集合的基本性質及其用於反例

Cantor 集合的基本性質及其用於反例

胡紹宗

Cantor 集是一個構思巧妙的特殊點集, 此集合是 Cantor 在解三角級數問題時作出 來的, 它有著一些“奇怪”的性質。 一般實變函 數教科書中都有證明: Cantor集是一個疏朗 的完全集, 具有連續基數的點集和不可數的 零測度集。 這些性質在對許多問題的討論中 都起著很大的作用, 特別常是構造重要反例 的基礎。

例1: 構造一個在 R 上幾乎處處等於零 的函數, 它在每個非空開區間上的值域都是 R。

解: (1) 設 p 是 [0,1] 上的 Cantor 三分集, θ 為定義在 [0,1]上的 Cantor 函數 (參見 「數學傳播」 第二十一卷第一期, 胡紹宗

「Cantor 函數的分析性質及其用於反例」)。

在 (0,1) 上定義函數:

g(x) = tan[π(θ(x) − 1

2)], 0 < x < 1 則 g[p ∩ (0, 1)] = R。

(2) 對於任意開區間 I = (a, b), 令 E1 = {a + (b − a)x|x ∈ p ∩ (0, 1)}

則 E1 是 I 的零測度子集 在 E1 上定義函數:

g1(x) = g(x− a

b− a), x∈ E1

則 g1(E1) = R。

(3) 定義所要求的函數 f , 先令它在整 數集 Z 上等於零, 然後定義開集序列 {Gⁿ} 如下:

G1 = R − Z =

+∞

[

n=−∞

(n, n + 1)。

在每一個這些開區間 I 上, 設 E1 為 (2) 中 定義的零測度集, 並在 E1 上定義 f 等於 g1。 G1 內 f 尚未定義的點組成子集 G2, 它是開 集, 因而是互不相交的開區間的聯集。 在每一 個這些開區間 I 上, 設 E1為 (2) 中定義的零 測度集, 並在 E1 上定義 f 等於 gI。 G2 內 f 尚未定義的子集 G3 仍是開集, 因而還是 互不相交的開區間的聯集。 在每一個這些開 區間 I 上, 設 E1 為 (2) 中定義的零測度 集, 並在 E1 上定義 f 等於 g1。 依照上述方 法每進行一步, 函數 f 的定義域就能擴大一 次, 以包括這些零測度集。 將這種步驟繼續下

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Cantor

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集, 所以函數 f 轉化為定義在一個零測度集 上。 同時不難看出, 按照此種方法可使每個非 空開區間必然包含開集 Gⁿ 之一的一個開區 間 I, 因而也包含一個集 E1, 其上 f 的值域 都是 R。 最後, 在 f 一直沒有定義的各點, 令 f 恆等於零。

這樣, 上述所定義的函數 f 就是一個在 R 上幾乎處處等於零的函數, 它在每個非空 開區間上的值域都是 R 。

測度理論告訴我們: 任何正測度集 A, 其差集 ∆(A) = {x − y|x ∈ A, y ∈ A}

必包含對稱於原點的開區間。 現在要問: 所 有零測度集, 其差集必不包含對稱於原點的 任何開區間嗎? 我們的回答是不一定, 請看

例2: 設 p 為零測度集中的 Cantor 三 分集, 則 ∆(p) = [−1, 1]。

證: 由於 p 是經過一系列刪去“三分 中段”的步驟而得到的, 因此能夠把 p 與 p 的笛卡爾乘積 p × p 設想為可數個閉 集 p1, p2, p3, . . . 的交集, 每個 pⁿ 都按下 述方法作為一些“隅角正方形”的聯集: 集 p1

由四個面積皆為 ¹₃ × ¹₃ 的位於整個正方形 [0, 1] × [0, 1] 四隅的閉正方形 [0,¹₃] × [0,¹₃], [0,¹₃]×[²₃,1], [²₃,1]×[0, ¹₃] 和 [²₃,1]×[²₃,1]

組成; 集 p2 由十六個面積皆為 ¹₉ × ¹₉ 的位 於 p1 的四個正方形四隅的閉正方形組成; 集 p3 由六十四個面積皆為₂₇¹ ×₂₇¹ 的位於 p2的 十六個正方形四隅的閉正方形組成; 等等。 對 於任給的 α ∈ [−1, 1], 直線 y = x + α 與 p1 的四個正方形中至少有一個相交, 選出這

樣一個正方形並記為 S1。 這條直線也必然與 p2 的位於 S1 之內的四個正方形中至少有一 個相交, 選出這樣一個正方形並記為 S2。 如 果這個過程繼續下去, 就得到一個閉正方形 序列 {Sn}, 且有 Sn+1 ⊂ Sⁿ, Sⁿ 的邊長

1

3ⁿ → 0 (n → ∞), 所以由矩形套定理, 存在 唯一的一點 (x, y) ∈ Sn (n = 1, 2, 3, . . .)。

因此, 點 (x, y) 必然屬於 p × p, 但因為這個 點還必須位於直線 y = x + α 上, 於是得到 p 的兩個元 x 和 y, 它們的差是給定的數 α, 即 ∆(p) = [−1, 1]。

例3: 對任意開集G, 證明或否定:

(1) mG = mG;

(2) G 約當可測。

解: (1) 不一定。 在 [0,1]上作類 Contor 集 P :

第一次刪去閉區間 [0,1]中央的長度為

1

5 的開區間,

第二次刪去餘下的 2 個閉區間中央的長 度皆為 (¹₅)² 的開區間,

第三次刪去餘下的 2²個閉區間中央的 長度皆為 (¹₅)³ 的開區間,

· · ·

一般說來, 第 n 次刪去餘下的 2ⁿ⁻¹ 個 閉區間中央的長度皆為 (¹₅)ⁿ 的開區間。

如此等等, 這樣便得到類 Cantor 集 P 與開集 G = [0, 1] − P , 易知

mG= 1 5+ 2(1

5)²+ 2²(1

5)³+ · · · +2ⁿ⁻¹(1

5)ⁿ+ · · ·

= 1 5[1+2

5+(2

5)²+· · ·+(2

5)ⁿ⁻¹+· · ·]

78

₂₃

₄

₈₈

₁₂

=1 5· 1

1 − ²₅ = 1 3

另一方面, 因 P 沒有內點, 故 P 的任 一點 x0 的任何鄰域都含有 G 的點, 即 x0

是 G 的聚點, 從而有 P ⊂ G^′, 又 G 為開 集, G ⊂ G^′, 因此

G= G^′∪ G = (p ∪ G) ∪ G = P ∪ G

= [0, 1], mG= 1 於是

mG= 1 6= 1

3 = mG

(2) 不一定。 如 (1) 中所作類 Contor 集 P 及開集 G, 已知 mG = ¹₃, 從而 mP = m[0, 1] − mG = ²₃。 因 P 是沒有 內點的完全集, 即 P 中沒有 G 的外點, 都是 G 的邊界點, 故 ∂G = P , 由約當外測度與 勒貝格外測度的關係, 可知

(m^∗∂G)^J = (m^∗p)^J ≥ m^∗p= 2 3

即 G 的邊界的約當外測度不能是零, 但因有 界點集約當可測的充要條件是其邊界的約當 外測度為零, 所以 G 不是約當可測集。

參考文獻

1. 鄭維行、 王聲望編 「實變函數與泛函分析概 要」, 人民教育出版社, 1980 年 6 月。

2. 程其襄等編 「實變函數與泛函分析基礎」, 高 等教育出版社, 1986 年 5 月。

3. (美) B. Gelbaum 著 「實分析習題及解答」, 陜西人民出版社, 1986 年 5 月。

4. (美) B. R. 蓋爾鮑姆、J. M. H. 奧姆斯特 德著 「分析中的反例」, 上海科學技術出版社, 1980 年 3 月。

—本文作者任教於安徽省阜陽師範學院_—