≤

∵ ∴ θ

故扇形面積^{1 2}

2r θ 的最大值為 9，且“ =＂成立於 2r r=

θ

即

θ

= 2

7、 設一扇形的周長等於其面積的 2 倍，已知扇形的半徑為 3，則此扇形之圓心角為 ______________，又面積為_____________。

答案：1 , ⁹ 2

解析：設圓心角

θ

，半徑為 3 ，3 3 3 2 (¹ 3² ) 1

θ 2 θ

+ + = × × × ⇒ =θ ，故面積為 ¹ 3² 1 ⁹ 2× × = 2 8、 寫出下列函數的週期：

(1) ( ) sec( ) 3

f x = x−π 則其週期為___________。

(2)

f x

( )= sin

x

+ cos

x 則其週期為_________________。

答案：(1) 6

π

(2) 2 π

解析：(1)週期為 ² 6 1 3

π = π (2)週期為 2 π

9、 將下列各弧度表示的各角以度數表之：

(1) ⁷

10π =_______。 (2) 3 =______。

答案：(1)126 (2)° (⁵⁴⁰) π ^° 解析：(1) ^{7 7} 180 126

10π =10× ° = ° (2) 3 3 (¹⁸⁰) (⁵⁴⁰)

π π

= × ° = °

10、試求下列各角的弧度數：

(1)144° =_________；(2)67 30′° =_________。

答案：(1)⁴ 5

π ；(2)³ 8π

解析：(1)144 144 ⁴ 180 5

π π

° = °× =

° （弧度） (2)67 30 67.5 ³ 180 8

π π

° ′= °× =

° （弧度）

11、時鐘在10 點10 分時，兩針所夾銳角為___________弧度。

答案：²³ 36π

解析：(10 10) ^{2 10 2} 60 60 12

π π

+ × − × = 23

36π 12、 ²⁷

5 π

− 的最大負同界角為___________，最小正同界角為__________。

答案： ⁷ 5

− π , ³ 5 π

解析： ²⁷ ( 6 ) ³ ( 4 ) ( ⁷ )

5 π π 5π π 5π

− = − + = − + −

13、設圓

O

₁半徑為 1，圓

O

₂半徑為 3 ，連心線

O O 長為 2，則兩圓重疊區域的面積為

_{1 2} __________，又兩圓重疊區域之周長為_____________。

答案：⁵ 3

6π− , ( ^{3 2}) 3⁺ π 解析：

設兩圓相交於 A, B 兩點，∵

O A

₁ = , 1

O A

₂ = 3,

O O

_{1 2} = ， 2

∴∠

O O A

_{2 1} = °60 , ∠

O O A

_{1 2} =30°，∠

AO B

₁ =120° , ∠

AO B

₂ = ° 60 故重疊區域面積 ⁶⁰ ( 3)^{2 120} 1² 2(¹ 1 3) ⁵ 3

360 π 360 π 2 6

= × × + × × − × × = π−

重疊區域周長 ⁶⁰ 2 ( 3) ¹²⁰ 2 1 ^{3 2}

360 360 3 3

π π π π

= × × + × × × = + 3 2

( )

3⁺ π

=

14、有一扇形半徑為 10，中心角 ⁴

θ =5π，若將此扇形粘成一個直圓錐，則此直圓錐的高為 ______________，又體積為____________。

答案： 2 21 , ^{32 21} 3 π 解析：∵扇形弧長10 ⁴ 8

5π π

× = ∴直圓錐底部半徑為 4

又扇形半徑為 10（即斜高） ∴直圓錐之高為 10²−4² =2 21 故直圓錐的體積為¹ 4² 2 21 ³

3 3

π 2 21π

× × × =

15、若p(sin 40, tan 40)則 p 在第_________象限。

答案：四

解析：40 弧度≒ 57.3°×40=2292° =132° +360°× ⇒6 第二象限角

∴ sin40>0, tan 40<0，p 在第四象限。

16、如右圖一直圓錐之底面半徑為 1，高為 2 2 ，在斜高AB上有一點 C，且 : 1:

AC BC

= 2 ，今由 C 點繞直圓錐乙次，拉一條彩帶到 B，則其最短距離 為何？__________；又此直圓錐之側表面積為何？_________

答案：

∵底面半徑為 1，高為 2 2 ∴斜高為 1²+(2 2)² = 3

∴將其展成扇形，半徑為 3，弧長 q'

BB

= 2

π

× =1 2

π

設∠

CAB

′=

θ

⇒q

BB

'=3

θ

，即2 3 ²

3 π = θ ⇒ =θ π

又

AC BC

: =1: 2,

AC

= ,1 ² 1² 3² 2 1 3 cos²

B C_′ = + − × × × 3π ⇒

B C

′ = 13 （直線最短）

側表面積 ¹ 3 2 3

2 π π

= × × =

17、試求

y

=sin

x

+ sin

x 圖形週期_______與最大值_______、最小值________。

答案：∵y=sinx與

y

= sin

x 的圖形分別為

∴

y

=sin

x

+ sin

x 的圖形為

週期為 2

π

，最大值為 2，最小值為 0

18、設一扇形面積為 12，周長是 14，則其半徑是多少？______________

答案：設此圓半徑為 r，扇形的圓心角是

θ

， 1 2

2 12

2 14

r

r r θ θ

⎧ =

⎪⎨

⎪ + =

⎩

""

"

1 2 由−

r θ

=14 2− 代入¬

r

1 2

(14 2 ) 12 7 12 0 ( 3)( 4) 0

2r − r = ⇒r − r+ = ⇒ −r r− = ，∴

r

=3或 4

19、如圖為邊長為 2 的正方形，則斜線部分的面積與周長各多少？________

答案：∵△

ABP

為正三角形且邊長為 2，∴△

ABP

面積為 ³ 2² 3 4 ⋅ =

∴

ABP BAP ABP

= + − 正△

斜線面積 扇形 扇形

1 2 4

2 2 3

2 π3 3π 3

= ⋅ ⋅ × − = −

p p 4

2 2 2 2

3 3

AP BP AB π π

= + + = ⋅ × + = +

周長

20、設正方形 ABCD 之邊長為 a。今分別以 A, B, C, D 為圓心，以 a 為半徑，

在正方形內各作一弧，試求這四個弧所圍成的區域之面積。__________

答案：依序計算如下：

如圖(1)：

先計算 p p

AE BE 與

, AB所圍成的「鐘形」之面積 S 鐘形面積 兩個「六分之一圓」的面積減去一個正三角形的面積

S

=

2 2 2 2

3 3

2 6 4 3 4

a a a a

π π

= × − = −

如圖(2)：

再算 p p

DE AE 和

, AD所圍成的區域之面積 T

T =一個「四分之一圓」的面積減去鐘形面積 S ^{2 2} 3 ² 3 ²

( )

4 3 4 4 1

a a a a ²

2

π π πa

= − − = −

如圖(3)：

中間空白區域之面積 R 之值為R=正方形的面積減去四個 T

2 2

2 3

4( ) (1 3 )

4 12 3

a a

a π π 2

− = − + a

= −

此即為所欲求之區域的面積。

21、扇形的周長為 4，其半徑為 r，中心角為

θ

弧度，則此扇形面積的最大值是多少？

___________，此時

θ

=__________

答案： 扇形面積最大值為 1，此時

θ

= (參閱第 6 題) 2

22、請寫出 cosx, cotx, secx, cscx 的週期。________；______；______；________

答案：週期分別為2 , π π, 2 , 2π π 。