第二章 矩陣
2.1 矩陣運算
2.2 矩陣運算特性 2.3 反矩陣
2.4 基本矩陣
2.5 矩陣運算的應用
Elementary Linear Algebra 投影片設計編製者
R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授
2.1 矩陣運算
矩陣 (Matrix)
n m 3
33 32
31
2 23
22 21
1 13
12 11
M
]
[ ∈ ×
=
= n
n n
ij
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a A
L
M M
M M
L L L
2/95
n 3 m
2
1 ×
am am am L amn
第(i,j)個元素:
aij列: m 行: n
大小: m×n
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.58
第i個列向量 (row vector)
第j個行向量 (column vector)
[
i i in]
i a a a
r = 1 2
L
c1j列矩陣 (row matrix)
3/95
=
mj j j
j
c c c
M
2 1
行矩陣 (column matrix)
方陣:
m=n線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.59
對角矩陣 (diagonal matrix)
) ,
, ,
(d1 d2 dn diag
A =
L
n nn
M d
d d
∈ ×
=
L
M O
M M
L K
0 0
0 0
0 0
2 1
4/95
n
跡數 (trace)
n n ij] [a
A = ×
若
ann
a a
A
Tr( ) = 11 + 22 +
L
+則
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 補充補充補充補充
範例：
=
6 5
4
3 2
A 1
=
2 1
r r
[
1 2 3]
,1 =
r r2 =
[
4 5 6]
⇒
5/95
[
c1 c2 c3]
=
4 , 1
1
=
c ,
5 2
2
=
c
=
6 3 c3
=
6 5
4
3 2
A 1
⇒
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 補充補充補充補充
n m ij n
m
ij B b
a
A =[ ] × , =[ ] ×
若
相等(equal)矩陣
n j
m i
b a
B
A = ij = ij ∀1≤ ≤ , 1≤ ≤
若且唯若
則
範例 1：相等矩陣
6/95
=
=
d c
b B a
A 4
3
2 1
B A =
若
4
, 3
, 2
,
1 = = =
= b c d
則 a
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.58
矩陣相加 (matrix addition)
n m ij n
m
ij B b
a
A =[ ] × , =[ ] ×
若
n m ij ij
n m ij n
m
ij b a b
a B
A+ =[ ] × +[ ] × =[ + ] ×
則
範例 2： 矩陣相加
− + +
−1 2 1 3 1 1 2 3 0 57/95
= −
+
−
+ +
= −
+ −
−3 1
5 0 2
1 1 0
3 2 1 1 2
1 3 1 1
0
2 1
=
− +
−
−
2 3 1
2 3 1
+
− +
−
− 2 2
3 3
1 1
= 0 0 0
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 pp.59-60
矩陣相減 (matrix subtraction)
B AB
A− = + (−1)
純量積 (scalar multiplication)
常數 若
A = [A]m×n, c :n m
caij
cA=[ ] × 則
8/95
B A
B
A− = + (−1)
範例 3： 純量積與矩陣相減
−
−
=
2 1
2
1 0
3
4 2
1
A
與
−
−
=
2 3
1
3 4
1
0 0
2 B
求 (a) 3A, (b) -B, (c) 3A-B。
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.60
(a)
−
−
=
2 1
2
1 0
3
4 2
1 3
3A
(b)
( )
−
−
=
− 1 4 3
0 0
2 1
B
解:
−
−
=
6 3
6
3 0
9
12 6
( ) ( ) ( )
3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−
−
=
2 3 2
3 2
3
1 3 0
3 3
3
4 3 2
3 1
3
−
−
−
= 1 4 3
0 0
2
9/95
( )
−
−
−
=
−
2 3
1
3 4
1 1
B
(c)
−
−
−
−
−
=
−
2 3 1
3 4
1
0 0
2
6 3
6
3 0
9
12 6
3 3A B
− −−
−
=
2 3
1
3 4
1
−
−
=
4 0
7
6 4
10
12 6
1
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.61
矩陣相乘 (matrix multiplication)
p n ij n
m
ij B b
a
A = [ ] × , =[ ] ×
若
p m ij p
n ij n m
ij b c
a
AB =[ ] × [ ] × =[ ] ×
則
相等
AB的大小
n
b a b
a b
a b
a
c =
∑
= + +L
+其中
10/95
nj in k
j i
j i kj
ik
ij a b a b a b a b
c =
∑
= + + +=
L
1
2 2 1
1
=
in ij
i i
nn nj
n
n j
n j
nn n
n
in i
i
n
c c
c c
b b
b
b b
b
b b
b
a a
a
a a
a
a a
a
L L
L L
M M
M M
L M
L L
M L
M M
L
M M
M
L
2 1
1
2 2
21
1 1
11
2 1
2 1
1 12
11
注意: (1) A+B =B+A, (2)
AB ≠ BA線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.62&p64
−
−
=
0 5
2 4
3 1
A
與
−
= −
1 4
2 B 3
範例 4： 求解下列兩矩陣的乘積
解:
11/95
+
− +
−
− +
−
− +
−
+
−
− +
−
−
=
) 1 )(
0 ( ) 2 )(
5 ( )
4 )(
0 ( ) 3 )(
5 (
) 1 )(
2 ( ) 2 )(
4 ( ) 4 )(
2 ( ) 3 )(
4 (
) 1 )(
3 ( ) 2 )(
1 ( ) 4 )(
3 ( ) 3 )(
1 ( AB
−
−
−
=
10 15
6 4
1 9
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 pp.62-63
線性方程式系統之矩陣形式
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
m n
mn m
m
n n
n n
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
L M
L L
2 2 1
1
2 2
2 22 1
21
1 1
2 12 1
11
條線性方程式 m
12/95
=
m n
mn m
m
n n
b b b
x x x
a a
a
a a
a
a a
a
M M
L
M M
M M
L L
2 1 2
1
2 1
2 22
21
1 12
11
= = =
A x b
單一矩陣方程式
bx = A
×1
×nn
m m×1
⇓
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.66
分割矩陣 (partitioned matrices)
=
=
22 21
12 11
34 33
32 31
24 23
22 21
14 13
12 11
A A
A A
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A
子矩陣
a11 a12 a13 a14 r1
13/95
=
=
3 2 34
33 32
31
24 23
22 21
r r a
a a
a
a a
a a
A
[
1 2 3 4]
34 33
32 31
24 23
22 21
14 13
12 11
c c
c c
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A =
=
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 補充補充補充補充
[
n]
mn m
m
n n
c c
c a
a a
a a
a
a a
a
A L
L
M M
M M
L L
2 1
2 1
2 22
21
1 12
11
=
=
= xn
x x x M
2 1
矩陣A之行向量的線性組合 (linear combination)
14/95
mn m
m a a
a 1 2 L
n
2 1 2 1
1
2 2
22 1
21
1 2
12 1
11
×
+ +
+
+ +
+
+ +
+
=
⇒
n m mn m
m
n n
n n
x a x
a x
a
x a x
a x
a
x a x
a x
a Ax
L M
L L
(A之行向量的線性組合)
++
mn n n
n
a a a x
M
L
21
=
1 21 11
1
am
a a x
M
+2 22 21
2
am
a a x
M
c1 c2 cn
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節
摘要與複習 (2.1節之關鍵詞)
row vector: 列向量
column vector: 行向量
diagonal matrix: 對角矩陣
trace: 跡數
equality of matrices: 相等矩陣
15/95
equality of matrices: 相等矩陣
matrix addition: 矩陣相加
scalar multiplication: 純量積
matrix multiplication: 矩陣相乘
partitioned matrix: 分割矩陣
2.2 矩陣運算的性質
三種矩陣基本運算:
(1) 矩陣相加 (2) 純量積 (3) 矩陣相乘
16/95
零矩陣 (zero matrix)：
0m×n
n階單位矩陣 (identity matrix of order n)：
In線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 pp.75-81
矩陣相加與純量積的性質
則(1) A+B = B + A
(2) A + ( B + C )=( A + B ) + C
純量 若
A,B,C∈Mm×n, c,d :17/95
(3) ( cd ) A = c ( dA ) (4) 1A = A
(5) c( A+B ) = cA + cB (6) ( c+d ) A =cA + dA
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.75
零矩陣的性質
純量 若
A∈Mm×n, c:A 0
A ) 1 (
+ m×n = 則
n
0m
(-A) A
(2) + = ×
n m n
m c 0 or A 0
0 cA
) 3
( = ×
⇒
= = ×18/95
n m n
m c 0 or A 0
0 cA
) 3
( = ×
⇒
= = ×
注意：
(1) 0m×n: 所有m×n矩陣的加法單位矩陣
(2) -A: 矩陣A的加法反元素(additive inverse)
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.77
矩陣相乘的性質
(1) A(BC) = (AB)C
(2) A(B+C) = AB + AC (3) (A+B)C = AC + BC
(4) c (AB) = (cA) B = A (cB)
19/95
(4) c (AB) = (cA) B = A (cB)
單位矩陣的性質
A AI
n Mm
A
n =×
∈ ) 1 (
則 若
A A
Im =
) 2 (
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.78&p81
矩陣的轉置 (transpose)
n m
mn m
m
n n
M a
a a
a a
a
a a
a
A ∈ ×
=
2 1
2 22
21
1 12
11
L
M M
M M
L L 若
20/95
m n
mn n
n
m m
T M
a a
a
a a
a
a a
a
A ∈ ×
=
2 1
2 22
12
1 21
11
L
M M
M M
L L 則
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.83
範例: 求下列每一個矩陣的轉置
=
8 A 2(b)
=
9 8
7
6 5
4
3 2
1 A
(c)
−
=
1 1
4 2
1 0
A
解:
(a)
=
8A 2 ⇒ AT =
[
2 8]
(a)
21/95
8
(b)
=
9 8
7
6 5
4
3 2
1 A
=
⇒
9 6
3
8 5
2
7 4
1 AT
(c)
−
=
1 1
4 2
1 0
A
= −
⇒
1 4 11 2
T 0 A
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 pp.83-84
( )
( )
( ) ( )
( )
) 4 (
) 3 (
) 2 (
) 1 (
T T T
T T
T T T
T T
A B AB
A c cA
B A
B A
A A
=
=
+
= +
=
轉置矩陣的性質
和的轉置
純量積的轉置 矩陣乘積的轉置
22/95
( )
) 4
( AB = BT AT
矩陣乘積的轉置
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.84
對稱矩陣 (symmetric matrix)
若 A = A
T，則方陣 A 被稱為對稱矩陣
若 A
T = -A ，則方陣 A 被稱為反對稱矩陣
範例:
1 2 3
反對稱矩陣 (skew-symmetric matrix)
23/95
範例:
=
6 5 4
3 2
1
c b
a
若
A為對稱矩陣，則 a, b, c為何?
解:
5
, 3
,
2 = =
= b c
a
=
6 5 4
3 2
1
c b
a A
=
6 5
3
4 2
1
c b a
AT
AT
A =
⇒
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節
範例:
=
0 3 0
2 1
0
c b
a
若 A
為反對稱矩陣，則 a, b, c為何?
解:
, 3 0
2 1
0
= a
A
−
−
−
−
=
− 1 0
0
c b a
AT
24/95
3
, 2
,
1 = − = −
−
= b c
a
注意:
AAT
是對稱矩陣
證明:
為對稱矩陣
T
T T
T T T
T
AA
AA A
A AA
∴
=
= ( ) )
(
0
b c
−2 −3 0 AT
A = −
⇒
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.86
實數
ab = ba
乘法交換律
矩陣
BA AB ≠
p n n m× ×
三種可能情形
25/95
沒有定義 有定義
則 若
(1)
BA p AB
m ≠
說明見範例4
但未必相等) (矩陣大小相同,
m m
m m
M BA
M n AB
p m
×
×
∈
= ∈
=
則 若
(3)
n n
n m
M BA
M n AB
m p m
×
×
∈
≠ ∈
=
則
若
(2)
, 三種可能情形(矩陣大小不同)
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 補充補充補充補充
範例 4： 無交換性的矩陣相乘
對下列的矩陣證明 AB 和 BA 不相等
= −
1 2
3
A 1
與
−= 0 2 1 B 2
解:
=
−
=
1 3 2 1 2 526/95
= −
−
= −
4 4
5 2
2 0
1 2
1 2
3 AB 1
注意:
BA AB ≠
= −
−
−= 4 2
7 0
1 2
3 1
2 0
1 BA 2
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 pp.79-80
實數
ac = bc , c ≠ 0 b
a =
⇒ 乘法消去律
矩陣
27/95
0 ≠
= BC C AC
(1) 若C是可逆，則A=B
(2) 若C是不可逆，則 A ≠ B (消去法不成立)
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.80
範例 5： 消去法不成立的範例 對下列的矩陣證明 AC=BC
−
= −
=
=
2 1
2 1
3 , 2
4 2
1 , 0
3
1 B C
A
解:
1 3
1 − 2
− 2 4
28/95
解:
−
= −
−
−
=
2 1
4 2
2 1
2 1
1 0
3 AC 1
因此
AC = BC但是
A ≠ B
−
= −
−
−
=
2 1
4 2
2 1
2 1
3 2
4 BC 2
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.80
摘要與複習 (2.2節之關鍵詞)
zero matrix: 零矩陣
identity matrix: 單位矩陣
transpose matrix: 轉置矩陣
symmetric matrix: 對稱矩陣
skew-symmetric matrix: 反對稱矩陣
29/95
skew-symmetric matrix: 反對稱矩陣
2.3 反矩陣
反矩陣 (inverse matrix)
n
Mn
A∈ ×
若存在一矩陣
B∈Mn×n使得
AB = BA = In考慮
則 (1) A 是可逆(invertible)或非奇異(nonsingular)矩陣
(2) B A30/95
注意:
若矩陣沒有反矩陣則稱此矩陣為不可逆(noninvertible) 或奇異(singular)矩陣
(2) B 為 A 的反矩陣
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.90
定理 2.7： 反矩陣的唯一性
若 B 與 C 都是 A 的反矩陣，則 B = C 證明:
C B
CA
CI AB
C
I AB
=
=
=
) (
) (
31/95
C B
C IB
C B
CA
=
=
=
) (
因此 B=C，所以一矩陣的反矩陣是唯一的
注意:
(1) A 的反矩陣被表示成 (2)
−1
A I
A A
AA−1 = −1 =
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 pp.90-91
利用高斯-喬登消去法求一矩陣的反矩陣
[
A | I]
高斯喬登消去法→[
I | A−1]
範例 2： 求下列矩陣的反矩陣
−
= −
3 1
4 A 1
解:
AX = I32/95
解:
=
−
− 0 1
0 1 3
1
4 1
22 21
12 11
x x
x x
1 3
0 4
0 3
1 4
22 12
22 12
21 11
21 11
=
−
−
= +
=
−
−
=
⇒
+x x
x x
x x
x x
1 2
=
−
−
−
−
+ +
1 0
0 1 3
3
4 4
22 12
21 11
22 12
21 11
x x
x x
x x
x x
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.92
−
→
−
⇒
− −1 1
0
3 0
1 0
3 1
1 4
1
) 4 ( 21 (1) 12 ,
r
M
M M
M
高斯 喬登消去法r
−
→
−
⇒
− − −1 1
0
4 0
1 1
3 1
0 4
1
) 4 ( 21 ) 1 (
12 ,
M
M M
M
高斯 喬登消去法r r
1 ,
3 21
11 = − =
⇒ x x
1 ,
4 22
12 = − =
⇒ x x
1
2
33/95
−1 −3M
1 0 1M
1
− −=
= −
1 1
4
1 3 A X
所以
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.92
注意：
1 1
1 0
4 3
0 1 1
0 3
1
0 1 4
1
1 , 21( 4)
) 1 ( 12
−
−
− −
→
−
− −
A I
I A
r
r
M
M M
M
高斯 喬登消去法A I
34/95
若矩陣 A 不能夠用列運算將其化成單位矩陣 I，
則矩陣 A 為奇異矩陣。
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.93
範例 3： 求下列矩陣的反矩陣
−
−
−
=
3 2
6
1 0
1
0 1
1 A
解:
1 −1 0 M 1 0 0
35/95
R2+(-1)R1->R2
1 0
0 3
2 6
0 1 1
1 1
0
0 0
1 0
1 1
)
1 ( 12
−
−
−
−
→
−
M M M
r
[ ]
−
−
−
=
1 0
0
0 1
0
0 0
1
3 2
6
1 0
1
0 1
1
M M M M I
A
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.94
( )
4
1 4
2 1
- 0 0
0 1 1
- 1
- 1 0
0 0
1 0
1 - 1
3 2 3
) 4 (
23 R R R
r + →
→
M M M
3 1
3 (6)R - R
R 1
0 6
0 1
1
0 0
1
3 4
0
1 1
0
0 1
1
)
6 (
13 + >
−
−
−
−
→
M M M
r
36/95
( )
-1 3 31
4 2
1 0
0
0 1
1 1
1 0
0 0
1 0
1 1
)
1 (
3 R R
r →
−
−
−
−
−
−
→
−
M M M
1 4
2 1
- 0
0
M
2 3
2 (1)
1
4 2
1 0
0
1 3
3 0
1 0
0 0
1 0
1 1
)
1 (
32 R R R
r + →
−
−
−
−
−
−
−
→
M M M
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.94
A
1 2
1
1
4 2
1 0
0
1 3
3 0
1 0
1 3
2 0
0 1
)
1 (
21 R R R
r + →
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
M M M
] [
−1
= I M A
37/95
所以矩陣 A 是可逆的，其反矩陣為
−
−
−
−
−
−
−
−
−
− =
1 4
2
1 3
3
1 3
2 A 1
我們可以藉由 A 和 的相乘來得到 以確認其為反矩陣
注意：
1
I A
−線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 pp.94-95
方陣的冪次 (power)
IA0 =
) 1 (
0) (k
) 2 (
個
>
=
1 L 2 3
k
k AA A
A
整數
:,
) 3
( Ar ⋅ As = Ar+s r s
38/95
rs s
r A
A ) = (
=
⇒
=
k n k
k
k
n d
d d
D d
d d
D
L
M M
M
L L
L
M O
M M
L L
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
) 4
( 2
1 2
1
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 補充補充補充補充
定理 2.8： 反矩陣的性質
若 A 是可逆矩陣，則有下列的性質:
A A
A−1 ( −1)−1 =
) 1
(
是可逆且
k k
k
k A A A A A A
A− ( )− = − − − = ( − ) = −
) 2
(
是可逆且
11
142 4
1L 43 4
1 139/95
k
A A
A A
A A
A ( ) = = ( ) =
) 2 (
個
4 43 4
42
1 L
是可逆且
0 1 ,
) (
c ) 3
( −1 = A−1 c ≠
cA c A
是可逆且
T T
T A A
A ( ) ( )
) 4
( − 是可逆且 −1 = −1
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.97
( )
AB −1 = B−1A−1
定理 2.9： 乘積的反矩陣
若 A 和 B 為大小為nxn的可逆矩陣，
則 AB 為可逆且 證明:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
I B B IB
B B
I B
B A A B
AB A
B
I AA
A AI A
I A A
BB A
A B AB
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
40/95
1 1
) 1
(AB − = B− A− AB
所以
因為反矩陣有唯一性 是可逆的
所以
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
B A AB = B A A B = B I B = B IB = B B = I
注意:
( )
1 11 2 1 3 1 1
3 2 1
−
−
−
− = A− A A A
A A
A
A
L
n nL
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 pp.99-100
定理 2.10： 相消性質
若 C 為可逆矩陣，則以下的性質成立
(1) 若 AC=BC，則 A=B(右相消性質)
(2) 若 CA=CB，則 A=B(左相消性質) 證明:
BC AC =
41/95
( ) ( )
( ) ( )
B A
BI AI
CC B
CC A
C BC C
AC
BC AC
=
=
=
=
=
−
−
−
−
1 1
1
1
因為
C是可逆 (即
C-1存在)
注意:
若C 不是可逆，則相消法是不成立的
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.101
b A x = −1
定理 2.11： 有唯一解的方程式系統
若 A 為一可逆矩陣，則此線性方程式系統Ax=b 有唯一解
證明:
( A 為一非奇異矩陣) b
A Ax
A
b Ax
1 1
−
− =
=
42/95
b A x
b A Ix
b A Ax
A
1 1
−
−
=
=
=
此解為唯一
2
1 x
x
和
若 為 Ax=b 的兩個解
2
Ax1 = b = Ax
則
2
1 x
x =
(左相消性質)
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 pp.101-102
注意:
b Ax =
[
A | b]
→A−1[
A−1A | A−1b] [
= I | A−1b]
[
A | b1 | b2 |L
| bn]
→A−1[
I | A−1b1 |L
| A−1bn]
43/95 線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節
摘要與複習 (2.3節之關鍵詞)
inverse matrix: 反矩陣
invertible: 可逆
nonsingular: 非奇異
singular: 奇異
power: 冪次
44/95
power: 冪次
2.4 基本矩陣
三項列基本矩陣
) ( )1
( Rij = rij I
列基本矩陣 (row elementary matrix)
一n
×n矩陣稱為列基本矩陣若它可以將單位矩陣 I 進行一次基本列運算來獲得
兩列互換
45/95
) 0 (
)
( )
2
( Ri(k) = ri(k) I k ≠ )
( )
3
( Rij(k) = rij(k) I
一列乘以一非零常數
某一列的倍數加到另一列
列基本矩陣
基本列運算
單位矩陣
注意:
只能做“一次”列運算
線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.107
範例 1： 基本矩陣與非基本矩陣
(a)
1 0 0
0 3
0
0 0
1
(b)
0 1
0
0 0
1
(c)
0 0
0
0 1
0
0 0
1
(d)
0 1
0
1 0 0
0 0 1
)) (I (r(3)
是 不是
(非方陣) 不是(必須乘上是
(r23(I3))46/95
(e)
1 2
0 1
(f)
−1 0
0
0 2
0
0 0
1 ))
(I (r2(3) 3
是 不是
(非方陣)) (
一個非零常數 必須乘上
不是
是
(r23(I3)))) (I (r12(2) 2
是 不是
(必須只做一次列運算)線性代數線性代數線性代數
線性代數: 2.1節節節節 p.107
