關於交集與聯集分配律的性質, 我們有以下 Proposition 3.2.6 的推廣

(1)

從上面這個例子我們知道, 一些在有限多個集合的交集或聯集會對的情形, 在無窮多個集合的時候有可能是錯的, 所以還是要多加留意.

Question 3.15. 假設 Ai 為 Example 3.3.5 中的開區間 (i,∞), 為何不是 ^∩^∞

i=1

Ai={∞}?

關於交集與聯集分配律的性質, 我們有以下 Proposition 3.2.6 的推廣.

Proposition 3.3.6. 假設 B 為 set, 且 {Ai, i∈ I} 是以 I 為 index set 的 indexed family. 則 (^∩

i∈I

Ai)∪ B =^∩

i∈I

(A_i∪ B) and (^∪

i∈I

Ai)∩ B =^∪

i∈I

(A_i∩ B).

Proof. 由於對所有 k∈ I 皆有 (^∩

i∈I

Ai)⊆ (Ak∪ B) 且 B ⊆ (Ak∪ B), 由 Corollary 3.2.4 (2) 知 ((^∩

i∈I

A_i)∪ B) ⊆ (Ak∪ B). 因為這是對任意 k ∈ I 皆對, 故由 Corollary 3.3.4 (1) 知 ((^∩

i∈I

A_i)∪ B) ⊆^∩

i∈I

(A_i∪ B).

另一方面, 若 x∈^∩

i∈I

(A_i∪B), 則對所有 i ∈ I, 皆有 x ∈ Ai 或 x∈ B. 我們分 x ∈ B 以及 x ̸∈ B 兩 種情況來討論. 若 x∈ B, 則自然有 x ∈ (^∩

i∈I

A_i)∪ B. 而若 x ̸∈ B, 則知 x ∈ Ai 且由於這是對所 有 i∈ I 皆成立, 故得 x ∈^∩

i∈I

Ai, 因此 x∈ (^∩

i∈I

Ai)∪ B. 得證^∩

i∈I

(Ai∪ B) ⊆ ((^∩

i∈I

Ai)∪ B), 故 (^∩

i∈I

Ai)∪ B =^∩

i∈I

(A_i∪ B).

同理, 對所有 k∈ I 皆有 (Ak∩ B) ⊆ (^∪

i∈I

A_i) 且 (A_k∩ B) ⊆ B, 由 Corollary 3.2.4 (1) 知 (Ak∩ B) ⊆ (^∪

i∈I

Ai)∩ B. 因為這是對任意 k ∈ I 皆對, 故由 Corollary 3.3.4 (2) 知

∪

i∈I

(Ai∩ B) ⊆ (^∪

i∈I

Ai)∩ B.

另一方面, 若 x∈ (^∪

i∈I

Ai)∩ B, 表示 x ∈^∪

i∈I

Ai 且 x∈ B. 因此存在 i ∈ I, 使得 x ∈ Ai 且 x∈ B. 亦 即存在 i∈ I 使得 x ∈ Ai∩ B. 故知此時 x ∈^∪

i∈I

(A_i∩ B), 得證 ((^∪

i∈I

A_i)∩ B) ⊆^∪

i∈I

(A_i∩ B), 故 (^∪

i∈I

A_i)∩ B =^∪

i∈I

(A_i∩ B).

Question 3.16. Ai, Bi, i∈ I 是以 I 為 index set 的 indexed family. 是否

(^∩

i∈I

Ai)∪ (^∩

i∈I

Bi) =^∩

i∈I

(A_i∪ Bi) and (^∪

i∈I

Ai)∩ (^∪

i∈I

Bi) =^∪

i∈I

(A_i∩ Bi)?

最後我們推廣有關於有限集合差集的 DeMorgan’s laws (Proposition 3.2.11 (2)(3)).

(2)

Proposition 3.3.7. 假設 C 為 sets 且 {Ai, i∈ I} 是以 I 為 index set 的 indexed family, 我 們有以下的性質.

(1) C\ (^∩

i∈I

A_i) =^∪

i∈I

(C\ Ai). 特別的, 我們有 (^∩

i∈I

A_i)^c=^∪

i∈I

A^c_i. (2) C\ (^∪

i∈I

A_i) =^∩

i∈I

(C\ Ai). 特別的, 我們有 (^∪

i∈I

A_i)^c=^∩

i∈I

A^c_i.

Proof. (1): 由於對所有 k∈ I,^∩

i∈I

A_i⊆ Ak, 故由 Proposition 3.2.9 知 (C\Ak)⊆ (C \^∩

i∈I

A_i). 故由 Corollary 3.3.4 (2) 得 ^∪

i∈I

(C\ Ai)⊆ (C \^∩

i∈I

Ai). 另一方面, 若 x∈ C \^∩

i∈I

Ai, 表示 x∈ C 且 x̸∈^∩

i∈I

A_i, 亦即 x 不會屬於每一個 A_i. 因此存在 i∈ I 使得 x ̸∈ Ai, 故由 x∈ C 得 x ∈ C \ Ai. 得 證 x∈^∪

i∈I

(C\ Ai),故 (C\^∩

i∈I

Ai)⊆^∪

i∈I

(C\ Ai).

現考慮 C = X 的情況, 由 X\ Ai= A^c_i 以及 X\ (^∩

i∈I

Ai) = (^∩

i∈I

Ai)^c 我們馬上得知 (^∩

i∈I

Ai)^c=^∪

i∈I

A^c_i.

(2): 利用 (1) 的結果我們有 (^∩

i∈I

A^c_i)^c =^∪

i∈I

(A^c_i)^c, 再利用 Proposition 3.2.11 (1), 得 (^∩

i∈I

A^c_i)^c=^∪

i∈I

Ai. 取 complement 並再次利用 Proposition 3.2.11 (1) 得證 (^∪

i∈I

Ai)^c=^∩

i∈I

A^c_i. 現因

C\ (^∪

i∈I

Ai) = C∩ (^∪

i∈I

Ai)^c= C∩ (^∩

i∈I

A^c_i) and ^∩

i∈I

(C\ Ai) =^∩

i∈I

(C∩ A^ci), 由交集本身的結合律與交換律知 C∩ (^∩

i∈I

A^c_i) =^∩

i∈I

(C∩ A^ci),故得證 C\ (^∪

i∈I

Ai) =^∩

i∈I

(C\ Ai).

Question 3.17. 假設 C 為 sets 且 {Ai, i∈ I} 是以 I 為 index set 的 indexed family. 試問 (^∩

i∈I

A_i)\C 會等於 ^∩

i∈I

(A_i\C) 或是^∪

i∈I

(A_i\C), 還是都不對? 而 (^∪

i∈I

A_i)\C 會等於甚麼?

3.4. Power Set and Cartesian Product

前面介紹的幾個集合的運算 (交集, 聯集和差集) 在作用後所得的集合仍在宇集中, 接著要介紹的這兩種運算在作用後所得的集合很可能會不在原先的宇集中 (當然此時要擴大我們的宇集), 這一點要特別留意.

3.4.1. Power Set. 首先我們定義 power set.

Deﬁnition 3.4.1. 假設 A 為 set. 我們定義 A 的 power set 為 A 的 subsets 所成的集合, 用 P(A) 來表示. 依定義我們有

P(A) = {S : S ⊆ A}.

(3)

由於對任意的 set A, 皆有 /0⊆ A 以及 A ⊆ A, 我們得 /0 ∈ P(A) 且 A ∈ P(A). 最特別 的是, 因 /0 包含於任何的集合, 故我們仍有 /0⊆ P(A). 也就是我們會同時有 /0 ∈ P(A) 且 /0⊆ P(A) 的情形發生. 另外若 a ∈ A, 表示 {a} ⊆ A, 故知 {a} ∈ P(A). 原來的 set 和其 power set 中 “屬於” 和 “包含於” 關係的轉變, 千萬不要混淆. 我們看以下的例子.

Example 3.4.2. 由於 /0 只有自己一個子集合, 故得P(/0) = {/0}.

考慮 A ={1,2,3}, 由前已知 /0, A, {1}, {2}, {3} 皆在 P(A) 中. 又因 {1,2}, {1,3}, {2,3}

皆包含於 A, 故得

P(A) ={

/0,{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} .

當一個集合 A 僅有有限多個元素時, 我們稱之為 ﬁnite set. 此時我們用 #(A) 來表示 A 的元素個數. 例如在上面 Example 3.4.2 中 #(A) = 3, 此時我們發現 #(P(A)) = 2³= 8. 一般的 ﬁnite set, 我們都可以由其元素個數, 得到知道它的 power set 的元素個數.

Proposition 3.4.3. 假設 A 為 ﬁnite set 且 #(A) = n. 則 #(P(A)) = 2ⁿ.

Proof. 我們可以用排列組合的方法得到 #(P(A)) = 2ⁿ. 不過這不是本門課所要談論的技 巧, 我們用數學歸納法證明. 我們對 A 的元素個數 #(A) 做數學歸納法. 當 #(A) = 0 時, 表示 A 沒有任何元素, 即 A = /0. 由 Example 3.4.2, 我們知此時 #(A) = 1 = 2⁰. 而當 #(A) = 1 時, 表示 A 僅有一元素, 設其為 a, 即 A ={a}. 此時我們有 P(A) = {/0,{a}}, 故得 #(A) = 2 = a¹. 證得 n = 0, 1 時成立.

現假設當集合的個數為 k 時成立. 考慮 #(A) = k + 1 的情形, 假設 A ={a1, . . . , a_k, a_k+1}.

此時令 A^′= A\ {ak+1}. 我們有 #(A^′) = k, 故由歸納法之假設得 P(A^′) = 2^k, 亦即 A^′ 共有 2^k 個元素. 現因 A^′⊂ A, A^′ 的 subset 必為 A 的 subset. 故知P(A) 至少有 2^k 個元素. 然而 A 中有 subset 是不包含於 A^′ 的, 就是那些含有 a_k+1 的 subset. 若 S 為這樣的 subset, 即 a_k+1∈ S. 此時令 S^′= S\ {ak+1}, 則 S^′⊆ A^′. 反之, 若 S^′⊆ A^′, 則令 S = S^′∪ {ak+1}, 我們會得 到 S 是 A 的 subset, 但不是 A^′ 的 subset. 換言之, A 的 subset, 要不然就是 A^′ 的 subset, 要 不然就是將某個 A^′ 的 subset 聯集 {ak+1} 而得. 故得 A 的 subset 的個數為 2^k+ 2^k= 2^k+1, 證得 #(P(A)) = 2^k+1. 故由數學歸納法知, 若 #(A) = n, 則 #(P(A)) = 2ⁿ. 接下來我們要談論 power set 和原來的 set 之間的關係. 由於這些關係仍和集合的包含 關係有關, 我們只要能掌握 power set 的元素即可. 依 power set 的定義, 若 A 為 set, 則 S∈ P(A) 若且唯若 S ⊆ A. 利用這個看法, 我們可以很容易地得到一些有關 power set 的性 質. 首先我們來看, power set 事實上是會保持包含關係的.

Proposition 3.4.4. 假設 A, B 為 sets. 則 A⊆ B 若且唯若 P(A) ⊆ P(B).

Proof. (⇒): 假設 A ⊆ B. 若 S ∈ P(A), 表示 S ⊆ A. 故由 A ⊆ B 得 S ⊆ B, 亦即 S ∈ P(B).

得證P(A) ⊆ P(B).

(⇐): 假設 P(A) ⊆ P(B). 由於 A ∈ P(A), 故由 P(A) ⊆ P(B), 得 A ∈ P(B). 依 power set

之定義, 此即表示 A⊆ B.

(4)

Question 3.18. 假設 A, B 為 sets. 試問 A⊂ B 若且唯若 P(A) ⊂ P(B) 是否正確?

Power set 也保持交集的運算, 也就是說我們有以下的性質.

Proposition 3.4.5. 假設 A, B 為 sets. 則P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).

Proof. 因 (A∩ B) ⊆ A 且 (A ∩ B) ⊆ B 由 Proposition 3.4.4 我們有 P(A ∩ B) ⊆ P(A) 且 P(A ∩ B) ⊆ P(B). 故由 Corollary 3.2.4 知 P(A ∩ B) ⊆ P(A) ∩ P(B).

另一方面, 若 S∈ P(A) ∩ P(B) 表示 S ∈ P(A) 且 S ∈ P(B), 亦即 S ⊆ A 且 S ⊆ B. 故再 由 Corollary 3.2.4 知 S⊆ (A ∩ B), 也就是說 S ∈ P(A ∩ B). 得證 P(A) ∩ P(B) ⊆ P(A ∩ B),

故 P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).

Question 3.19. 假設 {Ai, i∈ I} 是以 I 為 index set 的 indexed family. 試問 P(^∩

i∈I

Ai) 是否等於 ^∩

i∈I

P(Ai)?

Power set 是否會保持聯集呢? 雖然我們有 A⊆ (A∪B) 且 B ⊆ (A∪B) 所以由 Proposition 3.4.4 可得P(A) ⊆ P(A ∪ B) 且 P(B) ⊆ P(A ∪ B), 再由 Corollary 3.2.4 得

(P(A) ∪ P(B)) ⊆ P(A ∪ B). (3.3) 不過一般來說 P(A ∪ B) ⊆ P(A) ∪ P(B) 卻是不正確的. 這是因為若 S ∈ P(A ∪ B) 表 示 S⊆ (A ∪ B), 但這並不一定保證 S ⊆ A 或 S ⊆ B. 例如當 A = {1}, B = {2}, 我們有 S ={1,2} ⊆ A ∪ B, 但 S * A 且 S * B. 事實上此時 P(A) = {/0,{1}},P(B) = {/0,{2}}, 故 有 P(A) ∪ P(B) = {/0,{1},{2}}. 但是 P(A ∪ B) = {/0,{1},{2},{1,2}}. 故此時 P(A ∪ B) ̸=

P(A) ∪ P(B), 即 P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B).

Question 3.20. 假設 {Ai, i∈ I} 是以 I 為 index set 的 indexed family. 試問 ^∪

i∈I

P(Ai)⊆ P(^∪

i∈I

A_i) 是否成立?

Question 3.21. 試證明P(A) ∪ P(B) ̸= P(A ∪ B) 若且唯若 A * B 且 B * A.

在任何情況之下, Power set 都無法保持差集. 這是因為當 A, B 為 sets 時, 在任何情 況之下皆有 /0∈ P(A), /0 ∈ P(B). 因此會得到 /0 ̸∈ P(A) \ P(B). 然而 /0 ∈ P(A \ B), 故知 (P(A) \ P(B)) ̸= P(A \ B). 不過當 S ̸= /0 時, 若 S ∈ P(A \ B), 表示 S ⊆ (A \ B). 此時 因 (A\ B) ⊆ A, 故得 S ⊆ A (即 S ∈ P(A)). 這時我們也會有 S * B (即 S ̸∈ P(B)). 否則若 S⊆ B, 則因 S 假設為非空集合, 故存在 x ∈ S, 得 x ∈ B. 此與 S ⊆ (A \ B) 相矛盾 (因 x ∈ S, 表示 x∈ A \ B, 亦即 x ̸∈ B). 故由 S ∈ P(A) 且 S ̸∈ P(B) 得 S ∈ P(A) \ P(B). 我們證明了 P(A \ B) 中除了空集合以外, 其他的元素都會在 P(A) \ P(B) 中, 故得

(P(A \ B) \ {/0}) ⊆ (P(A) \ P(B)). (3.4) 不過上面的包含關係的反向並不成立. 因為若 S∈ P(A) \ P(B) 表示 S ⊆ A 且 S * B.

但這不表示 S⊆ (A \ B). 例如若 A \ B ̸= /0 且 A ∩ B ̸= /0, 此時選 a ∈ A \ B 及 b ∈ A ∩ B 且

(5)

考慮 S ={a,b}. 則 {a,b} ⊆ A 且 {a,b} * B (即 S ∈ P(A) \ P(B)), 但 {a,b} * (A \ B) (即 S̸∈ P(A \ B) \ {/0}). 故此時 (P(A) \ P(B)) * (P(A \ B) \ {/0}).

Question 3.22. 假設 A, B 為 sets.

(1) 證明若 A\ B = /0 則 (P(A) \ P(B)) = /0.

(2) 證明若 A∩ B = /0 則 (P(A) \ P(B)) = (P(A) \ {/0}).

(3) 證明 (P(A \ B) \ {/0}) ̸= (P(A) \ P(B)) 若且唯若 A \ B ̸= /0 且 A ∩ B ̸= /0

3.4.2. Cartesian Product. 我們曾強調對於集合我們是不考慮其元素的排列順序, 例如 {1,2} 和 {2,1} 是相同的集合. 不過若考慮集合 S1={{1},{1,2}} 和 S2{{2},{1,2}}, 很容易知道{1} ∈ S1 且 {1} ̸∈ S2, 所以我們知道 S₁̸= S2. 這個方法, 幫助我們將 1, 2 這兩個元素做了排序. 因此我們定義以下的符號.

Deﬁnition 3.4.6. 假設 A, B 為 sets. 若 a∈ A,b ∈ B, 我們定義 ordered pair (a, b) ={{a},{a,b}}.

且令

A× B = {(a,b) : a ∈ A,b ∈ B}, 稱之為 the Cartesian product of A and B.

所謂 ordered pair, 意指有序的數對, 也就是這裡的元素都是成對出現, 而且順序是有關 的. 例如前面的例子, 我們有 (1, 2) ={{1},{1,2}}, 而 (2,1) = {{2},{1,2}}, 故 (1,2) ̸= (2,1).

一般來說設 a, a^′∈ A, b,b^′∈ B. 若 a = a^′, b = b^′, 則依集合相等的定義, 我們有 (a, b) ={{a},{a,b}} = {{a^′},{a^′, b^′}} = (a^′, b^′).

另一方面若 (a, b) = (a^′, b^′) 表示{{a},{a,b}} = {{a^′},{a^′, b^′}}. 現若 a ̸= b, 表示 {a,b} 中有 兩個元素, 故若 (a, b) = (a^′, b^′),表示{a^′, b^′} 必須亦為有兩個元素的集合 (否則 {{a^′},{a^′, b^′}}

中沒有一個有兩元素的集合, 不可能等於{{a},{a,b}}). 既然如此, 由集合相等之定義, 我們 必有{a} = {a^′} 以及 {a,b} = {a^′, b^′}. 這告訴我們 a = a^′ 且 b = b^′. 而若 {a,b} 中僅有一元 素, 即 a = b. 此時依集合定義{a,b} = {a}, 故

(a, b) = (a, a) ={{a},{a,b}} = {{a},{a}} = {{a}}.

因此, 這時候要 (a, b) = (a^′, b^′) 非得 b^′= a^′= a, 故此時依然有 a = a^′ 且 b = b^′. 我們證得了以下的結果.

Proposition 3.4.7. 假設 A, B 為 sets, 又設 a, a^′∈ A 且 b,b^′∈ B 則 (a,b) = (a^′, b^′) 若且唯 若 a = a^′ 且 b = b^′.

我們觀察一下, 當 a∈ A, b ∈ B, {{a},{a,b}} 會是哪一個集合的元素. 首先由 {a,b} 我們 可以看出, 此集合應該和 A∪B 有關. 又 {a}, {a,b} 為 A∪B 的 subset, 我們有 {a} 和 {a,b} 皆 為P(A∪B) 的元素. 故 {{a},{a,b}} 為 P(A∪B) 的子集合, 得 {{a},{a,b}} ∈ P(P(A∪B)).