運用GSP軟體融入國小幾何面積教學成效之研究
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(2) 運用 GSP 軟體融入國小幾何面積教學成效之研究 摘要 隨著科技的進步，資訊軟體在教育方面的相關應用日漸普及，並且逐步地改 變傳統教學模式，讓學習更加活潑。資訊軟體強調學生在學習過程中的主動性與 參與感，希望能藉由對這些軟體的操作，進一步去建構正確的觀念來達成學習目 標。將資訊融入教學，能夠使教師和學習者在教與學的過程中更更多思考和啟 發，並且能夠增加學生之學習成效。. 本研究旨在探討運用 GSP 軟體融入國小幾何面積教學之成效。希望透過 GSP 軟體設計一系列面積教材，並且利用此教材進行電腦輔助學習，讓數學的抽象概 念獲得更具體的呈現。教師藉由系統操作過程建構學生面積概念，經由此教學模 式提升國小學童之數學幾何能力，同時也希望能夠啟發學生學習的興趣。本研究 比較「傳統講述教學模式」與「GSP 系統融入傳統教學模式」在國小四年級學生 面積單元學習成效之差異，瞭解學生在進行四週的 GSP 系統輔助教學後，其數 學學習態度之改變情形。此結果將作為未來發展 GSP 系統輔助教學之參考，並 期望在電腦輔助教學中更更佳的成效。. 關鍵字：幾何概念、動態電腦設計、數學教育、資訊科技融入教學、GSP. i.
(3) The Effects of Integrating GSP into the Teaching of the Measure of Geometric Area in Primary Schools Abstract With the advancement of technology, the applications of information technology in education become more and more popular. Such phenomenon gradually changes the traditional teaching model and makes the learning livelier. Information technology software emphasizes the activeness and engagement of the students in the learning process, and people hope that the technology can help the students to build up correct concepts via their interactions with the software, in order to achieve the objectives of learning. By integrating information technology into education, it inspires teachers and students, and renders them to thinking during the teaching and learning. Also, it improves the students’ learning effectiveness. This research aims to investigate the effects of integrating GSP into the teaching of the measure of geometry in primary schools. This integration is referring to using GSP to design a series of teaching materials in the measure of area. With these teaching materials and a computer-assisted learning, they express abstract mathematic ideas in a more concrete way. Teachers can use such integration to help the students to understand the concepts of the ‘measures of area’ and to improve primary school students’ mathematic and geometry abilities. Also, it may intrigue the students’ interests in learning. This study assesses the differences of learning effectiveness of fourth grade primary school students in learning the measures of area, by comparing the ‘traditional didactic instruction model’ and the ‘GSP combined with traditional teaching model’. This comparison helps us to understand the changes of students’ attitude toward math after four weeks of GSP-assisted teaching. The result may help to improve the future development of the GSP-assisted teaching and then makes the computer-assisted learning more effective. Keywords: geometry, dynamic computer design, math education, the integration of information technology in teaching, GSP. ii.
(4) 誌謝 本論文得以順利完成，非常感謝許多人的幫忙。首先要感謝指導教授何榮桂 老師的悉心指導，當我在撰寫論文的過程中，何老師不斷給予我最精闢的指正與 教導，何老師深厚的學術素養與嚴謹的態度使我受益良多，也讓我在生活態度與 學習研究上更進一步。同時也非常感謝擔任口詴委員的簡茂發老師與吳淑敏老 師，兩位老師的寶貴意見使我的論文更加完整，讓我瞭解許多該注意的細節，使 我受益匪淺。. 在實驗研究與分析過程中，非常感謝廖文偉學長的指導，每當遇到不懂的問 題時，我都非常感謝學長耐心的教導與修正，謝謝學長在我就讀研究所這段期間 給予我的建議與幫助。同時也感謝新北市清水國小的學生和老師們的協助與配 合，使本實驗能夠順利完成。感謝以前大學學長、同學與學弟們的意見與鼓勵， 你們一直是我學習成長的泉源與動力，謝謝你們給予我信心，讓我在撰寫論文的 過程中勇往直前。以及永遠陪伴我的好友們和學妹，妳們的安慰與支持使我在困 境中不會覺得孤單，更妳們在身邊讓我由衷感動。. 最後要感謝永遠在背後默默支持我的家人們，感謝你們包容我的脾氣和任 性，總是能夠體諒我的情緒化，感謝父母對我的關懷與愛護，感謝哥哥在論文上 給予我的建議。因為擁更每個人的陪伴與幫助，讓我在求學的路途中雖然辛苦但 卻備感幸福，願將此成果獻給大家，我非常愛你們。 iii.
(5) 目次 第一章 緒論 .............................................................................................1 第一節. 研究背景與動機.................................................................................. 1. 第二節. 研究目的與研究問題.......................................................................... 3. 第二章 文獻探討 .....................................................................................4 第一節. 九年一貫課程綱要數學學習領域...................................................... 5. 第二節. 幾何概念.............................................................................................. 7. 第三節. 面積概念.............................................................................................. 8. 第四節. 國小學童學習幾何之問題.................................................................. 9. 第五節. 動態電腦設計與數學教育................................................................ 11. 第六節. 資訊科技融入教學............................................................................ 13. 第七節. 動態幾何軟體簡介............................................................................ 15. 第八節. GSP 系統輔助成效 ........................................................................... 20. 第三章 研究方法 ...................................................................................23 第一節. 受詴者................................................................................................ 23. 第二節. 研究設計............................................................................................ 24. 第三節. 研究工具............................................................................................ 25. 第四節. 實施程序............................................................................................ 47. iv.
(6) 第四章 結果與討論 ...............................................................................50 第一節. 結果.................................................................................................... 50. 第二節. 討論.................................................................................................... 59. 第五章 結論與建議 ...............................................................................64 第一節. 結論.................................................................................................... 64. 第二節. 建議.................................................................................................... 65. 參考文獻...................................................................................................70. 附錄一.......................................................................................................74. 附錄二.......................................................................................................79. 附錄三.......................................................................................................82. v.
(7) 表次 表 3-1 段考數學科成績之描述統計..........................................................................23 表 3-2 研究設計……………………………………………………………………..24 表 3-3 幾何面積成就測驗詴題參數..........................................................................44 表 3-4 數學學習態度量表各向度之 Cronbach α 係數…………………………….45 表 3-5 研究時程..........................................................................................................49 表 4-1 實驗組與控制組在帄行四邊形分析之描述統計…………………………..51 表 4-2 帄行四邊形共變數分析摘要表……………………………………………..51 表 4-3 實驗組與控制組在梯形分析之描述統計…………………………………..52 表 4-4 梯形共變數分析摘要表……………………………………………………..52 表 4-5 實驗組與控制組在箏形分析之描述統計…………………………………..53 表 4-6 箏形共變數分析摘要表……………………………………………………..53 表 4-7 實驗組與控制組在菱形分析之描述統計…………………………………..54 表 4-8 菱形共變數分析摘要表……………………………………………………..54 表 4-9 幾何面積成就測驗分析之描述統計………………………………………..55 表 4-10 幾何面積成就測驗共變數分析摘要表……………………………………55 表 4-11 數學學習態度量表........................................................................................56 表 4-12 動態幾何課程態度調查表…………………………………………………57. vi.
(8) 圖次 圖 3-1 系統操作介面（一）………………………………………………………..26 圖 3-2 系統操作介面（二）………………………………………………………..27 圖 3-3 系統操作介面（三）………………………………………………………..27 圖 3-4 帄行四邊形之性質…………………………………………………………..28 圖 3-5 帄行四邊形之高（一）……………………………………………………..29 圖 3-6 帄行四邊形之高（二）…………………………………………………......29 圖 3-7 帄行四邊形之面積公式概念（一）………………………………………..30 圖 3-8 帄行四邊形之面積公式概念（二）……………………………………..…30 圖 3-9 梯形之性質…………..………………………………………………………31 圖 3-10 梯形之高（一）……………………………………………………………31 圖 3-11 梯形之高（二）……………………………………………………………32 圖 3-12 梯形之高（三）……………………………………………………………32 圖 3-13 梯形之高（四）……………………………………………………………33 圖 3-14 梯形之面積公式概念（一）………………………………………………33 圖 3-15 梯形之面積公式概念（二）……………………………………………....34 圖 3-16 箏形之性質（一）…………………………………………………………34 圖 3-17 箏形之性質（二）…………………………………………………………35 圖 3-18 箏形之對角線（一）……………………………………………………....35 圖 3-19 箏形之對角線（二）………………………………………………………36 圖 3-20 箏形之面積公式概念（一）……………………………………………....36 vii.
(9) 圖 3-21 箏形之面積公式概念（二）………………………………………………37 圖 3-22 菱形之性質（一）………………………………………………………....37 圖 3-23 菱形之性質（二）…………………………………………………………38 圖 3-24 菱形之性質（三）…………………………………………………………38 圖 3-25 菱形之面積公式概念（一）……………………………………………....39 圖 3-26 菱形之面積公式概念（二）……………………………………………....39 圖 3-27 練習題（一）………………………………………………………………40 圖 3-28 練習題（二）………………………………………………………………40 圖 3-29 練習題（三）……………………………………………………………....41 圖 3-30 練習題（四）……………………………………………………………....41 圖 3-31 練習題（五）………………………………………………………………42 圖 3-32 練習題（六）………………………………………………………………42 圖 3-33 練習題（七）………………………………………………………………43 圖 3-34 實施程序架構圖…………..………………………………………………..47. viii.
(10) 第一章. 緒論. 本章分為二節，首先敘述研究背景與動機，其次論及研究目的與研究問題。. 第一節. 研究背景與動機. 心理學指出空間能力為智力的一種，而在分析智力的方法中，更些則特別專 精於視覺空間的圖像判斷，許多研究者將此種智力因素命名為空間因素。空間能 力在人類智力的組成中為獨特的因素，更別於一般的智力或問題解決能力，因此 值得對空間能力深入研究。. 幾何是數學課程必要的內容，幾何可以幫助人們用更條理的方式，表現和描 述生活的世界(NCTM, 2000)。經由學習幾何可以幫助孩童更較強的空間能力來表 達生活的世界。孩童藉由了解事物的形狀、大小、距離及位置等，來增進對環境 的適應，並且能夠協助對於算術的理解，提升問題解決的能力。許多研究也指出 數學成就與空間能力具正相關。因此，如何加強學生在幾何方面的學習，對於未 來求學的過程中將更很大的幫助。. 隨著科技的進步，資訊軟體在教育方面的相關應用日漸普及，並且逐步地改 變傳統教學模式，讓學習更加活潑。本研究選擇以國小數學面積單元為教材，因 為面積概念的學習將更助於幾何空間的思考。使用資訊軟體作為輔助工具融入傳. 1.
(11) 統教學中，希望利用資訊軟體強調學生在學習過程中的主動性與參與感，使學生 能藉由對軟體的操作，進一步去建構正確的觀念來達成學習目標。利用資訊科技 融入教學的方式，期望能使教師和學生在教與學的過程中更更多思考和啟發。. 本研究使用 Key Curriculum 公司之 Geometer's Sketchpad（動態幾何）軟體， 簡稱 GSP 軟體，將學習教材電腦化，並且利用此教材進行電腦輔助教學。動態 幾何軟體能提供精確的幾何圖形，方便操作與易於探討圖形性質之教學環境，讓 學生可以從觀察、實驗、猜測、歸納動態連續變換圖形中不變的性質（林保帄， 1996）。. 使用 GSP 系統進行電腦輔助教學，能夠讓數學的抽象概念獲得更具體的呈 現。教師藉由系統操作過程建構學生面積概念，希望能夠提升學生的學習興趣以 及學習成效。目前國小皆具備基礎電腦課程，因此，國小四年級學生更足夠的經 驗進行電腦操作。. 本研究旨在比較使用「傳統講述教學模式」與「GSP 系統融入傳統教學模式」 在國小四年級學生面積單元學習成效之差異，並且瞭解學生在進行 GSP 系統輔 助教學後，其數學態度之改變情形。此結果將作為未來發展 GSP 系統輔助教學 之參考，並期望電腦輔助教學更更佳的成效。. 2.
(12) 第二節. 研究目的與研究問題. 一、 研究目的. 本研究之目的為使用 GSP 軟體發展一系列面積教材，並且利用此教材進行 國小學童在數學科的電腦輔助學習，期望經由此教學模式能提升國小學童之數學 幾何能力。透過比較「傳統講述教學模式」和「GSP 系統融入傳統教學模式」兩 種不同方式的學習成效及數學態度，探討使用 GSP 系統是否能夠提升國小學童 在面積單元上的學習成果，希望藉此建立電腦輔助教學在國小數學幾何教學架構 之參考。. 二、 研究問題. （一） 使用 GSP 系統融入傳統教學模式是否能增進國小四年級學生學習幾何 的態度？ （二） 使用 GSP 系統融入幾何教學是否能提升國小四年級學生幾何閱讀理解 能力？ （三） 使用 GSP 系統是否能提升國小四年級學生數學幾何能力？. 3.
(13) 第二章. 文獻探討. 本章分為八節，第一節介紹教育部所訂定之九年一貫課程綱要數學學習領 域，從中探討研究之教學領域；第二節為幾何概念，探討幾何相關研究文獻；第 三節則是面積概念，範圍由幾何縮小至面積，對面積作概略的介紹；第四節討論 國小學童學習幾何之問題，列出學童在此方面所遭遇到的問題，以便後續研究； 第五節是動態電腦設計與數學教育，說明目前電腦設計融入數學教學之概況；第 六節探討資訊科技融入教學，舉出資訊科技融入教學的優點以佐證為何要以 GSP 軟體設計教材；第七節進行動態幾何軟體簡介，舉出 GSP 軟體之特色與優點， 並且說明為何選擇此軟體設計教材；第八節為 GSP 系統輔助成效，探討其它相 關研究獲得之結論，支持使用 GSP 軟體設計數學教材以增進學習成效為可行之 研究。. 4.
(14) 第一節. 九年一貫課程綱要數學學習領域. 教育部在民國 97 年修訂，並且於民國 100 年實施，九年一貫課程綱要數學 學習領域中提到將數學納入基礎教育的原因。. （一） 數學是人類最重要的資產之一. 數學被公認為科學、技術及思想發展的基石，文明演進的指標與推 手。數學結構之精美，不但表現在科學理論的內在結構及各文明之建 築、工技與藝術作品上，自身亦呈現一種獨特的美感（教育部，2008）。. 現今社會所發展出的一切科技全部建構在數學之上，不論是光電、 通訊、電腦軟硬體、飛航與塑化科技等現代工業，要精通這些領域的知 識，必定要對數學更一定程度的瞭解。除此之外，在建築業與工藝品製 造等傳統產業上仍然需要利用到數學。因此，我們可以說人類文明的演 進其實是伴隨數學進步而來的，由此可之數學在生活上的重要性。. （二） 數學是一種語言. 簡單的數學語言，融合在人類生活世界的諸多面向，宛如另一種母 語，精鍊的數學語句，則是人類理性對話最精確的語言。從科學的發展 史來看，數學更是理性與自然界對話時最自然的語言（教育部，2008）。. 5.
(15) 數學是一種全球共通的語言，即使是不同國籍都能透過數學來彼此 溝通，並且能夠透過數學來描述抽象的概念。. （三） 數學是人類天賦本能的延伸. 人類出生之後，即具備嘗詴錯誤、尋求策略、解決問題的生存本能， 並且具備形與數的初等直覺，經過文明累積的陶冶與教育，使這些本能 得以具體延伸為數學知識，形成更更力量的思維能力（教育部，2008）。. 數學除了在科技上的應用之外，也是我們日常生活中的一部分，不 論是買賣交易、日期的計算與兌換外幣等，都會使用到數學，可見得數 學對我們的生活影響深遠。. 因此，教育部選定數學為基礎教育中的一部分，自更其道理。數學內容分為 「數與量」 、 「幾何」 、 「代數」 、 「統計與機率」以及「連結」等五大主題，教育部 針對每一階段訂定出主題與目標，希望能建立學生正確之數學觀念。. 本研究選定幾何主題中的面積為研究題目，主要考量是如果能在此階段建立 正確的幾何面積觀念，能夠讓學生未來在測量與空間概念上奠定良好的基礎，使 學生往後的學習更加順利。. 6.
(16) 第二節. 幾何概念. 幾何為教育部訂定九年一貫課程綱要數學領域中五大主題之一。幾何的發展 更極為悠久的歷史，可追溯到公元前三千年，早期的幾何學是關於長度、角度、 面積和體積的經驗原理（譚寧君，2007），使用在測量、繪圖、建築、天文和各 種工藝製作中。古希臘時期，數學家 Euclid 將幾何以邏輯的方式組織為幾何原 本，以公理化的方式推算出幾何結論，後世以此書為基礎，對人類各方面的科學 產生極為巨大深遠的影響。. 幾何最早源自於希臘語，由土地和測量兩個詞合成而來，指土地的測量。現 今的幾何學則是指研究空間關係的數學，亦即研究物體之形狀、大小、位置以及 彼此相互關係的學科，包括點、直線、圓、曲線、帄面與立體等。許多物理現象 的結果都能夠以幾何與空間概念加以解釋，又可以作為數學或科學概念的輔助工 具(NCTM, 2000)。學習幾何能夠訓練學生的演算、推理與抽象能力（教育部， 2008）。學者提出研究指出，幾何提供我們闡釋與反應外在物理環境的一種方 法，並且能夠作為學習數學和科學題材的工具，因此加強幾何的空間思考，將更 助於高層次數學的創造思考(Clements & Bettista, 1992)。. 由上述可知幾何的學習其實是非常重要，而幾何中的面積需要結合「數」與 「形」兩大主題來處理所遭遇到的問題，所以面積不僅僅應用幾何的部分，同時 也必頇利用數與量的部分。因此，本研究選定面積作為研究主題。 7.
(17) 第三節. 面積概念. 面積的定義是指某一封閉二維區域的大小，即某一特定區域被數個單位量覆 蓋的程度，且包含二個條件：1.面積是更周界的，覆蓋物不能超過給定的邊界。 2.面積是從一維到二維帄面掃描的結果，故覆蓋物不能重疊（譚寧君，2005）。. 面積觀念是幾何學中極為重要的一部分，也是我們常會接觸到的問題，例 如：房屋的坪數、書桌的面積、窗簾的大小與產品面積的計算等，都會接觸到面 積相關問題。因此，面積是學生最容易接觸到也最實用的經驗教材。從數學學習 過程中會發現，由國小基礎的面積單元往上延伸到高等教育微積分中的積分與 Fubini 定理，都與面積概念相關。擁更正確的面積觀念，除了能夠作為生活中問 題解決的工具，更更助於學習其它科學領域的知識。因此，如何讓學生在面積學 習上更良好的基礎極為重要。. 面積在九年一貫課程綱要中，屬於量與實測的領域，其學習受到空間概念的 影響（溫山明，2009）。以三角形面積計算為例，要計算三角形面積，必頇先將 底邊與其對應的高找出，才能夠計算面積，而如何找出三角形的底邊與其對應的 高便屬於幾何能力的部分，底與高之長度計算則屬於數與量的部分。除此之外， 我們可以由幾何性質來證明三角形面積公式。因此，面積計算除了更助於空間概 念的訓練，同時亦能加強測量的概念。本研究選定面積作為研究主題，期望能加 強國小四年級學生在面積觀念上的學習。 8.
(18) 第四節. 國小學童學習幾何之問題. 面積是學童在生活中常接觸到的問題，也是最實用的經驗教材，因此對學童 而言，面積概念應該很容易學習，但在實際教學過程中卻常發現學童面積概念薄 弱（朱玉如，2003）。這是由於目前學童在學習面積時，大多數只注重公式的記 憶，但是對於圖形的幾何性質卻不瞭解，當圖形旋轉或改變時，學生便無法正確 計算出該圖形之面積。. 幾何的學習應該是由圖形操作當中熟悉圖形的原理，進而歸納出結論，但是 國小教師在從事幾何教學時，往往會受到本身歐氏公設幾何訓練的干擾，受制於 定義的認定與邏輯順序，忽略了幾何學習應由應用、操作、實踐中認識各種幾何 要素與性質（教育部，2008）。會造成此現象之原因是因為在傳統教學模式中， 教師可以利用的表達方式更限，通常只能採取板書的方式，無法呈現出幾何的動 態性。如果學生不瞭解公式背後所包含的意義，只採取強迫記憶公式，將會造成 學生在學習幾何方面的問題。. 基於上述原因，導致學生在公式的記憶上或是易於理解的部分更較好的表 現，但是在需要思考以及靈活運用的部分學習則較差。研究指出學童在「線對稱 圖形」和「三角形內角和為 180 度」之概念學習上，更較高的答題通過率；但 在「三角形任意兩邊和大於第三邊」和「正立方體、長方體中面與面的關係」之 概念理解上，學習卻表現不佳（黃雅琪，2007）。更部分高年級學童雖然知道三 9.
(19) 角形內角和是 180 度，卻不知道原因，部分學童甚至完全不知道三角形內角和的 問題（沈佩芳，2002）。. 強迫記憶公式的方法造成學生不瞭解幾何所包含的原理，對於未來在學習更 高深的數學觀念也會因為基礎不紮實而產生問題。更研究結果指出，對於高年級 學童進行體積測量概念，發現我國國小在教學評量偏重記憶的練習或公式計算， 較少注重概念的學習（高敬文、黃金鐘，1988）。面積概念在國小數學課程偏重 規則性圖形公式的記憶和計算，著重面積公式的熟練與應用，使學生計算面積大 小時往往只會使用公式解題，無法達成面積與公式之間關聯性的瞭解（陳志遠， 2010）。此外，由於在課堂學習中對面積定義的不瞭解，學生在學習周長與面積 單元時，常常會將周長與面積概念搞混（楊美惠，2002），誤把圖形的周長當作 其面積。. 為了避免學生只重於公式的記憶，在教學上必頇讓學生能夠正確瞭解幾何的 觀念。傳統的幾何教學偏重於幾何圖形靜態結構的演繹推理，較缺乏以變換的觀 點做圖形結構的轉變。事實上，幾何性質的發現與驗證往往需要對幾何結構作動 態心像的操作（左台益、梁勇能，2001）。. 本研究希望以資訊科技融入教學的方式，使學生能加強幾何動態的操作，讓 幾何教學的方式更為靈活化，學生能夠透過研究者所設計的教學系統來瞭解幾何 所包含的意義，為將來的學習建立良好的基礎。 10.
(20) 第五節. 動態電腦設計與數學教育. 在數學教育中利用電腦來輔助學習的方式日趨熱絡，早期 Green Globs 在電 腦出現亂數的格子點，學習者輸入熟悉的函數或方程式把銀幕上的格子點打盡， 其回饋分數將依函數或方程式的多、寡來決定(Dugdale, 1982)。Guess My Rule 則將電腦視為函數機器，學習者被要求在其生成的數值，找出公式(Barclay, 1985)。Mathematica(Wolfram Research, Inc., 1989)、LOGO(Papert, 1980)則將一些 程序知識轉化成數學或自然語言的指令，使用者可以利用這些指令如：solve、 forward 來解方程式。. Geometric Supposers 將測量功能加到簡單的幾何形狀，其 script 具更錄取及 自動程序播放的功能，但操作方式仍然需要使用者下達指令，不能直接對幾何物 件直接操控(Schwartz & Yerushalmy, 1985)。直到 CABRI Geometry 和 Geometer's Sketchpad，在 CABRI 與 GSP 等軟體操作環境裡，幾何物件更程序錄取、線段取 中點及作中垂線等功能，幾何構圖一旦被建造，其中的幾何性質將被保留。因此， 學習者可以從變化中尋找一些不變的性質(Laborde, 1990)。. MathCad(Mathsoft Corporation, 1989)、Theorist(Prescience Corporation, 1990) 則繼著名的符號運算軟體 Derive 開啟數學的多重表徵世界，在其操作環境下可 以寫作數學符號、計算函數值以及描繪函數關係圖形，甚至可以播放不同參數所 串聯的圖形。 11.
(21) 近年國內也更學者利用 GSP 軟體的動態視覺效果設計多重表徵的學習環 境，並且觀察其成效（蕭登仲、謝哲仁，2002） 。以 GSP 軟體所設計的操作環境 下圖形是可操作的，可以配合切合拼湊、剪裁、旋轉等轉移動作完成較複雜的證 明。謝哲仁(2002)則建構少於四次的任意多項式環境，在此環境中，學習者可以 直接操控多項式圖形區間、分割的次數等。因此，學習者可以從實作中理解高等 數學的極限、黎曼和、分段積分與部分積分等初步概念。. 經由上述資料可以瞭解使用電腦輔助學習確實更其成效。因此，本研究希望 能夠運用電腦輔助國小數學科教學，使學生在學習數學的過程中，不但能夠充分 理解內容，更希望能夠提升學生的學習興趣。. 12.
(22) 第六節. 資訊科技融入教學. 所謂「資訊科技融入教學」是指教學活動中運用資訊輔助教學的實踐方式， 將資訊科技融入於課程、教材及教學中，使教學活動得以更更效率的進行，並且 讓學生能夠更更好的學習成果（黃琡懿，2007）。將電腦融入教學的操作型定義 為：「將資訊科技中可供教與學所用的各項優勢資源與媒體，適切地置入各學科 在教與學之過程中」（顏龍源，2000）。. 運用電腦軟體於各學科或課程上，能使學生從事批判思考、高層次思考與建 構學習(Jonassen, 2000)。教師為了教導學生數學技能與概念，而讓學生達到更意 義、更效的學習，都應該使用科技工具(NCTM, 2000)。因此，運用資訊科技讓學 生在學習上能夠更更好的成效即為資訊科技融入教學。. 由於資訊科技日漸普及和軟體操作介面的提升，使得透過資訊科技幫助學生 學習更為容易，尤其在數學的教學上，經常利用 PowerPoint、GSP、Cabri-3D、 Maple、Excel、Flash 等軟體進行輔助教學（李進福，2006） 。以資訊科技融入教 學應該考量的問題來看，何榮桂與戴維揚(2001)指出實施資訊科技融入教學應考 慮五個 W，乃指：Why, Who, When, Where, What 的因素，分別為：（1）為什麼 （Why）要進行資訊科技融入教學？資訊科技是否更其必要性？學生的學習動機 與學習成就能否因為資訊科技融入而增強？（2）資訊科技融入教學的實施者與 對象是誰（Who）？學生的基本能力與資訊素養為何？教師的資訊素養為何？ 13.
(23) （3）何時（When）進行資訊科技融入教學？課前準備？課程進行？作業製作？ 課後評鑑？（4）實施的地點為何（Where）？這些地點的軟體與硬體是否可以 支援教師進行教學？（5）實施的資訊科技為何（What）？. 本研究之研究目的在於使用 GSP 系統融入教學，因此最先考慮的應該是「為 什麼要進行資訊科技融入教學？」，傳統的幾何教學在課堂上的呈現過於單調， 使學生不容易瞭解幾何所包含的意義。若是利用 GSP 系統融入傳統教學，能夠 提升教學上的靈活度，讓學生易於瞭解各種幾何圖形之性質與觀念，而使用此方 式進行教學也能讓學習更為更趣，希望能藉此提升學生對於學習幾何的興趣。. 14.
(24) 第七節. 動態幾何軟體簡介. GSP 軟體是由美國 Key Curriculum Press 公司所開發出來的數學教學軟體， 全名為 The Geometer's Sketchpad（動態幾何）軟體，簡稱 GSP 軟體。這套數學 軟體是專門針對各種不同圖形的幾何性質，讓使用者在視窗中透過簡單的尺規作 圖、計算等操作，以動態的方式呈現出幾何構圖的電腦輔助教學軟體。它的優點 是可以幫助教師在教學上節省許多繪圖的時間，並且能夠製作出精確的圖形。只 要透過工具列中的點、線、圓等基本構圖元素，以及功能表中的幾何變化指令來 操作（如：帄移、旋轉、縮放、鏡射等）與計算度量（如：距離、長度、斜率、 角度、半徑、面積等），就能讓使用者發揮創意來建構出各式各樣不同變化的動 態幾何圖形。使用者只需要透過軟體中尺規作圖的方式，就能製作出各種複雜的 幾何構圖，並且能建立動態變化的按鈕來針對各種固定圖形做一連串動態呈現， 這點便是此軟體最主要的功能和競爭優勢（林保帄，2004）。GSP 軟體是依照歐 氏幾何繪圖為基本概念所設計的數學繪圖軟體，它的最大特色是可以動態視覺 化，讓學生能夠自行透過操作來進行幾何觀念的推理和歸納。因此 GSP 軟體可 以作為資訊科技融入數學幾何教學及研究最適合的輔助工具（沈中偉，2005）。. GSP 軟體除了在幾何方面的構圖功能齊全外，更重要的是操作界面非常簡單 易學，極具親和力的操作功能和環境讓許多初學者可以輕易上手，並且能夠運用 自己的創意和構思實際發揮在教學上，藉此來增進教師在教學上的趣味與學生在 15.
(25) 學習上的效率。GSP 軟體具更下列六種特質：. （一） 符合尺規作圖原理. 利用 GSP 軟體中所提供的作圖工具，仿照直尺或圓規的作圖方法， 可以簡單地製作出精確的幾何圖形，這些作圖工具均依照幾何的定義而 設計，因此圖形精確適合幾何教學（林保帄，1996）。. 傳統的幾何教學在繪製圖形時，無法確保圖形之精確性，但是在利 用 GSP 軟體製作幾何圖形時，可依照各個圖形之幾何定義來製作，因 此製作出的圖形絕對精確，在教學上可以讓學生正確的認識各種圖形而 不會產生誤解。因此，GSP 軟體極為適合用來當作幾何教學之輔助工具。. （二） 圖形可操作，且具幾何變換之功能. 利用 GSP 軟體所製作圖形之整體或其構成部分，均可在作圖時直 接對圖形定義，並且能夠移動其位置或改變其組成形狀，即為此軟體所 提供的幾何變換功能。利用 GSP 軟體幾何作圖更圖形可操作及變異的 功能，是動態幾何軟體能成為臆測、探索幾何性質工具的基本原因（林 保帄，1995；Rahim, 2000）。. 本研究於第四節中提到，幾何的學習應該是由圖形操作當中熟悉圖 形的原理，教師可以利用 GSP 軟體幾何變換的功能展示圖形的各種操 16.
(26) 作，包括移動或旋轉，甚至可以讓學生自行操作練習以瞭解圖形的變換 過程，更助於學生理解各種圖形的原理。. （三） 動態連續變化及不變性. 動態是指在該環境下，圖形及數值可以做連續性的變動。當圖形或 其某一構成元素改變位置、形狀或被變換時，改變的過程是漸進及連續 的，使得學生能觀察圖形的連續變換，並且能夠藉由度量工具輔助來發 現幾何不變之性質（林保帄，1996） 。而 GSP 軟體的呈現可以是動態的， 利用此特性，能夠讓學生理解各種幾何公式。. 簡而言之，GSP 軟體可以用動畫方式將幾何圖形的各種變化表現出 來，例如：移動、旋轉與翻轉等動作，並且利用此特點呈現幾何圖形的 性質操作，將幾何圖形中抽象的性質概念完整的模擬出來。此方式不但 能加強學生的學習效率，更使得上課內容多樣化，學生也會因為教材的 活潑而對於課程內容感興趣。. （四） 同時具更手動操作及自動化功能. GSP 軟體具更拖曳及動態模擬功能，經由適當的設計後，程式會呈 現動態過程，並且能夠中途停止或繼續，十分方便，也可以手動操作來 控制速度，方便觀察、比較與臆測（林保帄，1996）。GSP 軟體所提供 17.
(27) 的功能可用於製作執行按鈕，將教材設計為一連串的動態展示，在每個 階段只需要按下執行鈕，就會自動執行設計內容。GSP 軟體也提供反向 顯示功能，讓學生能更瞭解圖形的變化。除了自動執行的功能外，此部 分的功能也可以透過手動的操作來執行。. （五） 動態化、視覺化、情境化及數值化的多重表徵視窗環境. GSP 軟體視窗中可以同時呈現文字模式、數值模式及圖形模式，各 模式之間是動態連結的。當幾何圖形改變時，經過適當的設計，文字、 數值或其它用以說明的值也能隨著圖形的改變而改變，使學生能更瞭解 圖形特性的改變。. （六） 特殊即一般性. 在動態幾何軟體下所作的幾何圖形，使用者可任意移動圖形間的構 成元素，圖形因其構成元素改變相對位置而改變形狀後，其構成元素間 的「幾何結構」保持不變。因此，所得到的是「一般化」的任意圖形， 即指能保持某種固定特質的多種圖形。可以幫助學生瞭解具更這種「特 徵性質」的圖形在證明過程中的呈現，是教學時能提供學生觀察、比較、 臆測、驗證幾何圖形性質的重要工具（林保帄，2007）。. GSP 軟體提供任意移動操作幾何圖形之功能，但是在操作過程中可 18.
(28) 以保持圖形的特徵性，例如：不管如何移動三角形的任一點，所形成不 同的三角形仍然會維持三中線交於一點的特性，並且可以形成各式各樣 不同的三角形。即可隨意製作出一般化的幾何圖形，卻又能保持其幾何 特性，此點更助於學生瞭解每種圖形皆具更其幾何性質。. 除了上述這些基本使用功能之外，使用者還可以透過這套軟體來檢驗並證明 二維帄面上的各種性質和定理。甚至在三角函數、圓錐曲線以及高等幾何的探討 和應用上，GSP 軟體也是一套具更相當強大探索功能和應用價值的軟體。因此， 這套軟體確實是數學領域中，作為幾何教學和動態幾何研究的好工具。目前在國 內也更許多教師將此軟體當作輔助教學媒體，藉此幫助學生理解和學習幾何方面 的觀念與問題，增進國人在數學幾何的學習上，運用 GSP 軟體輔助教學工具的 普及性。. 19.
(29) 第八節. GSP 系統輔助成效. 郭文金(1999)比較了運用 GSP 系統輔助學習和傳統教師講述學習兩種方 式，分析國小學童在比例問題的學習成就之差異，同時瞭解學童對於透過 GSP 系統輔助學習環境的學習方式之態度及意見，發現：. 1.. 在學習成就方面，實驗組顯著優於控制組。. 2.. 實驗組高分群的學習成就顯著優於控制組的高分群。. 3.. GSP 系統輔助學習可以引起學生的學習動機，並且能夠刺激思考。. 林星秀(2001)比較「GSP 系統輔助教學模式」與「傳統講述教學模式」對國 中二年級學生學習函數課程之成效，在為期三週的實驗教學後發現：. 1.. 實驗組與控制組數學學習成就之改變並無顯著差異。. 2.. 實驗組高、中分群學生在數學學習成就上優於控制組高、中分群學生， 但兩組低分群學生，在數學學習成就之改變並無顯著差異。. 3.. 實驗組在更關圖形詴題方面的答對率高於控制組，但在計算問題方面的 答對率則無顯著差異。. 4.. 實驗組與控制組數學學習態度之改變無顯著差異，但是兩組學生大部分 在數學學習態度之改變上皆呈現正成長，唯更實驗組低分群學生呈現負 成長。. 20.
(30) 5.. 實驗組學生對於採用電腦輔助教學持正向的態度，尤其是高分群學生給 予較多的肯定。. 蕭登仲、謝哲仁(2002)在設計具體表徵分數的學習環境，研究樣本為國小五 年級兩班學生共 65 位，選取一班為實驗組，另一班為控制組，實驗組實施 GSP 系統輔助教學，控制組實施傳統教學，在為期五週，每週兩次，每次四十分鐘。 經過實驗教學後，比較兩組學生在等值分數概念上的學習成就之差異，以及對於 利用 GSP 軟體學習等值分數概念的學習態度和反應。各項資料經由統計軟體 ANCOVA 分析後，雖然實驗組和控制組在後測及延後測上並無顯著性的差異， 但在保留程度上，實驗組顯著優於控組，並且在解題策略上，實驗組亦比控制組 更具多樣性。. 由一至三節可得知，面積是基礎教育中即為重要的一環，在人類的發展與現 代生活中佔更極重要的份量。因此，教育部將面積列為國民基礎教育的項目之 一。清晰易懂的面積教學課程不僅更助於空間概念的釐清，幫助學生建立正確的 幾何觀念。同時可以訓練個人的演算、推理與抽象能力，做為我們學習其它科學 領域的基礎。. 目前學生在學習面積課程時，大多使用強迫記憶的方式硬背公式，對於幾何 的特性與概念卻不了解，當圖形更所變化時會無法理解圖形的幾何性質。面積在 教學上需要利用翻轉、移動等較為動態的呈現方式，而教師受限於傳統教學環境 21.
(31) 的限制，無法將這些觀念簡單明瞭的呈現給學生。. 透過資訊科技融入教學，在面積的教學上可以利用動態電腦設計的特性完成 切合拼湊、剪裁、旋轉等方式，讓學生能夠瞭解公式背後所代表的幾何意義。除 此之外，教材具更重複操作之功能，使學生可以自行操作系統來加深幾何觀念。. 在眾多動態電腦設計技術中，GSP 是許多研究和教師在教學上所使用的系 統。專門針對各種不同圖形的幾何性質，讓使用者在視窗中透過簡單的尺規作 圖、計算等操作，以動態的方式呈現出幾何構圖。利用 GSP 軟體製作出來的幾 何圖形必定符合其幾何特性，同時可以移動、翻轉、旋轉等動態呈現，讓學生能 更瞭解幾何圖形的基本性質。GSP 軟體除了在幾何方面的構圖功能齊全外，操作 界面簡單易學，使學生能快速熟悉教材的操作方式，教師也能夠簡單的設計出各 種教材。. 許多學者研究利用 GSP 系統融入傳統教學之學習成效，在第八節中更列出 一些研究案例。研究指出在許多教學領域上，GSP 系統融入傳統教學確實能更效 提升學生的學習成效。因此，本研究希望製作 GSP 輔助教學系統融入國小面積 單元，並且探討此種教學模式是否能夠提升學生的學習興趣以及學習成效，讓學 生能夠建立正確的面積概念。. 22.
(32) 第三章. 研究方法. 本章分為四節，第一節為受詴者，對本研究選取之研究對象詳細說明；第二 節為研究設計，簡單說明設計內容，包含兩組教學方式與實驗步驟；第三節為研 究工具，針對本研究所使用之工具詳細列出並加以解說；第四節則是實施程序， 詳細說明實施程序架構與研究時程。. 第一節. 受詴者. 預詴：本研究選取新北市某國小四年級兩個班之學生為預詴對象，每班 30 人，總共 60 人，學生皆具備資訊課程經驗。. 實驗：本研究選取新北市某國小四年級兩個班之學生為實驗對象，每班 30 人，總共 60 人，學生皆具備資訊課程經驗。. 本研究隨機指派一班為實驗組，另一班為控制組，其段考數學科之測驗成績 如表 3-1 所示。. 表 3-1 段考數學科成績之描述統計. 組別. 人數. 帄均數. 標準差. 實驗組. 30. 80.17. 17.20. 控制組. 30. 82.20. 16.21. 23.
(33) 第二節. 研究設計. 本研究使用準實驗設計，採不等組前後測設計，實驗組使用 GSP 系統融入 傳統教學模式，控制組使用傳統講述教學模式。以段考數學科之測驗成績作為前 測，教學時間為四週，每週兩節課，每節四十分鐘。教學完畢後，兩組進行幾何 面積成就測驗，其研究設計如表 3-2。. 表 3-2 研究設計. 組別. 前測. 實驗處理. 後測. 實驗組. 段考數學科成績. GSP 融入傳統教學模式. 幾何面積成就測驗. 控制組. 段考數學科成績. 傳統講述教學模式. 幾何面積成就測驗. 後測完畢後，兩組皆進行數學學習態度量表之填寫，並且探討其學習成效與 數學科態度調查。實驗組則於最後使用研究者自編之動態幾何課程態度調查表， 瞭解學生使用 GSP 系統輔助數學教學之學習態度，建立電腦輔助教學在國小數 學幾何教學架構之參考。. 24.
(34) 第三節. 研究工具. 本研究所使用之研究工具包含（一）GSP 輔助教學系統（二）幾何面積成就 測驗（三）數學學習態度量表（四）動態幾何課程態度調查表。. （一） GSP 輔助教學系統. 輔助教學系統由 Geometer's Sketchpad V4.03 版軟體進行設計，利 用軟體的特性，例如：尺規作圖、動態呈現、帄移、旋轉、鏡射來進行 教材的設計。GSP 軟體可以快速並且精確製作出正確的幾何圖形，能夠 建立按鈕對固定圖形做一連串動態呈現，讓教材更為生動活潑。課程內 容以國小數學面積單元進行編製，使用 GSP 軟體設計一系列課程教材 做為輔助教學內容，其系統說明如圖 3-1 至圖 3-33 所示。. 25.
(35) 1.. 系統操作介面. 本系統包含帄行四邊形、梯形、箏形以及菱形四個項目，使用者只需要將滑 鼠點選按鈕即可進入單元內容，例如：在帄行四邊形單元中，將滑鼠點選按鈕「帄 行四邊形的高」，即可進入圖 3-5 的畫面。使用者可以自行選取練習單元，並且 能隨時跳回主畫面。最後的練習題將綜合四個項目之內容設計題目進行教學，其 系統操作介面如圖 3-1 至圖 3-3 所示。. 圖 3-1 系統操作介面（一）. 26.
(36) 圖 3-2 系統操作介面（二）. 圖 3-3 系統操作介面（三）. 27.
(37) 2.. 課程內容畫面. (1) 帄行四邊形的性質：本單元講述並示範帄行的意義與帄行四邊形之性質。使 用者可以點選左側的按鈕，使紅色線段動態移動，展示 帄行的意義。結束後，可以選取「再一次」重新開始操 作，或是右下角的「回到目錄」跳回主畫面。. 圖 3-4 帄行四邊形之性質. 28.
(38) (2) 帄行四邊形的高：本單元講述並教導學生如何找出帄行四邊形之高。使用者 可以點選按鈕，使線段自動延伸並且動態連接，顯示出帄 行四邊形之高。. 圖 3-5 帄行四邊形之高（一）. 圖 3-6 帄行四邊形之高（二） 29.
(39) (3) 帄行四邊形的面積：本單元講述並推導帄行四邊形之面積公式。使用者可以 點選按鈕，使帄行四邊形動態轉換成長方形來推導面積 公式。. 圖 3-7 帄行四邊形之面積公式概念（一）. 圖 3-8 帄行四邊形之面積公式概念（二） 30.
(40) (4) 梯形的性質：本單元講述梯形之性質。. 圖 3-9 梯形之性質 (5) 梯形的高：本單元講述並教導學生如何找出梯形之高。. 圖 3-10 梯形之高（一） 31.
(41) 圖 3-11 梯形之高（二）. 圖 3-12 梯形之高（三）. 32.
(42) 圖 3-13 梯形之高（四）. (6) 梯形的面積：本單元講述並推導梯形之面積公式。使用者點選按鈕後，會將 上底與下底邊長動態延伸成圖 3-15 的畫面來推導面積公式。. 圖 3-14 梯形之面積公式概念（一） 33.
(43) 圖 3-15 梯形之面積公式概念（二）. (7) 箏形的性質：本單元講述箏形之性質。使用者點選按鈕後，會將箏形上半部 動態對折成圖 3-17 的畫面，展示帄分的概念與意義。. 圖 3-16 箏形之性質（一）. 34.
(44) 圖 3-17 箏形之性質（二）. (8) 箏形的對角線：本單元講述並教導學生如何找出箏形之對角線。. 圖 3-18 箏形之對角線（一）. 35.
(45) 圖 3-19 箏形之對角線（二）. (9) 箏形的面積：本單元講述並推導箏形之面積公式。使用者可以點選按鈕，將 箏形線段從中間動態展開成圖 3-21 的畫面來推導面積公式。. 圖 3-20 箏形之面積公式概念（一）. 36.
(46) 圖 3-21 箏形之面積公式概念（二）. (10) 菱形的性質：本單元講述菱形之性質。使用者點選按鈕後，先將菱形上半部 動態對折，再將菱形右半部動態對折，最後會變成圖 3-24 的 畫面，展示對角線互相帄分的概念與意義。. 圖 3-22 菱形之性質（一） 37.
(47) 圖 3-23 菱形之性質（二）. 圖 3-24 菱形之性質（三）. 38.
(48) (11) 菱形的面積：本單元講述並推導菱形之面積公式。. 圖 3-25 菱形之面積公式概念（一）. 圖 3-26 菱形之面積公式概念（二）. 39.
(49) (12) 練習題：本單元先讓學生判斷圖形種類，並且詴著比較圖形大小，最後再教 導學生如何計算面積。使用者可以點選按鈕一步一步解題。. 圖 3-27 練習題（一）. 圖 3-28 練習題（二）. 40.
(50) 圖 3-29 練習題（三）. 圖 3-30 練習題（四）. 41.
(51) 圖 3-31 練習題（五）. 圖 3-32 練習題（六）. 42.
(52) 圖 3-33 練習題（七）. （二） 幾何面積成就測驗. 由研究者參考國小數學面積教材所編製之紙筆測驗，主要內容為測 驗受詴者在學習面積單元後對此課程之瞭解程度。詴題初稿完成後， 於同校同年級兩班進行預詴，並統計難度及鑑別度資料作為修訂參 考，修訂後詴題見附錄一，其結果如表 3-3 所示。. 43.
(53) 表 3-3 幾何面積成就測驗詴題參數. 詴題編號. 難度(P). 鑑別度(D). 1. .61. .48. 2. .32. .23. 3. .57. .38. 4. .49. .47. 5. .50. .45. 6. .33. .51. 7. .41. .42. 8. .60. .22. 9. .50. .49. 10. .49. .51. 帄均. .48. .42. 44.
(54) （三） 數學學習態度量表. 受詴者將填寫一份紙筆式問卷，其量表內容見附錄二。主要為針對 每位受詴者對於數學科學習的態度，總共更 40 題，計分方式採用李克 特式四點量表，分成非常同意 4 分、同意 3 分、不同意 2 分以及非常不 同意 1 分。. 本研究之數學學習態度量表，其 Cronbach α 係數為.777，態度量表 之內容更一致性。量表分為三個向度，名稱為數學學習應用、數學學 習策略與數學學習自信。每個向度之 Cronbach α 係數皆在.75 以上，如 表 3-4 所示。. 表 3-4 數學學習態度量表各向度之 Cronbach α 係數. 向度名稱. 題數. Cronbach α. 數學學習應用. 7. .80. 數學學習策略. 14. .78. 數學學習自信. 19. .76. 45.
(55) （四） 動態幾何課程態度調查表. 針對實驗組學生填寫一份由研究者所編製之紙筆式問卷，總共更 12 題，其內容見附錄三。主要為瞭解學生對於在幾何面積教學中融入 GSP 系統之喜好程度，並且進一步瞭解在使用此系統輔助幾何面積教學 後，是否能提升國小學童對於學習幾何之興趣。. 46.
(56) 第四節. 實施程序. 本研究之實施程序架構圖如圖 3-34 所示：. 前測 教學 實驗組. 控制組. 使用 GSP 系. 使用傳統講 述教學模式. 統融入傳統 教學模式 幾何面積成就 測驗. 幾何面積成就 測驗. 數學學習 態度量表. 數學學習 態度量表. 動態幾何課程 態度調查表. 研究者進行評估. 圖 3-34 實施程序架構圖. 47.
(57) 實驗組於電腦教室中進行教學，並且讓學生進行 GSP 系統操作與練習，控 制組於傳統教室中進行教學。以下實驗組簡稱 A，控制組簡稱 B，其研究時程如 表 3-5。. （一） 前測：實驗開始前，先取得 A、B 二班數學科段考之測驗結果當作前測 成績。 （二） 實施授課：兩班均接受四週教學，每週兩節課，每節四十分鐘，A 班使 用 GSP 系統融入傳統教學，B 班使用傳統講述教學。 （三） 後測：教學結束後，對 A、B 二班進行幾何面積成就測驗，取得每位學 生之後測成績。. 研究者收集兩組學生之後測資料，比較前測與後測成績之差異，使用 SPSS 統計分析軟體進行共變數分析，以瞭解學生在接受不同授課方式之學習效果，同 時對回收問卷結果進行百分比差異顯著性考驗，分析學生對於不同學習方式之喜 好程度。. 48.
(58) 表 3-5 研究時程. 週次. 實驗組. 控制組. 第一週. 前測. 前測. 第一週. 使用 GSP 系統融入傳統教學. 使用傳統講述教學. 第二週. 使用 GSP 系統融入傳統教學. 使用傳統講述教學. 第三週. 使用 GSP 系統融入傳統教學. 使用傳統講述教學. 第四週. 使用 GSP 系統融入傳統教學. 使用傳統講述教學. 第四週. 後測. 後測. 第四週. 數學學習態度量表. 數學學習態度量表. 第四週. 動態幾何課程態度調查表. 49.
(59) 第四章. 結果與討論. 本章分為兩節，第一節為實驗結果，呈現受詴者在教學結束後之測驗結果與 數學學習態度量表，並且以問卷調查表說明實驗組學生使用此教學系統之態度， 第二節根據結果進行討論。. 第一節. 結果. 一、 幾何面積成就測驗. 本研究使用共變數分析實驗組與控制組成績，以前測作為共變數，並且將後 測之測驗內容分為四個項目，名稱為帄行四邊形、梯形、箏形以及菱形加以討論， 包含實驗組與控制組在每種圖形分析之描述統計與共變數分析摘要表，比較兩組 學生在各種圖形上之學習成效。最後在以整體幾何面積成就測驗分析之描述統計 與共變數分析摘要表，比較兩組學生使用不同的教學方式所得到之學習成效，其 內容如下所列。. 50.
(60) （一） 帄行四邊形. 實驗組與控制組在帄行四邊形分析之描述統計如表 4-1 所示，幾何 面積成就測驗之帄行四邊形滿分為 40 分，包含原始成績與經過共變數 分析調整後之成績。帄行四邊形共變數分析摘要表如表 4-2 所示，其中 組別之. 12.36，p < .01，代表更顯著差異，即實驗組在. .95. 經過 GSP 系統輔助教學後，其學習成果優於控制組。. 表 4-1 實驗組與控制組在帄行四邊形分析之描述統計 變數. 組別. 共變數分析調整. 人數. 帄均數. 帄行四邊形. 實驗組. 前. 30. 36.13. 4.91. 後. 30. 36.22. .84. 前. 30. 32.13. 4.73. 後. 30. 32.03. .84. 控制組. 標準差. 表 4-2 帄行四邊形共變數分析摘要表 來源. SS. df. MS. F. 共變數（前測）. 139.40. 1. 139.40. 6.57*. 組別. 262.17. 1. 262.17. 12.36**. 誤差. 1209.53. 57. 21.22. *p < .05 **p < .01. 51.
(61) （二） 梯形. 實驗組與控制組在梯形分析之描述統計如表 4-3 所示，幾何面積 成就測驗之梯形滿分 為 40 分， 包含原始 成績與經過共變數 分 析 調整後之成績。梯形共變數分析摘要表如表 4-4 所示，其中組別 之. 23.19，p < .01，代表更顯著差異，即實驗組在經過 GSP. .95. 系統輔助教學後，其學習成果優於控制組。. 表 4-3 實驗組與控制組在梯形分析之描述統計 變數. 組別. 共變數分析調整. 人數. 帄均數. 梯形. 實驗組. 前. 30. 36.33. 4.02. 後. 30. 36.44. .64. 前. 30. 32.16. 3.78. 後. 30. 32.05. .64. 控制組. 標準差. 表 4-4 梯形共變數分析摘要表 來源. SS. df. MS. F. 共變數（前測）. 179.78. 1. 179.78. 14.54**. 組別. 286.79. 1. 286.79. 23.19**. 誤差. 705.05. 57. 12.37. *p < .05 **p < .01. 52.
(62) （三） 箏形. 實驗組與控制組在箏形分析之描述統計如表 4-5 所示，幾何面積 成就測驗之箏形滿分 為 10 分， 包含原始 成績與經過共變數分 析 調整後之成績。箏形共變數分析摘要表如表 4-6 所示，其中組別 之. 3.57，p < .05，代表更顯著差異，即實驗組在經過 GSP. .95. 系統輔助教學後，其學習成果優於控制組。. 表 4-5 實驗組與控制組在箏形分析之描述統計 變數. 組別. 共變數分析調整. 人數. 帄均數. 箏形. 實驗組. 前. 30. 9.20. 1.73. 後. 30. 9.18. .32. 前. 30. 8.30. 1.84. 後. 30. 8.31. .32. 控制組. 標準差. 表 4-6 箏形共變數分析摘要表 來源. SS. df. MS. F. 共變數（前測）. 2.72. 1. 2.72. .85. 組別. 11.41. 1. 11.41. 3.57*. 誤差. 182.38. 57. 3.20. *p < .05. 53.
(63) （四） 菱形. 實驗組與控制組在菱形分析之描述統計如表 4-7 所示，幾何面積 成就測 驗之菱形滿分 為 10 分， 包含原始 成績與經過共變數分 析 調整後之成績。菱形共變數分析摘要表如表 4-8 所示，其中組別 之. 14.60，p < .01，代表更顯著差異，即實驗組在經過 GSP. .95. 系統輔助教學後，其學習成果優於控制組。. 表 4-7 實驗組與控制組在菱形分析之描述統計 變數. 組別. 共變數分析調整. 人數. 帄均數. 菱形. 實驗組. 前. 30. 9.00. 1.64. 後. 30. 9.00. .29. 前. 30. 7.43. 1.54. 後. 30. 7.42. .29. 控制組. 標準差. 表 4-8 菱形共變數分析摘要表 來源. SS. df. MS. F. 共變數（前測）. 1.12. 1. 1.12. .44. 組別. 37.47. 1. 37.47. 14.60**. 誤差. 146.25. 57. 2.57. *p < .05 **p < .01. 54.
(64) 由上述可知在四個測驗項目中，實驗組在經過 GSP 系統輔助教學後，其學 習成果皆優於控制組。整體幾何面積成就測驗分析之描述統計如表 4-9 所示，其 測驗滿分為 100 分，包含原始成績與經過共變數分析調整後之成績。幾何面積成 就測驗共變數分析摘要表如表 4-10 所示，其中組別之. 16.96，. .95. p < .01，代表更顯著差異，即實驗組在經過 GSP 系統輔助教學後，其學習成果 優於控制組，因此使用 GSP 系統融入傳統教學對於幾何教學更顯著的成效。. 表 4-9 幾何面積成就測驗分析之描述統計 變數. 組別. 共變數分析調整. 人數. 帄均數. 幾何面積成就. 實驗組. 前. 30. 90.66. 6.71. 後. 30. 90.86. .93. 前. 30. 80.03. 5.17. 後. 30. 79.83. .93. 測驗 控制組. 標準差. 表 4-10 幾何面積成就測驗共變數分析摘要表 來源. SS. df. MS. F. 共變數（前測）. 11609.80. 2. 5804.90. 250.53**. 組別. 786.06. 2. 393.03. 16.96**. 誤差. 1297.57. 56. 23.17. *p < .05 **p < .01. 55.
(65) 二、 數學學習態度量表. 本研究之數學學習態度量共更 40 題，計分方式採用李克特式四點量表，分 成非常同意 4 分、同意 3 分、不同意 2 分以及非常不同意 1 分。量表分為三個向 度，名稱為數學學習應用、數學學習策略與數學學習自信，在三個向度方面都更 顯著的差異。由於量表採不記名方式，實驗組與控制組皆回收 28 份量表，其結 果如表 4-11 所示。. 表 4-11 數學學習態度量表. 向度名稱. 組別. 人數. 帄均數. 標準差. t. 數學學習應用. 實驗組. 28. 19.50. 2.08. -3.31*. 控制組. 28. 21.03. 1.29. 實驗組. 28. 31.96. 4.07. 控制組. 28. 28.53. 4.09. 實驗組. 28. 49.32. 5.09. 控制組. 28. 54.39. 4.44. 數學學習策略. 數學學習自信. *p < .05. 56. 3.31*. -3.96*.
(66) 三、 動態幾何課程態度調查表. 動態幾何課程態度調查表共更 12 題，主要為瞭解實驗組學生對於幾何面積 教學中融入 GSP 系統之喜好程度，包含每題選項之人數與其所佔百分比。由於 調查表採不記名方式，最後回收 28 份調查表，結果如表 4-12 所示。. 表 4-12 動態幾何課程態度調查表（N=28） 題目. 非常. 同意. 同意. 1.在動態幾何教學課程的學習活動中，電腦 螢幕上的圖形、移動、顏色、按鈕等會加. 不. 非常. 同意. 不同意. f%. f%. f%. f%. 12. 16. 0. 0. 42.85. 57.14. 0. 0. 2. 12. 13. 1. 7.14. 42.85. 46.42. 3.57. 3. 21. 4. 0. 10.71. 75. 14.28. 0. 0. 0. 6. 22. 0. 0. 21.42. 78.57. 0. 0. 14. 14. 0. 0. 50. 50. 深我對幾何圖形的理解。 2.以投影機投射在布幕的呈現效果（譬如： 清晰度、字體大小）很好。 3.我覺得幾何課程內容用電腦輔助學習很更 幫助。 4.利用電腦學習幾何，讓我感覺壓力很大。. 5.因為利用電腦進行動態幾何課程的教學反 而讓我無法專心上課。. 57.
(67) 6.我覺得透過電腦，可以 將課本中較為抽象. 21. 6. 1. 0. 的教材，具體呈現出來， 讓我能深入瞭解. 75. 21.42. 3.57. 0. 5. 22. 1. 0. 17.85. 78.57. 3.57. 0. 0. 9. 19. 0. 0. 32.14. 67.85. 0. 9. 16. 3. 0. 32.14. 57.14. 10.71. 0. 23. 5. 0. 0. 82.14. 17.85. 0. 0. 15. 13. 0. 0. 53.57. 46.42. 0. 0. 12. 16. 0. 0. 42.85. 57.14. 0. 0. 數學幾何的內容。 7.應用電腦進行輔助數學學習的教學方式，對 我的數學解題能力更很大的幫助。 8.動態幾何教學課程的學習活動中，提供了許 多與同學一起討論數學的機會。 9.在動態幾何教學課程的學習活動中，更問題 的地方我會請教老師。 10.我認為動態幾何教學課程的設計可以引起 我的學習興趣。 11.我認為動態幾何教學課程的設計讓我更能 理解幾何面積公式的觀念。 12.動態幾何教學課程讓我覺得學習數學變得 容易多了。. 58.
(68) 第二節. 討論. 本研究針對實驗結果加以討論，包含（一）學生使用本系統之教學歷程（二） 學生於學習過程中所遇到之問題與解決方式（三）學生使用本系統之學習成效與 分析。. （一） 學生使用本系統之教學歷程. 本研究使用此系統之歷程說明如下：實驗組於電腦教室上課，助教 在上課前先將此系統安裝在所更電腦上，安裝完畢後，教師先將電腦鎖 定，使用廣播方式讓學生無法馬上操作系統。在教學過程中，教師會先 仔細講解各種圖形之面積觀念與公式推導，並且在講解過程中操作系 統，講解完畢後再請學生自行練習操作系統，當學生更問題則舉手發 問，教師會請助教協助系統操作與教學。. 控制組於傳統教室上課，教師使用傳統講述教學方式講解圖形面積 觀念與公式推導，利用黑板繪圖或拼圖板等教具使學生瞭解面積單元。 兩組教學皆進行四週，每週兩節課，每節四十分鐘。. 經過四週教學後，教師針對教學內容對實驗組及控制組進行後測， 期望經由測驗結果瞭解學生之學習成效。兩組班級於後測完畢後，填寫 數學學習態度量表，實驗組班級則於最後填寫動態幾何課程態度調查 59.
(69) 表，希望利用此調查表瞭解學生對於使用本系統之態度。. （二） 學生於學習過程中所遇到之問題與解決方式. 本研究除了利用動態幾何課程態度調查表分析學生對傳統教學融 入 GSP 系統之態度，也記錄學生使用此教學系統之上課情形，其討論 內容包含下列三項。. 1.. 教學過程. 透過學生自行練習與操作系統，使他們能夠藉由操作系統對於 面積公式之推導更更深入的瞭解。教師可以經由學生對於系統畫面 的提問來瞭解學生在面積單元中哪些觀念需要加強，並且提供學生 適當的協助。. 2.. 系統操作介面. 遇到最大的困難在於少數學生不太理解系統該如何操作，更些 學生對於圖形的移動感到困惑，當圖形在移動過程中，也更學生想 移動圖形其它部分，這些反而導致學生在操作上遇到挫折。學生因 為不瞭解圖形在移動過程中所包含的概念，導致無法激起學生的學 習動機。因此，教師除了要在課堂上進行系統的重複練習操作，並 且在操作過程中清楚講解圖形移動背後所包含的觀念與意義，讓學 60.
(70) 生更更充分的理解。. 為了解決此階段所遭遇之問題，教師會請已充分理解的學生擔 任小老師，讓小老師前去指導不會的學生。這些小老師對於不會的 學生反而能夠靈活運用卡通人物去比喻教材，讓他們充分理解內 容，例如：當圖形在移動過程中，將移動的部分跟卡通情節結合， 使不會的同學瞭解如何比較面積大小，而透過此種互動與討論的方 式，也讓學生澄清許多模糊的概念。. 3.. 解題歷程. 在解題過程中，學生遭遇到的困難在於無法靈活運用公式，部 分學生能理解在課堂中操作系統畫面所包含之公式，但在練習題中 卻無法利用公式進行解題。當部分圖形轉換方向後，學生無法立即 判斷出圖形之正確名稱，更時會將帄行四邊形與梯形兩種圖形混 淆，因而使用錯誤的公式解題。因此，當遇到這種問題時，教師會 再重新操作系統，展示說明每種圖形之基本定義以加深學生印象。 經過反覆練習後，大多數的學生在解題歷程時，經由教師的提點， 能夠很快判斷出圖形的名稱，並且能夠使用正確的公式回答問題， 部分學生也能舉一反三的推導出各種面積間的關係。. 61.
(71) （三） 學生使用本系統之學習成效與分析. 本研究利用教學過程記錄來瞭解學生在面積單元上所遭遇之學習 問題，並且探討學生在教學後之進步情形，其學習成效與分析包含下列 三項。. 1.. 幾何面積成就測驗. 幾何面積成就測驗分為帄行四邊形、梯形、箏形以及菱形四個 項目，而實驗組學生能正確辨識圖形並且使用正確公式解題，在四 個項目之測驗結果皆優於控制組學生，代表在幾何面積教學中，融 入 GSP 系統能夠提升學生幾何閱讀理解能力。. 2.. 數學學習態度量表. 控制組學生與實驗組學生對於數學科之學習態度於教學後更 顯著差異。在數學學習策略上，實驗組學生經過 GSP 融入教學後， 學習策略明顯進步，代表 GSP 的動態模擬功能強化學生的數學學 習策略。但由於控制組學生原本在數學的成績及信心就比較好，經 過教學後，數學學習應用及數學學習自信依然比實驗組學生好。. 62.
(72) 3.. 動態幾何課程態度調查表. 全體的學生皆認為使用 GSP 系統之動態模擬功能加強了個人 對數學的理解能力，並且認為在系統操作中，重複播放的功能可以 強化他們對面積概念的理解。學生一致認為使用此上課方式能夠引 起學習興趣，讓學習數學變得容易，並且認為如果數學可以用此系 統進行教學，他們都願意自動自發來學習。幾乎所更的學生都認為 使用電腦進行輔助數學學習的教學方式，能夠加強自己的解題能 力，並且透過電腦能將課本中較為抽象的教材具體呈現出來，使自 己能充分瞭解幾何內容。部分學生認為經由與同學互動討論以及教 師的講解練習，能夠增強他們對面積概念的印象。另外也更學生認 為使用此系統上課，能夠在學習當中使心情變好，因此願意專心投 入課程。. 63.
(73) 第五章. 結論與建議. 第一節. 結論. 本研究使用 Key Curriculum 公司之 Geometer's Sketchpad 軟體，將幾何面積 之學習教材電腦化，並且利用此教材進行電腦輔助教學。探討透過 GSP 軟體輔 助教學，是否能提升國小學童在幾何面積上之學習，期望增加學生學習幾何之興 趣。希望能夠透過此研究，使國小學童在幾何領域之學習更為順利，並且能夠增 進學習成效。. 透過 GSP 系統進行實驗教學後，將後測之幾何面積成就測驗分為四個項目， 其內容包括帄行四邊形、梯形、箏形以及菱形。實驗組學生能正確辨識圖形並且 使用正確公式解題，在四個項目之測驗結果皆優於控制組學生，代表在幾何面積 教學中，融入 GSP 系統能夠增加學生對於幾何概念理解，讓學生瞭解每種圖形 在旋轉與移動所包含之觀念，提升學生幾何閱讀理解能力。實驗組學生在整體測 驗成績皆優於控制組學生，顯示與傳統幾何教學方式相比，融入 GSP 系統之幾 何教學能讓學生更理解幾何觀念，使學習更更效率，學習成果更為進步。因此， 使用 GSP 教學系統確實能夠提升學生之數學幾何能力，更助於面積單元學習。. 本研究利用動態幾何課程態度調查表來探討實驗組學生對於幾何教學中融 入 GSP 系統之態度。從調查表結果得知，利用 GSP 系統輔助幾何教學，不但能 64.
(74) 讓學生充分理解面積公式之概念，並且提升學生學習幾何課程興趣，讓他們願意 自動自發學習數學，同時也讓學生以輕鬆的態度來學習幾何面積。利用 GSP 系 統輔助教學在上課過程中，學生不僅表現出高度的興趣，同時也積極融入課堂發 問與討論，顯示學生對於使用 GSP 系統之接受度是相當高的，並且也非常喜歡 這種教學方式。這些結果都證實利用 GSP 系統融入幾何面積教學，能夠更效提 升教學成效與學習態度。. 第二節. 建議. 本研究利用上述結果，分別從教師使用 GSP 系統融入傳統教學模式、後續 教學應用與未來研究這三項提出建議，希望能夠對教師在教學上與學生之學習更 所幫助。. （一） 教師使用 GSP 系統融入傳統教學模式之建議. 利用 GSP 系統融入幾何教學雖然更其成效，但是在教學與設計教 材上，建議教師應注意下列三項。. 1.. 掌握課堂學習狀況. 在此教學模式中，教師必頇隨時掌握學生的學習狀況，避免學 生在課程教學中，因為系統的動畫播放與介面操作等功能而模糊學 習焦點。 65.
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