2-4 二進位數運算法

邏輯設計

數字系統、運算和代碼

王宏祺 講師

Department of Computer and Communication Kun San University

Tainan , Taiwan , R.O.C.

Mar. 9, 2011

1

2-1 十進位數 2-2 二進位數

2-3 十進位數轉換成二 進位數

2-4 二進位數運算法

2-5 二進位的1’s和2’補數

2-6 有號數

2-7 有號數的數學運算 2-8 十六進位數

2-9 以二進位對十進位 數編碼(BCD)

2-10 數位碼和同位

2-1 十進位數

舉個例子，想表示23。

3

2-1 十進位數

十進位數中每個數字的位置能指出所表示數值的大小

，同時也各代表一特定的權數。整個數值中各位值的權數 由右到左呈10的正冪次方遞增，由開始10⁰=1。

……10⁵ 10⁴ 10³ 10² 10¹ 10⁰

如果是小數的話，其各位值的權數就是由左向右呈10的負 冪次方遞減，由10^-1開始。

102 10¹ 10 .10^{0 1} 10^2 10^3 小數點

例題一

1.分別將下列十進位數中，各個數字所表示的數值寫出來 (a)471 (b)9356 (c)125,000

5

2-2 二進位數

二進位數系統是另一種量的表示法。二進位數的權 數是以2的冪次方來表示的。

 以二進位計數。

 求出某一已知位元數所能表示的最大十進位數。

 將一二進位數轉換為十進位數。

以二進位數計算

十進位數 二 進 位 數

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

2 0 0 1 0 3 0 0 1 1

4 0 1 0 0 5 0 1 0 1

6 0 1 1 0 7 0 1 1 1

8 1 0 0 0 9 1 0 0 1

10 1 0 1 0 11 1 0 1 1

12 1 1 0 0 13 1 1 0 1

14 1 1 1 0 15 1 1 1 1

表2-1 由表2-1可知，由0計數到15 得用到四個位元。大致上，以n 個位元便可計數到 個數。

最大十進位數

舉例來看，以5個位元 (n = 5) 就 可以由0計數到31。

2ⁿ 1 2ⁿ 1

 

25  1 32 1  31

7

二進位數的權數結構

二進位數也有其權數。最右邊的位元是整個二進位數 的最低有效位元 (the least significant bit, LSB)，其權數為

。二進位數的權數依各個位元由右向左以2的正冪 次方遞增。最左邊的位元為最高有效位元 (the most

significant bit, MSB)，其權數由二進位數的位元個數來決 定。

2

 1

1 3 2 1 0 1 2

2^n 2 2 2 2  2^ 2^ 2^n

二進位小數點

二進位對十進位轉換

2-3

將二進位整數1101101轉換為十進位數。

解:

先決定位元值等於1的各個權數，再將權數相加便 可得到其十進位數。

權數： 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰ 二進位數： 1 1 0 1 1 0 1

例題二 將二進位數10010001轉換為十進位。

6 5 3 2 0

1101101 2 2 2 2 2 64 32 8 4 1

    

      109

9

二進位對十進位轉換

2-4

將二進位小數0.1011轉換為十進位數。

解：

解 先決定位元值為1的各個權數，再將各權數相加即 可得到十進位小數。

權數： 2^-1 2^-2 2^-3 2^-4 二進位數： 0 . 1 0 1 1

例題三 將二進位數10.111轉換為十進位數。

1 3 4

0.1011 2 2 2

0.5 0.125 0.0625

  

  

    0.6875

例題四

4.將下列二進位數轉換為十進位數：

(a)11 (b)100 (c)111 (d)1000 (e)1001 (f)1100 (g)1011 (h)1111

11

例題五

5.將下列二進位數轉換為十進位數：

(a)1110 (b)1010 (c)11100 (d)10000 (e)10101 (f)11101 (g)10111 (h)11111

例題六

6. 將下列二進位數轉換為十進位數：

(a)110011.11 (b)101010.01 (c)1000001.111 (d)1111000.101 (e)1011100.10101 (f)1110001.0001 (g)1011010.1010

(h)1111111.11111

13

反覆除以2的轉換法

十進位數12轉換為二進位數的步驟。

將十進位小數轉換成二進位數

反覆乘以2的轉換法 十進位小數則可以用反覆乘以2的方 法來轉換為二進位數。將十進位小數0.3125轉換為二進位 數。

15

例題七

7.利用權數和法，將下列各十進位數轉換為二進位數：

(a)10 (b)17 (c)24 (d)48 (e)61 (f)93 (g)125 (h)186

例題八

17

8. 利用反覆除以2的方法，將下列十進位數轉換為二進位數：

(a)15 (b)21 (c)28 (d)34 (e)40 (f)59 (g)65 (h)73

例題九

9.利用權數和法，將下列各十進位小數轉換為二進位數：

(a)0.32 (b)0.246 (c)0.0981

例題十

19

11.利用反覆乘以2的方法，將下列十進位數轉換為二進位數：

(a)0.98 (b)0.347 (c)0.9028

二進位數的加法

2-6

做下列各二進位數的加法運算：

(a)11 + 11 (b)100 + 10 (c)111 + 111 (d)110 + 100 解：

對應的十進位數加法並列在旁，提供參考。

(a) (b)

(c) (d)

例題十一 計算1111 + 1100的和。

11 3

11 3

6

 

110

100 4 10 2 6

 

110 111 7

11 3 10

 

1010

110 6 100 4 10

 

1010

例題十二

21

12.將下列二進位數相加：

(a) 11 + 01 (b) 10 + 10 (c)101 + 11

(d) 111 + 110 (e)1001 + 101 (f)1101 + 1011

二進位數的減法

2-7

計算下列二進位數的減法：

(a)11 - 01 (b)11 – 10 解：

解(a) (b)

此例題中不須用到借位的算法。二進位數01就等 於是1。

例題十三 計算111 - 100。

11 3

01 1

2

 

10

11 3 10 2 1

 

01

例題十四

23

14.以直接減法，執行下列二進位數的減法運算：

(a)11 – 1 (b)101 - 100 (c)110 - 101

(d)1110 - 11 (e)1100 - 1001 (f)11010 – 10111

二進位數的乘法

二位元值相乘的四個基本法則：

0  0 = 0 0  1 = 0 1  0 = 0 1  1 = 1

例題十五

25

15. 執行下列二進位數的乘法運算：

(a)11  11 (b)100  10 (c)111  101

(d)1001  110 (e)1101  1101 (f)1110  1101

二進位數的除法

二進位數的除法和十進位數的除法步驟相同。

2-10

執行下列二進位數的除法運算：

(a)110  11 (b) 110  10 解：

(a) (b)

例題十六 計算1100除以100。

11 110 11

000

10 2

3 6 6 0

10 110 10

10 10 00

11 ₃

2 6 6 0

例題十七

27

17. 執行下列二進位數的除法運算：

(a)100  10 (b)1001  11 (c)1100  100

找出二進位數的1’s補數

將二進位數中所有位元值為1的改為0，為0的改為1，

就可得到此二進位數的1’s補數，方法如下：

1 0 1 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1 1 0 1 1 s

       

二進位數

， 補數

找出二進位數的2’s補數

在1’s補數的LSB加1，就可得到二進位數的2’s補數。

2’s補數 = (1’s補數 ) + 1

2-11

求出10110010的2’s補數。

解：

例題十八 求出11001011的2’s補數。

10110010

01001101 1 s

1 1

2 s



01001110

二進位數 補數 加

補數

，

，

29

例題十九

19.不限方式，求出下列二進位數的2＇s補數：

(a)10 (b)111 (c)1001 (d)1101 (e)11100 (f)10011 (g)10110000 (h)00111101

2-6 有號數

數位系統必須能處理正數和負數。有號二進位數包含 有符號和數字兩部分資訊。以二進位形式表示有號整數的 方法有三種：符號 - 數字、1’s補數、2’s補數。

31

1’s補數表示法

1’s補數表示法中，正數和有號數的正號－數字寫法一 致。而負數則是相對於正數的1’s補數。十進位數 -25就等 於是 +25 (00011001) 的1’s補數，其寫法如下：

11100110

在1’s補數表示法中，負數等於其對應正數的1’s補數。

2’s補數表示法

2-12

以八個位元將十進位數 -39用有號數、1’s補數、

2’s補數等表示法表示出來。

解：

解 首先，以八個位元表示出 +39的二進位數。

00100111

有號數表示法中，只要將原符號位元由0改為1，

其餘位元保留不變。其寫法為：

10100111

33

2’s補數表示法

11011000 1 s 1

2 s



11011001

補數 補數

，

，

1’s補數表示法中，取 +39 (00100111) 的1’s補數即為 -39的寫法：

11011000

2’s補數表示法中，取 +39 (00100111) 的2’s補數即為 -39的寫法：

例題二十 以有號數、1’s補數、和2’s補數分別表示出 +19和 -19。

例2-12 (續)

有號數的十進位數值

2-13

以符號 - 數字表示法所表示的有號二進位數 10010101，其十進位數值為多少？

解：七個位元數字，及各位元權數如下：

將位元值為1的所有權數加起來，

16 + 4 + 1 = 21

符號位元為1，代表負數，故此十進位數值為 -21。

例題二十一 求出有號數01110111的十進位數值。

6 5 4 3 2 1 0

2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 1 0 1

35

有號數的十進位數值

2-14

將下列以1’s補數表示的s有號二進位數的十進位數 值計算出來：

(a)00010111 (b)11101000 解：

(a)此正數的各個位元值及以2的乘冪值表示的權數分別 如下：

將位元值等於1的各個權數相加，

16 + 4 + 2 + 1 = +23

有號數的十進位數值

2-14 (續)

(b)此負數的各個位元值及以2的乘冪值表示的權數分 別如下：注意，負號位元的權數為 ，即 -128。

將位元值等於1的各個權數相加，

-128 + 64 + 32 + 8 = -24

再將所得結果加1，最後的十進位數值為 -24 + 1 = -23

例題二十二 計算1’s補數11101011的十進位數值。

27



7 6 5 4 3 2 1 0

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 1 0 0 0



37

有號數的十進位數值

2-15

計算下列以2’s補數表示的有號二進位數的十進 位數值：

(a)01010110 (b)10101010 解:

(a)此正數各個位元值和其權數如下：

將位元值為1的各個權數加起來，

64 + 16 + 4 + 2 = +86

7 6 5 4 3 2 1 0

2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 0 1 0 1 1 0



有號數的十進位數值

2-15 (續)

(b)此負數的各個位元值及其權數如下。注意負號位 元的權數為 ，即 -128。

將位元值等於1的各個權數加起來，

-128 + 32 + 8 + 2 = -86

例題二十三 計算2’s補數11010111的十進位數值。

27



7 6 5 4 3 2 1 0

2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0



39

例題二十四

24. 將下列十進位數以8位元的符號數字碼表示成二進位數：

(a)+29 (b)-85 (c)+100 (d)-123

例題二十五

41

25. 以1＇s補數表示法將下列十進位數寫成8位元的數碼：

(a)-34 (b)+57 (c)-99 (d)+115

例題二十六

26. 以2＇s補數表示法將下列十進位數寫成8位元的數碼：

(a)+12 (b)-68 (c)+101 (d)-125

例題二十七

43

27. 求出下列以符號數字表示法寫成的有號二進位數所代表的 十進位數值：

(a)10011001 (b)01110100 (c)10111111

例題二十八

28.求出下列以1＇s補數表示法寫成的有號二進位數所代表的 十進位數值：

(a)10011001 (b)01110100 (c)10111111

例題二十九

45

29.求出下列以2＇s補數表示法寫成的有號二進位數所代表的 十進位數值：

(a)10011001 (b)01110100 (c)10111111

加法運算

發生溢位的情形 當兩數相加，而且表示和數所須的位元 數大於加數或被加數的位元數，符號位元的位元值又不正 確時，這種情形就稱為溢位 (overflow)。兩數皆為正或皆 為負時才會發生溢位。

01111101 125 00111010 58 10110111 183

 

符號錯誤 數字大小也有錯誤

2-7 有號數的數學運算

減法運算

減法可說是加法的特例。舉例來說，+9 ( 被減數 ) 減 去 +6 ( 減數 ) 就等於 +9加上 -6。

兩有號數相減時，取減數的2’s補數，再與被減數相 加，若有進位，也要捨棄。

47

乘法運算

乘法運算中的數，分別為被乘數 (multiplicand)，乘 數 (multiplier)，與積 (product)。

利用加法執行乘法運算的兩個基本方法為直加法 (direct addition) 與部分乘積法 (partial products)。

兩二進位數相乘時，必須以二進位原形 ( 非補數形 ) 來執行。

8 3 24

 被乘數

乘數

積

乘法運算

部分乘積法。

2-19

執行有號二進位數的乘法：01010011乘以 11000101。

解：

步驟1. 被乘數的符號位元為0，乘數的符號位元為1。

故積的符號位元應為1 ( 負 )。

步驟2. 取乘數的2’s補數使之回復為二進位原形。

11000101  00111011

49

乘法運算

2-19 (續)

步驟3. 和4. 開始進入乘法運算。注意到式中所列出的僅限於數字位

元。 _1010011

0111011 1010011 1010011 11111001 0000000 011111001 1010011 1110010001 1010011

100011000001 1010011

1001100100001 0000000

1001100100001















被乘數 乘數

第一部分乘積 第二部分乘積

第一、二部分乘積和 第三部分乘積

和

第四部分乘積 和

第五部分乘積 和

第六部分乘積 和

第七部分乘積 最後乘積

乘法運算

2-19 (續)

步驟5. 在步驟1中已決定出乘積的符號位元為1，所以取 乘積的2’s補數。

例題三十 將上例乘式中的二進位數轉換為十進位數，

再以十進位數做一次乘法運算，驗證上例的結果是否正 確。

再加上符號位元 1001100100001 0110011011111 1 0110011011111

51

除法運算

2-20

計算01100100除以00011001。

解：

步驟1. 兩數的性質符號皆為正，所以商亦為正。商一 開始為零：00000000。

步驟2. 利用2’s補數加法由被除數減去除數 ( 記得捨去 最後的進位值 )。

商數加1：00000000 + 00000001 = 00000001

01100100

11100111 2 s 01001011



被除數

除數的 ， 補數

第一個部分餘數為正

除法運算

2-20 (續)

步驟3. 利用2’s補數加法由第一部分餘數減去除數。

商數加1：00000001 + 00000001 = 00000010

步驟4. 利用2’s補數加法，由第二部分餘數減去除數。

商數加1：00000010 + 00000001 = 00000011

01001011

11100111 2 s 00110010



第一個部分餘數 除數的 ， 補數 第二部分餘數為正

00110010

11100111 2 s 00011001



第二部分餘數 除數的 ， 補數 第三部分餘數為正

53

2-20 (續)

除法運算

步驟5. 利用2’s補數加法，由第三部分餘數減去除數。

商數加1：00000011 + 00000001 = 00000100 ( 最 後的商 )。除法運算全部完成。

例題三十一 將上例中的二進位數轉換為十進位數，重新 執行除法運算，驗證其結果是否正確。

00011001

11100111 2 s 00000000



第三部分餘數 除數的 ， 補數

餘數為零

例題三十二

55

32.將下列各組十進位數轉換為二進位數後，再以2＇s補數形式 相加：

(a)33和15 (b)56和 -27 (c)-46和25 (d)-110和 -84

例題三十三

33. 以2＇s補數形式執行下列減法運算：

(a)00110011 - 00010000 (b)01100101 - 11101000

例題三十四

57

34.以2＇s補數形式計算01101010乘以11110001。

例題三十五

35. 以2＇s補數形式計算01000100除以00011001。

2-8 十六進位數

十六進位數以十六 為基底，也就是說，它 是由十六個數字與文字 所組成的。

十進位數 二進位數 十六進位數

0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F

表2-3

59

十六進位數轉換為二進位數

2-22

求出下列各十六進位數所代表的二進位數：

(a) (b) (c)

解：

在 (a) 例中，最大有效位1的前面應有3個0，才能 形成4個位元。

例題三十六 將十六進位數6BD3轉換為二進位數。

10A4

CF8E

9742

(a)

1000010100100 4 A 0

1 (b)

1100111110001110 E 8

F

C (c)

1001011101000010 2 4

7 9

十進位數轉換為十六進位數

2-25

反覆將十進位數除以16，利用所得的餘數便可得到對等的十六進位 數。

以反覆除以16的方式，將十進位數650轉換為十六進位數。

解：十進位餘數的十六進位表示法：

例題三十七 將十進位數591轉換為十六進位數。

650 40.625 16 

40 2.5 16 

2 0.125 16 

0.625 16 10  

0.5 16 8 

0.125 16 2 

2 8 A 商的整數部分為

零時，即可停止 MSD LSD

十六進位數 2

8 A

十進位餘數的 十六進位表示法

61

利用2’s補數法執行十六進位數的減法運算

例如表示的十六進位數為 。此二進位數的2’s補 數為00110111，寫成十六進位數就是 。

C916

3716

2-27

執行下列十六進位數的減法運算：

(a) (b)

解：

(a)

的2’s補數為

16 16

84  2A C3

 0B

2A16  00101010

2A16 11010110  D6₁₆

利用2’s補數法執行十六進位數的減法運算

2-27 (續)

差為 。 (b)

的2’s補數

差為 。

例題三十八計算 減 的差。

16 16 16

84 D6

15A 2 s

 加

以 ， 補數做加法，做後要去掉進位

5A16

0B16  00001011

0B16

11110101 F516

 

16 16 16

C3 F5 1B8

 加

去掉進位數

B816

BCD16 173₁₆

63

8421碼

8421碼是BCD的一種。以二進位對十進位數編碼意即 用四位元的二進位碼來表示由0到9的十個十進位基底數。

8421的名稱來自四個位元分別代表的二進位權數 ( 2 , 2 , 2 , 2^{3 2 1 0} )。

表2-5 十進位數 /BCD之間的轉換

十進位數字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

BCD 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001

8421碼

無效碼 其實以4個位元，總共可以有十六個組合 ( 從0000 到1111)，但是8421碼只用了其中10個。沒用到的6個碼－

1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111－在8421 BCD碼中稱為 無效碼 (invalid code)。

65

8421碼

2-28

將下列十進位數轉換成BCD碼：

(a)35 (b)98 (C)170 (d)2469 解：

解

例題三十九 將十進位數9673轉換為BCD碼。

(a)

00110101 5

3 (b)

10011000 8 9

(c)

000101110000 0 7

1 (d)

0010010001101001 9 6

4 2

BCD碼的加法運算

BCD是一種數字碼，可以用來做算術運算。加法是最 重要的運算方式，因為其它三者 ( 減，乘，除 ) 都可以利 用加法運算來執行。

67

2-10 數位碼和同位

本節所介紹的代碼包括了格雷碼 (Gray code) 和ASCII 碼。利用同位位元檢測代碼是否有誤也涵蓋在本節內容中。

 說明格雷碼的優點。

 格雷碼和二進位碼的互換。

 使用ASCII碼。

 依據同位法判別代碼是否有誤。

格雷碼

1 0 1 1 0

1 1 1 0 1

     



     

    二進位數

格雷碼

二進位數轉換為格雷碼 二進位數和格雷碼之間的互換有 時很有用。下列準則說明二進位數轉換為格雷碼的方法：

1.格雷碼的最大有效位 ( 在最左邊 ) 和對照的二進位數最 大有效位是一樣的。

2.將二進位碼中的各個位元值由左向右每兩個依序相加以 得到格雷碼的下一個位元值。有進位的話，將進位值捨 去。

舉例來看，二進位數10110轉換為格雷碼的方式如下：

69

2-32

(a)將二進位數11000110轉換為格雷碼。

(b)將格雷碼10101111轉換為二進位數。

解：

(a)二進位數轉換為格雷碼：

1    1    0    0    0    1   1    0





      

1 0 1 0 0 1 0 1

格雷碼

2-32 (續)

格雷碼

(b)格雷碼轉換為二進位數：

例題四十 (a) 將二進位數101101轉換為格雷碼；(b) 將 格雷碼100111轉換為二進位數。

 

1

 1

0

 0 0

 1

1

 0

1

 1

1

 0

1

 1

1

 0

    

71

文字與數字代碼

要傳達訊息，不只須要數字，還須要文字和符號。

ASCII碼

美國資訊交換標準碼 (American Standard Cord for Information Interchange, ASCII)，唸作 “askee”－是大 部分電腦和其它電子儀器中公認的文字數字碼。

ASCII利用7位元的二進位碼來表示128個指令與符 號。

以同位法檢測錯誤

偶 同 位 奇 同 位

P BCD P BCD

0 0000 1 0000 1 0001 0 0001 1 0010 0 0010 0 0011 1 0011 1 0100 0 0100 0 0101 1 0101 0 0110 1 0110 1 0111 0 0111 1 1000 0 1000 0 1001 1 1001

表2-10 由表2-10列出每個BCD數

要形成偶或奇同位所須的同位 位元，可以看出在數碼上附加 同位位元的方法。各個BCD數 的同位位元列在標示P的欄中。

同位位元可以附加在代碼 的開頭或末端，端視系統的設 計而定。注意1的總數 ( 包含 同位位元在內 ) 在偶同位時要 恆為偶數，在奇同位時則要恆 為奇數。

73

以同位法檢測錯誤

2-34

對下列各位元組指定一個適當的偶數同位位元：

(a)1010 (b)111000 (c)101101 (d)100011100101 (e)101101011111

解：視情形在各代碼中加入同位位元1或0，使整個代 碼中1的個數為偶數。同位位元在最左邊。

(a)01010 (b)1111000 (c)0101101 (d)0100011100101 (e)1101101011111