第三章 行列式
3.1 矩陣的行列式
3.2 使用基本運算求行列式 3.3 行列式的性質
3.4 特徵值介紹 3.5 行列式的應用
Elementary Linear Algebra 投影片設計製作者
R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授
3.1 矩陣的行列式
2 × 2 矩陣的行列式 (determinant)
=
22 21
12 11
a a
a A a
12 21 22
| 11
| )
det(A = A = a a − a a
⇒
注意：
=
22 21
12 11
a a
a a
22 21
12 11
a a
a a
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.152
範例 1：二階矩陣的行列式
2 1
3 2 −
2 4
1 2
) 3 ( 1 ) 2 (
2 − −
= = 4 + 3 = 7
) 1 ( 4 )
2 (
2 −
= = 4 − 4 = 0 2
4
4 2
3 0
注意： 矩陣的行列式可以為正、零或負值。
) 3 ( 2 )
4 (
0 −
= = 0− 6 = −6
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.153
的子行列式 (minor)
由A消去第i列和第j行所形成矩陣的行列式
n i j
i j
i i
n j
j
a a
a a
a a
a a
a
M
L L
M M
M
L L
) 1 ( )
1 )(
1 ( )
1 )(
1 ( 1
) 1 (
1 )
1 ( 1 )
1 ( 1 12
11
− +
−
−
−
−
+
−
= aij
餘因子 (cofactor)
ij j
i
ij M
C = (−1) + aij
nn j
n j
n n
n i j
i j
i i
n i j
i j
i i
ij
a a
a a
a a
a M a
L L
M M
M M
L L
) 1 ( )
1 ( 1
) 1 ( )
1 )(
1 ( )
1 )(
1 ( 1
) 1 (
) 1 ( )
1 )(
1 ( )
1 )(
1 ( 1
) 1 (
+
−
+ +
+
− + +
− +
−
−
−
= −
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.153
範例 2：
=
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a A
13 12
21 a a
a M = a
⇒
11 1322 a a
a M = a
33 32
21 a a
M =
⇒
21 21
1 2
21 ( 1) M M
C = − = −
⇒ +
33 31
22 a a
M =
22 22
2 2
22 ( 1) M M
C = − + =
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.154
注意:餘因子的符號型式
+
− +
− +
−
+
− +
+
− +
− +
− +
− +
−
+
− +
− +
− +
− +
−
+
− +
− +
M M M M M
L L L L L
+
− +
−
− +
− +
+
− +
−
− +
− +
M M M M M
3 × 3 矩陣 4 × 4 矩陣 n ×n 矩陣
注意：
奇數位置(i+j是奇數)為負號，並且 偶數位置(i+j為偶數)為正號。
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.154
範例 2：求A所有的子行列式和餘因子
2 3
2
−1
解：(1) 所有A的子行列式
1 3 −
−
=
1 0
4
2 1 3
1 2
0 A
, 1 5
4
2 3
12
= = −
,
M
1 10
2 1
11 − = −
=
⇒ M 4
0 4
1 3
13 − =
= M
, 1 2
0
1 2
21
= =
M
4,1 4
1 0
22 = = −
M 8
1 4
2 0
23 = = −
M
, 2 5
1 1 2
31 =
= −
M 3,
2 3
1 0
32= = −
M 6
1 3
2 0
33 = −
= − M
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 pp.154-155
, 1 5
4
2 3
12 = − =
C , 1 1
0
2 1
11 − = −
+
=
⇒ C 4
0 4
1 3
13 − =
+
= C
ij j
i
ij M
C = (−1) +
Q
1
2
0 1 0 2解：(2) 所有A的餘因子.
, 1 2
0
1 2
21
= − = −
C
4,1 4
1 0
22 = + = −
C 8
1 4
2 0
23 = − =
C
, 2 5
1 1 2
31 =
+ −
=
C 3,
2 3
1 0
32= − =
C 6
1 3
2 0
33 = −
+ −
= C
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 pp.154-155
定理 3.1： 餘因子展開 (expansion by cofactors)
∑
=+ +
+
=
=
= n
j
in in i
i i
i ij
ijC a C a C a C
a A
A a
1
2 2 1
| 1
| ) det(
)
(
L
(第i列展開) i=1, 2,…, n 令A是n階方陣，則A的行列式為
(第i列展開) i=1, 2,…, n
∑
=
+ +
+
=
=
= n
i
nj nj j
j j
j ij
ijC a C a C a C
a A
A b
1
2 2 1
| 1
| ) det(
)
( L
(第j行展開) j=1, 2,…, n 或
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.155
範例：3階矩陣的行列式
=
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a A
13 13 12
12 11
) 11
det(A = a C + a C + a C
⇒
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 補充補充補充補充
33 33 23
23 13
13
32 32 22
22 12
12
31 31 21
21 11
11
33 33 32
32 31
31
23 23 22
22 21
21
13 13 12
12 11
11
C a C
a C
a
C a C
a C
a
C a C
a C
a
C a C
a C
a
C a C
a C
a
+ +
=
+ +
=
+ +
=
+ +
=
+ +
=
−
=
1 0
4
2 1
3
1 2
0 A
6
, 3
, 5
8 ,
4 ,
2
4
, 5 ,
1
33 32
31
23 22
21
13 12
11 2 E
−
=
=
=
=
−
=
−
=
=
=
−
=
⇒
C C
C
C C
C
C C
C
x
14 )
4 )(
1 ( ) 5 )(
2 ( ) 1 )(
0 ( )
det( = + + = − + + =
⇒ A a C a C a C
解：
範例3：3階矩陣的行列式
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.156
14 )
6 )(
1 ( ) 8 )(
2 ( ) 4 )(
1 (
14 )
3 )(
0 ( ) 4 )(
1 ( ) 5 )(
2 (
14 )
5 )(
4 ( ) 2 )(
3 ( ) 1 )(
0 (
14 )
6 )(
1 ( ) 3 )(
0 ( ) 5 )(
4 (
14 )
8 )(
2 ( ) 4 )(
1 ( ) 2 )(
3 (
14 )
4 )(
1 ( ) 5 )(
2 ( ) 1 )(
0 ( )
det(
33 33 23
23 13
13
32 32 22
22 12
12
31 31 21
21 11
11
33 33 32
32 31
31
23 23 22
22 21
21
13 13 12
12 11
11
=
− +
+
= +
+
=
= +
−
− +
= +
+
=
= +
− +
−
= +
+
=
=
− +
+
= +
+
=
= +
−
− +
−
= +
+
=
= +
+
−
= +
+
=
⇒
C a C
a C
a
C a C
a C
a
C a C
a C
a
C a C
a C
a
C a C
a C
a
C a C
a C
a A
範例5：(3階矩陣的行列式)
? )
det( =
⇒ A
−
−
=
1 4
4
2 1
3
1 2
0 A
解：
2 9 ) 1
1
( 1 1 − = −
−
= +
C C = (−1)1+2 3 2 = (−1)(−5) = 5
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 pp.158-159
1 9 4
2 ) 1
1 ( 1 1
11 − = −
−
= +
C ( 1)( 5) 5
1 4
2 ) 3
1 ( 1 2
12 = − + = − − =
C
4 -8 - 4
1 ) 3
1 ( 1 3
13 − =
−
= +
C
2
) -8 )(
1 ( ) 5 )(
2 ( ) 9 )(
0 ( )
det( 11 11 12 12 13 13
=
+ +
−
=
+ +
=
⇒ A a C a C a C
注意：
包含較多0的列(或行)通常是餘因子展開的最佳選擇。
例題4：(4階矩陣的行列式)
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.157
−
−
−
=
2 0
4 3
3 0
2 0
2 0
1 1
0 3
2 1
A
⇒ det( A ) = ?
解：
) )(
0 ( ) )(
0 ( ) )(
0 ( ) )(
3 ( )
det(A = C13 + C23 + C33 + C43
2 4
3
3 2
0
2 1
1 )
1 (
3 1 3
−
−
−
= +
3C13
=
2 4
3 −
[ ]
39
) 13 )(
3 (
) 7 )(
1 )(
3 ( ) 4 )(
1 )(
2 ( 0 3
4 3
1 ) 1
1 )(
3 2 (
3
2 ) 1
1 )(
2 2 (
4
2 ) 1
1 )(
0 (
3 2 1 2 2 2 3
=
=
−
− +
− +
=
−
−
− +
− −
− +
−
= + + +
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 pp.157-158
3×3矩陣的行列式
=
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a A
32 31
33 32
31
22 21
23 22
21
12 11
13 12
11
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a
加這三個乘積 減這三個乘積
12 21 33 11
23 32
13 22 31 32
21 13 31
23 12 33
22 11
|
| ) det(
a a a a
a a
a a a a
a a a
a a a
a a A
A
−
−
− +
+
=
=
⇒
加這三個乘積
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.158
範例 5：
−
−
=
1 4
4
2 1
3
1 2
0 A
4 4
1 3
2 0
−
− -4
0 -12
0 6
0
2 6
0 ) 4 ( 12 16
0
|
| )
det( = = + − − − − − =
⇒
A A16 -12
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.159
上三角矩陣 (upper triangular matrix)
下三角矩陣 (lower triangular matrix)
矩陣之主對角線下方的元素都為零
矩陣之主對角線上方的元素都為零
對角矩陣 (diagonal matrix)
矩陣之主對角線上方和下方的元素皆為零
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.159
注意：
一個矩陣同時為上三角與下三角被稱為對角(diagonal)
33 23 22
13 12
11
a 0
0
a a
0
a a
a
33 32
31
22 21
11
a a
a
0 a
a
0 0
a
範例：
33 22
11
a 0
0
0 a
0
0 0
a
上三角矩陣 下三角矩陣 對角矩陣
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.159
定理 3.2： 三角矩陣的行列式
若 A 是 n 階三角矩陣，則它的行列式為主對角線上 元素的乘積。即
ann
a a a A
A
L
33 22
| 11
| )
det( = =
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.160
範例 6： 求下列矩陣的行列式
(a)
−
= −
3 3
5 1
0 1
6 5
0 0
2 4
0 0
0 2
A (b)
−=
0 4
0 0
0
0 0
2 0
0
0 0
0 3
0
0 0
0 0
1
B
1 5 3 3
0 0 0 0 − 2 0 40 0
0
|A|=(2)(-2)(1)(3)=-12
|B|=(-1)(3)(2)(4)(-2)=48 (a)
(b)
解：
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.1節節節節 p.161
摘要與複習 (3.1節之關鍵詞)
determinant : 行列式
minor : 子行列式
cofactor : 餘因子
expansion by cofactors : 餘因子展開
upper triangular matrix: 上三角矩陣
lower triangular matrix: 下三角矩陣
diagonal matrix: 對角矩陣
3.2 使用基本運算求行列式
定理 3.3 ： 基本列運算和行列式
令 A 和 B 是方形矩陣
)( )
(a B = rij A ⇒ det(B) = −det(A) )
( )
(b B = ri(k) A ⇒ det(B) = k det(A)
) )
(
(i.e. rij A = − A ) )
(
(i.e. ri(k) A = k A
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 pp.165-166
) ( )
(b B = ri A ⇒ det(B) = k det(A) )
( )
(c B = rij(k) A
⇒
det(B) = det(A)) )
(
(i.e. ri A = k A ) )
(
(i.e. rij(k) A = A
範例：
=
1 2
1
4 1
0
3 2
1 A
= 0 1 4 12 8
4
A1
= 1 2 3 4 1
0
A2
−
−
−
= 2 3 2
3 2
1 A3
2 )
det(A = −
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 補充補充補充補充
=
1 2
1
4 1
0 A1
=
1 2
1
3 2
1 A2
−
−
−
=
1 2
1
2 3
2 A3
8 )
2 )(
4 ( ) det(
4 ))
( det(
) det(
)
( 1 1(4)
) 4 (
1 = r1 A
⇒
A = r A = A = − = −A
2 )
2 ( )
det(
)) ( det(
) det(
)
( 2 12
2 = r12 A
⇒
A = r A = − A = − − =A
2 )
det(
)) ( det(
) det(
)
( 3 12( 2)
) 2 (
3 = r12− A
⇒
A = r − A = A = −A
注意：
)) ( det(
) det(
) det(
)) (
det(rij A = − A ⇒ A = − rij A
)) ( 1 det(
) det(
) det(
)) (
det( ( ) r( ) A
A k A
k A
ri k = ⇒ = i k
)) (
det(
) det(
) det(
)) (
det(rij(k) A = A ⇒ A = rij(k) A
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 p.166
)) (
det(
) det(
) det(
)) (
det(rij A = A ⇒ A = rij A
注意：
方陣的列梯形形式為上三角矩陣
範例 2： 使用基本列運算求行列式值
2 −3 10
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 p.166
−−
= −
3 1
0
2 2
1
10 3
2
A
⇒
det(A) = ?解：
3 1
0
10 3
2
2 2
1
3 1
0
2 2
1
10 3
2 )
det(
12
−
−
−
−
=
−
−
−
= r
A
7 )
1 )(
1 )(
1 )(
7 ( 1
0 0
2 1
0
2 2
1 7
) 1 (
23 = − = −
−
−
−
=
r −
3 1
0
2 1
0
2 2
1 1 ) )(
1 ( 3
1 0
14 7
0
2 2
1
7 1
7) ( 1 2 )
2 ( 12
−
−
−
−
=
−
−
−
−
= −
− r −
r
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 p.167
1 0
0 −
注意：
A E EA =
Rij
E =
) 1
( ⇒ E = Rij = −1
( )
A A R A E Ar
EA = ij = − = ij =
⇒
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 補充補充補充補充
)
(
) 2
( E = Ri k ⇒ E = Ri(k) = k
( )
A k A R A E Ar
EA = i k = = i k =
⇒ ( ) ( )
)
(
) 3
( E = Rijk
⇒
E = Rij(k) =1( )
A A R A E Ar
EA = ijk = = ijk =
⇒
( ) 1 ( )
行列式與基本列運算
) ( )
(a B = cij A
令 A 和 B 是方形矩陣
) det(
)
det(B = − A
⇒ (i.e. cij(A) = − A)
定理： (基本列運算與行列式)
) ( )
(b B = ci(k) A ⇒ det(B) = k det(A) )
( )
(c B = cij(k) A ⇒ det(B) = det(A)
) )
(
(i.e. ci(k) A = k A ) )
(
(i.e. cij(k) A = A
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 p.167
−
=
2 0
0
1 0
4
3 1
2 A
範例：
−
= 0 4 1 3 2
1
A
−
= 2 0 1 3 1
1
A
= 4 0 1 0 1
2 A3
8 )
det(A = −
=
2 0
0
1 4
2 0 A
=
2 0
0
1 0
1 2 A
=
2 0
0
1 0
4 A3
4 )
8 2)(
(1 )
2 det(
)) 1 ( det(
) det(
)
( 1 1(4)
2) (1
1 = c1 A ⇒ A = c A = A = − = −
A
8 )
8 ( )
det(
)) ( det(
) det(
)
( 2 12
2 = c12 A
⇒
A = c A = − A = − − =A
8 )
det(
)) ( det(
) det(
)
( 3 23(3)
) 3 (
3 = c23 A
⇒
A = c A = A = −A
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 p.167
定理 3.4： 產生零行列式的條件
(a) 一整列(或一整行)全為零 (b) 兩列(或行)是相等的
若A是方陣並且下列任何的條件是成立的，則det (A) = 0
(c) 某一列(或行)是另一列(或行)的倍數
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 p.168
範例：
0 6
5 4
0 0
0
3 2
1
= 0
0 6
3
0 5
2
0 4
1
= 0
6 5
4
2 2
2
1 1
1
=
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 補充補充補充補充
0 2
6 1
2 5
1
2 4
1
= 0
6 4
2
6 5
4
3 2
1
=
−
−
−
0 6
12 3
5 10
2
4 8
1
=
餘因子展開 列簡化
n階 加法 乘法 加法 乘法
3 5 9 5 10
注意：
5 119 205 30 45
10 3628799 6235300 285 339
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 p.170
範例 5：求行列式
−
−
−
−
=
6 0
3
1 4
2
2 5
3 A
解：
3 ) 1 )(
3 3 (
4
4 ) 5
1 )(
3 ( 0
0 3
3 4
2
4 5
3
6 0
3
1 4
2
2 5
3 )
det( 3 1
) 2 (
13 = − − =
−
− −
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
= C +
A
3 5)
)( 3 5 6 (
) 3 1 )(
5 ( 6 0 3
0 2 5 3
6 0
3
1 4
2
2 5
3 )
det( 5
3 5
2 2 1 5
3 5
2
5) (4
12 = − − =
− −
=
−
−
=
−
−
−
−
= C − + −
A
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 p.170
範例 6：求行列式
解：
−
−
−
−
−
−
=
0 2
3 1
1
3 4
2 1
3
3 2
1 0
1
1 2
3 1
2
2 3
1 0
2
A
1 0
0 3
4 6
5 1
3 2
1 1
2 3
1 2 (1)(-1)
1 0
0 0
3
4 6
5 0
1
3 2
1 0
1
1 2
3 1
2
2 3
1 0
2
0 2
3 1
1
3 4
2 1
3
3 2
1 0
1
1 2
3 1
2
2 3
1 0
2
)
det( 2 2
) 1 ( 25
) 1 (
24 −
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
= +
r −
r
A
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 p.171
6 5
13
2 1 8
5 0
0
6 5
13
2 1 8
3 1
8 )
1 (1)(
1 0
0 0
4 6
5 13
3 2
1 8
2 3
1 8
) 11 ( 21 )
3 (
41 = − 4 4 − − = − −
−
−
−
−
= +
−
r C
1 8 −
−
135 ) 27 )(
5 (
5 13
1 1) 8
5( 1 3
−
=
−
=
−
− −
= +
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.2節節節節 p.172
3.3 行列式的性質
注意:
定理 3.5：矩陣相乘的行列式
(1) det (EA) = det (E) det (A) det (AB) = det (A) det (B)
) det(
) det(
)
det(A+ B ≠ A + B (2)
(3)
33 32
31
23 22
21
13 12
11
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
b b
b
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
+
=
33 32
31
23 23
22 22
22 22
13 12
11
a a
a
b a
b a
b a
a a
a
+ +
+
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.3節節節節 p.175
範例 1: 矩陣相乘的行列式
−
=
1 0
1
2 3
0
2 2
1 A
−
−
−
=
2 1
3
2 1
0
1 0
2 B
求 |A|、|B| 與 |AB|
7 1
0 1
2 3
0
2 2
1
|
| = −
−
=
A 11
2 1
3
2 1
0
1 0
2
|
| =
−
−
−
= B
解：
求 |A|、|B| 與 |AB|
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.3節節節節 p.175
−
−
−
=
−
−
−
−
=
1 1
5
10 1
6
1 4
8
2 1
3
2 1
0
1 0
2
1 0
1
2 3
0
2 2
1 AB
1 4
8
77 1
1 5
10 1
6
1 4
8
|
| = −
−
−
−
=
⇒ AB
|AB| = |A| |B|
檢查:
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.3節節節節 p.176
範例 2：
4 2
1 40
20
10
−
−
定理 3.6：矩陣純量積的行列式
若A是一個n × n 矩陣並且c是一個純量，則
det (cA) = cn det (A)5 1
3 2
5 0
3
4 2
1 ,
10 30
20
50 0
30
40 20
10
=
−
−
−
−
−
−
= A
求 |A|
解：
−
−
−
=
1 3
2
5 0
3
4 2
1 10
A (1000)(5) 5000
1 3
2
5 0
3
4 2
1
103 = =
−
−
−
=
⇒ A
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.3節節節節 p.177
範例 3：下列兩個矩陣那一個是可逆?
0 2 −1
−
−
=
1 2
0
定理 3.7：可逆矩陣的行列式
方陣A是可逆(非奇異)若且唯若 det (A)
≠ 0= 0 ⇒ A
−
−
=
1 2
3
1 2
3 A
−
=
1 2
3
1 2
3 B
A是不可逆(奇異)
≠
⇒
−
= 12 0
B B是可逆(非奇異)
解：
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.3節節節節 p.178
定理 3.8：反矩陣的行列式
) A det(
) 1 A
det( −1 =
是可逆，則
若A
定理 3.9：轉置的行列式
) det(
)
det(AT A
A是一方陣，則 =
若
範例 4：
1 = ? A−
−
=
0 1
2
2 1 0
3 0
1
A (a) (b) AT = ?
4 0
1 2
2 1 0
3 0
1
|
| A = − =
Q
41
1 = 1 =
∴ −
A A
= 4
= A AT
解：
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.3節節節節 pp.180~182
若A是一個n × n矩陣，下列敘述是等價的
(1) A是可逆(2) 對每一個n × 1矩陣b，Ax = b 具有唯一解
非奇異矩陣的等價條件
(3) Ax = 0 只有顯然解 (4) A列等價於In
(5) A可以寫為一些基本矩陣的相乘 (6) det (A) ≠ 0
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.3節節節節 p.181
範例 5：下列系統何者有唯一解?
(a)
4 2
3
4 2
3
1 2
3 2
1
3 2
1
3 2
−
=
− +
= +
−
−
=
−
x x
x
x x
x
x x
4 2
3x1 + x2 − x3 = − (b)
4 2
3
4 2
3
1 2
3 2
1
3 2
1
3 2
−
= +
+
= +
−
−
=
−
x x
x
x x
x
x x
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.3節節節節 p.181
解：
b x = (a) A
= 0 Q A
∴
這個系統沒有唯一解
∴
這個系統沒有唯一解
(b) Bx = b
0 12 ≠
−
=
Q
B∴
這個系統有唯一解
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.3節節節節 p.182
3.4 特徵值的介紹
特徵值問題 (eigenvalue problem)
若A為一n
×n矩陣，在Rn中是否存在著非零向量x， ， ， ，使 得Ax與x之間存在著倍數關係？
特徵值(eigenvalue)與特徵向量(eigenvector)
A：n×n 矩陣A：n×n 矩陣
λ ：純量
x： Rn
中的非零向量
x Ax =
λ
特徵值
特徵向量
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.4節節節節 p.187
(特徵值問題的基本方程式)
範例 1： 證明特徵值與特徵向量
=
3 2
4
A 1
=
1 1 x11
1 5
1 5 1 5
5 1
1 3 2
4
1 x
Ax
=
=
=
=
特徵值
= −
1 2 x2
1
1 5
5 1 5
1 3
2 x
Ax
=
=
=
=
2
2 ( 1)
1 1 2
1 2 1
2 3
2
4
1 x
Ax
= −
− −
=
−
=
−
=
特徵值
特徵向量 特徵向量
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.4節節節節 p.188
問題：
給予一個 n
×n 矩陣A，如何求其特徵值與其對應之特徵向量？
0 )
I (
⇒ − =
= x A x
Ax
λ λ
注意：
(齊次系統)
A的特徵方程式 (characteristic equation) A
∈M
n×n:
0 )
I ( )
I
det(
λ
− A =λ
− A =λ
n + cn−1λ
n−1 +L
+ c1λ
+ c0 = 0) I
(
⇒ − =
= x A x
Ax
λ λ
當
(λ
I − A)x = 0時有非零解，若且唯若
det(λ
I − A) = 0線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.4節節節節 p.188
範例 2： 求特徵值與特徵向量
=
3 2
4 A 1
解：特徵方程式：
4 1 −
= −
− λ
λ
0 )
1 )(
5 (
5 4
3 2
4 ) 1
I (
2 − − = − + =
=
−
−
−
= −
−
λ λ
λ λ
λ λ A λ
特徵值： λ
1 = 5,λ
2 = −1 1, 5 −
=
⇒
λ
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.4節節節節 p.189
5 )
1
(
λ
1 =0
1 , 1
0 0 2
2
4 ) 4
I (
2 1
2 1 1
≠
=
=
=
−
= −
−
⇒
t t t
t x
x
x x x
λ
A1 )
2
( λ2 = −
0
1 , 2 2
0 0 4
2
4 ) 2
I (
2 1
2 1 2
≠
= −
= −
=
−
−
−
= −
−
⇒
t t t
t x
x
x x x
λ
A線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.4節節節節 p.189
範例 3： 求特徵值與特徵向量
−
−
−
=
0 1
1
1 2
1
2 2
1 A
解：特徵方程式：
解：特徵方程式：
0 )
3 )(
1 )(
1 (
1 1
1 2
1
2 2
1
I − − − = − + − =
−
−
=
−
λ λ λ
λ λ
λ λ
A3 ,
1 ,
： λ
1 =1λ
2 = −λ
3 =特徵值
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 3.4節節節節 p.190
