一一萊布尼茲一一
班級;電通一 A 學號;9630035
姓名;趙哲煒
圖一
物理報告
萊布尼茲(Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716)是 17、18 世紀之交 德國最重要的數學家、物理學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天 才。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可 磨滅的貢獻。
一、生平事蹟
萊布尼茲出生於德國東部萊比錫的一個書香之家，父親是萊比錫 大學的道德哲學教授，母親出生在一個教授家庭。萊布尼茲的父親在 他年僅 6 歲時便去世了，給他留下了豐富的藏書。萊布尼茲因此得以 廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學者的著作，由此而獲得 了堅實的文化功底和明確的學術目標。15 歲時，他進了萊比錫大學
學習法律，一進校便跟上了大學二年級標準的人文學科的課程，還廣 泛閱讀了培根、開普勒、伽利略、等人的著作，並對他們的著述進行 深入的思考和評價。在聽了教授講授歐幾裏德的《幾何原本》的課程 後，萊布尼茲對數學産生了濃厚的興趣。17 歲時他在耶拿大學學習 了短時期的數學，並獲得了哲學碩士學位。
20 歲時，萊布尼茲轉入阿爾特道夫大學。這一年，他發表了第 一篇數學論文《論組合的藝術》。這是一篇關於數理邏輯的文章，其 基本思想是出於想把理論的真理性論證歸結於一種計算的結果。這篇 論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創新的智慧和數學才華。
萊布尼茲在阿爾特道夫大學獲得博士學位後便投身外交界。從 1671 年開始，他利用外交活動開拓了與外界的廣泛聯繫，尤以通信作 爲他獲取外界資訊、與人進行思想交流的一種主要方式。在出訪巴黎 時，萊布尼茲深受帕斯卡事迹的鼓舞，決心鑽研高等數學，並研究了 笛卡兒、費爾馬、帕斯卡等人的著作。1673 年，萊布尼茲被推薦爲英 國皇家學會會員。此時，他的興趣已明顯地朝向了數學和自然科學，
開始了對無窮小演算法的研究，獨立地創立了微積分的基本概念與演
算法，和牛頓並蒂雙輝共同奠定了微積分學。1676 年，他到漢諾威公 爵府擔任法律顧問兼圖書館館長。1700 年被選爲巴黎科學院院士，促 成建立了柏林科學院並任首任院長。
1716 年 11 月 14 日，萊布尼茲在漢諾威逝世，終年 70 歲。
二、貢獻
17 世紀下半葉，歐洲科學技術迅猛發展，由於生産力的提高和 社會各方面的迫切需要，經各國科學家的努力與歷史的積累，建立在 函數與極限概念基礎上的微積分理論應運而生了。微積分思想，最早 可以追溯到希臘由阿基米德等人提出的計算面積和體積的方法。1665 年牛頓創始了微積分，萊布尼茲在 1673~1676 年間也發表了微積分思 想的論著。以前，微分和積分作爲兩種數學運算、兩類數學問題，是 分別的加以研究的。卡瓦列裏、巴羅、沃利斯等人得到了一系列求面 積(積分)、求切線斜率(導數)的重要結果，但這些結果都是孤立的，
不連貫的。只有萊布尼茲和牛頓將積分和微分真正溝通起來，明確地 找到了兩者內在的直接聯繫：微分和積分是互逆的兩種運算。而這是 微積分建立的關鍵所在。只有確立了這一基本關係，才能在此基礎上 構建系統的微積分學。並從對各種函數的微分和求積公式中，總結出 共同的演算法程式，使微積分方法普遍化，發展成用符號表示的微積 分運算法則。因此，微積分“是牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不 是由他們發明的＂(恩格斯：《自然辯證法》)。
萊布尼茲是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創設的微積分符 號，遠優於牛頓所用的符號，對微積分有極大之影響，就如同印度-
阿拉伯數碼的採用，促進算術、代數發展一樣。
當時看的懂萊布尼茲這些文章的人不多，蘇格蘭的克累格〈John Craig〉
是最早接受這種新方法的兩個人之一，他在 1685 年採用了萊布尼茲 的概念和符號。三十多年後，由於英國人的固執，加上對牛頓的盲目 崇拜，而改用牛頓的"流數術"，反而使他們前進的腳步落後於歐洲大 陸。另一個是瑞士的雅各‧伯努力，他將萊布尼茲的方法加以發揚光 大。從那時候起，數學進入一個空前的豐收時期。
三、理論
微積分
雖然萊布尼茲在巴黎時就得到很多微積分的結果，他在這方面第 一篇重要的著作〈求極大小值及切線的新方法〉，卻要到 1684 年才發 表在來比錫的一份雜誌《Acta Eruditorum》上。在這篇文章中，他引 進了微分式，給了微分式的四則公式：
並說明得到極值的條件是 dv=0，得到迴轉點（反曲點）的條件 是 ddv=0。在此之前，微分的計算都是個案的；有了萊布尼茲的微分
公式，則只要知道簡單函數的微分，其他由簡單函數經四則運算合成 的複雜函數，其微分也就輕易算得，難怪萊布尼茲會為此新方法感到 興奮不已。
第二年（1685 年），牛頓的一個學生 Craig（John, 1660?～1731 年）
寫了一本數學書，提到萊布尼茲的微分學，認為一定有更多的結果還 未發表。再過一年（1686 年），萊布尼茲在《Acta Eruditorum》發表了
〈論一深度隱藏的幾何學及無窮小與無窮大的分析〉一文，為 Graig 的書做書評，並趁機推出更多的萊氏微積分，在這篇文章中，萊氏積
分符號 正式登上數學史的舞台。他借用 Graig 所提到有關牛頓的 老師 Barrow（Issac, 1630～1677 年）的一個定理，來展示萊氏微積分 學的威力。這個定理用現代的語言來說明是這樣的：如圖一，設曲線 通過原點，從曲線上任一點 P(x,y) 作法線交 x 軸於 N，從 P 點的 垂足 H 到 N 的距離 v（稱為次法線）是 x 的函數，其從 O 到 x 的
面積為 。
萊布尼茲的想法是這樣的：在 P 點無窮小鄰近取曲線上一點
Q，以 PQ 為「斜邊」做一「特徵（直角）三角形」 ，其兩股 PR、QR 為無窮小變化量 dx,dy。則 與 相似，因此 vdx=ydy。從這個「微分」方程式，馬上就得
此外，在這篇文章中，他還說圓弧之長及擺線等非代數函數都可用積 分的方式表示出來。
圖一
圖二
在積分的技巧方面，萊布尼茲是以善用特徵三角形出名的。特徵 三角形的想法可溯至 Pscal（Blaise, 1623～1662 年）處理圓球表面積的 工作。如圖二，在半徑為 r 的圓上，取鄰近的兩個點 P、Q。因特徵 三角形 與 相似，所以 PQ:AO=PR:AB。若以 ds 表弧
長 （亦即特徵三角形的斜邊 PQ），就得 yds=rdx。因為 代 表弧長 ds 繞 x 軸一圈所得的表面積，其積分
就是圓球的表面積。
萊布尼茲在巴黎時，Huygens 介紹他讀 Pascal 的文章；萊氏在研讀 Pascal 的這段證明時，突然靈光一閃，發現在一般曲線的場合，法線 代替了半徑，也可以算得旋轉體的體積：如圖一所示。從兩個三角形 的相似，我們也可以得到 yds = ndx，因此
這兩個三角形相似的另一用法就是(1)式。由於
所以為了求得一函數 v(x) 的積分，我們只要找到 y=f(x)，使得(3)式 成 立 就 好 了 。 譬 如 ， v(x)=xn 時 ， 我 們 可 以 試 f(x)=bxm 。 則 因
，
所以取 , 就好了。如此就得
(3)式與(1)式合起來看，我們就得
這正是積分中變數代換的一個例子。
圖三
特徵三角形還可以和其他的三角形相似。譬如在圖三中，PT 為
切線，AB 為高度固定為 a。由 與 兩三角形相似，就 得
因此，譬如說，我們可以得到
而把計算弧長的問題轉變為計算面積的問題。
圖四
然而下面這種相似三角形取法更有用。如圖四，設切線交 y 軸
兩三角形的相似，可得 hds=zdx，亦即
因此由
就得
因為
把其中的 y 做一次分部積分 (integration by parts)，(6)式就變成
這正是我們常見的分部積分公式。
圖五
(6)、(7)兩式的合用是萊布尼茲計算積分的主要方法。他宣稱由此可 以得到所有前人已知的積分；圓周率的計算是這種方法成功的例證。
如圖五，圓的方程式為 ，
由此可得 ，因此
取 x=1，就得以萊布尼茲為名的著名公式
若將(9)式重寫成
而且注意到 z ( ) 正好是四邊形 ZOCP（看成是兩個全等三角形
、 之和）的面積， 是梯形 ZPHO 的面積。
兩者相減，再加上曲線 OP 下的面積 ，等式的左邊正是扇形 COP 的面積，而此面積為
如此我們就得到反正切函數的展開式
[請注意：牛頓與萊布尼茲得到 tan-1 z 的展開式都不是先知道其微分
為
在牛頓、萊布尼茲之前，微分及積分的計算都是個案的。萊氏不但提
利用特徵三角形所得的「微分」方程式轉過來的；也就是說他體會到 求積的問題可從曲線的切線性質著手，而且也善於應用微積分基本定 理──他曾於 1693 年在《Acta Eruditorum》發表微積分基本定理。此 外他的微積分符號不但使人很快了解微積分的內涵，也使人在微積分 的計算上得心應手，因此萊布尼茲的微積分掩蓋了牛頓的，而成為日 後微積分學的主流。有了這些貢獻，萊布尼茲自然也成了微積分的創 始人之一。
