數學考科

103 學年度學科能力測驗試題

數學考科

作答注意事項

考試時間：100 分鐘

題型題數：單選題 6 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 H 題共 8 題

作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿 使用修正液(帶)。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案 者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能 不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一 個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

例：若第 B 題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是 8

3，則考生

必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 畫記，如：

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是 ⁷ 50

 時，則考生必須分別在答案 卡的第 20 列的 與第 21 列的 畫記，如：

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

3

 7

8

20 21 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

18 19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

20

21 ^{1 2 3 4 5 6 8 7 9 0  }

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

19 18

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 占 6 0 分 ） 一 、 單 選 題 （ 占 3 0 分 ）

說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記 在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多 於一個選項者，該題以零分計算。

1 . 請 問 下 列 哪 一 個 選 項 等 於 _{log 2}  ³⁵ ？ ( 1 ) ^{5log 2}

 

( 2 ) 3 5 log 2 ( 3 ) 5 log 2 log 3 ( 4 ) ^{5 log 2}





( 5 ) 3 log 2 ⁵

2 . 令 A(5, 0,12)、 ( 5,0,12)B  為 坐 標 空 間 中 之 兩 點， 且 令 P 為 xy 平 面 上 滿 足 PAPB13 的 點 。 請 問 下 列 哪 一 個 選 項 中 的 點 可 能 為 P ？

( 1 ) (5, 0, 0) ( 2 ) (5,5, 0) ( 3 ) (0,12, 0) ( 4 ) (0, 0, 0) ( 5 ) (0, 0, 24)

3 . 在 坐 標 平 面 上 ， 以 (1,1), ( 1,1), ( 1, 1)   及 (1, 1) 等 四 個 點 為 頂 點 的 正 方 形 ， 與 圓

2 2

2 2 1 0

x y  x y  有 幾 個 交 點 ？ ( 1 ) 1 個

( 2 ) 2 個 ( 3 ) 3 個 ( 4 ) 4 個 ( 5 ) 0 個

4 . 請 問 滿 足 絕 對 值 不 等 式 4x12 2x的 實 數 x 所 形 成 的 區 間 ， 其 長 度 為 下 列 哪 一 個 選 項 ？

( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ( 3 ) 3 ( 4 ) 4 ( 5 ) 6

5 . 設 (1 2)⁶ a b 2， 其 中 ,a b 為 整 數 。 請 問 b 等 於 下 列 哪 一 個 選 項 ？ ( 1 ) C₀⁶2C₂⁶2²C₄⁶2³C₆⁶

( 2 ) C₁⁶2C₃⁶2²C₅⁶

( 3 ) C₀⁶2C₁⁶2²C₂⁶2³C₃⁶2⁴C₄⁶2⁵C₅⁶2⁶C₆⁶ ( 4 ) 2C₁⁶2²C₃⁶2³C₅⁶

( 5 ) C₀⁶2²C₂⁶2⁴C₄⁶2⁶C₆⁶

6 . 某 疾 病 可 分 為 兩 種 類 型 ： 第 一 類 占 7 0 % ， 可 藉 由 藥 物 A 治 療 ， 其 每 一 次 療 程 的 成 功 率 為 7 0 %， 且 每 一 次 療 程 的 成 功 與 否 互 相 獨 立 ； 其 餘 為 第 二 類 ， 藥 物 A 治 療 方 式 完 全 無 效 。 在 不 知 道 患 者 所 患 此 疾 病 的 類 型 ， 且 用 藥 物 A 第 一 次 療 程 失 敗 的 情 況 下 ， 進 行 第 二 次 療 程 成 功 的 條 件 機 率 最 接 近 下 列 哪 一 個 選 項 ？ ( 1 ) 0 . 2 5

( 2 ) 0 . 3 ( 3 ) 0 . 3 5 ( 4 ) 0 . 4 ( 5 ) 0 . 4 5

二 、 多 選 題 （ 占 3 0 分 ）

說明：第 7 題至第 12 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項 畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項 或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7 . 設 坐 標 平 面 上 ， x 坐 標 與 y 坐 標 皆 為 整 數 的 點 稱 為 格 子 點 。 請 選 出 圖 形 上 有 格 子 點 的 選 項 。

( 1 ) yx² ( 2 ) 3y9x 1 ( 3 ) y²   x 2 ( 4 ) x²y² 3 ( 5 ) ₉ 1

log 2 y x

8 . 關 於 下 列 不 等 式 ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。 ( 1 ) 133.5

( 2 ) 133.6 ( 3 ) 13 3 10 ( 4 ) 13 3 16 ( 5 ) 1

13 3 0.6



9 . 一 物 體 由 坐 標 平 面 中 的 點 ( 3, 6) 出 發 ， 沿 著 向 量^v 所 指 的 方 向 持 續 前 進 ， 可 以 進 入 第 一 象 限 。 請 選 出 正 確 的 選 項 。

( 1 ) ^v = (1, 2) ( 2 ) ^v = (1, 1) ( 3 ) ^v = (0.001, 0) ( 4 ) ^v = (0.001,1)

 

1 0 . 設 f x 為 實 係 數 二 次 多 項 式 ， 且 已 知( ) f(1) 、 (2) 00 f  、 (3) 0f  。 令 g x( ) f x( )(x2)(x ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。 3)

( 1 ) y f x( )的 圖 形 是 開 口 向 下 的 拋 物 線 ( 2 ) yg x( )的 圖 形 是 開 口 向 下 的 拋 物 線 ( 3 ) g(1) f(1)

( 4 ) g x( ) 在 1 與 2 之 間 恰 有 一 個 實 根 0 ( 5 ) 若 為 f x( ) 的 最 大 實 根 ， 則 ( ) 00 g  

11 . 設 a₁ 且1 a a a  為 等 差 數 列 。 請 選 出 正 確 的 選 項 。 ₁, ₂, ₃, ( 1 ) 若 a₁₀₀ ， 則0 a₁₀₀₀  0

( 2 ) 若 a₁₀₀  ， 則0 a₁₀₀₀ 0 ( 3 ) 若 a₁₀₀₀  ， 則0 a₁₀₀ 0 ( 4 ) 若 a₁₀₀₀  ， 則0 a₁₀₀ 0 ( 5 ) a₁₀₀₀a₁₀10 (a₁₀₀a₁)

1 2 . 所 謂 某 個 年 齡 範 圍 的 失 業 率，是 指 該 年 齡 範 圍 的 失 業 人 數 與 勞 動 力 人 數 之 比，

以 百 分 數 表 達 （ 進 行 統 計 分 析 時 ， 所 有 年 齡 以 整 數 表 示 ）。 下 表 為 去 年 某 國 四 個 年 齡 範 圍 的 失 業 率 ， 其 中 的 年 齡 範 圍 有 所 重 疊 。

年 齡 範 圍 3 5 ~ 4 4 歲 3 5 ~ 3 9 歲 4 0 ~ 4 4 歲 4 5 ~ 4 9 歲 失 業 率 1 2 . 6 6 ( % ) 9 . 8 0 ( % ) 1 3 . 1 7 ( % ) 7 . 0 8 ( % ) 請 根 據 上 表 選 出 正 確 的 選 項 。

( 1 ) 在 上 述 四 個 年 齡 範 圍 中 ， 以 4 0 ~ 4 4 歲 的 失 業 率 為 最 高 ( 2 ) 4 0 ~ 4 4 歲 勞 動 力 人 數 多 於 4 5 ~ 4 9 歲 勞 動 力 人 數

( 3 ) 4 0 ~ 4 9 歲 的 失 業 率 等 於 13.17 7.08 2 %

  

 

 

( 4 ) 3 5 ~ 3 9 歲 勞 動 力 人 數 少 於 4 0 ~ 4 4 歲 勞 動 力 人 數

( 5 ) 如 果 4 0 ~ 4 4 歲 的 失 業 率 降 低 ， 則 4 5 ~ 4 9 歲 的 失 業 率 會 升 高

第 貳 部 分 ： 選 填 題 （ 占 4 0 分 ）

說明：1.第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（13–36）。 2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A . 設 圓 O 之 半 徑 為 24 ，OC26， OC 交 圓 O 於 A 點 ， CD 切 圓 O 於 D 點 ， B 為 A 點 到 OD 的 垂 足 ， 如 右

邊 的 示 意 圖 。 則 AB

○

○

○

○

○

。( 化 為 最 簡 分 數 )

B . 坐 標 平 面 上，若 直 線 yax (其 中 ,b a b 為 實 數) 與 二 次 函 數 yx²的 圖 形 恰 交 於 一 點 ， 亦 與 二 次 函 數 y(x2)²12的 圖 形 恰 交 於 一 點 ， 則 a

○

○

○

C . 小 鎮 A 距 離 一 筆 直 道 路 6 公 里 ， 並 與 道 路 上 的 小 鎮 B 相 距 1 2 公 里 。 今 欲 在 此 道 路 上 蓋 一 家 超 級 市 場 使 其 與 A , B 等 距 ， 則 此 超 級 市 場 與 A 的 距 離 須 為

○

○

D . 坐 標 空 間 中 有 四 點 A(2, 0, 0)、 B(3, 4, 2)、 C( 2, 4, 0) 與 D( 1,3,1) 。 若 點 P 在 直 線 CD

上 變 動 ， 則 內 積 PA 

P B 之 最 小 可 能 值 為

○

○

。 ( 化 為 最 簡 分 數 )

E . 設^u ,^v 為 兩 個 長 度 皆 為 1 的 向 量 。 若^u +^v 與^u 的 夾 角 為 75 ， 則^u 與^v 的 內 積

為

○

○

○

。 ( 化 為 最 簡 根 式 )

F . 一 個 房 間 的 地 面 是 由 1 2 個 正 方 形 所 組 成 ， 如 右 圖 。 今 想 用 長 方 形 瓷 磚 舖 滿 地 面 ， 已 知 每 一 塊 長 方 形 瓷 磚 可 以 覆 蓋 兩 個 相 鄰 的 正

方 形 ， 即 或 。 則 用 6 塊 瓷 磚 舖

滿 房 間 地 面 的 方 法 有

○

○

G . 已 知 a b c d

 

 

 是 一 個 轉 移 矩 陣 ， 並 且 其 行 列 式 ( 值 ) 為 5

8。 則 a d 

○

○

○

。 ( 化 為

最 簡 分 數 )

H . 如 圖 ， 正 三 角 形 ABC 的 邊 長 為 1 ， 並 且        。1 2 3 15

已 知 6 2

sin15

4

   ， 則 正 三 角 形 DEF 的 邊 長 為

○

○

–

○

○

。 ( 化 為 最 簡 根 式 )

參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值

1 . 首 項 為 a ， 公 差 為 d 的 等 差 數 列 前 n 項 之 和 為 (2 ( 1) ) 2 n a n d

S  

首 項 為 a ， 公 比 為 r r( ¹1)的 等 比 數 列 前 n 項 之 和 為 (1 ) 1 a rn

S r

 



2 . 三 角 函 數 的 和 角 公 式 ： sin(AB)sinAcosBcosAsinB cos(AB)cosAcosBsinAsinB

tan tan tan( )

1 tan tan

A B

A B

A B

  



3 . ABC的 正 弦 定 理 ： 2

sin sin sin

a b c

A B  C  R ( R 為 ABC外 接 圓 半 徑 )

ABC的 餘 弦 定 理 ： c²a²b²2abcosC

4 . 一 維 數 據 X x x: ₁, ₂,...,x ， 算 術 平 均 數_{n 1 2}

1

1 1

( )

n

X n i

i

x x x x

n n





     



標 準 差 ^{2 2 2}

1 1

1 1

( ) (( ) )

n n

X i X i X

i i

x x n

n n

  

 

     

5 . 二 維 數 據 ( , ) : ( ,X Y x y_{1 1}),(x y₂, ₂),..., (x y_n, _n)， 相 關 係 數 _, ¹

( )( )

n

i X i Y

i X Y

X Y

x y

r n

 

 



 





迴 歸 直 線 ( 最 適 合 直 線 ) 方 程 式 _{Y X Y,} ^Y ( _X)

X

y  r  x 

   

6 . 參 考 數 值 ： 21.414 , 31.732 , 52.236 , 62.449 , 3.142

7 . 對 數 值 ： log 2₁₀ 0.3010, log 3₁₀ 0.4771, log 5₁₀ 0.6990, log 7₁₀ 0.8451