n 邊形 內接相似於某 m 邊形的做法
國立臺南第一高級中學 洪苡皓 指導老師：彭威銘
Abstract
In this project, we discovered a way to make a triangle similar to a target triangle that can be inscribed in any given triangle. Then we found that every triangle we’ve made in a given triangle seems to rotate and stretch around a particular point. Therefore we try to find out the proof of the rotating point and its behavior. We also succeeded in extending the problem into making a triangle inscribed in any given polygon, making a m-shaped polygon inscribed in any given n-shaped polygon, and even making a m-shaped polygon on any given m straight lines.
中 中 中文文文摘摘摘要要要
對於三角形內接三角形的問題，本文給出在任意三角形中內接相似於某標的三角形之子三角 形作法，並發現這無限多個子三角形都繞同一個中心旋轉及伸縮，所以接下來證明旋伸中心的存 在及找到它的方法，並研究出與它有關的諸多性質。然後為將問題延伸到一般的情況，依序研究 n 邊形內接相似於某標的三角形、n 邊形內接相似於某標的 m 邊形的作法與解法數討論。最後 發展到在 m 條直線上取點作相似於與某標的 m 邊形的子 m 邊形作法。
1 簡 簡 簡介 介 介
1.1 研 研 研究 究 究 動 動 動機 機 機
對於三角形內接三角形的問題，本文給出在任意三角形中內接相似於某標的三角形 之子三角形作法，並發現這無限多個子三角形都繞同一個中心旋轉及伸縮，所以接下來 證明旋伸中心的存在及找到它的方法，並研究出與它有關的諸多性質。然後為將問題延 伸到一般的情況，依序研究 n 邊形內接相似於某標的三角形、n 邊形內接相似於某標的 m 邊形的作法與解法數討論。最後發展到在 m 條直線上取點作相似於與某標的 m 邊形 的子 m 邊形作法。
2 研 研 研究 究 究 內 內 內容 容 容
2.1 定 定 定義 義 義名 名 名詞 詞 詞
許訮 先任意給定一個 m 邊形作為接下來所要作的相似形對象，稱為「標標標的的的 m 邊邊邊形形形」。
訲訮 依序(i = 許, 訲, ⋯, m) 設定範圍 Li 訨可為直線或直線上的部分圖形訩後，在每一 Li 上 取出點 E′i，作出與標的 m 邊形 E1E2⋯Em相似的 m 邊形 E1′E2′⋯Em′ 訨其中 Ei′為 Ei 之對應點訩，稱為「子子子 m 邊邊邊形形形」。收集所有子 m 邊形而成之集合表示成「{m 邊
邊
邊形形形 E1E2⋯Em(L1× L2× ⋯ × Lm)}」。
訳訮 兩個相似多邊形對應頂點繞行時針方向，若相同則稱「同同同相相相似似似」；若相反則稱「反反反 相
相 相似似似」。
訴訮 {m 邊形 E1E2⋯Em(L1× L2× ⋯ × Lm)} 中的子 m 邊形 E1′E2′⋯Em′ 與 m 邊形 E1E2⋯Em 同相似者稱為「同同同子子子 m 邊邊邊形形形」；反相似者稱為「反反反子子子 m 邊邊邊形形形」。
而收集所有同子 m 邊形之集合表成「{同同同 m 邊邊邊形形形 E1E2⋯Em(L1×L2×⋯×Lm)}」；
收集所有反子 m 邊形之集合表成「{反反反m 邊邊邊形形形 E1E2⋯Em(L1× L2× ⋯ × Lm)}」。
許
訵訮 元素屬於同一個 {同 m 邊形 E1E2⋯Em(L1× L2× ⋯ × Lm)} 或屬於同一個 {反 m 邊形 E1E2⋯Em(L1× L2× ⋯ × Lm)} 者，稱為「同同同組組組子子子 m 邊邊邊形形形」。
訶訮 同一個 {同 m 邊形 E1E2⋯Em(L1×L2×⋯×Lm)} 或同一個 {反 m 邊形 E1E2⋯Em(L1× L2× ⋯ × Lm)} 中的所有同組子 m 邊形有時會繞同一點旋轉及伸縮、有時只有伸 縮，稱此點為該集合的「旋旋旋伸伸伸中中中心心心」，底下習慣以 R 表之。
訷訮 同一個 {同 m 邊形 E1E2⋯Em(L1×L2×⋯×Lm)} 或同一個 {反 m 邊形 E1E2⋯Em(L1× L2× ⋯ × Lm)} 中的所有同組子 m 邊形 E1′E2′⋯Em′ ，其頂點 E′i 在 Li 上的變動 範圍以「Si {同同同 m 邊邊邊形形形 E1E2⋯Em(L1× L2× ⋯ × Lm)}」或「Si {反反反 m 邊邊邊形形形 E1E2⋯Em(L1× L2× ⋯ × Lm)}」表之。
2.2 三 三 三直 直 直線 線 線取 取 取點 點 點作 作 作子 子 子三 三 三角 角 角形 形 形的 的 的方 方 方法 法 法
2.2.1 作作作法法法
引引引理理理 1. 若若若△EF1G1∼ △EF2G2∼ △EF3G3（同相似），則 1. △F1F2F3∼ △G1G2G3
2. 當 F1、F2、F3 共線時，G1、G2、G3 亦共線。
證證證明明明.
許訮 在△EF1F2 與△EG1G2 中，
因∠F1EF2= ∠F1EG1− ∠F2EG1= ∠F2EG2− ∠F2EG1= ∠G1EG2， 又 EF1∶ EF2= EG1∶ EG2， 所以△EF1F2∼ △EG1G2（詓詁詓 相似），
得∠EF2F1= ∠EG2G1，同理得∠EF2F3= ∠EG2G3。
上兩式相加得∠F1F2F3= ∠G1G2G3，同理亦得∠F1F3F2= ∠G1G3G2。 故△F1F2F3∼ △G1G2G3（詁詁 相似）。
訲訮 由 許訮 明顯可得。
引引引理理理 2. 依序在任意三相異直線上取點作子三角形方法如下：
訲
已已已知知知. 標的△EFG，任意三直線 L1、L2、L3。 求求求作作作. △E′F′G′∈ {△EFG(L1× L2× L3)}。
作作作法法法. 1. 在 L1 上取一點 E′。
2. 在 L2 上任取兩點 F1、F2，分別作△E′F1G1、△E′F2G2同相似於△EFG。
3. 設直線 G1G2 交 L3 於 G′。
4. 作△E′G′F′ 同相似於△EGF，則 △E′F′G′ 即為所求。
註：若無法作出，換成在 L2 上重複相對應步驟就能作出，其理由等旋伸中心討論後便 知。
證證證明明明.
因△E′F1G1∼ △E′F′G′∼ △E′F2G2（同相似）且 G1、G′、G2 共線。由 引引引理理理許 知 F1、F′、F2 共線，所以 F′∈ L2。
2.2.2 三三三直直直線線線取取取點點點作作作出出出的的的同同同組組組子子子三三三角角角形形形之之之旋旋旋伸伸伸中中中心心心探探探討討討
依三相異直線 L1、L2、L3相交情形與{△EFG(L1×L2×L3)} 中同子 △E1′F1′G′1組 與反子△E2′F2′G′2組落在哪區，分四類型討論旋伸中心 R：
＜型詡＞ 三線平行：同組子三角形沒有旋轉，沒有伸縮，只有平移。
＜型詢＞ 三線共點：同組子三角形僅有伸縮，R 在三直線交點。
設 θi 表示以 R 為旋轉中心，將 Li 分別往順、逆時針兩個方向旋轉到下一條直線 之旋轉角度和：
– 若 E< θ1 且 F < θ2 且 G< θ3，則 R 恰落在同子組或反子組之一的所有三角 形內。如圖 R 落在△E1′F1′G′1 同組子三角形內。
訳
– 若 E= θ1 或 F = θ2 或 G= θ3，則 R 就是同子組或反子組之一的所有子三角 形同一對應頂點。如圖 E= θ1，所以 R= E1。
– 若 E> θ1 或 F> θ2 或 G> θ3，則 R 落在同子組與反子組所有三角形外。
＜型詣＞ 兩線平行：同組子三角形會旋轉及伸縮，R 在子三角形兩平行線上之頂 點的連線上。只討論子 △E1′F1′G′1 組中 R 的局部相對位置即可，設 ∠C3AB = A，∠C2BA= B。
＜型詤＞ 圍三角形：同組子三角形會旋轉及伸縮，區分成在旋伸過程中會出現內接 於三直線所圍成三角形 △ABC，如圖子 △E1′F1′G′1 組，以 ＜型 詤 內＞ 稱之；與 側接於三直線所圍成三角形，如圖子 △E2′F2′G′2 組，以 ＜型 詤 側＞ 稱之。圖中 並以落在 ∠B 的內、外角區作分別，並討論 R 的局部相對位置。設 ∠A 的內角
= A，∠C 的外角 = C外。
訴
許訮 為方便證明＜型 詢、詣、詤＞的 R 具伸縮中心功能，先引入一引理。
引 引
引理理理 3. 若△E1′F1′G′1∼ △E2′F2′G′2（同相似），無論點 R1、R2 在哪，只要滿足
∠E′1R′1F1′= ∠E2′R′2F2′、∠F1′R1G′1= ∠F2′R2G′2、∠G′1R1E1′= ∠G′2R2E2′， 則∠R1E1′F1′= R2E2′F2′。
證 證 證明明明.
Ri 在 △Ei′Fi′G′i 某邊所在直線上（含頂點）的情況明顯可證，所以只呈現在
△Ei′Fi′G′i 內部及外部兩種圖示，但其證法皆同，如下：
以 E1′ 為伸縮中心作 E2′F2′/E1′F1′ 倍的伸縮變換，將 F1′ 變 換到F1′′，G′1 變 換 到 G′′1，R1 變換到 R′1。則 △E′1F1′′G′′1 ≅ △E2′F2′G′2 且 ∠E1′R′1F1′′ = ∠E1′R1F1′ =
∠E2′R2F2′，∠E1′R′1G′′1 = ∠E1′R1G′1= ∠E2′R2G′2。
將△E2′F2′G′2 疊到△E1′F1′′G′′1 上時因 R2 必在△E1′R′1F1′′ 與 E1′R1′G′′1 的外接圓上 所以 R2 會正好疊在 R′1的位置上得∠R2E2′F2′= ∠R′1E1′F1′′= ∠R1E1′F1′。
訲訮 ＜型詢＞ 中 R 具伸縮中心功能的確認。
訵
證 證 證明明明.
設△E1′F1′G′1 訬△E2′F2′G′2∈ {同 △ EFG(L1× L2× L3)}，
則∠E1′RF1′= ∠E2′RF2′，∠F1′RG′1= ∠F2′RG′2，∠G′1RE1′ = ∠G′2RE2′ 由 引引引理理理訳得∠RE1′F1′= ∠R2E2′F2′，即△RE1′F1′∼ △RE2′F2′（詁詁相似），
所以 RE1
′∶ RE2′ = RF1′∶ RF2′，同理得 RE1′ ∶ RE2′ = RG′1∶ RG′2。 因此△E1′F1′G′1 是以 R 為伸縮中心變換到△E2′F2′G′2。
訳訮 ＜型詣、詤＞中 R 的存在性證明與具旋轉、伸縮中心功能確認。
R 的的的找找找法法法
＜型詣＞
＜型詤內＞
＜型詤側＞
作法：
訨詡訩 先作一同子△E′F′G′。
訨詢訩 分別作 △AE′G′、△BE′F′、△CF′G′ 的外接圓（＜型詣＞沒有 △CF′G′ 的外接圓），則三圓會交於一點 R 即為所求。
訶
R 的的的存存存在在在性性性證證證明明明
訨詡訩 證證證明明明＜＜＜型型型c＞＞＞兩兩兩外外外接接接圓圓圓交交交點點點在在在子子子三三三角角角形形形邊邊邊 F′G′ 所所所在在在直直直線線線上上上：：：
設 △AE′G′ 與 △BE′F′ 兩外接圓異於 E′ 的交點為 R，觀察當頂點 E′ 在 L1 上由遠端移近，依序經 A、B 再遠離的過程中，子 △E′F′G′ 的
∠E′RG′、∠E′RF′值之變化，進而得證 R 亦在直線 F′G′上。
設∠C3AB= A，∠C2BA= B：
– 當 F< 許訸訰○− A 且 G < 許訸訰○− B 時：
R 在兩平行線內側，子 △E′F′G′ 變動過程中保持 ∠E′RG′= 許訸訰○− A，∠E′RF′= 許訸訰○−B，所以 ∠F′RG′= ∠E′RG′+∠E′RF′= 許訸訰○。 – 當 F> 許訸訰○− A 且 G < 許訸訰○− B 時：
R 在兩平行線外側（過點 B 線 L3 外側），子△E′F′G′變動過程中 保持∠E′RG′= 許訸訰○− A，∠E′RF′= B，所以 ∠E′RG′= ∠E′RF′。 訨詢訩 證證證明明明＜＜＜型型型d＞＞＞三三三外外外接接接圓圓圓會會會交交交於於於一一一點點點：：：
設 △AE′G′ 與 △BE′F′ 兩外接圓異於 E′ 的交點為 R，觀察當頂點 E′ 在 L1 上由遠端移近，依序經 A、B 再遠離的過程中，子 △E′F′G′ 的
∠E′RG′、∠E′RF′、∠F′RG′ 值之變化，進而得證 R 亦在△CG′F′ 外 接圓上。
– ＜型詤內＞
* 當 F < A外 且 G< B外 且 E< C外 時：
R在△ABC 內，子△E′F′G′變動過程中保持∠E′RG′= A外，
∠E′RF′= B外，所以∠F′RG′= 訳訶訰○−(∠E′RG′+∠E′RF′) = C外。
訷
* 當 F > A外 且 G< B外 且 E< C外 時：
R在∠A 內與 △ABC 外，子 △E′F′G′變動過程中保持∠E′RG′= A外，∠E′RF′= B，所以 ∠F′RG′= ∠E′RG′− ∠E′RF′= C。
– ＜型詤側＞
* 當 F < A 且 G < B 且 E > C 時：
R在∠C 內與 △ABC 外，子 △E′F′G′變動過程中保持∠E′RG′= A，∠E′RF′= B，所以 ∠F′RG′= ∠E′RG′+ ∠E′RF′= C外。
* 當F > A且G < B且E > C 時：
R 在 ∠B 的對頂角內，子 △E′F′G′ 變動過程中保持 ∠E′RG′ = A，∠E′RF′= B外，所以∠F′RG′= ∠E′RF′− ∠E′RG′= C。
訸
訨詣訩 證證證明明明同同同組組組子子子三三三角角角形形形作作作出出出的的的點點點 R 皆皆皆位位位在在在同同同一一一位位位置置置：：：
＜型詣＞
＜型詤＞
設 △E1′F1′G′1、△E2′F2′G′2 為同組兩個子三角形且各自仿 許訮 的作法作出 R1、R2， 則∠E1′R1F1′= ∠E2′R2F2′，∠F1′R1G′1= ∠F2′R2G′2，
∠G′1R1E1′= ∠G′2R2E2′，由 引引引理理理訳 知∠R1G′1E′1= ∠R2G′2E2′，又
A、E1′、R1、G′1共圓且 A、E′2、R2、G′2共圓，所以∠R1AB= ∠R1G′1E1′，
∠R2AB= ∠R2G′2E2′，得 ∠R1AB= ∠R2AB， 即 R2 在直線 AR1 上，
同理 R2 亦在直線 BR1上，故 R1= R2。 訨詤訩 證證證明明明同同同組組組子子子三三三角角角形形形皆皆皆對對對點點點 R 旋旋旋轉轉轉及及及伸伸伸縮縮縮：：：
＜型詣＞
＜型詤＞
設△E1′F1′G′1、△E2′F2′G′2為同組兩個子三角形且仿 許訮 的方法作出 R。
則∠E1′RF1′= ∠E′2RF2′，∠F1′RG′1= ∠F2′RG′2，∠G′1RE1′ = ∠G′2RE2′。 在△RE′1E2′ 與△RG′1G′2 中，
訹
因∠E1′RE2′ = ∠E2′RG′2− ∠E1′RG′1= ∠E′1RG′2− ∠E′1RG′2= ∠G′1RG′2， 又由 A、E1′、R、G′1共圓得∠RE1′E2′= ∠RG′1G′2，
所以△RE1E2∼ △RG1G2（詁詁 相似），即 RE1′∶ RE2′= RG′1∶ RG′2。 同理得∠E1′RE2′ = ∠F1′RF2′ 與 RE1′ ∶ RE2′ = RF1′∶ RF2′，
因 ∠E1′RE2′ = ∠F1′RF2′ = ∠G′1RG′2 且 RE1′ ∶ RE′2 = RF1′ ∶ RF2′ = RG′1 ∶ RG′2，得證△E1′F1′G′1是以R為旋轉及伸縮中心變換到△E′2F2′G′2。
訨詥訩 仿仿仿 (c)(d) 部部部分分分的的的證證證明明明，，，可可可知知知：：：
＜型c＞：當 F = 180○−A 時 ＜型d內＞：當 F = A外時 ＜型d側＞：當 E = C 時
同組子△E′F′G′ 在變動過程中，頂點 E′位置始終保持不變，且正好是 旋伸中心 R 所在位置。
2.3 三 三 三角 角 角形 形 形三 三 三邊 邊 邊取 取 取點 點 點作 作 作內 內 內接 接 接子 子 子三 三 三角 角 角形 形 形的 的 的作 作 作法 法 法
欲在 △ABC 中作 △E′F′G′∈ {△EFG(AB × BC × CA)}，由引引引理理理 訲 作法可依序在
←→AB、←→BC、←→CA上取點作出△EFG 的同相似及反相似三角形，由＜型詤＞的觀察知必有 一種經旋伸變換後會內接於 △ABC。問題是要如何確保作出的子 △E′F′G′三頂點皆能 成功落在邊上而非邊外呢？所以要討論子 △E′F′G′ 成功內接時（＜型詤內＞），三頂點 落下的範圍，然後在使用 引引引理理理 訲 作法的第 許 步驟時就直接將點取入範圍內，即可成功 作出內接子三角形。但因最後要探討到作內接 m 邊形，所以＜型詤側＞與＜型詣＞也一 併討論。討論方式皆是觀察點 E′ 由遠處漸漸接近 △ABC，依序經點 A、B 後遠離，
子 △E′F′G′ 變動過程中旋入我們預設範圍時，算出 E′、F′、G′ 確切落在哪。下以 r 表 △ABC 外接圓半徑；A、B、C 表三內角；a、b、c 表三對邊；A外、B外、C外 表三 外角。E、F 、G 表標的△EFG 三內角；e、f、g 表當下子△E′F′G′ 三對邊。
許訮 ＜型詤內＞：預設 E′∈ AB、F′∈ BC、G′∈ CA；變動過程分別算出 x= E′A、y= F′B 、z= G′C 的變動區間。
訨詡訩 R在△ABC 內 訨E < C外 且 F< A外 且 G< B外訩： x∈ [x1, x2]、y ∈ [y1, y2]、z ∈ [z1, z2]
許訰
詩訮 旋入
設 E′、F′、G′旋入角度分別為 α、β、γ。利用輔助角 δ1、δ2、δ3列式：
⎧⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
δ1= A − α = E − β
δ2= B − β = F − γ ⇒ E′ 先 F′⇔ α − β = A − E < 訰 ⇔ E > A δ3= C − γ = G − α
同理 F′先 G′⇔ F > B；G′ 先 E′⇔ G > C E′、F′、G′ 旋入的次序分六種：
詁訮 E′→ F′→ G′（E> A 且 F > B 且 G < C）
因點 G′位於點 C 上，所以 z1= 訰。由正弦定理：
x1
b =詳詩詮(C − G)
詳詩詮(B + G)⇒ x1= 訲 詳詩詮 B 詳詩詮(C − G) 詳詩詮(B + G) r y1
g ×g f×f
b = 詳詩詮(F − B) 詳詩詮 B ×詳詩詮 G
詳詩詮 F× 詳詩詮 A
詳詩詮(B + G) ⇒ y1=訲 詳詩詮 A 詳詩詮(F − B) 詳詩詮 G 詳詩詮 F 詳詩詮(B + G) r 詂訮 E′→ G′→ F′訨 E> A 且 F < B 且 G < C訩
x1= 訲 詳詩詮 E− A 詳詩詮 F 詳詩詮 C
詳詩詮 E 詳詩詮(A + F) r, y1= 訰, z1= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮(B − F) 詳詩詮 A+ F r 詃訮 F′→ E′→ G′訨E< A 且 F > B 且 G < C訩
x1= 訲 詳詩詮 B 詳詩詮(C − G)
詳詩詮(B + G) r, y1=訲 詳詩詮(F − B) 詳詩詮 F 詳詩詮 A
詳詩詮 E 詳詩詮(B + G) r, z1= 訰 詄訮 F′→ G′→ E′訨E< A 且 F > B 且 G > C訩
x1= 訰, y1= 訲 詳詩詮 C 詳詩詮(A − E)
詳詩詮(C + E) r, z1= 訲 詳詩詮(G − C) 詳詩詮 E 詳詩詮 B 詳詩詮 G 詳詩詮(C + E) r 詅訮 G′→ E′→ F′訨E> A 且 F < B 且 G > C訩
x1= 訲 詳詩詮(E − A) 詳詩詮 F 詳詩詮 C
詳詩詮 E 詳詩詮(A + F) r, y1= 訰, z1= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮(B − F) 詳詩詮(A + F) r 詆訮 G′→ F′→ E′訨E< A 且 F < B 且 G > C訩
x1= 訰, y1= 訲 詳詩詮 C 詳詩詮(A − E)
詳詩詮(C + E) r, z1= 訲 詳詩詮(G − C) 詳詩詮 E 詳詩詮 B 詳詩詮 G 詳詩詮(C + E) r
許許
詩詩訮 旋出
設 E′、F′、G′ 已旋出角度分別為 α、β、γ。利用輔助角 δ1、δ2、δ3 列 式：
⎧⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
δ1= B − α = E − β
δ2= C − β = F − γ ⇒ E′先F′⇔ α − β = F − C > 訰 ⇔ F > C δ3= A − γ = G − α
同理 F′先 G′⇔ G > A；G′ 先 E′⇔ E > B。
E′、F′、G′旋出的次序分六種：
詁訮 E′→ F′→ G′（E< B 且 F > C 且 G > A）
x2= 訲r 詳詩詮 C, y2= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮 G 詳詩詮 C
詳詩詮 F 詳詩詮(C + E)r, z2= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮 E 詳詩詮(C + E)r 詂訮 E′→ G′→ F′訨E< B 且 F > C 且 G < A訩
x2= 訲r 詳詩詮 C, y2= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮 G 詳詩詮 C
詳詩詮 F 詳詩詮(C + E)r, z2= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮 E 詳詩詮(C + E)r 詃訮 F′E′G′訨E< B 且 F < C 且 G > A訩
x2= 訲 詳詩詮 B 詳詩詮 F
詳詩詮(A + F)r, y2= 訲r 詳詩詮 B, z2=訲 詳詩詮 B 詳詩詮 E 詳詩詮 A 詳詩詮 G 詳詩詮(A + F)r 詄訮 F′→ G′→ E′訨E> B 且 F < C 且 G > A訩
x2= 訲 詳詩詮 B 詳詩詮 F
詳詩詮(A + F)r, y2= 訲r 詳詩詮 B, z2=訲 詳詩詮 B 詳詩詮 E 詳詩詮 A 詳詩詮 G 詳詩詮(A + F)r 詅訮 G′→ E′→ F′訨E> B 且 F > C 且 G < A訩
x2= 訲 詳詩詮 C 詳詩詮 F 詳詩詮 B
詳詩詮 E 詳詩詮(B + G)r, y2= 訲 詳詩詮 C 詳詩詮 G
詳詩詮(B + G)r, z2= 訲r 詳詩詮 B 詆訮 G′→ F′→ E′訨E> B 且 F < C 且 G < A訩
x2= 訲 詳詩詮 C 詳詩詮 F 詳詩詮 B
詳詩詮 E 詳詩詮(B + G)r, y2= 訲 詳詩詮 C 詳詩詮 G
詳詩詮(B + G)r, z2= 訲r 詳詩詮 B
許訲
訨詢訩 R在 A 內且△ABC 外 訨E < C外 且 F> A外 且 G< B外訩： x∈ [x1, x2]、y ∈ [y2, y1]、z ∈ [z1, z2]
詩訮 旋入
設 E′、F′、G′ 旋入角度分別為 α、β、γ。
β= α − G = γ − C ⇒ {α> β 且 γ > β ⇒ F′最先
E′先 G′⇔ α − γ = G − C < 訰 ⇔ G < C E′、F′、G′ 旋入的次序分二種：
詁訮 F′→ E′→ G′訨G< C訩
x1= 訲 詳詩詮 B 詳詩詮(C − G)
詳詩詮(B + G) r, y1=訲 詳詩詮(F − B) 詳詩詮 F 詳詩詮 A
詳詩詮 E 詳詩詮(B + G) r, z1= 訰 詂訮 F′→ G′→ E′訨G> C訩
x1= 訰, y1= 訲 詳詩詮 C 詳詩詮(A − E)
詳詩詮(C + E) r, z1= 訲 詳詩詮(G − C) 詳詩詮 E 詳詩詮 B 詳詩詮 G 詳詩詮(C + E) r 詩詩訮 旋出
設 E′、F′、G′ 旋入角度分別為 α、β、γ。
β= α − B = γ − E ⇒ {α> β 且 γ > β ⇒ F′最後
E′先 G′⇔ α − γ = B − E > 訰 ⇔ E < B
許訳
詁訮 E′→ G′→ F′訨E< B訩
x2= 訲r 詳詩詮 C, y2= 訲 詳詩詮 G 詳詩詮 A 詳詩詮 C
詳詩詮 F 詳詩詮(A + E)r, z2= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮 E 詳詩詮(C + E)r 詂訮 G′→ E′→ F′訨E> B訩
x2= 訲r 詳詩詮 C, y2= 訲 詳詩詮 G 詳詩詮 A 詳詩詮 C
詳詩詮 F 詳詩詮(A + E)r, z2= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮 E 詳詩詮(C + E)r 訲訮 ＜型詤側＞：預設 E′∈ ÐÐ→BB1、F′∈ BC、G′∈ ÐÐ→CC1；變動過程分別算出
x= E′B訬 y= F′C訬 z= G′C 的變動區間。
訨詡訩 R在∠A 內且 △ABC 外 訨E < C 且 F > A 且 G < B訩：
x∈ [x1, x2]、y ∈ [y1, y2]、z ∈ [z2, z1] 詩訮 旋入
G′ 已在預設範圍內，設 E′、F′旋入角度分別為 α、β。利用輔助角 δ 列 式： δ= C外− β = F詻α ⇒ E′先 F′⇔ α − β = F − C外< 訰 ⇔ F < C外。 E′、F′、G′ 旋入的次序分二種：
詁訮 G′→ E′→ F′訨F < C外訩
許訴
因點 F′位於點 C 上，所以 y1= 訰。由正弦定理：
x1
a =詳詩詮(C外− F)
詳詩詮(F − A) → x1= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮(C + F) 詳詩詮(F − A) r z1
g ×g
a= 詳詩詮 E
詳詩詮 G× 詳詩詮 B
詳詩詮(F − A) → z1= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮 E 詳詩詮 B 詳詩詮 G 詳詩詮(F − A)r 詂訮 G′→ F′→ E′訨F > C外訩
x1= 訰, y1= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮(C + F) 詳詩詮 E
詳詩詮 F 詳詩詮(C − E) r, z1= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮 E 詳詩詮(C − E)r 詩詩訮 旋出
E′在預設範圍內，設 F′、G′ 已旋出角度分別為 β、γ。利用輔助角 δ 列 式：
δ= B外− β = F詻γ ⇒ F′先 G′⇔ β − γ = B外− F > 訰 ⇔ F < B外 。 E′、F′、G′ 旋出的次序分二種：
詁訮 F′→ G′→ E′訨F < B外訩
x2= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮(B + E)
詳詩詮(A + F) r, y2= 訲r 詳詩詮 A, z2= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮 G 詳詩詮 C 詳詩詮 E 詳詩詮(A + F)r 詂訮 G′→ F′→ E′訨F > B外訩
x2= 詳詩詮 A 詳詩詮 G
詳詩詮(B − G)r, y2= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮 E 詳詩詮 B
詳詩詮 E 詳詩詮(B − G)r, z2= 訰 訨詢訩 R在∠B 的對頂角內部 訨E > C 且 F > A 且 G < B訩：
x∈ [x1, x2]、y ∈ [y2, y1]、z ∈ [z1, z2]
許訵
詩訮 旋入
設 E′、F′、G′ 旋入角度分別為 α、β、γ。
α= β − B外= γ − F ⇒ {α< β 且 α < γ ⇒ E′最先
F′先 G′⇔ β − γ = B外− F < 訰 ⇔ F < B外
E′、F′、G′ 旋入的次序分二種：
詁訮 E′→ F′→ G′訨F > B外訩
x1= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮 G
詳詩詮(B − G)r, y1=訲 詳詩詮 A 詳詩詮 E 詳詩詮 B
詳詩詮 F 詳詩詮(B − G)r, z1= 訰 詂訮 E′→ G′→ F′訨F < B外訩
x1= 訲 詳詩詮 G 詳詩詮 C 詳詩詮 A
詳詩詮(F − A) 詳詩詮 Er, y1= 訲r 詳詩詮 A, z1= 訲 詳詩詮(F + B) 詳詩詮 A 詳詩詮(F − A) r 詩詩訮 旋出
E′、G′在預設範圍內，只需考慮 F′旋出即可
x2=訲 詳詩詮 A 詳詩詮(C + F)
詳詩詮(F − A) r, y2= 訰, z2= 訲 詳詩詮 A 詳詩詮 E 詳詩詮 B 詳詩詮 G 詳詩詮(F − A)r
訳訮 ＜型詣＞兩線平行：預設 E′∈ AB、F′∈ ÐÐ→BC2、G′∈ ÐÐ→AC3；變動過程分別算出 x= E′A、y= F′B 、z= G′A 的變動區間。
許訶
設∠C3AB= A，∠C2BA= B。
訨詡訩 R在兩平行線 L2、L3 間訨 F < B 且 G < A訩：
x∈ [x1, x2]、y ∈ [y1, y2]、z ∈ [z2, z1] 詩訮 旋入
G′ 已在預設範圍內，設 E′、F′旋入角度分別為 α、β。利用輔助角 δ 列 式：
δ= A − α = E − β ⇒ E′ 先 F′⇔ α − β = A − E < 訰 ⇔ E > A。
E′、F′ 旋入的次序分兩種：
詁訮 G′→ E′→ F′訨E> A訩
因點 F′位於點 B 上，所以 y1= 訰。由正弦定理：
x1 f ×f
e×e
c =詳詩詮(E − A) 詳詩詮 A ×詳詩詮 F
詳詩詮 E× 詳詩詮 A
詳詩詮(B − F) → x1= 詳詩詮(E − A) 詳詩詮 F 詳詩詮(B − F) 詳詩詮 Ec z1
e ×e
c = 詳詩詮 F 詳詩詮 A×sin (B−F )sin A
→ z1= 詳詩詮 F 詳詩詮(B − F)c 詂訮 G′→ F′→ E′訨E< A訩
x1= 訰, y1= 詳詩詮(A − E)
詳詩詮(C − G)c, z1= 詳詩詮 F 詳詩詮 B 詳詩詮 G 詳詩詮 Ec 詩詩訮 旋出
許訷
F′ 在預設範圍內，設 E′、G′ 已旋出角度分別為 α、γ。利用輔助角 δ 列 式：
δ= B − α = E − γ ⇒ E′先 G′⇔ α − γ = B − E > 訰 ⇔ E < B。
E′、G′旋出的次序分兩種：
詁訮 E′→ G′→ F′訨E< B訩
x2= c, y2= 詳詩詮 G 詳詩詮 A
詳詩詮 F 詳詩詮 Ec, z2= 詳詩詮(A − E) 詳詩詮(C − G)c 詂訮 G′→ E′→ F′訨E> B訩
x2= 詳詩詮 F 詳詩詮 B
詳詩詮 G 詳詩詮 E, y2= 詳詩詮 G
詳詩詮(A − G)c, z3= 訰 訨詢訩 R在兩平行線 L2 外側 訨F > B 且 G < A訩：
x∈ [x1, x2]、y ∈ [y2, y1]、z ∈ [z2, z1] 詩訮 旋入
F′、G′ 在預設範圍內，只需考慮 E′旋入即可
x1= 訰, y1= 詳詩詮(A − E)
詳詩詮 E c, z1= 詳詩詮 F 詳詩詮 B 詳詩詮 G 詳詩詮 Ac 詩詩訮 旋出
設 E′、F′、G′ 已旋出角度分別為 α、β、γ。
β= α − B = γ − E → {α> β 且 γ > β ⇒ F′最後
E′先 G′⇔ α − γ = B − E > 訰 ⇔ E < B E′、F′、G′ 旋出的次序分兩種：
許訸
詁訮 E′→ G′→ F′訨E< B訩
x2= c, y2= 詳詩詮 G 詳詩詮 A
詳詩詮 F 詳詩詮 Ec, z2= 詳詩詮(F + G) 詳詩詮 E c 詂訮 G′→ E′→ F′訨E> B訩
x2= 詳詩詮 F 詳詩詮 B
− 詳詩詮 (A + E) 詳詩詮 Ec, y2= 詳詩詮 G
詳詩詮(A − G)c, z2= 訰
2.4 n 邊 邊 邊形 形 形作 作 作內 內 內接 接 接子 子 子 m 邊 邊 邊形 形 形的 的 的作 作 作法 法 法（ （ （n ≥ m） ） ）
引引引理理理 4. 任意三直線 L1、L2、L3 不平行且不共點。若已知 { 同△EFG(L1× L2× L3)}
或 { 反△EFG(L1× L2× L3)} 旋伸中心 R 的位置，則可作出該組所有子三角形。而細 部取點方式分成：
1. 若 R 不在 Li 上，則在 Li 上任取一點為頂點皆可作出子該組所有子三角形;
2. 若 R 在 Li 上，則在 Li 上須取 R 為頂點方可作出該組所有子三角形。
底下以 { 同△EFG(L1× L2× L3)} 作證明，並設點 A、B、C 依序為 L1 與 L2、L2 與 L3、L3 與 L1 的交點（若 L2 與 L3 平行，則不設點 C） 作法：
1. 設 R 不在 L1 上且在 L1 上任取一點，設為 E′：
分別作△RE′A、△RE′B 的外接圓交 L3、L2 於 G′、F′，△E′F′G′即為所求。
＜型d內＞ ＜型d側＞ ＜型c＞
2. 因＜型c＞R 不會在 L1 上，所以設 R 在 L2上且在 L2 上取 R 為頂點，設為 F′： 任作一圓過點 R 與 A 且分別交 L1、L3 於 E′、G′，則△E′F′G′即為所求。
＜型d內＞ ＜型d側＞ ＜型c＞
許訹
＜型d側＞ ＜型c＞
證證證明明明.
設△E1′F1′G′1∈ {同 △EFG訨L1×L2×L3訩}。在 △RE′G′與△RE1′G′1中，因 A、E′、 R、G′共圓且 A、E1′、R、G′1共圓（R 為 {同△EFG訨L1× L2× L3訩} 旋伸中心）。
所以∠RE′G′= ∠RAC = ∠RE1′G′1且∠RG′E′= ∠RAB = ∠RG′1E1′， 得△RE′G′∼ △RE1′G′1（詁詁 相似） （至此已證出情形 訲），
即E′G′∶ E1′G1
′= RE′∶ RE1′，同理 E′F′∶ E1′F1
′= RE′∶ RE1′。
由上兩式得 E′G′∶ E1′G1′= E′F′∶ E1′F1′，同理E′G′∶ E1′G1′= F′G′∶ F1′G1′ ，
得 E′G′ ∶ E1′G1′ = E′F′ ∶ E1′F1′ = F′G′ ∶ F1′G1′，故 △E′F′G′ ∼ △E1′F1′G′1（詓詓詓 相 似）。
2.4.1 m 邊邊邊形形形作作作內內內接接接子子子 m 邊邊邊形形形的的的作作作法法法與與與解解解法法法數數數判判判斷斷斷 已已已知知知. 標的 m 邊形 E1E2. . . Em 與 m 邊形 A1A2. . . Am。 求求求作作作. m 邊形 E′1E2′. . . Em′ ∈ {同 m 邊形 E1E2. . . Em(∏m
k=1
AkAk+1)}，
其中 Am+1= A1。
作作作法法法. 許訮 依序作子△E′1kE2k′ Ek1′ ∈ {同△E1E2Ek訨←ÐÐ→A1A2× ←ÐÐ→A2A3× ←ÐÐÐ→AkAk+1訩}，
訳≤ k ≤ m，再利用 △E1k′ E2k′ Ek1′ 作出{同△E1E2Ek訨←ÐÐ→A1A2× ←ÐÐ→A2A3× ←ÐÐÐ→AkAk+1訩} 的旋伸中心 Rk。
訲訮 R3、R4、. . . 、Rm所在位置區分三種，並令
S= ⋂m
k=3
S1{同△E1E2E3k訨A1A2× A2A3× AkAk+1訩}
訲訰
＜情形許＞ 所有 Rk 在同一位置（設為 R）
許訮 若 S= ∅，則無法作出。
訲訮 若 S≠ ∅，則取 E1′ ∈ S，再利用 引引引理理理訴作法依序作△E1′E2′Ek′ ∈ {同△E1E2Ek訨A1A2× A2A3× AkAk+1訩}，訳 ≤ k ≤ m， 則 m 邊形 E1′E2′. . . Em′ 即為所求。
＜情形訲＞非所有 Rk 在同一位置且 A2 與所有 Rk 共圓（設此圓為 言）
設 言 與 A1A2 的交點 E1′。 許訮 若 E1′∉ S，則無法作出。
訲訮 若 E′1 ∈ S，則利用 引引引理理理 訴 作法依序作 △E1′E′2Ek′ ∈ {同△E1E2Ek訨A1A2× A2A3× AkAk+1訩}，訳 ≤ k ≤ m， 則 m 邊形 E1′E2′. . . Em′ 即為所求。
＜情形訳＞非所有 Rk 在同一位置且 A2 與所有 Rk 不共圓
無法作出＜情形許＞與＜情形訲＞，因作△E′F′G′∼ △EFG 與 △E′F′H′∼ △EFH，
所以得四邊形 E′F′G′H′∼ 四邊形 EFGH。
證 證
證明明明. ＜情形許＞與＜情形訲＞可作出的狀況下，因依序作△E′1E2′Ek′ ∼ △E1E2Ek 所以得 m 邊形E1′E2′. . . Em′ ∼ m 邊形 E1E2. . . Em。
訲許
由上述作法中我們得到 {同 m 邊形 E1E2. . . Em(∏m
k=1
AkAk+1)} 中子 m 邊形解法數 判斷方法：
許訮 若所有 Rk 訨訳≤ k ≤ m訩 在同一位置 訨設為 R訩 且 S ≠ ∅，則有無限多解且 R 為此組 子 m 邊形的旋伸中心；
訲訮 非所有 Rk 訨訳≤ k ≤ m訩 在同一位置時，若 A2 與所有 Rk 共圓且此圓與 S 有交點，
則有唯一解；
訳訮 若非所有 Rk 訨訳≤ k ≤ m訩 在同一位置且 A2 不與所有 Rk 共圓或非上述兩種情形，
則無解。
證證證明明明.
許訮 訨詡訩 在＜情形許＞有解狀況下，由 引引引理理理 訴 知作出的子 △E′1E2′E3′ 會有無限多個選 擇，所以 E1′ 位置或 E2′ 位置有無限多個選擇，後在 E1′、E2′ 固定下才作出 Ek′訨訳≤ k ≤ m訩，所以子 m 邊形E1′E2′. . . Em′ 會有無限多解。
訨詢訩 證明 R為此組子 m 邊形的旋伸中心：
設 m 邊形 F11′ F12′ . . . F1m′ 與 m 邊形 F21′ F22′ . . . F2m′ 為此組兩個子 m 邊形則 對每一 k= 訳, 訴, . . . , m 而言，
△F11′ F12′ F1k′ 、△F21′ F22′ F2k′ ∈ {同△E1E2Ek訨A1A2× A2A3× AkAk+1訩}，
且因 R 為{同△E1E2Ek訨A1A2× A2A3× AkAk+1訩} 旋伸中心，
所以 ∠F11′ RF21′ = ∠F12′ RF22′ = ∠Fk1′ RFk2′ ，且 RF11′ ∶ RF21′ = RF12′ ∶ RF22′ = RF1k′ ∶ RF2k′ 。
合併可得對每一 k = 許, 訲, ⋅, m，∠F1k′ RF2k′ 皆相等且 RF1k′ ∶ RF2k′ 比值皆相 等，得證 R 為 m 邊形 F11′ F12′ . . . F1m′ 與 m 邊形 F21′ F22′ . . . F2m′ 的旋縮中心。
訲訮 在＜情形訲＞有解狀況下，E1′ 位置取自圓 言 與 A1A2 的交點，僅一選擇，後在 E1′
固定下才作出 E′k訨訲≤ k ≤ m訩，所以子 m 邊形 E1′E2′. . . Em′ 會有唯一解。
訳訮 用反證法證之：
設可作出子 m 邊形 E′1E2′. . . Em′ ∈ {同 m 邊形 E1E2. . . Em(∏m
k=1
AkAk+1)}，
則子△E1′E2′E3′∈ { 同 △E1E2E3訨A1A2× A2A3× A3A4訩}，
所以此組旋伸中心R3必在△A2E1′E2′的外接圓上，
同理 Rk 訨訴≤ k ≤ m訩 亦在 △A2E1′E2′ 的外接圓上，
可得 A2 與所有 Rk 共圓。
訲訲
2.4.2 n 邊邊邊形形形作作作內內內接接接子子子 m 邊邊邊形形形的的的作作作法法法（（（n≥ m）））
欲在 n 邊形 A1A2. . . An中作子 m 邊形E′1E2′. . . Em′ ∈ {同 m 邊形 E1E2. . . Em(∏m
k=1
Ak,1Ak,2)}，
可先將被選定的 m 個邊延長使相鄰兩邊 Ak,1Ak,2、Ak+1,1Ak+1,2的延長線交於 Xk+1， 令 Xm+1= X1。再由 訲訮訴訮許 的方法在 m 邊形 X1X2. . . Xm中作內接子 m 邊形
E′1E2′. . . Em′ ∈ {同 m 邊形 E1E2. . . Em(∏m
k=1
Ak,1Ak,2)} 即可。
2.5 任 任 任意 意 意 m 條 條 條直 直 直線 線 線 上 上 上取 取 取點 點 點作 作 作子 子 子 m 邊 邊 邊形 形 形的 的 的作 作 作法 法 法與 與 與解 解 解法 法 法數 數 數 判 判 判斷 斷 斷
給定標的 m 邊形 E1E2. . . Em及任意 m 條直線 L1、L2、L3、. . . 、Lm， 欲作子 m 邊形 E1′E2′. . . Em′ ∈ {m 邊形 E1E2. . . Em(∏m
k=1
Lk)}。
因同子 m 邊形與反子 m 邊形的作法與討論方式一樣，以下只討論同子 m 邊形，分三情 形診
許訮 沒有三條以上直線平行且沒有三條以上直線共點
將「訲訮訴訮許 m 邊形作內接子 m 邊形的作法與解個數判斷」中 取 E′1S= ⋂m
k=3
S1{同△E1E2Ek訨A1A2× A2A3× AkAk+1訩} 的條件去掉，就可得到作法 與解法數。
訲訮 有三條以上直線平行
不失一般性設平行直線為 L1、L2、L3，另設其他與 L1 平行的直線為 Lα訨α ∈ N1訩；其他與 L1 不平行的直線為 Lβ訨β∈ N2訩。
先作子△D′1D′2D′3∈ { 同 △E1E2E3訨L1× L2× L3訩}，再依序作 △D′1D′2Dα′ 同相似 於△E1E2Eα訨α∈ N1訩
訨詡訩 有一 D′α訨α∈ N1訩不在 Lα 上時，則無解。
訨詢訩 所有 D′α 訨α∈ N1訩 皆在 Lα上且 N2= φ 時，則作出的 m 邊形D′1D′2. . . Dm′ 即 為所求。且無限多解。
訨詣訩 所有 D′α訨α∈ N1訩 皆在 Lα 上且 N2≠ φ 時，先取一 β ∈ N2，作△D′1D′2D′β 同 相似於△E1E2Eβ；
接著過 D′β 作 L1 的平行線交 Lβ 於 E′β；
再過 E′β 依序作直線平行於 D′βD′α 且交 Lα於 Eα′訨α∈ N1訩； 最後依序作△E1′E2′Eγ′ 同相似於△E1E2Eγ訨γ∈ N2− {β}訩。
詩訮 所有 Eγ′ 訨γ∈ N2− {β}訩 皆在 Lγ 上時，作出的 m 邊形 E1′E2′. . . Em′ 即為 所求。且有唯一解。
訲訳
詩詩訮 有一 E′γ 訨γ∈ N2− {β}訩 不在 Lγ 上時，無解。
訳訮 有三條以上直線共點
不失一般性設共點 R 的直線為 L1、L2、L3，另設其他通過 R 的直線為 Lα 訨α∈ N1訩；其他不通過 R 的直線為 Lβ訨β∈ N2訩。
先作子△D1′D′2D′3∈ { 同 △E1E2E3訨L1× L2× L3訩}，
再依序作△D1′D′2D′α同相似於△E1E2Eα訨α∈ N1訩。 訨詡訩 有一 D′α不在 Lα上時，則無解。
訨詢訩 所有 D′α訨α∈ N1訩 皆在 Lα 上且 N2= ∅ 時，則作出的 m 邊形D′1D2′. . . D′m即 為所求。且有無限多解。
訨詣訩 所有 D′α訨α∈ N1訩 皆在 Lα 上且 N2≠ φ 時，先取一 β ∈ N2，作△D′1D′2D′β 同 相似於△E1E2Eβ；
接著作直線 RDβ′ 交 Lβ 於 Eβ′；再過 Eβ′ 依序作直線平行於 D′βDα′ 且交 Lα
於 Eα′訨α∈ N1訩；
最後依序作△E1′E2′Eγ′ 同相似於△E1E2Eγ訨γ∈ N2− {β}訩。
詩訮 所有E′γ訨γ∈ N2− {β}訩 皆在 Lγ 上時，作出的 m 邊形 E1′E2′. . . E′m即為所 求。且有唯一解。
詩詩訮 有一E′γ訨γ∈ N2− {β}訩 不在 Lγ 上時，無解。
訲訴
3 結 結 結論 論 論(Summary and Conclusions)
3.1
給定標的 △EFG 及任意三直線 L1、L2、L3，一定可以作出同相似與反相似的子
△E′F′G′ ∈ {△EFG訨L1 × L2× L3訩}，詳見 引引引 理理理 訲。且各自同子 △E1′F1′G′1 與反子
△E2′F2′G′2的同組子三角形會因三直線位置關係而產生不同連結：
＜型詡＞三線平行：兩組皆各自以平移作連結。
＜型詢＞三線共點：兩組皆各自以伸縮作連結，且伸縮中心 R 在三線交點。
＜型詣＞兩線平行：兩組皆各自以旋轉及伸縮作連結，且旋伸中心 R 在任一個同組 子三角形兩平行線上之頂點的連線上。
至於 R 細部位置則可由標的△EFG 三內角與三直線夾角 訨令 ∠C3AB= A，∠C2BA= B 訩 比較後確認。以子△E1′F1′G′1 組為例。
訲訵
＜型詤＞圍三角形：兩組皆各自以旋轉及伸縮作連結。有一組 訨△E1′F1′G′1訩 在旋 伸過程中會內接於三直線所圍成三角形 訨△ABC訩；另一組 訨△E2′F2′G′2訩 則會側接
△ABC 一邊或兩邊。
至於 R 細部位置則可由標的 △EFG 三內角與三直線夾角 訨令△ABC 三內角為 A、B、C；三外角為 A外、B外、C外訩 比較後確認：
＜型d內＞ ＜型d側＞
3.2
比較標的△EFG 三內角與三直線夾角可得到子 △E′F′G′在＜型詣＞、＜型詤內＞、
＜型詤側＞的極限情況，進而算出三頂點 E′、F′、G′變動範圍，詳見「訲訮訳」的研究。
＜型詤內＞的部份可幫我們第一步就成功取對點，作出子 m 邊形成功內接於△ABC。而
＜型詣＞、＜型詤側＞的研究更可為我們如何能成功取對點，作出子 m 邊形成功內接於 n 邊形做準備。
訲訶
3.3
給定標的 m 邊形E1E2. . . Em 及任意 m 條直線 L1、L2、. . . 、Lm 訨無三條以上平 行且無三條以上共點訩，作子 m 邊形 E1′E2′. . . Em′ ∈ {m 邊形 E1E2. . . Em(∏m
k=1
Lk)} 的 方法，就是先將 m 邊形 E1E2. . . Em 分開成 訨m− 訲訩 個共用邊 E1E2 的標的△E1E2Ek
訨訳≤ k ≤ m訩，在對應的直線上作出 △E1E2Ek 的一個同子三角形就可作出該組子三角形 的旋伸中心，並由這 訨m− 訲訩 個旋伸中心的位置作判斷：
許訮 皆重合時：用 引引引理理理訴作法可在每條直線上成功取到子三角形頂點，且 訨m− 訲訩 個旋 伸 中心所在的位置上就是該組子 m 邊形旋伸中心，所以有無限多解。
訲訮 與 L1、L2 交點共圓時：此圓與 L1、L2 交點位置就必須拿來當子 m 邊形對應於 E1、E2 的頂點，再用 引引引理理理訴 作法在每條直線上成功取到子三角形頂點，得唯一 解。
訳訮 與 L1、L2交點不共圓時：無解。
3.4
給定標的 m 邊形 E1E2. . . Em及 m 邊形 A1A2. . . Am，作子 m 邊形 E1′E2′. . . Em′ ∈ {m 邊形 E1E2. . . Em(∏m
k=1
AkAk+1)} 訨其中 Am+1 = A1訩 的方法與在 m 條直線上取點作 是一樣的意思，但須利用「訲訮訳」的研究控制好取點範圍方能確認有解與否及順利作出。
3.5
給定標的 m 邊形 E1E2. . . Em及 n 邊形 A1A2. . . An訨n≥ m訩 的方法，就是延長預定 要取點的 m 個邊接成 m 邊形，然後利用作 m 邊形內接 m 邊形方法即可成功。
3.6
要完成任意 m 條直線上取點作子 m 邊形的方法尚須討論：
許訮 有三條以上平行：在此平形線組先選其中三條作對應的子三角形當作基準點，再確 認這組平行線的其他對應頂點能否成功落在對應的直線上，若可以才再利用在這組 平行的平移去確認第一個非這組平行線的對應點位置，此時子 m 邊形的位置完全 被鎖住，其他剩下的對應頂點須正好在對應的直線上方有解。
訲訮 有三條以上共點：在此共點線組先選其中三條作對應的子三角形當作基準點，再確 認這組共點線的其他對應頂點能否成功落在對應的直線上，若可以才再利用伸縮去 確認第一個非這組共點線的對應點位置，此時子 m 邊形的位置完全被鎖住，其他 剩下的對應頂點須正好在對應的直線上方有解。
參 參 參考 考 考文 文 文獻 獻 獻(References)
詛許詝 《許訰訰 個著名初等數學問體歷史和解答》，凡異出版社。
詛訲詝 《大海撈針》，臺北市第三十七屆中小學科學展覽會。
詛訳詝 《探討正 n 邊形的內接正三角形》，訲訰許訵 年臺灣國際科學展覽會。
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作品評語
江謝宏任教授
國立中正大學數學系
本篇論文以探討如何從三角形的三邊取點，作內接子三角形相似於另一個給定之三 角形出發，利用旋轉及伸縮不影響三角形相似性的性質，並利用伸旋中心的討論，給出 了建構性的作法，是相當完整的作品。
在找出其建構性的作法之後，作者試圖將其方法推廣到在任意 m 條直線上取點，作 子 m 邊形相似於另一給定之 m 邊形的作法。首先可行性是個很大的問題，作者討論了 當 m> 訳 時，若有三條線平行或是三條線共點的情況下，可作圖的必要條件，但對於其 他情況，還沒有做更進一步的探討。從有三線平行或是三線共點的情況出發，應該是一 個對的方向，期待作者將來在這問題上有更深入的研究作品。
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