行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
環型行進波式超音波馬達定子的振動分析
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC94-2212-E-110-014- 執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日 執行單位： 國立中山大學機械與機電工程學系(所) 計畫主持人： 劉崇富 計畫參與人員： 陳鼎融、楊俊鴻、葉承威 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 95 年 10 月 12 日
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫
■ 成 果 報 告
□期中進度報告
環型行進波式超音波馬達定子的振動分析
計畫類別：■ 個別型計畫
□ 整合型計畫
計畫編號：NSC94－2212－E－110－014
執行期間：94 年 8 月 1 日至 95 年 7 月 31 日
計畫主持人：劉崇富 教授
共同主持人：
計畫參與人員：陳鼎融、楊俊鴻、葉承威
成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：■精簡報告
□完整報告
本成果報告包括以下應繳交之附件：
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處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育
研究計畫、列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢
□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢
執行單位：國立中山大學機械與機電工程學系
中
華
民
國
九
十
五
年
七
月
三
十
一
日
I
摘要
本計畫以改良過的二維軸對稱有限元素分析環型行進波式超音波馬達定子問題，以期能應 用在環形行波式超音波馬達定子的設計中。此列式透過適當的三個自由度位移場假設，再 加入電場的效應作為第四個自由度，能夠分析壓電圓板或環形板的三維軸對稱與非軸對稱 振動，超音波馬達的定子振動，亦可輕易地分析。最後由特徵值問題所得到的自然頻率以 及模態，討論壓電圓環作為馬達定子的動態特性：自然頻率與橢圓形軌跡，以及在不同幾 何形狀與模態下此些特性的改變趨勢。 關鍵詞：振動、超音波馬達定子、有限元素。ABSTRACT
In order to understand the dynamic characteristics of stators of ultrasonic motors, we proposed a modified two-dimensional axisymmetric finite element model to analyze the three-dimensional vibrational problem of piezoelectric annular and circular plates. In this work, displacement fields are properly assumed and the electric effect is included. Following the finite element method, analyses of axisymmetric and nonaxisymmetric vibration of circular and annular plate, and also, the analysis of stators of ultrasonic motors can be conducted in a convenient way. Natural frequency and elliptic locus of stators are then calculated. Effects on them by different geometry aspects and circumferential wave numbers are discussed.
1 一、前言： 超音波馬達是一種利用彈性振動(elastic vibration)產生驅動力，再藉由摩擦力驅動轉子 的設計；它的運作原理是利用黏附在彈性體(定子)上的壓電片，在受到電壓驅動後，激發出 彈性體相對於電壓訊號頻率的振動模態，藉著振動模態的合成，再藉由摩擦力使轉子運動。 超音波馬達在運作時雖然定子每次振動的幅度很小，但因其頻率相當高，故可達到快速移 動、安靜、高精度等要求，結構也相對的簡單，但也因超音波馬達是利用摩擦力來傳輸能 量，摩擦所產生的熱以及磨耗快速是必然會遭遇到的問題。 從驅動原理來區分，超音波馬達主要可分為兩種：一種是駐波式超音波馬達，此種超 音波馬達在運作時定子會產生一駐波，定子/轉子接觸點固定，接觸情形為間歇式，另一種 是行波式超音波馬達，此種超音波馬達在運作時定子會產生一行波，不同於前者，它的接 觸產生在波峰附近，並且會隨著時間改變接觸點，定子/轉子間作連續性的接觸。雖然駐波 式的超音波馬達效率較高，但由於其接觸情形的關係，定子磨耗速度快壽命較短，運轉時 也比較不穩定。 行波式超音波馬達雖然效率較低，但其外型限制較小，如做成環形可以不需要心軸等， 近幾年被應用在光學產品的鏡頭驅動，其他方面應用例如需要滿足安靜考量的醫院，或是 容易受到電磁干擾的磁浮列車、核磁共振設備，以及其他需要精密定位的項目，都是超音 波馬達可以發展的空間;其中尤以圓環行波式超音波馬達的可能用途最廣，並已有商業化的 生產；而超音波馬達的設計中，最重要的初步工作，即為振動分析。本計畫針對此種圓環 的行波式超音波馬達定子，利用其軸對稱的特性，導入適當的有限元素求解其動態特性， 作為壓電超音波馬達的初步研究。 二、研究目的： 本計畫將發展一種改良過的二維軸對稱有限元素，可以對壓電圓盤進行分析，並依照 所得到的結果，討論不同幾何形狀與圓盤材質對壓電圓盤動態特性的影響，以期能夠將本 計畫所提出的方法，應用在行波式超音波馬達定子設計上。針對單層壓電圓環以及複合壓 電圓環，改變結構的半徑、厚度、複合結構的厚度比例以及所選取的模態種類，分析定子 自然頻率、橢圓形軌跡以及與轉子的接觸點位置，並歸納出改變幾何比例對上述結果所造 成的影響。 三、文獻探討： 由於超音波馬達必須由壓電材料驅動，因此超音波馬達動態分析的基本工作就是壓電 材料的振動分析。大部分有關壓電材料的研究都是以線性壓電理論[1]為基礎，在線性壓電 理論中，假設壓電材料的彈性係數(elastic constants)、壓電參數(piezoelectric parameters)以及 介電常數(dielectric constants)為定值，不受外界所施加之電場、應力的頻率與大小所影響。 首先 Allik and Hughes[2]利用變分法以及有限元素法，推導出壓電材料的運動方程式， Guo and Cawley[3]用軸對稱元素，計算出壓電圓盤的自然頻率以及振動模態，但由於所使 用的是二維軸對稱元素，只能求出軸對稱的振動模態及其頻率，非軸對稱的振動情形則無 法得知。Akio et al.[4]討論壓電圓板的軸對稱振動問題，分析過程中，該作者將一維有限元 素法計算出來的特徵向量作適當的疊加，用來表示二維運動方程式的答案，此混和分析方 法可以得到比二維有限元素法更快的收斂速度。
實驗分析方面，Lin and Ma[5]改變一壓電圓盤電極的分佈情形，量測振動頻率及模態， 並與 3D 有限元素法比較，討論不同電極的設計對壓電圓盤動態特性的影響，Seiji[6]則量 測不同直徑厚度比例之壓電圓板的共振頻率，並與 Gazis 以及 Mindlin 板理論做比較，其 中板理論假設材料為等向，結果顯示，可以藉由改變理論解的浦崧比使理論解與實驗結果 達到吻合。
針對環形超音波馬達的分析方面，首先 Friend and Stutts [7]基於薄板理論求出厚度固定 之壓電疊層板的振動特性，以及預測定子上齒的運動軌跡。Maeno et al. [8]則利用 3-D 有限 元素法，計算出環型超音波馬達的振動模態，以及模擬轉子與定子之間的彈性接觸，但此
2
方法需要花很多時間在建立網格以及計算和處理資料。亦有學者將有限元素法與其他數值 方法結合，如 Bao and Bar-Cohen [9]以及 Letty et al. [10]，後者結合有限元素法與 normal mode expansion method 來分析超音波馬達，如此可降低計算過程中的矩陣個數，減少計算 所花費的時間。
Hagood and McFarland [11]則利用 Rayleigh-Ritz assumed mode energy 方法模擬定子的 動態問題。Hagedorn et al. [12] 便以 [11] 為基礎，改良上述模型，考慮轉子的彈性以及假 設電場沿著 Z 軸呈線性分佈，來模擬超音波馬達的動態問題。Takehiro et al.[13]則討論不同 內外徑比例，對一壓電圓環超音波馬達的影響，分別比較了下列四個參數：振動模態、電 位移、機電耦合因數以及壓電材料振動時所形成的橢圓形運動軌跡。 四、研究方法： 本計畫將整個壓電圓盤的節點依照有無電極分佈以及是否接地分為三組，因此整個結 構的運動方程式可表示成：
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
e n g u u u u u u uu e n gU
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
U
m
e e n e g e e e n n n g n n e g n g g g g e n g
上式中的U向量泛指所有的節點位移(u、v、w)，
n為沒有電極覆蓋節點的電位能值， e
為沒有接地的電極節點電位能值，
g 則為有接地的電極節點電位能值，由於我們討論 的是壓電圓盤自由振動的問題，
e
g
0
，因此可以將其簡化如下：
0
0
0
0
0
n u u uu nU
k
k
k
k
U
m
n n n n
此為自然振動電場邊界條件下的壓電材料運動方程式。 但由於壓電材料必須考慮電位能的效應，因此運動方程式會多一個與質量無關的電位 能自由度，使得質量矩陣的對角線上有零值(non-positive definite)，因而無法解特徵值問題， 本計畫利用位移以及電位能的關係改寫勁度矩陣，解決此問題。 首先由上式中我們可以得到下列等式：
u
n
0
n n nU
k
k
移項後可將
以n
U 表示如下：
n
k
k
u
U
n n n
-1-
再代回可得到運動方程式：
-
0
-1 --1
U
k
k
k
k
U
m
U
k
k
k
U
k
U
m
u u uu u u uu n n n n n n n n
3 因此無阻尼自由振動特徵方程式中的勁度矩陣可寫成：
K
k
uu
k
unk
nnk
nu
-1-~
如此便解決了質量矩陣對角線上有零值的問題。 五、結果與討論：Duan et al.[14]在他的研究中，以 Kirchhoff 板理論以及 Mindlin 板理論為基礎，推導 複合壓電圓環的運動方程式，並求出理論解，與有限元素套裝軟體 ABAQUS 中的三維分 析結果做比較。文中為了滿足 Maxwell 靜電方程式，假設電位能在厚度方呈正絃曲線 (sinusoidal)的分佈。該作者討論的是三層複合壓電圓環，由兩層相同材質的壓電材料，覆 蓋在一層以鋼作為材料的圓環上(E=200 GPa，ν=0.3，ρ=7800 kg/m3)，內徑(ri)、外徑(ro) 為 0.1m 以及 0.6m，鋼材的厚度為壓電材料的 20 倍，為了分別討論薄板以及厚板的分析情 形，在文中改變外徑與鋼材厚度的比例，ro/h=30 以及 ro/h=10 兩種。與本研究結果的比較 列在表一，其中 CPT(classical plate theory)表示由 Kirchhoff 板理論為基礎所得到的結果，而 IPT(improved plate theory)則表示由 Mindlin 板理論為基礎所得到的結果。
表一、本文與文獻[14]中複合壓電圓環自然振動頻率的結果之比較，ro/h=30，mesh 15×6 ，
邊界條件為 clamped-clamped (頻率單位為 rad/s，n 為 circumferential wave number，m 為 number of nodal circles，括弧中的數字為與本文比較的誤差)
BC n m Present ABAQUS 3D[14] CPT[14] IPT[14] 0 2744.5 2812 (2.57%) 2815 (2.67%) 2769 (1.05%) 1 7482.52 7659 (2.48%) 7786 (4.01%) 7517 (0.64%) 0 2 14441.06 14,753 (2.31%) 15,306 (5.83%) 14,428 (0.11%) 0 2872.91 2942 (2.51%) 2952 (2.84%) 2899 (1.06%) 1 7704.56 7882 (2.42%) 8030 (4.22%) 7743 (0.67%) 1 2 14705.84 15,020 (2.28%) 15,608 (5.96%) 14,698 (0.14%) 0 3399.11 3471 (2.2%) 3506 (3.17%) 3438 (1.26%) 1 8452.02 8635 (2.27%) 8840 (4.53%) 8507 (0.8%) C-C 2 2 15556.78 15,877 (2.19%) 16,569 (6.27%) 15,566 (0.23%) 與文獻上的方法比較，本計畫之方法除了有一定的準確度外，而且可以得到所有的振
4 動模態，此外，更有列式簡單、二維精確模擬三維(節省大量的運算時間)等優點，因此在圓 形或是環型壓電平板振動分析上，本計畫的方法可說是一個相當有用的工具。 若要以本計劃的方法來分析超音波馬達定子的振動，並依此結果作為定子設計的參 考，必須考慮的因素有二：直徑方向波峰的位置(Bn1mode)以及行波所造成的橢圓型軌跡。 波峰位置所影響的是定子所輸出的扭力，當波峰位置離圓心越遠，就有可能輸出較大的扭 力。第二個考慮因素：行波所造成的橢圓型軌跡，一般來說，只要能產生橢圓型軌跡運動 的機構，就能夠當作定子，藉由磨擦力來帶動轉子，欲利用垂直於平面的模態來造成橢圓 型軌跡運動，就必須配合 z 方向以及方向的位移，以下將介紹兩個方向的位移如何形成 橢圓形的軌跡。當吾人以有限元素法求得振動模態後，可以得知任一節點三個自由度的特 徵向量，再由一般振動理論的公式，我們可以將無阻尼情況下，、z 方向的位移表示如下：
n
t
t
z
r
w
n
t
t
z
r
v
w vcos
cos
)
,
,
,
(
sin
cos
)
,
,
,
(
其中
v、
w是 r、z 的函數，上式代表的是一特定模態所造成兩個方向的位移；要組 成行波必須將兩個駐波疊加，因此吾人選擇兩組供應電源的相位差為 ，兩組電極間距2 為 ( 為欲激發之模態的方向波長)，則兩組模態 a、b 的位移可表示為：4
n
t
n
t
t
z
r
w
t
z
r
v
w v a acos
cos
sin
cos
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
2
(
cos
)
2
cos(
)
2
(
sin
)
2
cos(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
n
n
t
n
n
t
t
z
r
w
t
z
r
v
w v b b
將兩式相加即可得到疊加後的位移 v 、 w ：)
cos(
)
sin(
n
t
w
w
w
n
t
v
v
v
w b a v b a
以不同的相位差激發模態會得到不同的橢圓形軌跡，橢圓形軌跡的運動方向可以利用 相位差來控制。 此報告中將只列出環形定子的分析結果，故只討論行進波所造成的橢圓形軌跡之橫 軸/縱軸比；若所激發出的行進波振幅一樣，則此比值越大，代表定子推動轉子的速度 越大。 a.單層壓電圓環： 由於環形定子所選用的模態是(n,0) mode，接觸點皆在圓環的最外圍，因此針對圓環定 子僅討論頻率以及橢圓形軌跡，圖一為橢圓形軌跡與外徑的關係，整體趨勢，就薄板而言 與圓盤相似，隨著 n 值之增加，橫軸/縱軸比隨半徑之減小而增大的現象會有減緩的趨勢， 但只有當 n=11 且為厚板時(a=5)，此現象才會反轉。5 橫軸 / 縱軸 0 0.1 0.2 0.3 0.4 5 10 15 20 25 30 a(mm) v/w (5,0) Mode (7,0) Mode (9,0) Mode (11,0) Mode b. 複合壓電圓環： 圖二為複合銅金屬層以及壓電層，所得到的橢圓形軌跡比例，由圖可看出較厚的金屬 層以及 n 值較大時，可得到較寬的橢圓形軌跡。 (a) 橫軸 / 縱軸 (3,0)Mode 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 20 25 30 35 a(mm) v/w Hb=1mm Hb=1.5mm Hb=2mm (b) 橫軸 / 縱軸 (5,0)Mode 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 20 25 30 35 a(mm) v/w Hb=1mm Hb=1.5mm Hb=2mm (c) 圖一、壓電圓環不同半徑情況下所得到的橢圓形軌跡比例
6 橫軸 / 縱軸 (7,0)Mode 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 20 25 30 35 a(mm) v/w Hb=1mm Hb=1.5mm Hb=2mm 六、參考文獻：
[1] H. F. Ttiersten, Linear piezoelectric plate vibrations, New York: Plenum Press, 1969
[2] H. Allik and Thomas J. R. Hughes, “Finite element method for piezoelectric vibrator,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 2, pp.151-157, 1970 [3] N. Guo and P. Cawley, “The Finite Element Analysis of the Vibration Characteristics of
Piezoelectric Discs,” Journal of Sound and Vibration, vol. 159, no. 1, pp.115-138, 1992 [4] I. Akio and S. Hitoshi, “Two-Dimensional Analysis Using One-Dimensional FEM for
Straight-Crested Waves in Arbitrary Anisotropic Crystal Plates and Axisymmetric Piezoelectric Vibrations in Ceramic Disks,” IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, vol. 43, no. 5, pp.811-817, 1996
[5] Yu-Chih Lin and Chien-Ching Ma, “Experimental Measurement and Numerical Analysis on Resonant Characteristics of Piezoelectric Disks whit Partial Electrode Designs,” IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, vol. 51, no. 8, pp. 937-947, 2004
[6] I. Seiji, U. Ichiro and K. Shigeru, “Frequency Spectra of Resonant Vibration in Disk Plates of PbTiO3 Piezoelectric Creamics,” Journal of the Acoustic Society of America, vol. 55, no. 2, pp. 339-344, 1974
[7] J. R. Friend, and D. S. Stutts, “The dynamics of an annular piezoelectric motor stator,” Journal of Sound and Vibration, vol. 204, no. 3, pp. 421-437, 1997
[8] T. Maeno, T. Tsukimoto, and A. Miyake, “Finite-element analysis of the rotor/stator contact in a ring-type ultrasonic motor,” IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Control, vol. 39, no. 6, pp. 668-674, 1992
[9] X. Bao, and Y. Bar-Cohen, “Complete modeling of rotary ultrasonic motors actuated by traveling flexural waves, ” Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering, vol. 3992, pp 677-686, 2000
[10] R. Le Letty, F. Claeyssen, N. Lhermet, B. Hamonic, J. N. Decarpigny and R. Bossut, “Combined Finite Element-Normal Mode Expansion Methods in Electroelasticity and Their Application to Piezoactive Motors,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 40, pp. 3385-3403, 1997
[11] N. W. Hagood and A. J. McFarland, “Modeling of a piezoelectric rotary ultrasonic motor,” IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Control, vol. 42, no. 2, pp. 210-224, 1995
[12] P. Hagedorn, T. Sattel, D. Speziari, J. Schmidt, and G. Diana, “The importance of the rotor flexibility in ultrasonic traveling wave motors,” Smart Materials and Structures, vol. 7, pp. 352-368, June. 1998.
圖二、複合壓電圓環不同厚度比例情況下所得到的橢圓形軌跡比例， (a) n=3，(b) n=5，(c) n=7 (PIC-151 with Brass)
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[13] T. Takehiro, H. Hiroshi and T. Yoshiro, “Analysis of Nonaxisymmetric Vibration Mode Piezoelectric Annular Plate and its Application to an Ultrasonic Motor,” IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, vol. 37, no. 6, pp.558-565, 1990 [14] W.H. Duan, S.T. Quek and Q. Wang, “Free vibration analysis of piezoelectric coupled thin
and thick annular plate,” Journal of Sound and Vibration, vol. 281, pp.119-139, 2005 七、計畫成果自評： 本計畫加入電位能當作一個自由度，成功地改良具有三維彈性力學基礎之二維軸對稱有限 元素，可以分析複合壓電圓板的軸對稱與非軸對稱振動；針對文獻上所提及的問題做分析 時，可以發現，本計畫的方法有相當的準確性，不僅節省大量的計算時間與資料儲存空間， 而且可以得到一般二維方法難以求得的振動模態。本計畫之方法尤其適合應用在環型行進 波式超音波馬達定子的振動分析上，因為一般超音波馬達定子會使用特定 circumferential wave number 的振動模態，來造成行進波，本計畫之方法即可針對特定 circumferential wave number，分析定子的振動頻率，因此可快速有效地提供超音波馬達定子設計的初步資料， 幫助超音波馬達設計工作的進行。
