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# 球面費馬點

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## 球面費馬點

### 國立花蓮高級中學 蔡宛廷 指導老師 林明璋

1、 研究論文 The Fermat point of a spherical triangle 2、 補充論文未說明的部分

3、 利用該論文的方法類推至球面 2k + 1 邊形的費馬點, 可將球面多邊形費馬點所滿足的角度 也求出, 如果其多邊形邊數為 2k + 1, 其角度為 2π/(2k + 1).

Abstract

It has been well-known that, if△ABC is a plane triangle, then there exists a unique point P (known as the Fermat point of the triangle△ABC) in the same plane such that it minimizes the quantity

XA + XB + XC

for any point X in the plane. Moreover, if any of the vertices of△ABC holds an angle greater than or equal to 2π/3; then P coincides with that vertex. Otherwise, P lies inside the triangle and satisﬁes the equiangular identity

∠AP B = ∠BP C = ∠CP A = 3 .

The purpose of this article is to see how we can extend the above results to the case of a spherical triangle. It is very pleasant, if not surprising, that very similar statements hold for spherical triangles that are not too large. In particular, we would like to do the following:

1. Study and understand the paper ”The Fermat Point of a Spherical Triangle” by Gahlieh and Hajja thoroughly.

2. Fill in certain missing points that the paper did not mention.

3. As a generalization, we study the Fermat point of a spherical polygon. We can obtain some interesting result for spherical polygons with 2k + 1 edges. However, we cannot overcome the diﬃculty for spherical polygons with 2k edges.

## 1 簡 簡 簡介 介 介

(2)

### 1.2 文 文 文獻 獻 獻探 探 探討 討 討

1.2.1 球球球面面面幾幾幾何何何相相相關關關定定定義義義 1. 弧:

2. 球面上兩點距離:

b (−→a ,−→ b−→

OA,−−→

OB).

3. 球面角:

4. 球面三角形:

5. 球面三角形費馬點定義:

f (X) = d(X, A) + d(X, B) + d(X, C) = cos−1−→x · −→a + cos−1−→x ·−→

b + cos−1−→x · −→c 有最小值, 此 X 點就稱為球面三角形 ABC 的費馬點.

1.2.2 文文文獻獻獻及及及本本本文文文架架架構構構

(一) 三邊 a, b, c 皆小於 π/2.

(二) 三個角 ]ABC, ]BCA, ]CAB 皆小於 2π/3.

(3)

## 2 球 球 球面 面 面三 三 三角 角 角形 形 形

### 2.1 球 球 球面 面 面三 三 三角 角 角形 形 形費 費 費馬 馬 馬點 點 點的 的 的唯 唯 唯一 一 一性 性 性

(1) 兩相異費馬點與球面三角形三頂點皆不共線的情況(論文證明)

P A + ÷÷ P B + ÷P C = ÷QA + ÷QB + ÷QC,

÷AP + øP Y1= ÷AP + ÷AQ > øAY1= 2 ÷AX, 利用同樣的方法可類推至 B, C 兩頂點, 同樣可推得

BP + ÷÷ BQ > øBY2= 2øBX, ÷CP + ÷CQ > øCY3= 2øCX 所以 k > ÷AX + øBX + øCX,與費馬點的定義矛盾, 故假設錯誤.

(2) 兩相異費馬點與球面三角形其中一頂點共線的情況

(4)

P A + ÷÷ P B + ÷P C = ÷QA + ÷QB + ÷QC, 令其值為 k.

CP + ÷÷ CQ > øCY3= 2øCX,

### 2.2 費 費 費馬 馬 馬點 點 點不 不 不存 存 存在 在 在於 於 於球 球 球面 面 面三 三 三角 角 角形 形 形外 外 外部 部 部

(1) 當 øXC 交於 ÷AB邊內時

(5)

XA + ø÷ XB + øXC = XA + ø÷ XB + øXD + ÷DC

≥ ÷AB + øXD + ÷CD

> DA + ÷÷ DB + ÷DC, 即 ÷XA + øXB + øXC > ÷DA + ÷DB + ÷DC,假設錯誤.

(2) 當 øXC 交於 ÷AB邊外時

XA + ø÷ XB + øXC = XA + ø÷ XB + øXD + ÷DC ≥ ÷XA + ÷BD + ÷DC

= XA + ÷÷ AB + ÷AD + ÷DC > ÷XA + ÷AB + ÷AC

> AB + ÷÷ AC, 即 ÷AB + ÷AC < ÷XA + øXB + øXC, 假設錯誤.

(6)

### 2.3 尋 尋 尋找 找 找球 球 球面 面 面三 三 三角 角 角形 形 形費 費 費馬 馬 馬點 點 點

2.3.1 球球球面面面角角角小小小於於於 2π/3 時時, 利利利用用用 Lagrange Multiplier 求求求最最最小小小值值值(論論論文文文證證證明明明)

f (X) = d(X, A) + d(X, B) + d(X, C) = cos−1−→x · −→a + cos−1−→x ·−→

b + cos−1−→x · −→c . 令 −→x ̸= −→a ,−→

b , −→c ,即 X 不在 A、B、C 三頂點上利用 Lagrange multiplier 將其微分, 可

−→a

sin α +

→b sin β +

→c

sin γ = λ−→x (1) 再將兩邊分別和 −→x 與 −→a 作內積, 可得

λ = cos α

sin α +cos β

sin β +cos γ

sin γ (2)

λ cos α = 1

sin α +cos c

sin β +cos b

sin γ (3)

sin α +cos β

sin β +cos γ sin γ

)

cos α = 1

sin α +cos c

sin β +cos b sin γ, 化簡可得

1− cos2α

sin α +cos c− cos α cos β

sin β +cos b− cos α cos γ sin γ = 0, 同乘 1

sin α 後可得

1 + cos c− cos α cos β

sin α sin β +cos b− cos α cos γ

sin α sin γ = 0 (4)

(7)

cos]AXB + cos ]CXA = −1 (5) 利用同樣方法可推得

cos]AXB + cos ]BXC = −1 (6) cos]BXC + cos ]CXA = −1 (7) 兩式, 由(5)(6)(7)三式可得

cos]AXB = cos ]BXC = cos ]CXA = −1 2

(1) 當 P 與三角形其中一邊共弧, 如圖 6

(2) 不失一般性, 設 ÷BC 所處之大圓將球面分割成兩半球面, 而其中 P 點不與其他頂點 共處同一半球面, 如圖 7

(8)

2.3.2 球球球面面面角角角小小小於於於 2π/3 時時, 頂頂頂點點點不不不為為為其其其球球球面面面三三三角角角形形形的的的費費費馬馬馬點點點

BøC = úBP+ øP P+ ÷P C = ÷BP + øP P+ ÷P C 在球面三角形 AP P 中, ]APP = ]AP P = π

3. 又球面三角形內角和大於 π, 即 ]P AP>]P PA, 又因為球面三角形中大角對大邊, 所以

(9)

P Pø> ÷P A

⇒ ÷AB + ÷AC = ABø+ ÷AC

> BøC = úBP+ øP P+ ÷P C

> P A + ÷÷ P B + ÷P C, 其餘兩點也依此類推, 證畢.

]AP B = ]AP C = ]BP C = 2π/3.

2.3.3 球球球面面面角角角 ≥ 2π/3 的的的球球球面面面三三三角角角形形形費費費馬馬馬點點點位位位置置置

(10)

c > π− π/2 = π/2, b > π − π/2 = π/2, 與 a, b, c 皆小於 π/2 矛盾, 證畢.

]AP B = ]BP C = ]CP A = 2π/3.

]BAC ≥ 2π/3, ]BAP = α, ]CAP = β, ]BP D = φ1, ]CP D = φ2, ]P DC = θ, 假設 點在球面三角形內部, 且滿足

]AP B = ]BP C = ]CP A = 2π/3 (φ1= φ2= π/3).

sin β = sin b

sin θ ⇒ sin ÷CD = sin β sin b

sin θ (8)

sin φ2

=sin ÷CP

sin θ ⇒ sin ÷CD = sin φ2sin ÷CP

sin θ (9)

sin β = sin ÷CP

sin b sin φ2< sin φ2.

(在球面三角形 AP C 中, ∵ 大角對大邊, ∴ π/2 > b > ÷CP ,∴ sin ÷CP sin b < 1)

(11)

sin øQQ

sin]QAQ = sin øAQ

sin]AQQ ⇒ ÷QA > øQQ

QA + ÷÷ QB + ÷QC ≥ øQQ+ øQB ÷QC

≥ øCB = ÷CA + øAB

= ÷AB + ÷AC

CA + ÷÷ CB. 所以三邊 a, b, c 皆小於 π/2, 且 ]CAB ≥ 2π/3 的球面三角形 ABC, 其球面 費馬點恰位於 A, 得證.

(1)、 確定費馬點不在球面三角形 ABC 外部.

(2)、 當球面三角形三頂點內角皆小於 2π/3 時, 則費馬點會在球面三角形內部, 且 ]AP B = ]BP C = ]AP C = 2π/3.

(3)、 若球面三角形 ABC 有一頂點之內角 ≥ 2π/3, 則此頂點即為費馬點.

(12)

## 3 球 球 球面 面 面 2k + 1 邊 邊 邊形 形 形

### 3.1 球 球 球面 面 面 2k + 1 邊 邊 邊形 形 形費 費 費馬 馬 馬點 點 點的 的 的唯 唯 唯一 一 一性 性 性

(1) 兩相異費馬點與球面 2k + 1 邊形任意頂點皆不共線的情況

P Aù1+ ùP A2+· · · + ÷P A2k+1= ùQA1+ ùQA2+· · · + ÷QA2k+1, 令其值為 l.

△A1P Y1

ùA1P + øP Y1= ùA1P + ùA1Q > úA1Y1= 2 ùA1X, 同理可得

ùA2P + ùA2Q > 2 ùA2X, ùA3P + ùA3Q > 2 ùA3X, · · · , ÿA2k+1P + ÿA2k+1Q > 2 ÿA2k+1X, 將其全部相加, 整理可得

l > ùA1X + ùA2X +· · · + ÿA2k+1X, 與費馬點的定義矛盾, 故假設錯誤, 所以費馬點僅只有一個.

(2) 兩相異費馬點與球面 2k + 1 邊形其中一頂點共線的情況

(13)

P Aù1+ ùP A2+· · · + ÷P A2k+1= ùQA1+ ùQA2+· · · + ÷QA2k+1, 令其值為 l. 令 X 為 ÷P Q中點, 所以 ùA1P + ùA1Q = 2 ùA1X.

Aù3P + ùA3Q > 2 ùA3X,· · · , ÿA2k+1P + ÿA2k+1Q > 2 ÿA2k+1X,

### 3.2 費 費 費馬 馬 馬點 點 點不 不 不存 存 存在 在 在於 於 於球 球 球面 面 面 2k + 1 邊 邊 邊形 形 形外 外 外

AB + ÷÷ AC = AB + ÷÷ DC

> BD + ÷÷ DC = øBX + øXD + ÷DC

> BX + øø XC, 即 ÷AB + ÷AC > øXB + øXC,得證.

(14)

(1)、 假設 ÷XAk+2 交於 ûA1A2 邊長內時

(15)

XAù1+ ùXA2+· · · + ÷XA2k+1

=

(XAù1+ ùXA2

) +

(XAù3+ ÷XA2k+1

) +

(XAù4+ ÷XA2k

)

+

(XAù5+ ÷XA2k−1

)

+· · · +(

XA÷k+1+ ÷XAk+3

)

+ ÷XAk+2

> ( ÿBk+2A1+ ÿBk+2A2) +

(Bÿk+2A3+ ýBk+2A2k+1 )

+

(Bÿk+2A4+ ýBk+2A2k )

+· · · + (ýBk+2Ak+1+ ýBk+2Ak+3) + ýBk+2Ak+2,

XAù1+ ùXA2+· · · + ÷XA2k+1> ÿBk+2A1+ ÿBk+2A2+· · · + ýBk+2A2k+1, 故假設錯誤.

(2)、 當 ÷XAk+2交於 ûA1A2 邊長外時 如圖 16, 則

XAù1+ ùXA2+· · · + ÷XA2k+1

= XAù1+

(XAù2+ ÷XA2k+1 )

+

(XAù3+ ÷XA2k )

+· · · +(

XA÷k+1+ ÷XAk+2 )

> XAù1+

A1A2+ ùA1A2k+1 )

+

(Aû1A3+ ùA1A2k )

+· · · +(

ùA1Ak+1+ ùA1Ak+2 )

> ûA1A2+ ûA1A3+· · · + ùA1A2k+1,

XAù1+ ùXA2+· · · + ÷XA2k+1> ûA1A2+ ûA1A3+· · · + ùA1A2k+1,

(16)

### 3.3 尋 尋 尋找 找 找球 球 球面 面 面 2k + 1 邊 邊 邊形 形 形費 費 費馬 馬 馬點 點 點

3.3.1 利利利用用用 Lagrange Multiplier 求求求最最最小小小值值值

α1= d(X, A1), α2= d(X, A2), . . . , α2k+1= d(X, A2k+1), 兩相鄰夾角為 ]AiXAi+1= θ, i∈ N, 0 < i < 2k + 1, 且 ]A2k+1XA1= θ2k+1,

f (X) = d(X, A1) +· · · + d(X, A2k+1) = cos−1−→x · −→a1+· · · + cos−1−→x · −−−→a2k+1. 令 −→x ̸= −→a1, −→a2, . . . , −−−→a2k+1,即 X 不在任何 2k + 1 邊形的頂點上. 利用 Lagrange Multiplier 將其微分, 可得 −→a1

sin α1

+

→a2

sin α2

+· · · + −−−→a2k+1

sin α2k+1

= λ−→x (10) 再將兩邊同內積 −→x 和 −→a1,可得

λ = cos α1 sin α1

+cos α2 sin α2

+· · · +cos α2k+1 sin α2k+1

(11)

λ cos α1= 1 sin α1

+cos ûA1A2

sin α2

+cos ûA1A3

sin α3

+· · · +cos ùA1A2k+1 sin α2k+1

(12) 將(11)式代入(12)式,

(cos α1 sin α1

+cos α2 sin α2

+· · · + cos α2k+1 sin α2k+1

) cos α1

= 1

sin α1 +cos ûA1A2

sin α2 +cos ûA1A3

sin α3 +· · · + cos ùA1A2k+1 sin α2k+1 ,

(17)

1− cos2α1

sin α1

A1A2− cos α1cos α2

sin α2

A1A4− cos α1cos α3

sin α3

+· · · +ùA1A2k+1− cos α1cos α2k+1

sin α2k+1

= 0,

sin α1 後可得

1 + cos ûA1A2− cos α1cos α2

sin α1sin α2

+cos ûA1A4− cos α1cos α3

sin α1sin α3

+· · · +cos ùA1A2k+1− cos α1cos α2k+1

sin α1sin α2k+1

= 0, 根據球面餘弦定理, 可得到

cos θ1+ cos (θ1+ θ2) +· · · + cos (θ1+ θ2+· · · + θ2k) =−1 利用同樣的方法依此類推, 可得









cos θ1+ cos (θ1+ θ2) +· · · + cos (θ1+ θ2+· · · + θ2k) =−1 cos θ2+ cos (θ2+ θ3) +· · · + cos (θ2+ θ3+· · · + θ2k+1) =−1 ...

cos θ2k+1+ cos (θ2k+1+ θ1) +· · · + cos (θ2k+1+ θ1+· · · + θ2k−1) =−1









(13)

(13)式為球面 2k+1 邊形 f(X) 最小值的角度限制, 但是不能確定 θ1、θ2、· · · 、θ2k、θ2k+1

θ1= θ2=· · · = θ2k= θ2k+1= 2π/(2k + 1) 可滿足(13)式, 由引理 3.2 證明之.

1 + cos θ + cos 2θ +· · · + cos 2kθ = 0.

ω2k+1= 1 ⇒ 1 + ω + ω2+· · · + ω2k= 0,

(1 + cos θ + cos 2θ +· · · + cos 2kθ) + i(sin θ + sin 2θ + · · · + sin 2kθ) = 0, 因此實數部分

1 + cos θ + cos 2θ +· · · + cos 2kθ = 0.

θ1= θ2=· · · = θ2k = 2π/(2k + 1),

θ2k+1= 2π−2k(2π)

2k + 1 = 2k + 1, 得證.

(18)

]A1P A2=· · · = ]A2kP A2k+1=]A2k+1P A1=

2k + 1 (14) 時, P 點滿足(13)式.

1), n≡ i + k + 1 (mod 2k + 1), 則稱 ]AmAiAn 為頂點 Ai 之中間角.

3.3.2 當當當所所所有有有的的的中中中間間間角角角小小小於於於 2π/3 時時, 頂頂頂點點點不不不為為為其其其球球球面面面 2k + 1 邊邊邊形形形的的的費費費馬馬馬點點點

ùA1Bk+1+ ùA1Bk+2> ùP A1+ ÷P Bk+1+ ÷P Bk+2, (15) 又在球面三角形 P Bk+1Ak+1, P Bk+2Ak+2 中,

P B÷k+1+ ýBk+1Ak+1> ÷P Ak+1 (16) P B÷k+2+ ýBk+2Ak+2> ÷P Ak+2 (17) 由(15)(16)(17)可得

Aù1Ak+1+ ùA1Ak+2> ùP A1+ ÷P Ak+1+ ÷P Ak+2.

(19)

Aû1A3+ ùA1A2k > ùP A3+ ÷P A2k, · · · , 在球面三角形 A1AkAk+3中, 同理可得

Aû1Ak+ ùA1Ak+3> ùP Ak+ ÷P Ak+3,

3.3.3 球球球面面面上上上一一一點點點 P 滿滿滿足足足 ]A1P A2 = · · · = ]A2kP A2k+1 = ]A2k+1P A1 = 2k + 1

]A1P A2=· · · = ]A2kP A2k+1=]A2k+1P A1= 2k + 1 以下我們來驗證之.

]A1P A2=· · · = ]A2kP A2k+1=]A2k+1P A1= 2k + 1. 此 P 點位置可分兩部分討論.

(1) 當 P 與三角形其中一邊共弧, 如圖 19.

(2) 不失一般性, 設 ýAk+1Ak+2所處之大圓將球面分割成兩半球面, 而其中 P 點不與其 他頂點共處同一半球面, 如圖 20.

]A1P A2=· · · = ]A2kP A2k+1=]A2k+1P A1= 2k + 1, 又球面三角形 Ak+1P Ak+2 三邊小於 π 時, 球面角小於 π, 而

]A1P A2+]A2P A3+· · · + ]AkP Ak+1+]Ak+2P Ak+3 +· · · + ]A2kP A2k+1=]A2k+1P A1= 2k(2π) 2k + 1 為球面三角形 Ak+1P Ak+2 之一內角, 且其大於 π, 矛盾.

(20)

> π/2, 則在球面 2k + 1 邊形內部不存在任何一點 P , 使得

]A1P A2=· · · = ]A2kP A2k+1=]A2k+1P A1= 2k + 1.

(1) 當 P 落在球面三角形 A1Ak+1Ak+2內部, 則

]Ak+1P Ak+2>]Ak+1A1Ak+2> π/2, 所以

2k + 1

2,又 k > 1, 矛盾.

(21)

(2) 當 P 不在球面三角形 A1Ak+1Ak+2 內部, 則不失一般性, 如圖 21, 連接 ùP A1,

÷P A2k+1, . . ., ÷P Ak+2.

2k + 1、在球面三角形 A2k+1P A2k

2k + 1、· · · 、在球面三角形 Ak+3P Ak+2 中, ]Ak+3P Ak+2=

2k + 1,所以 ]A1P Ak+2= 2kπ

2k + 1,又在球面三角形 A1P Ak+2 中, 因為 ]P A1Ak+2≥ ]A1Ak+1Ak+2> π/2,

π/2 >]A1P Ak+2= 2kπ 2k + 1, 矛盾, 故在球面 2k + 1 邊形內部不存在任何一點 P , 使得

]A1P A2=· · · = ]A2kP A2k+1=]A2k+1P A1= 2k + 1.

## 4 結 結 結論 論 論

### 4.1 結 結 結論 論 論

1、 確定球面多邊形(包含三角形)費馬點存在且唯一.

2、 確定球面三角形費馬點必不存在於球面三角形外.

(22)

3、 根據 The Fermat point of a spherical triangle 一文, 可以得知在球面三角形三邊 a, b, c皆小於 π/2 的前提下, 球面三角形的費馬點有唯一性, 可以將情況分為以下兩 種:

(一) 當 ]ABC, ]BCA, ]CAB 皆小於 2π/3, 則費馬點 P 位於球面三角形 ABC 內 部, 且 ]AP B = ]BP C = ]AP C = 2π/3.

(二) 當 ]ABC, ]BCA, ]CAB 中有一角 ≥ 2π/3 (僅能有一角) , 則費馬點即為此 角之頂點.

4、 在球面三角形 ABC 內部一點 T , 則 ]BAC 必小於 ]BT C.

5、 確定球面 2k + 1 邊形費馬點必不存在於球面 2k + 1 邊形外.

6、 若 θ1= θ2=· · · = θ2k = θ2k+1= 2π/(2k + 1)時, 方程組









cos θ1+ cos (θ1+ θ2) +· · · + cos (θ1+ θ2+· · · + θ2k) =−1 cos θ2+ cos (θ2+ θ3) +· · · + cos (θ2+ θ3+· · · + θ2k+1) =−1 ...

cos θ2k+1+ cos (θ2k+1+ θ1) +· · · + cos (θ2k+1+ θ1+· · · + θ2k−1) =−1







 成立

7、 當球面 2k + 1 邊形所有頂點之中間角小於 2π/3 時, 頂點不為費馬點.

8、 當球面 2k + 1 邊形所有頂點之中間角小於 2π/3 時, 若存在 P 點滿足(14)式, 則 P 點必在球面 2k + 1 邊形內部.

9、 當球面 2k + 1 邊形有一頂點之中間角大於 π/2 時, 則在球面 2k + 1 邊形內部不存 在任何一點 P 滿足(14)式.

10、 由結論 8、9 可知若球面 2k + 1 邊形中所有頂點之中間角小於 2π/3, 且有一頂點之 中間角大於 π/2 時, 滿足(14)式之 P 點不存在.

11、 由結論 7、10 可知若球面 2k + 1 邊形中所有頂點之中間角小於 2π/3, 且有一頂點 之中間角大於 π/2 時, 費馬點會在球面 2k + 1 邊形內部, 但不滿足(14)式. 故得證滿 足(13)式之點不唯一, 換句話說, 方程組非唯一解, 而費馬點必須將所有滿足(13)式 之點一一驗證後才可得.

### 參 參 參考 考 考文 文 文獻 獻 獻

[1] Khuloud Ghalieh and Mowaﬀaq Hajja; The Fermat point of a spherical triangle?

The Mathematical Gazette, Vol.80, No.489, p.561-564,1996.

[3] 項武義(民99),《基礎幾何學》, 五南出版社 [4] 黃家禮(民98),《幾何明珠》, 九章出版社

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