3 矩　陣

3-1

3 ^矩　陣

線性方程組與矩陣 3 - 1

重點一　高斯消去法

利用高斯消去法解方程組

x + y + z = 3 x − y − z = −1

。（8 分）

解： x + y + z = 3 ………1 x − y − z = −1 ………2 3x − 2y − z = 0 ………3 將1 ×（−1）+ 2，1 ×（−3）+ 3得

x + y + z = 3 ………4

−2y − 2z = −4 ………5

−5y − 4z = −9 ………6 5 ×

（

）

x + y + z = 3 ………7

−2y − 2z = −4 ………8 z = 1 ………9

由9得 z = 1，代入8得 y = 1，再代入7得 x = 1 故方程組的解為 x = 1，y = 1，z = 1

3-1

利用矩陣列運算解方程組

x + y − z = 1

。（10 分）

解：

原方程組改寫成增廣矩陣

1 1 −1 1 2 −3 4 15 3 −7 6 5

×（−2）×（−3）

→

1 1 −1 1 0 −5 6 13

0 −10 9 2 ^×（−2）

→

1 1 −1 1 0 −5 6 13 0 0 −3 −24 原方程組成為

x + y − z = 1………1

−5y + 6z = 13 ………2

−3z = −24 ………3 由3得 z = 8，代入2得 y = 7，再代入1得 x = 2 故方程組的解為 x = 2，y = 7，z = 8

例題 3

利用矩陣列運算解方程組

x + y + z = 1

。（10 分）

解：

原方程組改寫成增廣矩陣

1 1 1 1 2 3 −1 2 4 5 1 4

×（−2）×（−4）

→

1 1 1 1 0 1 −3 0

0 1 −3 0 ^×（−1）

→

1 1 1 1 0 1 −3 0 0 0 0 0 即原方程組與

x + y + z = 1 y − 3z = 0 0 = 0

有相同的解

此時，令 z = t，t 為任意實數，可推得 x = 1 − 4t，y = 3t 可知方程組有無限多組解，其解為

x = 1 − 4t y = 3t z = t

，t 為任意實數

3-1

例題 4

利用矩陣列運算解方程組

2x − y + z = 2

x + z = −2

。（10 分）

解： ^{2 −1 1 2}

1 0 1 −2 3 −2 1 4

×（−2）

→

2 −1 1 2 1 0 1 −2

−1 0 −1 0 ^{× 1}

→

2 −1 1 2 1 0 1 −2 0 0 0 −2 原方程組成為

2x − y + z = 2 x + z = −2 0 = −2

顯然第三個方程式無解，因此方程組無解

重點三　用高斯消去法來判斷三元一次方程組的解

解方程組 1

x +

y +

z = 0

x +

y +

z = 5

x +

y +

z = −4

。（10 分）

解：_令

a = 1x ，b = 1

y，c = 1z 原方程組可寫成

a + b + c = 0 4a + 3b + 2c = 5 3a + 2b + 4c = −4 利用矩陣列運算如下：

1 1 1 0 4 3 2 5 3 2 4 −4

×（−4）×（−3）→

1 1 1 0 0 −1 −2 5

0 −1 1 −4 ^×（−1）

→

1 1 1 0 0 −1 −2 5 0 0 3 −9 原方程組成為

a + b + c = 0

−b − 2c = 5 　∴ c = −3，b = 1，a = 2

3-1

某一工程由甲、乙、丙三人合作需

10 天才能完成；若只由乙、丙合作需 15 天完成；

如果只先由甲工作

15 天後，再由丙繼續做要 30 天才能完成。試問甲、乙、丙三人單

解：設甲、乙、丙單獨工作各需 x、y、z 天才可完成

依題意得方程組

1x + 1y + 1z = 1

10 ………1 1y + 1

z = 1

15 ………2 15x + 30z = 1 ………3

由1 − 2得 1x = 1

30⇨ x = 30，代入3得 z = 60 再代入2得 y = 20

故甲、乙、丙三人單獨工作各需 30 天、20 天、60 天才可完成

例題 7 若方程組

x − 2y + 3z = a

有解，試求 a，b，c 之關係。（10 分）

解： ^{1 −2 3 a}

2 1 −4 b 4 −3 2 c

×（−2）×（−4）

→

1 −2 3 a 0 5 −10 b − 2a

0 5 −10 c − 4a ^×（−1）

→

1 −2 3 a

0 5 −10 b − 2a 0 0 0 c − b − 2a 原方程組成為

x − 2y + 3z = a 5y − 10z = b − 2a 0 = c − b − 2a

有解則為無限多組解，即 c − b − 2a = 0

3-1

例題 8

下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成

1 2 3 6 0 0 1 1 0 1 2 3

？（10 分）

A

1 2 3 6 0 1 2 3 0 2 3 5

B

−1 3 −1 0

−1 1 1 0 3 1 −7 0

C

1 1 2 5 1 −1 1 2 1 1 2 5 D

2 1 3 6

−1 1 1 0

−2 2 2 1

E

1 0 2 3 0 1 1 2 0 1 0 1 解： ^{1 2 3 6}

0 0 1 1 0 1 2 3

寫成方程組為

x + 2y + 3z = 6 z = 1

y + 2z = 3

可得 x = 1，y = 1，z = 1，再將所有選項轉成方程組觀察之 A ○：

x + 2y + 3z = 6 y + 2z = 3 2y + 3z = 5

，其解為 x = 1，y = 1，z = 1

B ×：

−x + 3y − z = 0

−x + y + z = 0 3x + y − 7z = 0

，此方程組有無限多組解

C ×：

x + y + 2z = 5 x − y + z = 2 x + y + 2z = 5

，此方程組有無限多組解

D ×：

2x + y + 3z = 6

−x + y + z = 0

−2x + 2y + 2z = 1

，此方程組無解

E ○：

x + 2z = 3 y + z = 2 y = 1

，其解為 x = 1，y = 1，z = 1 故選AE

3-1

試解方程組

x + z = −2

，並就

a，b 值討論之。（12 分）

解：^{利用矩陣列運算如下：}

1 0 1 −2 2 −1 1 1 3 −2 a b

×（−2）×（−3）→

1 0 1 −2

0 −1 −1 5

0 −2 a − 3 b + 6 ^×（−2）

→

1 0 1 −2

0 −1 −1 5 0 0 a − 1 b − 4

1 當 a ≠ 1 時，恰有一組解，可依序解出 z，y，x 得 z = b − 4a − 1，y = −5a − b + 9a − 1 ，x = −2a − b + 6a − 1 2 當 a = 1 且 b = 4 時，有無限多組解，令 z = t 得方程組的解為

x = −2 − t y = −5 − t z = t

，t 為任意實數 3 當 a = 1 且 b ≠ 4 時，方程組無解

例題 10

設向量

a

=（1，3，1），b

=（2，6，3），c

=（2，5，−3），d

=（4，12，2），

令

d

= xa

+ yb

+ zc

x，y，z）。（10 分）

解：x（1，3，1）+ y（2，6，3）+ z（2，5，−3）=（4，12，2）

得方程組

x + 2y + 2z = 4 3x + 6y + 5z = 12 x + 3y − 3z = 2 利用矩陣列運算如下：

1 2 2 4 3 6 5 12 1 3 −3 2

×（−3）×（−1）

→

1 2 2 4 0 0 −1 0 0 1 −5 −2 原方程組成為

x + 2y + 2z = 4

−z = 0 y − 5z = −2

，解得 x = 8，y = −2，z = 0 故序組（x，y，z）=（8，−2，0）