平面水池非線性方向造波之研究

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

平面水池非線性方向造波之研究

計畫類別： 個別型計畫

計畫編號： NSC93-2611-E-006-012-

執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日 執行單位： 國立成功大學水利及海洋工程學系（所）

計畫主持人： 李兆芳

計畫參與人員： 陳俊瑋、陳伯義

報告類型： 精簡報告

報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 94 年 8 月 1 日

中 文 摘 要

本研究目的在對平面水池非線性方向造波問題提出二階理論解。波浪場是利用勢能波浪理論描 述，所求解非線性問題則利用泰勒級數展開，配合攝動法將問題表示成第一階和第二階問題。延伸 劉(2002)所提出求解斷面水槽造波理論之方法直接求解平面水池非線性方向造波理論，並且利用複 數推導理論。在第二階解過程中，由於自由水面及造波板運動均為非齊性之邊界條件，因此第二階 解必須分離成第二階 Stokes 波以及第二階自由波。

本研究所提出之理論解可以降階成斷面水槽造波問題之表示式。由本文之理論指出隨著方向角 度增加則振幅會隨著增大，亦表示可以更有效的造波。對於動量傳輸之問題，在 x 方向上之動量傳 輸分量其值為零，然而在

y

方向上應存有一反向淨值之動量傳輸分量，可以在平面水池中產生環流 之問題。當方向角度及造波衝程較小，本研究理論與試驗比較可以得到很好的模擬結果。另一方面，

當方向角度及衝程較大，由於實際造波機為有限寬度之造波板連續運動，因此理論解與試驗結果有 明顯的差異。

ABSTRACT

In this study, a nonlinear directional wavemaking problem in the plane wave basin is solved analytically up to the second-order. The potential wave theory is used to describe the wave motion.

Under the assumption of steady and periodic motion, the corresponding boundary-value problem is written into the first-order and the second-order problems, using the Taylor series expansion and the perturbation method on the free surface and the wavemaker boundaries. A solution method developed by Liu (2002) for the two-dimensional wavemaker problem is applied directly for the present problem, in which complex variables are used in the derivations. In the second-order solution, because of the nonhomogeneous conditions imposed on the free surface and the wavemaker, the solution has to be divided into a Stokes wave solution and a free wave solution.

The present analytic solution can be reduced into exactly the same expression for the two-dimensional wavemaker problem. The present theory indicates that with the increased directional angle the generated wave amplitudes can be increased, which means the wavemaking can be more effective. The momentum transport in the direction perpendicular to the wavemaker is null, however, in the parallel direction there is a net mass transport moves away from the wave field, which can cause circulation problem in the wave basin. The present theory compared very well with the experimental results for cases of small wave angles and wavemaker amplitudes. On the other hand, for large wavemaker motions the discrete and finite paddle sizes of the wavemaker are not negligible, large discrepancies are observed between experiments and present analytic solution.

一. 前言

實際海面波浪具有方向性，在平面水池中造出具有一定入射方向的波浪對於模擬真實海面波浪 來說是相當重要的。方向造波理論分析主要困難處，除理論解析過程外，在問題求解中還牽涉到變 動的造波邊界條件和自由表面邊界條件，以及此等邊界上之非線性條件。因此探討非線性方向波浪 之特性已成為一種趨勢潮流，進而提供海洋工程設計分析之參考。

二. 研究方法

本研究沿用劉(2002)之斷面水槽直擺式造波之二階理論架構，進一步推導平面水池非線性方向 造波理論之完整解析。利用複數推導理論，造波板位移函數以通式型態表示，包括直擺式及直推式 運動對平面水池方向造波問題進行分析。

2-1 問題之描述

在等水深

h

之水池中，造波板以正弦函數作造波運動於

y

軸上。定義座標系統，x 軸向右為正，

z

軸向上為正，

y

軸為造波板運動無限延伸。

z = 0

表示為靜水面，造波板位於

x = 0

處。當造波板 作週期性運動時，造波板之位移函數以通式型態可表示成

] exp[

] exp[

2 1 ) , ,

(

⁰

i

₀

y i t

l h

z t iS

z

y λ ω

ξ  −



 



 + +

=

，

− h ≤ z ≤ 0 (2-1)

式中S 為於自由水面處造波板擺動之最大衝程，l 為底床高程，₀

λ

₀為 y 方向上造波板運動之週波數，

−

1

=

i 為純虛數，

ω =

²

π

T 為角頻率， T 為造波板運動週期。當l

→ 0

時，

(2-1)

式視為直擺式

(flap-type)

造波板運動，當l

→ ∞

時，

(2-1)

式可視為直推式

(piston-type)

造波板運動。

假設考慮水體為不可壓縮且無黏滯性流體，流體之運動為非旋流，則可定義一勢函數

(potential function) Φ ( x , y , z , t )

來描述流體之運動，流體速度為

) , , , ( )

, , ,

( x y z t x y z t

V ρ = −∇ Φ

(2-2)

式中

V ρ ( x , y , z , t )

為流體速度向量，

∇

為梯度運算子

(gradient operator)

。求解平面水池造波之邊界問 題可寫出為

2

Φ = 0

∇

，

− h ≤ z ≤ 0 (2-3)

=

0

Φ

−

z

，

z = − h (2-4)

0 ) ( )

2 (

1 Φ

2

+ Φ

2

+ Φ

2

+ + + = +

Φ

− P B t

z

g

y x

t

η ρ

^，

^z = η ^{( x , y , t )} (2-5)

y y x x t

z

= η − Φ η − Φ η

Φ

−

，

z = η ( x , y , t ) (2-6)

z z y y t

x

= ξ − Φ ξ − Φ ξ

Φ

−

，

x = ξ ( y , z , t ) (2-7)

式中

P

為動壓力，一般波動在表面與大氣壓力接觸時為

P = 0

，

g

為重力常數，

B (t )

為柏努利常數

(bernoulli constant)

，下標表示微分。上述各方程式中

(2-3)

式為控制方程式，

(2-4)

式為底床邊界條件

(bottom boundary condition)

，

(2-5)

式及

(2-6)

式分別為自由表面動力邊界條件

(kinematic boundary condition)

及運動邊界條件

(dynamic boundary condition)

，

(2-7)

式為造波板運動邊界條件

(wavemaker boundary condition)

。

此外，在解析求解上於 x 無窮遠處，波浪向外傳遞滿足輻射邊界條件

(radiation condition)

，而 且理論求解上波浪必須為有限值。

2-2 理論解析

先對控制方程式

(2-3)

式、底床邊界條件

(2-4)

式、自由水面邊界條件

(2-5)

式與

(2-6)

式及造波板運

動邊界條件

(2-7)

式以泰勒級數作展開，然後再將攝動法代入展開成各階表示式。此外，第一階波形

η

1滿足平均水位為零之條件，因此當第一階解

η

₁^及

Φ

1均為時間之週期函數時，對第一階波形取時 間週期積分平均，可得到柏努利常數B 等於零。 ₁

第一階邊界值問題屬於齊性

(homogeneous)

，可以利用分離變數法

(separation of variables)

直接求 解。第二階邊界值問題因自由水面邊界條件及造波板運動邊界條件均為非齊性

(nonhomogeneous)

， 故於求解過程須另外作處理。

2-3 第一階解

由於造波板作穩定週期性運動，所造出之波浪具有與造波板運動相同之頻率，由於所求解問題 為等水深，邊界

z = 0

及

z = − h

均不為 x 、

y

的函數，且邊界條件都為齊性。因此利用分離變數法

(separation of variables)

。因此得到第一階速度勢

Φ

₁為

∑^∞

=

− +

− + +

= Φ

0

0 2

0 2 1 2 1

0 2 1

1

cos[ ( )] exp[ ] exp[ ] exp[ ]

n

n n

n

n

k z h k x i y i t

k

T λ λ ω

λ

(2-8)

以及第一階波形

η

₁^為

] exp[

)]

( exp[

]

cosh[

_{1 1}^{2 2}_{0 0}

2 0 2 1

0

1

K h i K x y i t

K g

T λ λ ω

λ

η ω − + −

= −

∑^∞

=

− +

+ −

−

1

0 2

0 2 1 2 1

0 2 1

] exp[

] exp[

] exp[

] cos[

n

n n

n

n

k h k x i y i t

k g

T

i λ λ ω

λ

ω

(2-9)

在理論推導的限制上， x 方向的週波數K 必須大於₁

y

方向的週波數

λ

₀。

(2-9)

式中右邊第一項表示向前傳遞之進行波

(propagating wave)

，第二項級數項

n ≥ 1

表示隨著 x 增加 而指數遞減之振盪波

(evanescent wave)

。若第一階進行波之波形為

] cos[ ₁^{2 2}_{0 0}

1

1^p a^p K

λ

x

λ

y

ω

t

η = − + −

(2-10)

式中

a

₁^p為第一階進行波之振幅，則

a

₁^p等於

2 0 2 1

1 0

1

] cosh[

λ ω

= −

K g

h K

a

^p

T (2-11)

假設波浪進行方向與 x 軸夾角之方向角度為

θ

_n，利用三角函數之關係。進行波之 x 分量波數為

0 1 2 0 2

1

λ

^K cos

θ

K

− =

，

y

分量波數為

λ

₀

= ^K

₁

sin θ

₀，振盪波 x 分量波數為 k_n

λ

k1_n^cos

θ

_n

2 0 2

1

+ =

，

y

分

量波數為

λ

0

= ik

1_n

^sin θ

_n，於理論限制上

θ

₀必須小於

90 °

。則

(2-9)

式波形

η

₁表示式，亦可改寫為以方 向角度

θ

_n形式表示式為

] exp[

)]

sin cos

( exp[

] cosh[

cos ₀ ^{1 1 0 1 0}

1 0

1 K h i K x K y i t

gK

T

θ θ ω

θ

η = ω ⋅ + ⋅ −

∑^∞

=

−

⋅ +

⋅

−

−

1

1 1

1 1

] exp[

)]

sin cos

( exp[

] cos cos[

n

n n n

n n

n n

n k h k x k y i t

gk T

i

θ θ ω

θ

ω

(2-12)

2-4 第二階解

由於第二階邊界值問題中，自由水面邊界條件及造波板運動邊界條件均為非齊性之邊界條件，

因此求解理論解時必須將第二階速度勢

Φ

₂分離成由非齊性自由水面邊界引起之第二階速度勢

s

Φ

2，以及由非齊性造波板運動邊界引起之第二階速度勢

Φ

₂^f ，即將第二階速度勢表示為

f s

2 2

2

= Φ + Φ

Φ (2-13)

由於本研究以複數型態推導理論，為了避免複數第一階虛部相乘產生不真實之實部，以通式來 看第一階解相乘後，其結果仍以複數型式表示時，正確之表示式分為兩個部分，一為含時間

] 2

exp[ − i ω t

之表示式，另一為不含時間之表示式。

(1)

與時間

exp[ − i 2 ω t ]

有關之第二階解

Φ

₂^s*及

Φ

₂^f*

由於

Φ

₂^s*為自由水面非齊次項引起之第二階解，因此依據週波數函數型態知其為第一階相乘 項，且滿足底床邊界條件，故第二階之解

Φ

₂^s*可表示為

] 2 exp[

] 2 exp[

] 4 ) ( exp[

)]

(

cos[

_{2 2} ^{2 2}_{0 0}

0 0

2

*

2

C

_nm

z h

_nm

x i y i t

n m

s nm

s

= α ⋅ + − α + λ λ − ω

Φ ∑∑

^∞

=

∞

=

(2-14)

由造波板運動邊界非齊次項引起之第二階解

Φ

₂^f*，因其滿足齊性之自由水面第二階邊界條件，

故求解方法與第一階解相同，即利用分離變數法求得

Φ

₂^f*為

∑

^∞

=

− +

− +

= Φ

0

0 2

0 2 2 2

2

*

2

cos[ ( )] exp[ 4 ] exp[ 2 ] exp[ 2 ]

r

r r

f r

f

C k z h k λ x i λ y i ω t ^(2-15)

(2)

與時間無關之第二階解

φ

₂^s及

φ

₂^f

依據週波數函數型態知其為第一階相乘項，且滿足控制方程及底床邊界條件，故第二階之解

φ

₂^s 可表示為

∑

^∞

=

+

− + +

+

− +

=

1

2 0 2 1 2 0 2 10 2

0 2 1 2 0 2 10 1

2

cos[( )( )] exp[( ) ]

n

n n

s n

s

D k λ k λ z h k λ k λ x

φ

] 2 exp[

] 2 exp[

)]

)(

cos[(

₁^{2 2}_{0 1}^{2 2}_{0 0}

0 1

2

k k z h i y i t

D

_{n m}

n m

s

nm

+ λ + + λ + λ − ω

+ ∑∑

^∞

=

∞

=

(2-16)

利用分離變數法，滿足控制方程式、底床邊界條件及自由水面邊界條件之解

φ

₂^f 為

∑

^∞

=

− +

+

=

1 2 20

2

cos[ ( )] exp[ ]

r

r r

f r f

f

D x D µ z h µ x

φ ^(2-17)

2-5 自由水面波形變化量

由前述理論解析得知造波板運動所造出之波形

η

，若考慮到二階解，則包括第一階波形

η

₁^加上 第二階波形

η

₂^{，其中第二階波形}

η

2包含自由水面非齊性邊界條件引起之第二階波形

η

₂^s以及由造波 板運動非齊性邊界條件所引起之第二階波形

η

₂^f。基本上，由自由水面第二階波形

η

₂^s之邊界條件可 知其為強制波

(forced wave)

型式，此強制波波形包含與時間

exp[ − i 2 ω t ]

有關之成份波以及與時間無 關之成份波，即

] 2 exp[

] 2 exp[

] ) (

exp[

₁^{2 2}_{0 1}^{2 2}_{0 0}

0 0

2

2

A k

_n

k

_m

x i y i t

n m

s nm

s

λ λ λ ω

η = ∑∑

^∞

− + + + −

=

∞

=

] ) exp[(

₁₀^{2 2}_{0 1}^{2 2}₀

1

2

k k x

A

_n

n s

n

+ λ − + λ

+ ∑

^∞

=

] ) (

exp[

₁^{2 2}_{0 1}^{2 2}₀

0 1

2

k k x

A

_{n m}

n m

s

nm

− + λ + + λ

+ ∑∑

^∞

=

∞

=

(2-18)

由造波板運動邊界條件所引起之第二階波形

η

₂^f，因其滿足二倍頻之波浪分散關係式，因此亦 可稱為自由波

(free wave)

，其波形與時間

exp[ − i 2 ω t ]

有關的部份可以表示為

exp[

₂²

4

²₀

] exp[ 2

₀

] exp[ 2 ]

0 2

2

a k

_r

x i y i t

r f

r

f

λ λ ω

η = ∑

^∞

− + −

=

(2-19)

因此，造波板運動所產生之自由水面變化至二階解之波形

η

可表示為

η = η

₁

+ η

₂^s

+ η

₂^f

(2-20)

2-6 造波水池中之動量傳輸

動量傳輸在

Euler

座標系統下之計算方法，可以定義為

∫

−

=

^η

ρ

h

V dz

M ρ ρ

(2-21)

式中

ρ

為流體之密度，V

ρ

為主波向之速度向量，

•

表示為時間週期平均。由因次來看

M ρ

可以稱之 為波向上單位面積之動量

(momentum)

。由於波向上單位面積之動量包含 x 分量及

y

分量，因此可分 別表示為

∫

−

=

^η

ρ

x h

udz

M

(2-22)

∫

−

=

^η

ρ

y h

vdz

M

(2-23)

由於

(2-22)

式及

(2-23)

式之積分上限為變動量，因此利用泰勒級數展開至

z = 0

之位置上，再代入水

平速度計算至第二階。

將第一階解

η

₁^、u 、1 v 代入，可分別得到波浪場中與時間有關 x 分量及₁

y

分量上單位表面積之 動量表示為

ω λ ρ

λ ρω

2 ) ] (

[ 2 cos

Re

2 0 2 1 2 1 10

2 2 10 2 0 2

10

−

 =

 





 

 +

−

Φ

= g a K

h g k

C k

M i

p

xp

(2-24)

] ) exp[(

] cos[

] 2 cos[

Re

_{10 1 10}^{2 2}_{0 1}^{2 2}₀

1

1 10 2 0 2

10

k h k h k k x

g

C C k

M i

_{n n}

n

n

xe

ρω λ ₊ λ _{− +} λ



 

 +

−

= ∑

^∞

= Φ



  + 

+ + + −

− ∑∑

^∞

=

∞

=

] ) (

exp[

] cos[

] 2 cos[

2 0 2 1 2 0 2 1 1

1

0 1

1 1 2 0 2

1

k h k h k k x

g

C C k

i

m n

m n

n m

m n

m

λ λ λ

ρω (2-25)

ω λ ρ

ρωλ

2 ) ] (

[ 2 cos

Re ⁰

2 1 10

2 2 10 0

p

yp

a h g

g k

M C

=









−

Φ

=

(2-26)

] ) exp[(

] cos[

] 2 cos[

Re

_{10 1 10}^{2 2}_{0 1}^{2 2}₀

1

1 10

0

k h k h k k x

g C

M C

_{n n}

n

n

ye

ρωλ ₊ λ _{− +} λ



=



∑

^∞

= Φ



+



+ +

− + ∑∑

^∞

=

∞

=

] ) (

exp[

] cos[

] 2 cos[

2 0 2 1 2 0 2 1 1

1

0 1

1 1

0

k h k h k k x

g C C

m n

m n

n m

m

n

λ λ

ρωλ (2-27)

當波浪遠離造波板，在波向上單位表面積動量，可由

(2-26)

式及

(2-27)

式表示為

C K E a M g

M M

p

yp

xp

+ = =

=

^{Φ Φ}

ω ρ

2 ) ) (

( )

(

¹

2 2 1

2

(2-28)

式中

E

為波向上單位表面積之平均能量，

C

為波向上之波速。

(2-28)

式即為波浪單位表面積之動量 傳輸

(momentum transport)

，亦稱單位寬度之質量傳輸率

(mass transport flux)

，或可稱為

Stokes drift

。 波浪在傳遞過程中，水粒子運動存在與波向上同向之漂移速度，此一漂移速度所引起之動量傳遞現 象即為波浪之動量傳輸或質量傳輸率。

同理，將第二階與時間無關之速度

u

_2φ、

v

_2φ代入可得

{

^{D h}

}

M_xp^φ

=

Re

− ρ

₂₀^f

(2-29)

] ) exp[(

] ) sin[(

Re

₁₀^{2 2}_{0 1}^{2 2}_{0 10}^{2 2}_{0 1}^{2 2}₀

1

1

k k h k k x

D

M

_{n n}

n s

n

xe

ρ λ λ λ λ

φ

+ − + + − +





₋

= ∑

^∞

=

^sin[(

^{12 20 12 20}

^{) ] exp[ (}

^{12 20 12 20}

^{) ]} }

0 1

2

k k h k k x

D

_{n m n m}

n m

s

nm

λ λ λ λ

ρ + + + − + + +

+ ∑∑

^∞

=

∞

=

(2-30)

由文獻上可知，以動量守恆的觀點來說，在斷面水槽中第二階

Stokes

波引起波向上的動量傳 輸，而第二階自由波引起與波向相反的動量傳輸，此兩部分大小相等，其可由控制方程式解釋之。

將斷面水槽延伸至平面水池，遠離造波板之第二階

Stokes

波引起波向上的動量傳輸，由

(2-26)

式及

(2-27)

式可知波向上的動量傳輸包含 x 分量與

y

分量。遠離造波板之第二階自由波引起與波向相反

的動量傳輸，由

(2-29)

式可知在 x 分量有一反向的動量傳輸，另外由

(2-29)

式可知在

y

分量上並無動 量傳輸，此為造波板只往 x 方向運動，因此在

y

分量上應該存在有一反向的淨值

(net)

動量傳輸。

三. 方向造波試驗

本實驗的目的在提供與理論解析之計算結果作驗證，在理論解析計算中造波板之運動衝程需給 定，因此在試驗中實際造波板之運動衝程需加以量測。所以理論解析計算所需之條件必須完全由試 驗數據提供，以求理論解計算盡可能的模擬試驗情形。試驗是利用國立台灣海洋大學河海工程學系 海洋工程綜合實驗館內的平面造波水池進行，本文理論解析為規則波之方向造波理論，因此試驗亦 針對造出規則波作比較。

四. 結果與討論

本章內容將以第二章所推導之理論為基礎，探討平面水池非線性方向造波之特性。首先討論非

線性波之振幅比隨方向角度改變之變化。再探討第一階波形、第二階波形和二階合成波形隨方向角 度改變之波形變化。進一步探討波向上之動量傳輸隨方向角度改變之變化。最後並與平面造波試驗 之結果進行驗證。

圖

4-1

和圖

4-2

分別為直擺式造波及直推式造波第二階自由波與第二階

Stokes

波進行波之振幅 比隨方向角變化與無因次參數

Kh

之關係。當方向角度為

0

度，本研究之理論解與斷面水槽之結果 相同。由圖

4-1

可以看出，直擺式造波進行波之振幅比會隨著無因次參數

Kh

增加先減小再增大後 再減小然後趨近一定值。若以中間性水深而言，直擺式造波進行波之振幅比會隨著方向角度增加而 減小，相對的表示第二階自由波之非線性效應亦會隨著方向角度增加而變小，亦可說明直擺式造波 其第二階自由波對二階波形之影響將會隨著方向角度增加而越來越小。由圖

4-2

可以看出，直推式 造波進行波之振幅比會隨著無因次參數

Kh

增加而減小然後趨近一定值。若以中間性水深而言，直 推式造波進行波之振幅比會隨著方向角度增加而增大，相對的表示第二階自由波之非線性效應亦會 隨著方向角度增加而變大，亦可說明直推式造波其第二階自由波對二階波形之影響將會隨著方向角 度增加而越來越大。再由圖

4-1

和圖

4-2

的比較上，亦可說明造波板運動型式的改變，其振幅比會 隨著方向角度增加而會造成不同的結果。

由圖

4-1

可以看出，當無因次參數

Kh = 1 . 2

時之直擺式造波，第二階自由波隨著方向角度改變 對二階波形之影響最為明顯，因此以下選用之造波條件為

Kh = 1 . 2

、

S

₀

/ h = 0 . 3

、

h = 0 . 4 m 。

圖

4-3

和圖

4-4

方向角度分別為

0

度及

30

度時直擺式造波之波向上波形隨造波機前方位置之變化。當方 向角度為

0

度，本研究之理論解與斷面水槽之結果相同。由圖形可以看出，第一階之波形變化與第

二階

Stokes

波之波形變化會隨著方向角度增加而增大，第二階自由波之波形變化會隨著方向角度

增加而減少。整體而言，在此造波條件下二階合成波形和二階

Stokes

波之波形比較，在波峰與波 谷處有明顯不對稱和歪斜的現象產生，此一現象為第二階自由波非線性效應所引起，隨著方向角度 增加波形不對稱和歪斜之現象有減小的趨勢。

圖

4-5

為

Kh = 1 . 2

、

S

₀

/ h = 0 . 3

、

h = 0 . 4 m

之造波條件，直擺式造波方向角度改變波向上動量 傳輸隨造波機前方位置之變化。由圖形可以看出，在此一造波條件下，靠近造波板處由於有振盪波 之效應，隨著造波板距離的增加其動量傳輸有遞減的趨勢，大約在距離造波板位置

1

倍水深處振盪 波之效應已不存在，此時達到穩定之動量傳輸為進行波所引起。圖

4-6

為

Kh = 1 . 5

、

S

₀

/ h = 0 . 15

、

m 4 .

= 0

h

之造波條件，直推式造波方向角度改變波向上動量傳輸隨造波機前方位置之變化。由圖形 可以看出，在此一造波條件下，靠近造波板處由於有振盪波之效應，隨著造波板距離的增加其動量 傳輸有遞增的趨勢，大約在距離造波板位置

1

倍水深處振盪波之效應已不存在，此時達到穩定之動 量傳輸為進行波所引起。另外，靠近造波板處直擺式造波之振盪波動量傳輸有遞減，而直推式造波 動量傳輸有遞增之現象，此一現象為造波板運動型式不同所引起。由於本研究之理論所求解之波浪 場為已達到穩定週期性之波浪，因此在與試驗之驗證方面，主要是針對已達到穩定週期性之波浪作 討論。

圖

4-7

為方向角度為

0

度，週期

0.8

秒、造波衝程

0.023

公尺之時序列水位變化。由圖

4-7

可 看出，本研究之理論值與試驗值相當吻合。圖

4-8

為方向角度為

30

度，週期

0.8

秒、造波衝程

0.023

公尺之時序列水位變化。由圖

4-8

可以看出，當方向角度增加到

30

度時，本研究之理論值與試驗 值在波谷處有明顯非線性效應之影響，另外理論值在波峰和波谷處有明顯大於試驗值之現象。由於 本研究理論之造波板位移函數假設為平滑曲線，在實際試驗之造波板運動則為單片連續，當每片造 波板獨立運動時會產生波浪散射

(scattering)

之效應，此一散射效應造成每片造波板間漏損量

(leakage)

之影響，因此在波峰及波谷處理論值皆大於試驗值。

0 1 2 3 4 5

Kh 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5

Kh 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 5 10 15

x/h -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Stokes wave

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 5 10 15

x/h -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Stokes wave

°°°°

0 15 30 45

sp fp

a a

2 2

sp fp

a a

2 2

°°°°

0 15 30 45

圖 4-1 直擺式第二階自由波與 Stokes 波進行波之振幅 比隨方向角度變化與無因次參數 Kh 之關係

圖 4-2 直推式第二階自由波與 Stokes 波進行波之振幅 比隨方向角度變化與無因次參數 Kh 之關係

圖 4-4 直擺式造波之波向上波形隨造波機前方位置之 變化( θ = 30 ° ， Kh = 1 . 2 ， S

₀

h = 0 . 3 ， h = 0 . 4 m ) 圖 4-3 直擺式造波之波向上波形隨造波機前方位置之

變化( θ = 0 ° ， Kh = 1 . 2 ， S

₀

h = 0 . 3 ， h = 0 . 4 m )

0

2 1

S η

0

2

2

S η

s

0

2

2

S η

s

0

2

S

η

0

2

1

S

η

0

2

2

S

η

s

0

2

2

S

η

s

0

2

S

η

0 1 2 3 x/h

0 5 10 15

M

0 1 2 3

x/h 0

5 10 15

M

0 2 4 6 8 10

Time (sec) -0.03

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03

Surface elevation (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Time (sec) -0.03

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03

Surface elevation (m)

五. 結論

本章將綜合前述各章節，提出本文的結論，分述如下

1.

本研究之理論推導主要是由斷面水槽之造波問題延伸到平面水池之造波問題，當方向角度為 0 度時，本研究之計算結果與斷面水槽造波理論之結果相符。在相同造波條件下，振幅會隨著方 向角度的增加而增大。

2.

在第二階振幅比之特性上而言，若以中間性水深作討論，直擺式造波其第二階自由波對二階波 形之影響將會隨著方向角度增加而越來越小。而直推式造波其第二階自由波對二階波形之影響 將會隨著方向角度增加而越來越大。

3.

在動量傳輸的特性上來說，當有方向角度產生時，在平面水池中

y

方向上應存有一反向淨值之 動量傳輸，整個水池則會造成環流之問題。在靠近造波板處振盪波之影響，大約在距離造波板 位置

2

倍水深處其影響已經消失，此時達到穩定之動量傳輸為進行波引起。

4.

方向造波機之機制與方向角度、造波週期及衝程有相當密切的關連性。以本研究之試驗條件而 言，當方向角度由

0

度時，皆可得到很好的模擬結果。若方向角度持續增加，由於波浪散射效 應增強，實際造波板間漏損量之影響增大，在波峰及波谷處之水位變化理論值會高於試驗值。

圖 4-6 直推式造波方向角度改變之波向上動量傳 輸隨造波機前方位置之變化( Kh = 1 . 5 ，

15 .

0

h = 0

S ， h = 0 . 4 m )

圖 4-8 直推式造波之時序列水位變化( θ = 30 ° ^， sec

8 .

= 0

T ， S

₀

= 0 . 023 m ， h = 0 . 3 m ) 圖 4-7 直推式造波之時序列水位變化( θ = 0 ° ^，

sec 8 .

= 0

T ， S

₀

= 0 . 023 m ， h = 0 . 3 m ) 圖 4-5 直擺式造波方向角度改變之波向上動量傳

輸隨造波機前方位置之變化( Kh = 1 . 2 ， 3

.

0

h = 0

S ， h = 0 . 4 m )

°°°°

0 15 30 45

°°°°

0 15 30 45

試驗值 理論值

試驗值

理論值

六. 參考文獻

1. Brandini, C. and Grilli, S. (2001), Modeling of Freak Wave Generation in a 3D-NWT, Proceedings of the International Offshore and Polar Engineering Conference, Vol. 3, pp. 124-131.

2. Dean, R. G. and Dalrymple, R. A. (1984), Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists, Prentice-Hall Inc, Englewood Cliffs, New Jersey.

3. Kim, M. H. and Celebi, M. S. Kim, D. J. (1998), Fully Nonlinear Interactions of Waves with a Three-Dimensional Body in Uniform Currents, Applied Ocean Research, Vol. 20, pp. 309-321.

4. Park, J. C., Uno, Y., Sato, T., Miyata, H. and Chun, H. H. (2004), Numerical Reproduction of Fully Nonlinear Multi-Directional Waves by a Viscous 3D Numerical Wave Tank, Ocean Engineering, Vol.

31, pp. 1549-1565.

5. Schäffer, H. A. and Steenberg, C. M. (2003), Second-order wavemaker theory for multidirectional waves, Ocean Engineering, Vol. 30, pp.1203-1231.

6. Sulisz, W. and Hudspeth, R. T. (1993a), Complete Second-Order Solution for Water Waves Generated in Wave Flumes, J. Fluids and Structures, Vol. 7, pp. 253-268.

7. Sulisz, W. and Hudspeth, R. T. (1993b), Second-Order Wave Loads on Planar Wavemakers, J.

Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering, Vol.119, pp. 521-536.

8. Takayama, T. (1984), Theory of Oblique Waves Generated by Serpent-Type Wave-Maker, Coastal Engineering in Japan, Vol. 27, pp.1-19.

9. Wu, Y. C. and Dalrymple, R. A. (1987), Analysis of Wave Fields Generated by a Directional Wavemaker, Ocean Engineering, Vol. 11, pp.241-261.

10.

王豪偉、黃清哲和吳京(2004)，三維數值黏性波浪水槽之模擬，第二十六屆海洋工程研 討會議論文集，101-108 頁。

11.

尹彰、周宗仁、林炤圭、黃偉柏

(1998)

，平面造波水池之特性探討，第二十屆海洋工程研討會 議論文集，

95-102

頁。

12.

周宗仁、尹彰、林炤圭、黃偉柏

(1998)

，有關平面造波水槽內波場方向分佈函數的探討，第二 十屆海洋工程研討會議論文集，

80-86

頁。

13.

周宗仁、林騰威、翁文凱

(2004)

，三維數值水槽之開發與研究

(

Ⅰ

)

—理論推導與平行計算運用，

第二十六屆海洋工程研討會議論文集，

109-115

頁。

14. 李兆芳，劉正祺，藍元志

(1994)

，直擺式造波二階波浪特性，第十六屆海洋工程研討會議論文 集，

A60-A83

頁。

15. 劉正琪

(2002)

，波浪通過潛堤之二階理論解析，國立成功大學水利及海洋工程研究所，博士論 文。

16. 劉宗龍、雷清宇和黃智偉(2004)，數值波浪水槽之發展與應用，第二十六屆海洋工程研 討會議專題研究計畫，25-32 頁。