 24 x x  0 24  x x  x 

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：103.03.20 範

圍 1-2.3.4 空間向量(C) 班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 ) 49. 三次方程式

1 2 3

1 2 3 0

1 2 3

x x

x



  

 

，則 x ________.

答案： 0，0，4 解析：

1 2 3 ( 4) 0 0 0

0 0

x x

x

   (x 4) x² 0 x 0, 0, 4

50. 方程式

2 1

9 3 1 0 16 4 1

x x

 ，則 x ________.

答案： 3，4

解析：

2 1

9 3 1 0 16 4 1

x x



2 2

2

1

9 3 0 0

16 4 0

x x

x x

x x

   

 

2 2

9 3

16 4 0

x x

x x

 

 

 

3 1

(3 )(4 ) 0

4 1

x x x x

    

 ^{(x4)(x3)( 1) 0 x 3, 4}(凡得孟)

51. 不等式

2 2

2

log log 1

log 1 1 0

2 1 1

x x

x  的解為________.

答案： 2  x 4 解析： x 0

2

2 2

0 1 log 2 log 1 log

x

x x

 

 

2 2

(2 log x)(1 log x)

   (log₂x1)(log₂x  2) 0 1 log2x 2

   log 2₂ log₂ xlog 4₂    2 x 4

52. ABC中，A, B,  的對邊分別為 a, b, c，則C

1 sin 2 sin 3 sin

a A

b B

c C

 ________.

答案： 0

解析： 由正弦定理知 2

sin sin sin

a b c

A B C  R（R：外接圓半徑）

即第二行與第三行成比例故

1 sin

2 sin 0

3 sin

a A

b B

c C



53. 行列式

0 5 0

212 279 214 215 413 216



 ________.

答案： 1090 解析：

54. 行列式

101 102 103 104 105 106 107 108 109

之值為________.

答案： 0 解析：

55. 設



a  ( 1, 2, 3),



b (4,1, 2)

，試求： a b

 

 

________.

答案： ( 7,10, 9) 

解析： ^{2 3} , ^{3 1}, ^{1 2}

1 2 2 4 4 1

a b    

     

 

( 7,10, 9)

  

56. 若 6

a x b y m c z n





，則

4 4 4 3 3 3

y b m

z c n

x a





________.

答案： 72

解析： 所求 12

y b m z c n x a





12

b y m c z n a x

 

 12

a x c z n b y m





12 a x b y m c z n

 



  12 6   72

57. 已知空間中兩向量



a 和



b

，且

 

a b (2, 3, 6)

，

 

a b 7

，



a 和



b

的夾角為， 則 sin  ________.

答案： ¹ 7

解析：     

 

a b

 

a b sin

4 9 36 7 7 sin 7 49 sin

       sin ¹

 7

 

58. 設 A(1, –5, 2), B(4, 3, –5), C(1, 2, 6)，則以AB, AC 為兩邊的平行四邊形面積為_______．

答案： 3 794 解析： AB

=(3, 8, –7), AC

=(0, 7, 4) ∴AB

× AC

= 8 7 3 7 3 8

, ,

7 4 0 4 0 7

   

  

 =(81, –12, 21) 平行四邊形面積= AB AC 

=3× 794 = 3 794 59. 由a

=(1, 2, 1), b

=(2, 0, 4), c

=(2, 2, –1)三向量決定的平行六面體體積為________．

答案： 16

解析： V= (a b ) c

= ^{2 1}, ^{1 1 1}, ² (2, 2, 1)

0 4 2 4 2 0

 

  

 

  = (8, 2, 4) (2, 2, 1)    = 16 4 4  =16 60. 若 A(1, 2, 3), B(2, 4, 6), C(3, 5, 4), D(2, 3, d)四點共平面，則 d 之值________．

答案： 1 解析： AB

=(1, 2, 3), AC

=(2, 3, 1), AD

=(1, 1, d–3) 四點共面

1 2 3 2 3 1 1 1 d3

=0 3d–9+2+6–9–1–4d+12=0 ∴d=1

61. 若

a d g b e h c f i

=7，則 2 2 2

c b c a

i h i g

f e f d





   

=________．

答案： 14

解析：

a d g b e h c f i

=7

2 2 2

c b c a

i h i g

f e f d





   

=2

c b c a

i h i g

f e f d





   

= –2

c b c a i h i g f e f d







= –2

c b a i h g f e d

=2

a b c g h i d e f

=2

a g d b h e c i f

= –2

a d g b e h c f i

= –2×7= –14

62. L x₁: 2y 3 x L, ₂:x2y 3 y L, ₃:x2y  ，若3  L 、₁ L 、₂ L 交於一點，則₃ 之 值為________.

答案： 0，0，6

解析： L₁: (1)x2y  , 3 0 L₂:x (2 )y  , 3 0 L₃:x2y (3 ) 0

1 2 3

(6 ) 0 0 0

0 0

 



   



(6  ) 2 0

      0, 0, 6

63. 空間中一點P(4, 3, 2) 在 x 軸、y 軸、z 軸之正射影分別為 Q、R、S，則：

(1)QRS 之面積為_______；(2) QRS 在 xy 平面之正射影所得之三角形面積為________.

答案： (1) 61 (2)6

解析： (1)Q(4, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 2)R  S , QR



  ( 4, 3, 0),QS



 ( 4, 0, 2)

3 0 0 4 4 3

, ,

0 2 2 4 4 0

QR QS      

     

 

 ( 6,8, 12)

1

QRS    2QR QS

 

 ¹ 36 64 144

 2    9 16 36   61

(2)所求即 ¹ 4 3 6

OQR   2



64. 若三線段 OA、OB 、OC 兩兩互相垂直，而 OA  4，OB  6，OC  6，則ABC 之面積為________.

答案： 6 17

解析： 取A(4, 0, 0), (0, 6, 0), (0, 0, 6)B C ( 4, 6, 0)

AB



 

, AC



 ( 4, 0, 6)

6 0 0 4 4 6

, ,

0 6 6 4 4 0

AB AC    

     

 

(36, 24, 24)

1

ABC  2AB AC

 



 ¹ 36² 24² 24²

 2   1

12 9 4 4

 2   6 17 65. A(2,1,1), (1, 4, 2), ( 1, 2, 4)B C  ，則：(1)ABC 之面積為______；(2)點 A 到 BC

之距為_______.

答案： (1) 4 2 (2)^{4 6} 3

解析： (1) AB



 ( 1, 3,1),AC



 ( 3,1, 3)

, ^{3 1 1}, ¹, ^{1 3}

1 3 3 3 3 1

AB AC    

     

 

(8, 0,8)

1

ABC  2AB AC

 



 ¹ 64 64

2  4 2 (2)BC  2²2²2² 2 3

4 2 ¹ 2 3 ABC  2 d

 4 2 4 6

3 3

 d 

66. 若 k 為實數，空間中四個點A(0,1, 0)，B(3, 1, 2) ，C(2, 3, 1) ，D(0, 2, )k ，則ABC的面 積為________；若四面體 ABCD 的體積為 2，則 k ________.

答案： ^{3 17} 2 ，¹

2或 ¹⁹ 10



解析： (3, 2, 2),AB



  AC



(2, 2, 1) 2 2 2 3 3 2

( , , )

2 1 1 2 2 2

AB AC  

 

 

 

 ( 2, 7,10)

1 1 3

4 49 100 153 17

2 2 2

ABC    



(0,1, ) AD



 k

，

3 2 2 2 1 2 2 1

6 0 1 k



 ∣ ∣ 12  6k  4 3 4k

10k 7 12

    10k  或 195  ¹ k 2

  或 ¹⁹

10

67. 平面上A(2,1)，B(0, 3) ，C 點在直線L︰x y 5上，若ABC之面積為 10，則 C 點坐 標為________.

答案： (8, 3)或( 12, 17)  解析： 設參數C t t( ,  5) L

1 5 1

10 2 1 1

2 0 3 1 t t





∣ ∣20    t 6 3t 2t 10  2t 4 2 10

   t   t 8, 12C(8, 3)或( 12, 17) 

68. 若 a 為實數，

3 2 4 11 2 3 21 5

3 20 7

x y a

x y a

x y a

  

   

   



有共同解，則 a________，又其解為________.

答案： 2, (1, 3)

解析： 方程組有解 三線共點

9 0 29 10 7 0 16 39 3 1 20 7

a a

a



  

 9 29 10 7 16 39

a a

  

   ⁽¹⁴⁴a351 203 70 )  a  (74a148) 148 74 a0  a 2

3 2 3

2 3 11 x y x y

  

    ^{ x 1,y 3 (1, 3)}

69. 若 a，且三向量



a (2, 3,1),



b (2 ,1, 0),a



c (1, , 6)a

不共面，則由此三向量所張之平行 六面體的體積最大值為________.

答案： 151

解析： V 

2 3 1

| 2 1 0 |

1 6

a a

12 2a2 1 36a

     2a²36a11  2(a²18a81) 151 2(a 9)2 151

   當a ，V 有最大值 151 9 70. 空間中三向量 2

   

a5 , , 2b b c

所張的平行六面體的體積為 80，則由三向量 2

    

a3 , 2 , 3c b b4c

所張之平行六面體的體積為________.

答案： 320

解析： 80

2 5

| |

2

a b

b c

 







^

2

| | 2

a b

c







^{4 | |}

a b c









^{| |}

a b c









^20

V 

2 3

| 2 | 3 4

a c

b

b c





 



 

2 3

2 | |

3 4 a c

b

b c







 



 

2 3

2 | |

4

a c

b c







 





2 3

8 | |

a c

b c





 





2 8 | |

a b c









16 | | a b c









^{ 16 20320}

71. 設空間中四點 A(0, 0, 1), B(1, 1, –1), C(–2, 1, 3), D(3, k, –2)共平面，則 k 之值為________．

答案： ³

2 解析： AB

=(1, 1, –2), AC

=(–2, 1, 2), AD

=(3, k, –3) A, B, C, D 共平面，則

1 1 2 2 1 2 3 k 3







=0

1 1 2

0 3 2

0 k 3 3







=0 3 2 3 3 k



 =0

 9+2(k–3)=0 2k+3=0 k = ³ 2



72. 若a b c x y z, , , , ,  ，且a²b²c² 1,x²y²z²  ，則4

2 3 6 a b c

x y z 的最大值為________.

答案： 14

解析： 所求即以( , , ), ( , , ), (2, 3, 6)a b c x y z 所圍之平行六面體的體積 故當此三個向量兩兩垂直時有最大值

2 2 2 2 2 2

4 9 36

V  a b c  x y z     1 4 49 14