數值分析簡式橢偏儀中的偏光片及析光片之校正及更正

國 立 交 通 大 學

光電工程研究所

數值分析簡式橢偏儀中的偏光片

及析光片之校正及更正

Numerical correction for the azimuth deviation

of polarizer and analyzer in PSA ellipsometry

研 究 生：林奕德

指導教授：趙于飛

數值分析簡式橢偏儀中的偏光片

及析光片之校正及更正

Numerical correction for the azimuth deviation of

polarizer and analyzer in PSA ellipsometry

研究生：林奕德 Student：Yi-De Lin

指導教授：趙于飛 Adviser：Dr. Yu-Faye Chao

國立交通大學

光電工程研究所

碩士論文

A Thesis

Submitted to Institute of Electro-Optical

Engineering

College of Electrical Engineering and Computer Science

National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

For the Degree of

Master

On

Electro-Optical Engineering

July 2005

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

誌謝

兩年來的研究所生活讓我學習到許多事物，包括書本中知

識、實驗精神以及如何去解決未知事物。

感謝趙于飛老師兩年來給我的指導以及提供我良好的研究環

境，使我的碩士論文得以順利完成。而每當我碰到書上的問提或是物

理觀念不清楚時，可經由跟學長及同學的討論幫助我解決問題、釐清

觀念。至於實過程中，李康源學長的教導與討論，讓我在實驗的技巧

有很大的幫助。至於對我幫助最大的當然是同學，無論是心情不好或

是課業問題、實驗問題，你們都會幫助我。

最後僅將本論文獻給我的父母、家人，沒有你們的協助、關

心，我是不可能完成碩士學位。

數值分析簡式橢偏儀中的偏光片

及析光片之校正及更正

學生：林奕德 指導敎授：趙于飛

國立交通大學光電工程研究所

摘要

本 文 將 在 簡 式 橢 圓 偏 光 儀 (Polarizer-Sample-Analyzer

ellipsometer, PSA) 架構下介紹新的數值計算法，此新法可量測樣品

之橢圓偏光參數 ( ,

Ψ ∆ )、偏光片和析光片的方位角誤差 ( ,

α β

)。本

文將証明此新法只需量測六個光強度，即可推算橢圓偏光參數、偏光

片和析光片的方位角誤差。並用所測得之方位角誤差更正偏光片及析

光片原點，修正樣品之橢圓偏光參數，進而推算薄膜的厚度和入射角。

我們僅用了六個光強度，即可校正橢圓偏光系統；並修正樣品之橢圓

偏光參數。此數值計算法可求得較佳的薄膜光學參數，不但節省了量

測的時間，並提高了其精確度。

Numerical correction for the azimuth deviation of

polarizer and analyzer in PSA ellipsometry

student：Yi-De Lin Advisors：Dr. Y. F. Chao

Institute of Electro-Optical

National Chiao Tung University

Abstract

This work presents a novel technique to determine the ellipsometric parameters (Ψ ∆ ) , and the azimuth deviations of the polarizer and analyzer (α β, ) in a polarizer- sample-analyzer ellipsometer. We will prove that this technique only needs six intensity measurements to extract the ellipsometric parameters and the azimuth deviations. The six intensity measurements is to perform two sets of this three-intensity measurement with the polarizer’s azimuth at 45o and -45o, respectively, we can obtain a set of ellipsometric parameters, which are free from the azimuth deviations of polarizer and analyzer. The ellipsometric parameters can be used to deduce the thickness of the thin film and incident angle. By this method, we can get the optimized parameters of the thin film, reduce the time of measurement, and raise its accuracy.

目 錄

第一章 序論………1

第二章 基本原理 2.1 光波的電場理論與橢圓偏極態理論………4

2.2 史脫克參數 (Stokes Parameter) 與穆勒矩陣 (Mueller Matrix)………7

2.3 橢圓特性參數 (Ψ ∆ ) 之定義………9 ,

2.4 反射光之史脫克參數 (Stokes Parameter)與穆勒矩陣 (Mueller Matrix)…13 2.5 簡式橢偏儀 (PSA：Polarizer Sample Analyzer) 求橢圓偏光參………15

2.6 考慮偏光片及析光片方位角誤差的影響………19 2.7 數值模擬………25 第三章 實驗結果 3.1 實驗裝置及規格………26 3.2 實驗步驟………27 3.3 校正偏光片和析光方方位角原點………28 3.4 探討方位角誤差對於橢圓偏光參數的影響………30 3.5 量測入射角及樣品厚度………35 3.6 量測傾斜角………37 第四章 結論………39 參考文獻 附錄 A………40 附錄 B………42 附錄 C………44 附錄 D………47 附錄 E………48 附錄 F………51

圖 目 錄

圖 1-1：光強度相對於析光片方位角之分布圖………2 圖 1-2：流程圖………2 圖 2-1：橢圓偏振光………5 圖 2-2：線性偏振光………6 圖 2-3：圓偏振光………6 圖 2-4：單次反射………10 圖 2-5：多次反射………10 圖 2-6：光程一………10 圖 2-7：光程二………10 圖 2-8：橢圓偏振光………16 圖 2-9：方位角誤差和Ψ 的關係(方法一)………25 圖 2-10：方位角誤差和∆ 的關係(方法一)………25 圖 2-11：方位角誤差和Ψ 的關係(方法二)………25 圖 2-12：方位角誤差和∆ 的關係(方法二)………25 圖 3-1：簡式橢偏儀系統裝置圖………26 圖 3-2：α 和析光片偏移量的關係………32 圖 3-3：β和析光片偏移量的關係………32 圖 3-4：∆ 和析光片偏移量的關係………33 圖 3-5：Ψ 和析光片偏移量的關係………33 圖 3-6：α 和偏光片偏移量的關係………33 圖 3-7：β和偏光片偏移量的關係………33 圖 3-8：∆ 和偏光片偏移量的關係………33 圖 3-9：Ψ 和偏光片偏移量的關係………33 圖 3-10：入射角和厚度的關係………36 圖 3-11：∆ 和入射角的關係………36 圖 3-12：Ψ 和入射角的關係………36 圖 3-13：樣品傾斜圖………38 圖 F-1：傾斜圖………51

表 目 錄

表一：定義參數………2 表二：未校正時測得之橢圓偏光參數………28 表三：已校正時測得之橢圓偏光參數………28 表四：未校正時測得之方位角誤差………29 表五：己校正時測得之方位角誤差………29 表六：析光片偏移量和各參數的關係………31 表七：偏光片偏移量和各參數的關係………31 表八：不同入射角之實驗結果………35 表九：實驗結果………37 表十：由 δα 和入射角計算斜傾角………38 表十一：由 δβ 和入射角計算斜傾角………38

第一章 序論

當一道光入射至物體表面所產生反射光的偏振態 (polarized

state) 決定於物體的光學特性和入射光的偏振態 [1][2]；因此可借

由量測入射光、反射光的偏振態來推測物體的光學特性 (如：折射

率、吸收率、厚度等)，這種量測方法稱為橢圓偏光術 (ellipsometry)，

運用此技術所發展出來的儀器為橢圓儀 (ellipsometer)。

橢圓儀可說是與干涉儀精密度相當的一種測量儀器，橢圓儀

它可量測材料的厚度、折射率、吸收率等。根據運作原理的不同，橢

圓儀可以分為歸零式橢圓儀 (nulling ellipsometer) 和亮度式橢圓儀

(photometric ellipsometer)。歸零式橢圓儀發展較早，所以市面上所購

得的多為此型，由於須尋找最暗點故需要有一個極靈敏的偵測器。而

Meyer et. Al. [3] 測量析光片各個方位角下的反射光強度分布，並利

用最小平方法來推算物質之光學特性。

趙于飛教授 [4] 僅將析光片

轉動至三個角度，量測該角度下的光強度即可推算出橢圓偏光參數，

並降低了因偏光片的方位角誤差所造成的影響 [5]。本實驗室陳居仁

[6] 利用擴束系統和電子耦合偵測器 (CCD)製成二維影像橢圓偏光

儀。傳統的橢圓偏光儀組成元件主要為偏光片 (Polarizer)、補波片

(Compensator)、待測樣品 (Sample) 和析光片 (Analyzer)，由於本

文實驗架構並沒有補波片，故稱為簡式橢圓偏光儀 (Polarizer Sample

Analyzer ellipsometry, PSA)，此型可輕易的使用在各波長的量測上而

成橢圓偏光光譜儀。

為了量測的精確，橢圓偏光儀對平面的要求非常嚴格，如果

樣品表面傾斜會造成入射面和入射角的改變，其中入射角的改變會直

接影響橢圓偏光參數；入射面的改變會影響偏光片和析光片的方位角

誤差，而方位角誤差會造成測得之橢圓偏光參數的誤差。本文將介紹

一個新的數值計算法，此方法所測得之橢圓偏光參數和方位角誤差無

關，並利用數值模擬驗証此結果。圖 1-2 為光強度相對於析光片方位

角之分布圖，其中各參數定於表一。此方法只須量測六個光強度即可

計算出析光片及偏光片方位角誤差和橢圓偏光參數，詳細過程如下：

P 控制偏光片轉臺的面板度數 已知 α 偏光片方位角誤差 未知 P+α 實際偏光片方位角 未知 A 控制析光片轉臺的面板度數 已知 β 析光片方位角誤差 未知 A+β 實際析光片方位角 未知 L 長軸的平方 未知 T 短軸的平方 未知 θ 長軸偏振角 (azimuth angle) 未知 表一：定義參數

得到

Ψ

, ,

α

∆

45

P

=

0 ,60 ,120

A

=

量取三個光強度

45

P

= −

0 ,60 ,120

A

=

量取三個光強度

得到

L T

₁

, ,

₁

θ β

₁

−

得到

L T

₂

, ,

₂

θ

₂

−

β

得到

β

得到

θ θ

₁

,

₂ 圖 1-1：流程圖 圖 1-2：光強度相對於 析光片方位角之分布圖

此新法可以量測到方位角誤差並且修正樣品之橢圓偏光參

數，其好處分成以下三部分討論：

一、在 2.7 節中，我們純用數值模擬橢圓偏光參數，並分析其值是否

會受到方位角誤差的影響，其結果證明此法所得的橢圓偏光參數完全

不受到方位角誤差的影響。所以我在 3.4 節中量測不同方位角誤差的

橢圓偏光參數並且和數值模擬結果比較。

二、簡式橢偏儀架構最重要的是校正偏光片及析光片之方位角和確定

入射角，由此法所測得之結果可以完全解決此問題。(1)控制偏光片

及析光片轉臺的面板度數 (

P A) 為己知值，再利用量測其方位角誤

,

差 (

α β

,

) ， 再 重 新 設 定 面 板 度 數 為 (

P A ) ， 即

', '

P

'=

P

+ 和

α

'

A

= +

A

β

。(2)由修正後的橢圓偏光參數推算薄膜的厚度和入射角，

用此方法確定入射角。

三、為了瞭解面的傾斜狀態，我們故意將樣品表面傾斜一固定角並分

析其造成入射面和入射角變化，證明可由入射角和入射面改變量推知

傾斜角。

第二章 原理

2.1 光波的電場理論與橢圓偏極態理論

光波實質上就是電磁波，完整描述光波要用到四個基本的場

向量。而我們通常以光波電場的時變分布來定義光波之偏振狀。假設

光波沿 z 軸方向前進，則電場之振動方向將位於 x-y 平面上，而電

場可表示為

( , ) x( , ) y( , ) E z t =E z t i+E z t j

(2.1)

其中

( , ) cos( ) x ox x E z t =E wt−κz+δ

(2.2a)

( , ) cos( ) y oy y E z t =E wt−κz+δ

(2.2b)

κ

：波數 ( wave number )

w

：角頻率 ( angular frequency )

x

δ

：x 方向的相位

y

δ

：y 方向的相位

將(2.2a)及(2.2b)兩式的三角函數展開可得

( , )

cos( ) cos( ) sin( )sin( )

x x x ox E z t wt z wt z E = −κ δ − −κ δ

(2.3a)

( , )

cos( ) cos( ) sin( )sin( )

y y y oy E z t wt z wt z E = −κ δ − −κ δ

(2.3b)

將(2.3a)及(2.3b)合併計算可得

( , ) ( , )

sin( ) y sin( ) cos( )sin( )

x y x y x ox oy E z t E z t wt z E δ − E δ = −κ δ −δ

(2.4a)

( , ) ( , )

cos( ) y cos( ) sin( )sin( )

x y x y x ox oy E z t E z t wt z E δ − E δ = −κ δ −δ

(2.4b)

將(2.4a)及(2.4b)式合併可得

2 ( , ) 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( x ) ( y ) 2 x y cos( ) sin ( ) ox oy ox oy E z t E z t E z t E z t E + E − E E δ = δ

(2.5)

其中

x y δ δ= −δ

方程式(2.5)為橢圓方程式，也就是說在任何時間點電場的傳播軌跡

為橢圓形。

一般來說，橢圓的長軸和短軸並不是在 x 軸和 y 軸上；所

以必須借由座標轉換才可將(2.5)式化成標準的橢圓方程式。如圖 2-1

所示，將座標 (x,y) 旋轉

θ

角，則新座標 (x`,y`) 為

' _cos ' _sin x x y E =E θ −E θ

(2.6a)

'_sin ' _cos y x y E =E θ+E θ

(2.6b)

將(2.6a)和(2.6b)代入(2.5)式中計算可得[1]

2 2 ' ' 2 2 1 y x E E a + b =

(2.7)

2 2 _cos2 2 _sin2 _{2 cos cos sin}

ox oy ox oy

a =E θ +E θ + E E δ θ θ ≡L

(2.8a)

2 2 _sin2 2 _cos2 _{2 cos cos sin}

ox oy ox oy b =E θ +E θ − E E δ θ θ ≡T

(2.8b)

2 2 2 cos tan 2 ox oy ox oy E E E E δ θ = −

(2.8c)

圖 2-1：橢圓偏振光

因光波在任一點之電場分布為橢圓形故稱橢圓偏振形式，接

下來介紹幾種橢圓偏極的特例：

(1) 當

δ

= 或

0

δ

= ± 時，電場為沿著固定方向振動，稱為線性

π

偏振光 (圖 2-2)。

(2) 當

2

π

δ

= 並且 x 與 y 方向之振幅相等時，電場在 x-y 平面

的振幅永遠相同，稱為圓偏振光 (圖 2-3)。

圖 2-2：線性偏振光

圖 2-3：圓偏振光

為了方便描述電場之偏振狀態，通當以 2 乘 1 階矩陣表示電場，此 2

乘 1 階矩陣稱為瓊斯向量 (Jones vector)。

( ) x y i ox _{i wt z} i oy E e E e E e δ κ δ − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(2.9)

一般而言瓊斯向量只能表示純偏振光(pure polarized light)，不能表示

純 非 偏 振 光 (unpolarized light) 或部份偏振光(partially polarized

light)，但光波大部份均為部份偏振光，故須用史脫克參數來代表。

2.2 史脫克參數 (Stokes Parameter) 與穆勒矩陣 (Mueller

Matrix)

史脫克參數 (Stokes Parameter) 為 4 乘 1 階矩陣

2 2 0 2 2 1 2 3 2 cos( ) 2 sin( ) ox oy ox oy ox oy ox oy S E E S E E S S E E S E E δ δ ⎡ + ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ₋ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.10)

其中

2 2 2 2 0 1 2 3 S =S +S +S

(2.11)

3 3 0 0 sin 2 sin 2 S S S S = ε ⇒ = ε

(2.12)

2 2 1 1 tan 2 tan 2 S S S S = θ ⇒ = θ

(2.13)

將(2.13)和(2.12)式代入(2.11)可得

0 1 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 p S I p p θ ε θ ε ε ⎡ ⎤ ⎢ _{⋅ ⋅} ⎥ ⎢ ⎥ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ _⋅ ⎥ ⎣ ⎦

(2.14)

其中

p ：偏極度 (degree of polarization)

0

I

：入射光強度 (Intensity)

當 p=1 時為純偏振光 (pure polarized light)，而 p 和

I

₀

方程式為：

2 2 0 ox oy I =E +E 1 2 2 _{2 2} 1 2 3 0 (S S S ) p S + + =

當一入射光進入偏光元件時，可用穆勒矩陣 (M) 表示入射光

(S) 和出射光 (S`) 的關係

' 00 01 02 03 0 0 ' 10 11 12 13 0 ' 1 ' 20 21 22 23 0 2 ' 30 31 32 33 0 3 m m m m S S m m m m S S S M S m m m m S S m m m m S S ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.15)

以下列舉常用到的矩陣

(1)旋轉矩陣 (假設旋轉

φ

度)

1 0 0 0 0 cos 2 sin 2 0 0 sin 2 cos 2 0 0 0 0 1 R M φ φ φ φ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(2.16)

(2)偏光片的方位角為 P 度時

1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 cos 2 sin 2 0 1 1 0 0 0 cos 2 sin 2 0 ( )

0 sin 2 cos 2 0 0 0 0 0 0 sin 2 cos 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 polarizer P P P P M P P P P P ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⋅ ⋅ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 1 cos 2 sin 2 0 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 0 1

( )

sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 0 2 0 0 0 0 polarizer P P P P p P M P P P P P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⇒ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(2.17)

2.3 橢圓特性參數 (

Ψ ∆

,

) 之定義

根據馬克斯威爾方程式 (Maxwell equations) 和介面條件

(Boundary conditions) 可導出介質表面的反射係數及穿透係數。

1 0 0 1 1 0 0 1 cos cos cos cos p n n r n n θ θ θ θ − = +

(2.18a)

0 0 1 1 0 0 1 1 cos cos cos cos s n n r n n θ θ θ θ − = +

(2.18b)

0 0 1 0 0 1 2 cos cos cos p n t n n θ θ θ = +

(2.18c)

0 0 0 0 1 1 2 cos cos cos s n t n n θ θ θ = +

(2.18d)

其中

p

r

：平行入射面方向之反射係數

s

r ：垂直入射面方向之反射係數

p

t

：平行入射面方向之穿透係數

s

t ：垂直入射面方向之穿透係數

0

n ：入射前介質之折射率

1 n

：待測物之折射率

0

θ

：入射角

1

θ ：折射角

定義

( ) tan i p p i p s s s r r e e r r δ δ− ∆ Ψ = =

(2.19)

p i p p r = r eδ

，

is s s r = r eδ

由前式可得：

tan p s r r Ψ =

，

∆ =δp−δs

tan

Ψ 為反射光在平行入射面與垂直入射面之振幅比值

∆ 為反射光在平行入射面與垂直入射面之相位差

這兩參數被命名為橢圓偏光參數 (ellipsometric parameters)，

橢圓儀所能測得的即為此參數，如何藉此參數得到樣品的光學常數則

須了解各個光學常數 (例如：入射角、樣品的折射率、樣品的厚度…

等等) 對於參數的影響，接下來介紹兩種模式：

(1)塊狀物 (bulk medium)：單次反射型態 (如圖 2-4)

由方程式(2.18a)、(2.18b)、(2.19)可以知道橢圓偏光參數

(

Ψ ∆ ) 與物理參數 (

,

n n

₀

, ,

₁

θ

₀

) 之函數關係。

(2)薄膜型式 (thin film)：多次反射型態 (如圖 2-5)

由圖 2-5 可以了解反射光是由很多光干涉出來的，假設第一

道反射光和第二道反射光的相位差為

2

γ

，同理第二道反射光和第三

0

n

1

n

2

n

0

θ

1

θ

圖 2-6：光程一 圖 2-7：光程二 圖 2-4：單次反射 0

θ

1

θ

0

n

1

n

圖 2-5：多次反射

道反射光的相位差也為

2

γ

，所以第

n

道反射光和第

n

+1 道反射光

的相位差都為

2

γ

。則反射係數為：

2 2 4 2 3 6 01 01 10 12 01 10 10 12 01 10 10 12 .... i i i p p p p p p p p p p p p p r =r +t t r e− γ +t t r r e− γ +t t r r e− γ +

(2.20

a

)

2 2 4 2 3 6 01 01 10 12 01 10 10 12 01 10 10 12 .... i i i s s s s s s s s s s s s s r =r +t t r e− γ +t t r r e− γ +t t r r e− γ +

(2.20

b

)

其中

cos cos cos cos j i i j ijp j i i j n n r n n θ θ θ θ − = + cos cos cos cos i i j j ijs i i j j n n r n n θ θ θ θ − = + 2 cos cos cos i i ijp j i i j n t n n θ θ θ = + 2 cos cos cos i i ijs i i j j n t n n θ θ θ = + 1 [( ) ( ) 2 γ = 圖2 - 6的光程 − 圖2 - 7的光程 ] 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 2 2 2 sin sin 2 2 ) ( sin sin ) 2 cos cos cos

dn dn d n n π θ θ π π _{θ θ} θ λ − θ λ = θ λ − = ( 2 1 1 1 1 1 1 2 2 ( sin ) cos cos d d n n n π _θ π _θ θ λ λ = − =

(2.21)

d

：待測物厚度

λ

：雷射光的波長

ijp

r

：光線從介質 i 入射到介質 j 並且平行入射面方向之反射係數

ijs

r

：光線從介質

i

入射到介質

j

並且垂直入射面方向之反射係數

ijp

t ：光線從介質 i 入射到介質 j 並且平行入射面方向之穿透係數

ijs

t ：光線從介質 i 入射到介質 j 並且垂直入射面方向之穿透係數

方程式(2.20

a

)和(2.20

b

)是等比級數和，所以可簡化為

2 01 10 12 01 2 10 12 1 i p p p p p i p p t t r e r r r r e γ γ − − = + − 2 01 10 12 01 2 10 12 1 i s s s s s i s s t t r e r r r r e γ γ − − = + −

又因

10 10 r = −r

，

t t_{01 10}= −1 r₀₁2

所以

2 2 01 12 01 12 2 2 01 12 01 12 1 tan 1 i i p p p i s s i i s p p s s r r r e r r e e r r r e r r e γ γ γ γ − − ∆ − − + + Ψ = = + +

(2.22)

由方程式(2.21)、(2.22)可知橢圓偏光參數 (

Ψ ∆

,

) 與物理

參數 (

n n n

₀

, , , ,

_{1 2}

θ

₀

d

) 之函數關係。所以由實驗值 (

Ψ ∆

,

) 和已知值

(

n n n ) 可求出入射角和待測物的厚度。

₀

, ,

_{1 2}

2.4 反射光之史脫克參數 (Stokes Parameter) 與穆勒矩陣

(Mueller Matrix)

在反射式的架構下，

x

軸是平行入射面方向，

y

軸是垂直入

射面方向。

入射光的史脫克參數 (

Stokes Parameter

)

* * 0 * * 1 * * 2 * * 3 ( ) p p s s p p s s p s s p p s s p S E E E E S E E E E S E E E E S i E E E E = + = − = + = +

(2.23)

反射光的史脫克參數 (

Stokes Parameter

)

' * * 0 ' * * 1 ' * * 2 ' * * 3 ( ) p p s s p p s s p s s p p s s p S R R R R S R R R R S R R R R S i R R R R = + = − = + = +

(2.24)

又因

Rs =r Es s

，

Rp =r Ep p

所以方程式(2.23)和(2.24)可寫成矩陣模式

* * * * ' 0 0 * * * * ' 1 1 * * * * ' 2 2 * * * * ' 3 3 0 0 0 0 1 0 0 ( ) 2 0 0 ( ) p p s s p p s s p p s s p p s s p s s p p s s p p s s p p s s p S r r r r r r r r S S r r r r r r r r S S r r r r i r r r r S S i r r r r r r r r S ⎡ + − ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ _{− +} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₌ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ _{− +} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.25)

由定義

tan

i p s

r

e

r

∆

Ψ

=

方程式(2.25)可改寫成

' 2 2 0 0 ' * 2 2 1 1 ' 2 2 ' 3 3 1 tan 1 tan 0 0 1 tan 1 tan 0 0 2 0 0 2 tan cos 2 tan sin

0 0 2 tan sin 2 tan cos

s s S S S S r r S S S S ⎡ ⎤ ⎡ + Ψ − + Ψ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢_{− + Ψ + Ψ} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₌ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Ψ ∆ Ψ ∆⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{− Ψ ∆ Ψ ∆}⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.26)

所以一無向性待測物 (

isotropic sample

) 之穆勒矩陣 (

Mueller

Matrix

) 可表示為

2 2 2 2 1 tan 1 tan 0 0 1 tan 1 tan 0 0

0 0 2 tan cos 2 tan sin 0 0 2 tan sin 2 tan cos

sample M ⎡ + Ψ − + Ψ ⎤ ⎢_{− + Ψ + Ψ} ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ Ψ ∆ Ψ ∆⎥ ⎢ ⎥ − Ψ ∆ Ψ ∆ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(2.27)

2.5 簡式橢偏儀 (PSA：Polarizer Sample Analyzer)

求橢圓偏光參數

簡式橢偏儀架構為一入射光 (

S

_i

) 經過偏光片 (

M

_polarizer

( )

P

)

入射樣品 (

M

_sample

( , )

Ψ ∆

) 反射再經析光片(

M

_analyzer

( )

A

) 得一出射

光 (

S )；而實驗時只能量測到光強度，所以必須了解光強度和各參

_r

數 (

Ψ ∆

, , ,

P A

) 的函數關係，我以兩方面來探討此問題：

(1) 史脫克參數 (

Stokes Parameter

) 第一項就是光強度，所以只須利

用前面所提到的方程式(2.17)及(2.27)即可得到關係式。則矩陣乘積

為：

( ) ( , ) ( )

r analyzer sample polarizer i

S =M A M Ψ ∆ M P S 2 2 2 2 2 ' 0 2 1 cos2 sin 2 0 1 1 tan 1 tan 0 0 1

cos2 cos 2 sin 4 0

cos2

1 tan 1 tan 0 0

2

1 sin 2

4 0 0 2 tan cos 2 tan sin

sin 2 sin 4 sin 2 0

2 0 0 2 tan sin 2 tan cos 0

0 0 0 0 P P P P p P I P P P P + Ψ − + Ψ − + Ψ + Ψ = Ψ ∆ Ψ ∆ − Ψ ∆ Ψ ∆ ⎡ ⎤ ⎢ _{⎥⎡ ⎤⎡ ⎤} ⎢ _{⎥⎢ ⎥⎢ ⎥} ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

則

S 的第一項為：

_r ' 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0

(sin sin tan cos cos 0.5 tan cos sin 2 sin 2 ) 4

(sin sin tan cos cos 0.5 tan cos sin 2 sin 2 )

I I P A P A P A I I P A P A P A = + Ψ + Ψ ∆ → = + Ψ + Ψ ∆

(2.28)

方程式(2.28)為光強度和各參數的函數關係。

(2) 以偏振態的觀念來探討此問題，當入射光經過偏光片時偏振態為

線偏振，經樣片反射後為橢圓偏振，再經析光片後偏振態為線偏振。

假設橢圓偏振的圖形為圖 2-8，而析光片的穿透軸和橢圓交在

B

點

，則測量到的光強度為距離

OB

的平方，數學式子為：

2_{cos (}2 ₎ 2_{sin (}2 _{) cos (}2 _{) sin (}2 ₎

I =a θ −A +b θ −A =L A−θ +T A−θ

(2.29)

由定義

' '

tan p tan tan oy ox

s p s oy ox r E E r r r E E Ψ = → Ψ = → Ψ =

(2.30)

其中 (

E

_ox'

,

E

_oy'

) 為經樣品反射後的狀態，而 (

E

_ox

,

E

_oy

) 為經過偏光

片後的狀態。假設偏光片為良好的偏振片則 (

E

_ox

=

cos ,

P E

_oy

=

sin

P

)

，方程式(2.30)可改寫成：

' ' ' ' tan cos tan

sin cos sin

oy ox ox oy E E P E P P P E Ψ Ψ = → =

(2.31)

由方程式(2.31)可以定：

' '

0tan cos , 0sin

ox oy

E = I Ψ P E = I P

(2.32)

由方程式(2.8

a

)、(2.8

b

)和(2.32)可得

2 2 2 2 2

0(tan cos cos sin sin 0.5tan sin 2 sin 2 cos )

L=I Ψ P θ + P θ + Ψ P θ ∆

(2.33a)

X

析光片穿透軸

b

a

a

O

B

θ

A

Y

圖 2-8：橢圓偏振光 Θ：偏振角 A：析光片方位角 O：原點

2 2 2 2 2

0(tan cos sin sin cos 0.5tan sin 2 sin 2 cos )

T =I Ψ P θ + P θ − Ψ P θ ∆

(2.33b)

方程式(2.29)中多了一個參數 (偏振角 θ)，我們必須找出 θ 和其

他參數 (

Ψ ∆

, , ,

P A

) 的函數關係。當 A

=

θ 時，光強度 (I) 為極值，

也就是說光強度對 A 微分一次後令 A

=

θ 答案為零，數學式表示

為：

A=θ ( , ) 0 I A P A ∂ ₌ ∂

(2.34)

把方程式(2.28)代入方程式(2.34)可得

2 2 2 2 2 2 2

cos sin 2 tan cos sin 2 (2sin cos ) cos sin 2 sin 2 tan 2

cos tan sin 2cos sin 2sin cos cos 2 cos 2

P P P P P P P P θ = ∆ Ψ = ∆ Ψ Ψ = ∆ Ψ Ψ − Ψ − Ψ − Ψ

(2.35)

或是由方程式(2.8

c

)也可得到上式。方程式(2.28)和方程式(2.29)

雖然數學形式不同，但是為同一個方程式(詳見附錄

A

)。

接下來介紹如何量測橢圓偏光參數 (

Ψ ∆ )，首先必須先改寫

,

方程式(2.29)為：

2_{cos (}2 ₎ 2_{sin (}2 _{) cos (}2 _{) sin (}2 ₎

I =a θ −A +b θ −A =L A−θ +T A−θ ( )cos2 ( )sin 2 (1 cos2 sin 2 ) 2 L T L T L T I A A L T L T θ θ + − − → = + + + + (1 cos2 sin 2 ) I B C A D A → = + +

(2.36)

上式中有 3 個未知數 (B,C,D)，故需三個不同 A 角的光強度以推知

三個未知數。我是測量 A 角在 0 度、60 度和 120 度的光強度，再經

數學計算即可得到 (B,C,D)，此方法稱為三點量測法。

1 ( ( 0 ) ( 60 ) ( 120 )) 2 3 L T B= + = I A= +I A= +I A= ( )cos 2 1 2 ( ( 60 ) ( 120 )) L T C I A I A L T B θ − = = − = + = + ( )sin 2 1 ( ( 60 ) ( 120 )) 3 L T D I A I A L T B θ − = = = − = +

再利用參數 (B,C,D) 和數學推算即可得到橢圓偏光參數

(

Ψ ∆ )，把方程式(2.33

,

a

)和方程式(2.33

b

)代入參數 (C) 可得 (詳

見附錄

B

)：

2 2 2 2 2 2

( )cos2 sin cos tan sin cos tan

L T P P C L T P P θ − − + Ψ = = + + Ψ 2 1 2 tan tan 1 C P C + → Ψ = −

(2.37)

2 1 arctan tan 1 C P C + → Ψ = −

(2.38)

由方程式(2.35)和參數 (C,D) 可得

cos sin 2 sin 2 tan 2 cos 2 cos 2 P D P C θ = ∆ Ψ = − Ψ (cos2 cos2 ) arccos (sin 2 sin 2 ) D P C P − Ψ → ∆ = Ψ

(2.39)

在不考慮偏光片及析光片方位角誤差的情況下，偏光片方位角 (P)

為已知值，由方程式(2.38)和方程式(2.39)即可求得橢圓偏光參數。

2.6 考慮偏光片及析光片方位角誤差的影響

假設偏光片方位角誤差為

α

，而析光片方位角誤差為

β

。則

前一節所提到的光強度方程式必須改寫成：

2 2 2 2 2

0(sin ( )sin ( ) tan cos ( )cos ( ) 0.5tan cos sin2( )sin2( ))

I=I P+α A+ +β Ψ P+α A+ +β Ψ ∆ P+α A+β 2 2 cos ( ) sin ( ) L A β θ T A β θ = + − + + − ( ) cos 2( ) ( )sin 2( ) (1 cos 2 sin 2 ) 2 L T L T L T I A A L T L T θ β θ β + − − − − → = + + + + (1 cos 2 sin 2 ) I B C A D A → = + +

其中

2 L T B= +

(2.40

a

)

cos 2( ) L T C L T θ β − = − +

(2.40b)

sin 2( ) L T D L T θ β − = − +

(2.40

c

)

2 2 2 2 2

0(tan cos ( )cos sin ( )sin 0.5tan sin 2( )sin 2 cos )

L=I Ψ P+α θ+ P+α θ+ Ψ P+α θ ∆

(2.41

a

)

2 2 2 2 2

0(tan cos ( )sin sin ( )cos 0.5tan sin 2( )sin 2 cos )

T =I Ψ P+α θ + P+α θ − Ψ P+α θ ∆

(2.41

b

)

當 A

+ = 時，光強度 (I) 為極值，以數學表示為：

β θ

A+ =θ ( , ) 0 I A P A _β ∂ = ∂

cos sin 2( )sin 2 tan 2 cos 2( ) cos 2 P P α θ α ∆ + Ψ = + − Ψ

→

(2.42)

由上面方程式知

α

會直接影響到參數 (

L T

, ,

θ

)；而

β

並不會影響

到參數，只會使量測到的偏振角為

θ β

− 。方程式(2.41

a

)和(2.41

b

)

有五個末知數 (

Ψ ∆

, , , ,I

α β

₀

)，可由相除的模式將

I

₀

消去，但是兩

個方程式還是不能解出四個未知數，所以必須量取不同 P 角的參數

(

L T

, ,

θ β

− )：

[1]先定 P=

45

由三點量測法得參數 (

B C D )，再經數學計算可

₁

, ,

_{1 1}

得 (

L T

₁

, ,

₁

θ β

₁

− )。

1 1 1 1 arctan 2 D C θ β− =

(2.43

a

)

1 1 1 1 1 sin(2( )) D B L B θ β = + −

(2.43

b

)

1 2 1 1 T = B −L

(2.43

c

)

[2]同理定 P=

45

由三點量測法得參數 (

B C D )，再經數學計算

₁

, ,

_{1 1}

可得 (

L T

₂

, ,

₂

θ

₂

− )。

β

如何從已知值 (

L T

₁

, ,

₁

θ β

₁

−

, , ,

L T

_{2 2}

θ

₂

− ) 解出未知數？我提出兩種

β

方法，方法一只考慮偏光片方位角誤差，也就是假設析光片方位角誤

差為零；方法二同時考慮兩個方位角誤差對於橢圓偏光參數的影響。

至於會介紹方法一，原因有兩個：(1)當橢圓偏光參數為某些特殊值

時，並不能同時考慮兩個方位角誤差，只能利用第一部分所提到的量

測方法來降低量測誤差。(2)可以比較兩個結果的差異。

[方法一] 假設析光片方位角誤差為零 (

β

= ) 和偏光片方位角誤

0

差為

α

，所以已知值變成 (

L T

₁

, ,

₁

θ

₁

, , ,

L T

_{2 2}

θ

₂

) ，先將方程式(2.41

a

)

和(2.41

b

)代入(2.40

b

)可以得到：

2 2 2 2 2 2

( )cos2 sin ( ) cos ( ) tan sin ( ) cos ( ) tan

L T P P C L T P P θ α α α α − − + + + Ψ = = + + + + Ψ

2 1 2 tan tan ( ) 1 C P C α + → Ψ = + −

(2.44)

將已知值代入上式：

1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 ₁ 1 1 ( ) cos 2 1 1

tan tan (45 ) tan (45 ) ( ) cos 2 ₁ 1 L T C L T L T C L T θ α α θ − + + + Ψ = ₋ + = + − − +

(2.45

a

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 ( ) cos 2 1 1

tan tan ( 45 ) tan ( 45 ) ( ) cos 2 ₁ 1 L T C L T L T _C L T θ α α θ − + + + Ψ = ₋ − + = − + − − +

(2.45

b

)

將(2.45

a)

及(2.45

b

)合併計算可得：

4 1 2 1 2 1/ 4 1 2 1 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) tan arctan(( ) ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) C C C C C C C C + + + + Ψ = → Ψ = − − − −

(2.46)

2 2 2 1 2 1 1 1 tan (45 ) tan ( 45 ) 1 1 C C C α C α + + + = − + − − 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 )(1 ) 1 (1 )(1 ) 1 arcsin( ) 2 (1 )(1 ) 1 (1 )(1 ) C C C C C C C C α + − − − + → = + − + − +

(2.47)

將已知值代入(2.42)式：

1 0

cos sin 2(45 )sin 2

tan 2 cos tan 2 cos 2(45 ) cos 2 α α θ α = ∆ + Ψ = − ∆ Ψ + − Ψ ∼

(2.48

a

)

2 ₀

cos sin 2( 45 )sin 2

tan 2 cos tan 2 cos 2( 45 ) cos 2 α α θ α = ∆ − + Ψ = ∆ Ψ − + − Ψ ∼

(2.48

b

)

其中

θ

₁

為 P=

45

之偏振角，

θ

₂

為 P=

−

45

之偏振角

由方程式(2.40

b

)和(2.40

c

)可得：

1 1 1 1 1 1 1 tan 2( ) arctan 2 D D C C θ β− = → − =θ β

(2.49

a

)

2 2 2 2 2 2 1 tan 2( ) arctan 2 D D C C θ −β = →θ − =β

(2.49

b

)

由方程式(2.48

a

)和(2.48

b

)知

θ

₁

∼

−

θ

₂

，而且由方程式(2.49

a

)和

(2.49

b

)知可經由相減來降低誤差，所以另取參數：

' 1 2 1 2 1 1 2 (( ) ( )) 1 (arctan arctan ) 2 4 D D C C θ β θ β θ = − − − = −

(2.50)

由方程式(2.48a) (令

α

= ) 和(2.50)可得：

0

' ' 1 1 tan 2 tan 2 cos tan 2 arccos( )

tan 2

θ θ = − ∆ Ψ → ∆ = −

上式中令

α

= 而不用(2.47)式所計算出來的參數 (

0

α

)，是因假設

0

β

= 時對於

α

的影響是很大的，因此在計算

∆ 時不考慮

α

。

[方法二] 定析光片方位角誤差和偏光片方位角誤差為

α β

,

，所以已

知值為 (

L T

₁

, ,

₁

θ β

₁

−

, , ,

L T

_{2 2}

θ

₂

− )，由方程式(2.41

β

a

)、(2.41

b

)合併

計算得：

2 2 2

( ) (cot tan( ) cot( ) tan ) sin L T P P LT α α + ₌ Ψ + + + Ψ ∆

(2.52

a

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( )cos2 sin ( ) cos ( ) tan 1 cot ( ) tan sin ( ) cos ( ) tan 1 cot ( ) tan

L T P P P L T P P P θ α α α α α α − ₌− + + + Ψ − +₌ + Ψ + + + + Ψ + + Ψ

(2.52

b

)

方程式(2.42)改寫成(詳見附錄

C

)：

cos sin 2( )sin 2 tan 2 cos 2( ) cos 2 P P α θ α ∆ + Ψ = + − Ψ 2 2 2 4cos tan 2

( cot tan(P ) cot(P ) tan )

θ α α ∆ → = − Ψ + + + Ψ

(2.53)

方程式(2.52

a

)、(2.52

a

)和(2.53)合併化簡為(詳見附錄

C

)：

2 2 2 ( ) sin 2 cot 4 L T LT θ − _{= ∆}

2 2 2 ( ) sin 2( ) cot 4 L T LT θ β β → − − + = ∆

(2.54)

將已知值代入上式：

2 2 2 1 1 1 1 1 ( ) sin 2( ) cot 4 L T L T θ β β − _{− + = ∆} 1 1 1 1 1 ( ) sin 2( ) cot 2 L T L T θ β β − → − + = ± ∆

(2.55

a

)

2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) sin 2( ) cot 4 L T L T θ β β − _{− + = ∆} 2 2 2 2 2 ( ) sin 2( ) cot 2 L T L T θ β β − → − + = ± ∆

(2.55

b

)

因為

θ

₁

∼

−

θ

₂

，所以(2.55

a

)和(2.55

b

)可合併成：

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) sin 2( ) sin 2( ) 2 2 L T L T L T θ β β L T θ β β − _{− + =} − − _{− +}

_(2.56)

將方程式(2.56)和差化積(詳見附錄

D

)：

2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) sin 2( ) sin 2( ) 2 2 tan 2 ( ) ( ) cos 2( ) cos 2( ) 2 2 L T L T L T L T L T L T L T L T θ β θ β β θ β θ β − = − _{− +} − ₋ − _{− −} − ₋

(2.57)

2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) sin 2( ) sin 2( ) 2 2 1 arctan ( ) ( ) 2 _{cos 2( ) cos 2( )} 2 2 L T L T L T L T L T L T L T L T θ β θ β β θ β θ β → − − _{− +} − ₋ = _{− −} − − −

(2.58)

由方程式(2.58)和已知值 (

θ β θ

₁

−

,

₂

− ) 可得偏振角 (

β

θ θ

₁

,

₂

)，再將

已知值代入方程式(2.41

a

)、(2.41

b

)和(2.42)並且合併計算得：

2 2 2 ' 1 1 1 1 2 2 2 1 1

( )cos 2 sin (45 ) cos (45 ) tan sin (45 ) cos (45 ) tan L T C L T θ α α α α − − + + + Ψ = ≡ + + + + Ψ

' 2 1 2 ' 1 1 tan tan (45 ) 1 C C α + → Ψ = + −

(2.59

a

)

2 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( )cos 2 sin ( 45 ) cos ( 45 ) tan sin ( 45 ) cos ( 45 ) tan L T C L T θ α α α α − ₌ − − + + − + Ψ _≡ + − + + − + Ψ ' 2 2 2 ' 2 1 tan tan ( 45 ) 1 C C α + → Ψ = − + −

(2.59

b

)

將(2.59

a

)和(2.59

b

)合併得：

' ' ' ' 1 2 1 1 ' ' ' ' 1 2 1 1 4 1 1 1 1 ₎1/ 4 tan arctan{( } 1 1 1 1 C C C C C C C C + + + + Ψ = → Ψ = − − − −

(2.60)

' ' 2 2 2 1 ' ' 2 1 1 1 tan (45 ) tan ( 45 ) 1 1 C C C α C α + _{+ =} + _{− +} − − ' ' 1 2 ' ' 1 2 ' ' 1 2 ' ' 1 2 (1 )(1 ) 1 (1 )(1 ) 1 arcsin( ) 2 _{(1 )(1 )} 1 (1 )(1 ) C C C C C C C C α + − − − + → = + − + − +

(2.61)

再前所得到參數 (

Ψ

, , ,

α β θ

₁

) 代入方程式(2.42)得：

1

cos sin 2(45 )sin 2 tan 2 cos 2(45 ) cos 2 α θ α ∆ + Ψ = + − Ψ 1

tan 2 (cos 2(45 ) cos 2 ) arccos( ) sin 2(45 )sin 2 θ α α + − Ψ → ∆ = + Ψ

(2.62)

由方程式(2.58)、(2.60)、(2.61)和(2.62)可得橢圓偏光參數 (

Ψ ∆ )

,

和方位角誤差 (

α β

,

)。

2.7 數值模擬

假設橢圓偏光參數為 (

Ψ =

30 ,

∆ =

140

) 和偏光片及析光片

方位角誤差為 (

α β

,

)，可模擬出

P

=

45

的參數 (

L T

₁

, ,

₁

θ β

₁

− ) 和

45

P

= −

的參數 (

L T

₂

, ,

₂

θ

₂

− )。由方法一可模擬出在不同方位角誤

β

差下的橢圓偏光參數 (

Ψ ∆

'

,

'

)，如圖 2-9、2-10；由方法二可模擬出

在不同方位角誤差下的橢圓偏光參數 (

Ψ ∆

"

,

"

)，如圖 2-11、2-12。

由圖 2-11 和圖 2-12 可以看出方法二可以完全消除方位角誤差對於橢

圓偏光參數的影響。

圖 2-9：方位角誤差和Ψ 的關係 (方法一) 圖 2-10：方位角誤差和∆ 的關係 (方法一) 圖 2-11：方位角誤差和Ψ 的關係 (方法二) 圖 2-12：方位角誤差和∆ 的關係 (方法二)

第三章 實驗結果

3.1 實驗裝置及規格

圖 3-1 為簡式橢偏儀系統裝置圖，其中偏光片方位角 (

α

) 是

把控制偏光片轉臺的面板度數轉到零的情況；析光片方位角 (

β

) 是

控制析光片轉臺的面板度數轉到零的情況。主要裝置規格為：

雷射 (

Laser

)：

HeNe Laser (

廠商

(MELLES GRIOT)

，

Model

：

05-STP-901)

光偵測器

(Detector)

：廠商

(Newport)

，

Model

：

818-SL

轉檯

(Tow-Axis Motion Controller)

：廠商

(

宏惠

)

，

Model

：

08THC-2

偏光片：廠商

(MELLES GRIOT)

，

Model:03-FPG-007

3.2 實驗步驟

步驟一：偏光片方位角轉到正 45 度

步驟二：析光片方位角轉到 0 度，量取光強度(

I )

₀

步驟三：析光片方位角轉到 60 度，量取光強度(

I )

₆₀

步驟四：析光片方位角轉到 120 度，量取光強度(

I

₁₂₀

)

由前一章方程式可得：

1 0 60 120 1 ( ) 3 B = I +I +I

，

C₁ 2 1(I₆₀ I₁₂₀) B = − +

，

1 60 120 1 ( ) 3 D I I B = − 1 1 1 1 arctan 2 D C θ β− =

，

1 1 1 1 1 sin(2( )) D B L B θ β = + −

，

T1=2B1−L1

步驟五：偏光片方位角轉到負 45 度

步驟六：析光片方位角轉到 0 度，量取光強度(

I )

₀'

步驟七：析光片方位角轉到 60 度，量取光強度(

I )

₆₀'

步驟八：析光片方位角轉到 120 度，量取光強度(

I

₁₂₀'

)

由前一章方程式可得：

' ' ' 2 0 60 120 1 ( ) 3 B = I +I +I

，

C₂ 2 1(I₆₀' I₁₂₀' ) B = − +

，

' ' 2 60 120 1 ( ) 3 D I I B = − 2 2 2 1 arctan 2 D C θ − =β

，

2 2 2 2 2 sin(2( )) D B L B θ β = + −

，

T2 =2B2−L2

將量測參數代入方程式(2.58)、(2.60)、(2.61)和(2.62)可得橢圓偏

光參數 (

Ψ ∆ ) 和方位角誤差 ( ,

,

α β

)。

3.3 校正偏光片和析光方方位角原點

實驗目的：方法二可以直接量測偏光片和析光片方位角誤差，也就是

說可以明確知道穿光軸和入射面所夾的角度。因此可以利用

α

和

β

校正偏光片和析光方方位角原點。

實驗流程：由 3.2 節的實驗步驟量取 4 組數據，利用

α

和

β

重新

設定偏光片和析光片方位角原點，再量取 4 組數據。

實驗結果：以下各表為樣品厚度 1293(Å)

SiO

₂

/

Si 在入射角 70 度時

所得各項參數。其中

Ψ

₁

和

∆

₁

為假設沒有方位角誤差的情況下，

並且偏光片方位角在 45 度所測得之橢圓偏光參數(利用方程式(2.38)

和(2.39))；同理

Ψ

₂

和

∆

₂

為偏光片在-45 度所測得之橢圓偏光參

數。

Ψ

和

∆

為方法二所測得之結果。

1 Ψ (度) Ψ₂(度) ∆₁(度) ∆₂(度) Ψ (度) ∆ (度) 1 70.4541 71.8046 83.7156 90.0729 71.1717 86.7423 2 70.4526 71.8124 83.7050 90.0913 71.1753 86.7445 3 70.4671 71.7866 83.7197 90.0859 71.1689 86.7543 4 70.4515 71.8017 83.6709 90.0903 71.1696 86.7270 平均 70.456 71.80 83.70 90.085 71.171 86.74 標準差 0.007 0.01 0.02 0.009 0.003 0.01 1 Ψ (度) Ψ₂(度) ∆₁(度) ∆₂(度) Ψ (度) ∆ (度) 1 71.1652 71.1876 86.7115 86.7666 71.1764 86.7390 2 71.1648 71.1823 86.7166 86.7432 71.1735 86.7299 3 71.1641 71.1687 86.7139 86.7419 71.1664 86.7279 4 71.1577 71.1900 86.7149 86.7364 71.1739 86.7256 平均 71.163 71.18 86.714 86.75 71.173 86.731 標準差 0.004 0.01 0.002 0.01 0.004 0.006 表二：未校正時測得之橢圓偏光參數

α (度) β(度) α (度) β(度) 1 0.9933 -1.2290 1 0.0174 -0.0106 2 1.0007 -1.2343 2 0.0138 -0.0051 3 0.9681 -1.2310 3 0.0032 -0.0054 4 0.9914 -1.2412 4 0.0260 -0.0041 平均 0.99 -1.234 平均 0.015 -0.006 標準差 0.01 0.005 標準差 0.009 0.003

結果討論：

1、理論上偏光片方位角在正負 45 度所測得之橢圓偏光參數是相同

的，然而實際量測時是會有些差距，而這差異是有許多誤差造成的

(例如：方位角誤差、光路偏差……等等)。我借由量測到的方位角誤

差重新設定方位角原點可降低方位角誤差所造成的影響。可由實驗結

果看出此現象，原本差距為

Ψ − Ψ = −

_{1 2}

1.344

及

∆ − ∆ = −

_{1 2}

6.385

經過重新設定原點後差距為

Ψ − Ψ = −

_{1 2}

0.017

及

∆ − ∆ = −

_{1 2}

0.036

。

2、由方法二所測得之方位角誤差重新設定方位角原點，可將偏光片

方位角誤差降低到

0.015

±

0.009

，並且將析光片方位角誤差降低到

0.006

0.003

−

±

。

表四：未校正時測得之方位角誤差 表五：己校正時測得之方位角誤差

3.4 探討方位角誤差對於橢圓偏光參數的影響

實驗目的：2.6 節的數值模擬法必須忽略其他誤差，然而實驗時還是

會有其他誤差，所以必須透過實驗才可了解方位角誤差和橢圓偏光參

數的關係，並且比較實驗和模擬結果可以了解方位角誤差的影響性。

實驗流程：實驗分成兩部分，(1)以析光片偏移量為變數：由 3.2 節

的實驗步驟量取第一組數據，並且定此數據為析光片偏移量 0 度

。

改

變 3.2 節的實驗步驟內容，將有提到析光片方位角的度數都多加 1 度

並且量取第二組數據，定此數據為析光片偏移量 1 度

。

同理將有提到

析光片方位角的度數都減少 1 度並且量取第三組數據，定此數據為析

光片偏移量-1 度

。

同理量取不同析光片偏移量的數據。(2)以偏光片

偏移量為變數：類似第一部分的量測手法，量取不同偏光片偏移量的

數據。

實驗結果：以下各表為樣品

SiO

₂

/

Si 在入射角 70 度時所得各項參數。

其中第一部分和第二部分的橢圓偏光參數有點差距，這是因為入射角

不同所造成。有關入射角和橢圓偏光參數的關係在下一節有詳細的介

紹。

實驗一：以析光片偏移量為變數，其中

Ψ 和

'

∆ 為方法一測得之

'

結果；

Ψ

"

和

∆

"

為方法二測得之結果。

析光片偏 移量(度) " Ψ (度) _{∆ (度)} " _{Ψ (度)} ' _{∆ (度)} ' α (度) β_(度) -5 17.1608 112.5795 17.6419 111.7432 -0.0089 -5.1281 -4 17.1209 112.5766 17.4430 112.0113 0.0362 -4.1880 -3 17.0952 112.5768 17.3000 112.2143 0.1577 -3.3064 -2 17.1078 112.5511 17.2130 112.3652 0.1921 -2.3502 -1 17.1124 112.6005 17.1462 112.5408 0.1742 -1.3155 0 17.1137 112.5485 17.1160 112.5453 0.1736 -0.3018 1 17.0933 112.6225 17.1022 112.6066 0.0966 0.7342 2 17.0843 112.6030 17.1327 112.5169 0.1186 1.6689 3 17.0811 112.5927 17.1998 112.3825 0.1836 2.6062 4 17.1226 112.5524 17.3334 112.1827 0.2951 3.4822 5 17.1706 112.5473 17.5106 111.9561 0.3685 4.4127 平均 17.115 112.58 17.3 112.3 0.16 標準差 0.03 0.03 0.2 0.3 0.11

實驗二：以偏光片偏移量為變數

偏光片偏 移量(度) " Ψ (度) _{∆ (度)} " _{Ψ (度)} ' _{∆ (度)} ' α (度) β_(度) -5 17.6264 115.6010 17.5825 116.2865 -4.4602 -1.8628 -4 17.5837 115.6139 17.5588 116.0393 -3.5576 -1.8316 -3 17.5802 115.6364 17.5727 115.8668 -2.7058 -1.8038 -2 17.5434 115.6055 17.5546 115.6733 -1.7648 -1.7610 -1 17.5259 115.6235 17.5546 115.5928 -0.9158 -1.7145 0 17.5242 115.5991 17.5529 115.5090 -0.0181 -1.6897 1 17.5344 115.5540 17.5685 115.4520 0.8197 -1.6630 2 17.5242 115.5675 17.5942 115.4985 1.6820 -1.6182 3 17.4936 115.6175 17.5985 115.6287 2.5583 -1.5643 4 17.5037 115.5498 17.5841 115.6870 3.4611 -1.5475 5 17.5573 115.4588 17.6767 115.7704 4.3442 -1.5286 平均 17.54 115.583 17.58 115.7 -1.67 標準差 0.04 0.051 0.04 0.3 0.12 表六：析光片偏移量和各參數的關係 表七：偏光片偏移量和各參數的關係

圖 3-2：α 和析光片偏移量的關係 圖 3-3：β和析光片偏移量的關係

結果討論：

1、由表六和表七可知方法二測得之參數 (

Ψ ∆

"

_,

"

_{) 遠比方法一測得之}

之參數 (

Ψ ∆

'

_,

'

_{) 穏定}

_，

_{這是因為方法二可以消除方位角誤差所帶來}

的影響。但是上節中測得之參數 (

Ψ ∆

,

) 又比表五和表六的參數

(

Ψ ∆

"

_,

"

_{) 穏定，這又是什麼誤差造成的呢？我認為主要誤差是因為雷}

射不是垂直入射偏光片表面及析光片表面，而此誤差要分兩部分討

論：(1)偏光片和析光片本身所造成的誤差，這會造成實驗一和實驗

二測得之參數 (

Ψ ∆

"

_,

"

_{) 的誤差。(2)光路經過偏光片後會有稍微偏}

差，會造成入射角改變和樣品上的雷射點偏移，這會造成實驗二測得

之參數 (

Ψ ∆

"

_,

"

_{) 的誤差。也因此實驗一測得之參數 (}

Ψ ∆

"

_,

"

_{) 會比實}

驗二測得之參數 (

Ψ ∆

"

_,

"

_{) 穏定。}

2、比較數值模擬和實驗結果

(1)以析光片偏移量 0 度的量測結果為參考點，模擬析光片偏移量和

各參數的關係。其中

Ψ

'

和

∆

'

為方法一測得之結果；

Ψ

"

和

∆

"

為方法二測得之結果。由下列各圖可以發現實驗數據和數值模擬曲線

的趨勢是相同的。

(2) 以偏光片偏移量 0 度的量測結果為參考點，模擬偏光片偏移量和

各參數的關係。

圖 3-4：∆ 和析光片偏移量的關係 圖 3-5：Ψ 和析光片偏移量的關係

圖 3-8：Ψ 和偏光片偏移量的關係 圖 3-9： ∆ 和偏光片偏移量的關係 圖 3-6：β和偏光片偏移量的關係 圖 3-7： α 和偏光片偏移量的關

圖 3-8 中實驗數據和數值模擬曲線有明顯的差距，這是因為入射角偏

移的影響力比方位角誤差大；換句話說，當

Ψ =

17.5

、

∆ =

115

時

α

對於

Ψ

的影響並不明顯。所以方位角誤差對於橢圓偏光參數的

3.5 量測入射角及樣品厚度

實驗目的：入射角對於量測結果有很大的影響，所以校正入射角為重

要步驟。但是我的實驗架構並不能確定入射角，所以必須量測薄膜型

式之橢圓偏光參數反求出入射角和待測物厚度(詳見附錄

E

)。

實驗流程：由 3.2 節的實驗步驟量取八組不同入射角的數據。

實驗結果：下表樣品為

SiO

₂

/

Si 在不同入射角所得各項參數。

Ψ (度) ∆ (度) 入射角(度) 厚度(Å) 1 70.0260 103.4029 67.867 1288.94 2 69.7195 96.5476 68.856 1290.12 3 69.1331 90.0702 69.795 1290.03 4 68.2970 83.6995 70.754 1289.78 5 67.4792 77.5750 71.730 1290.03 6 66.7237 72.1578 72.635 1291.54 7 65.4994 66.4763 73.643 1290.73 8 64.3929 60.9987 74.664 1291.41 平均 1290.3 標準差 0.9

結果討論：

1、理論上入射角和薄膜厚度是沒有關係，也就是說薄膜厚度不因入

射角不同而改變。可是樣品表面還是會有稍微起伏，所以由薄膜厚度

標準差 (0.9Å) 知量測之可信度很高。

表八：不同入射角之實驗結果

2、以第三組數據 (入射角為 69.795 度，厚度為 1290.03Å) 模擬入

射角和各參數的關係。

圖 3-10：入射角和厚度的關係

3.6 測量傾斜角

實驗目的：傾斜樣品表面會造成入射面和入射角改變，反過來說可由

入射角和入射面改變量推知傾斜角。本實驗目為利用實驗結果 (方位

角誤差和入射角) 計算斜傾角。

實驗流程：先將樣品放在檯子 A 上面並且由 3.2 節的實驗量取數據(未

傾斜)，再將檯子 B 放

在

檯子 A 上面使樣品傾斜(如圖 3-13)並且固定

檯子 B 使傾斜角不變，量取檯子 A 在六個方向的數據(傾斜(1)~傾斜

(6))。

實驗結果：實驗樣品為

SiO

₂

/

Si 。下表中各參數的關係為(附錄

F

)：

(1 6) δα ∼ =α(傾斜(1 6))- (未傾斜) ， ∼ α δβ(1 6)∼ = β(傾斜(1∼6))- (未傾斜) β 1 _{2 2}

cos (1 6) cot 1 6 cot

(1 6) arccos( ) 1 cot 1 6 1 cot δα + Θ = + + ∼ ∼ ∼ ∼ ( ) (入射角(傾斜( ))) (入射角(未傾斜)) (入射角(傾斜( ))) (入射角(未傾斜)) 2 _{2 2}

cos (1 6) cot 1 6 cot

(1 6) arccos( ) 1 cot 1 6 1 cot δβ + Θ = + + ∼ ∼ ∼ ∼ ( ) (入射角(傾斜( ))) (入射角(未傾斜)) (入射角(傾斜( ))) (入射角(未傾斜)) Ψ ∆ α β 入射角(度) 未傾斜 24.4395 91.9878 0.1331 0.0691 70.087 傾斜(1) 24.1292 94.0222 -2.9541 -1.9990 69.793 傾斜(2) 24.6282 89.8359 -2.9192 -2.0124 70.467 傾斜(3) 23.8585 98.6140 -2.8404 -1.5887 68.974 傾斜(4) 24.5537 91.6964 3.3772 3.2448 70.101 傾斜(5) 24.6126 91.1456 3.3070 3.1275 70.193 傾斜(6) 24.9690 88.1872 3.2785 3.2070 70.688 圖 3-13：樣品傾斜圖 表九：實驗結果

入射面改變量 δα (度) 斜傾角 Θ₁ (度) 1 3.0872 2.91473 2 3.0523 2.89821 3 2.9735 2.99977 4 3.2441 3.05026 5 3.1739 2.98697 6 3.1454 3.0232 平均 2.979 標準差 0.061 入射面改變量 δβ (度) 斜傾角 Θ₂ (度) 1 2.0681 1.96474 2 2.0815 1.99588 3 1.6578 1.91072 4 3.0503 2.98595 5 2.9870 2.87842 6 3.1379 3.01627 平均 2.459 標準差 0.553

結果討論：

1、

Θ

₂

的標準差遠比

Θ

₁

的標準差大，也就是說

Θ

₁

的可信度比較

高。至於這個結果是可預見的，因為改變檯子 A 的方向時必須調整析

光片的位置才可使雷射光通過析光片，所以

β

的改變量除了入射面

改變量還有另一個無法估計的值。

2、用螺旋測微移測量檯子 A 及檯子 B 的規格(圖 3-13)，並且計算斜

傾角

Θ =

arctan(0.675/(14.297 1.2874)) 2.970

−

=

。

Θ

₁

和

Θ

最大差

距為 0.08 度。

表十：由 δα 和入射角計算斜傾角 表十一：由 δβ 和入射角計算斜傾角

第四章 結論

在數值模擬中，我們先不考慮析光片的誤差並證明其對橢圓

偏光參數是有影響，再考慮析光片的誤差並找出其誤差後，然後用以

修正樣品之橢圓偏光參數，此結果可以消除方位角誤差對於橢圓偏光

參數的影響。依據數值計算法，我們實際量測了一片薄膜 (SiO

2

/Si)

量出的結果所推算出的薄膜的厚度

(

d

=

1290.3 0.9

±

Å

)

與商用橢偏儀

所測的值 (

1293

Å) 相吻合，且此結果為多入射角所得，由薄膜厚度

的標準差可以了解量測之可信度很高，並且用此方法也可以算出入射

角，可以確認所有量測的可信度。

由於我們可以在同一套量測中推算出入射角，在研究傾斜樣

品所造成的入射面和入射角改變，我們利用方位角誤差得到入射面改

變量，再由入射角和入射面改變量求出樣品斜傾角 (2.979≤0.061

o

)

與螺旋測微儀 (2.97

o

) 所測的值相吻合。

此簡式橢圓偏光儀不適用以下兩種情況：(1)當雷射經樣品反

射後為線性偏振態時，會使參數

T

₁及

T

₂

為零，所以不可能同時求出

四個未知數，(2)當

Ψ =

45

時會使

L

₁

=

T

₂

和

L

₂

=

T

₁

，所以不可能

同時求出四個未知數。第一種情況的改善方法為在架構中多加補波

片，至於第二種情況的改善方法為量取不同 P

角之參數 (

L T

, ,

θ β

− )

，例如量取

P

=

40

及

P

= −

40

的參數即可求得橢圓偏光參數和方

位角誤差。

參考文獻

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Edward Collett, “POLARIZED LIGHT,” Marcel Dekker, Inc.

1993,cptl and pp21-89

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Edward Collett, “POLARIZED LIGHT,” Marcel Dekker, Inc.

1993,cptl and pp546-554

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Erhard Meyer, Heike Frede, and Hans Knof, “Optical Effect in

Metal: Application of a Least-Squares Method to Measurement on

Gold and Silver,” J. Appl. Phy. Vol.38 , No.9(1967) , pp3682-3684

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簡式橢圓儀,＂ 國立交通大學光電所碩士論文

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