從 HPM 觀點看九年一貫國中數學幾何教材

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HPM 通訊第十卷第十二期第一版

 十一月的數學史盛會

 陳藎謨《度測》之研究

 從 HPM 觀點看九年一貫國中數學幾 何教材─以「尺規作圖」為例 發行人:洪萬生(台灣師大數學系教授)

主編:蘇惠玉(西松高中)副主編:林倉億(家齊女中)

助理編輯:李建勳、黃俊瑋(台灣師大數學所研究生)

編輯小組:蘇意雯(成功高中)蘇俊鴻(北一女中)

黃清揚(福和國中)葉吉海(新竹高中)

陳彥宏(成功高中)陳啟文(中山女高)

王文珮(青溪國中)黃哲男(台南女中)

英家銘(台師大數學系)謝佳叡(台師大數學 創刊日:1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 系)

網址:http://math.ntnu.edu.tw/~horng

   

十一月的數學史盛會

台師大數學系 洪萬生教授 2007 年 11 月 10 日(星期六)、11 日(星期日),中央研究院數學所舉辦「利瑪竇與徐 光啟合譯《幾何原本》四百週年紀念研討會」(A Symposium for the Memory of

Quarter-Centenary of the Chinese Translation of Elements by Matteo Ricci and Xu Guangqi),

HPM 團隊共提出六篇有關《幾何原本》在中國明清時期之流傳,請參考如下:

彭良禎:艾儒略 (Giulio Aleni)《幾何要法》(1631) 之研究 鍾秀瓏:陳盡謨《度測》之研究 (明末)

程和欽:杜知耕《數學鑰》之研究(清初)

廖淑芳:梅氏家學中的《幾何原本》:以勾股術為例 (清中葉)

陳彥宏:安清翹 (1756-1829)《矩線原本》之研究

王鼎勳:《幾何原本》第十卷與東學西漸下的《無比例線新解》(1906)

為此,我還特別補上一篇〈華蘅芳與《幾何原本》〉,以便讓這些歷史事件的時間順序上有 一點連慣性,這是因為華蘅芳 (1833-1902) 比起撰寫《無比例線新解》的吳起潛,大約早 一個世代。

另一方面,應籌備委員李國偉教授的邀請,我們還提出兩篇有關HPM 論文:

蘇惠玉:HPM 與高中幾何教學:以圓錐曲線的正焦弦為例

陳玉芬:從HPM 觀點看九年一貫國中數學幾何教材:以「尺規作圖」為例

顯然,這在以數學史為主的研討會中,是比較獨特的規劃。不過,由於《幾何原本》兩千 多年來一直都是數學教科書取材的圭臬,因此,我們結合它來進行HPM 的研究,看起來 相當理所當然。

本次研討會由於李國偉的力邀,多位國際學者如蕭文強、韓琦、詹嘉玲 (Catherine Jami)、劉鈍、齊藤憲 (Ken Saito)、城地茂 (Shigeru Jochi) ,以及琅元 (Alexei Volkov) 等,

都欣然參加此一盛會。藉此機會,清華大學歷史所也邀請其中幾位參加該所之工作坊。

由於此一機會確實難得,所以,在11 月 15 日下午我特別在本系舉辦「數學史書報討

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HPM 通訊第十卷第十二期第二版

論」,除了邀請前述琅元教授、中國科學院自然科學史研究所劉鈍、韓琦教授參加,計有 本校物理系姚珩教授、及本系、物理系博、碩班十幾位研究生參加。這是一個難得的數學 史午後聚會,賓主相談甚歡,留下美好的回憶!

最後,我們除了特別感謝李國偉教授的邀約之外,我們團隊成員彭良禎熱心與積極地 幫忙催稿,也是這次HPM 團隊成功展現實力的最佳功臣之一。

1. 為節省影印成本,本通訊將減少紙版的的發行,請讀者盡量改訂PDF電子檔。要訂閱請將您的大名,地 址,e-mail至 suhui_yu@yahoo.com.tw

2. 本通訊若需影印僅限教學用,若需轉載請洽原作者或本通訊發行人。

3. 歡迎對數學教育、數學史、教育時事評論等主題有興趣的教師、家長及學生踴躍投稿。

4. 本通訊內容可至網站下載。網址:http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/hpmletter.htm 5. 以下是本通訊在各縣市學校的聯絡員,有事沒事請就聯絡

《HPM 通訊》駐校連絡員

日本東京市:陳昭蓉 (東京 Boston Consulting Group) 、李佳嬅(東京大學)

台北市:楊淑芬(松山高中) 杜雲華、陳彥宏、游經祥、蘇慧珍(成功高中)

蘇俊鴻(北一女中)陳啟文(中山女高) 蘇惠玉(西松高中)蕭文俊(中崙高中)

郭慶章(建國中學)李秀卿(景美女中) 王錫熙(三民國中)謝佩珍、葉和文(百齡高中)

彭良禎(麗山高中)邱靜如(實踐國中) 郭守德(大安高工)余俊生(西松高中)

張美玲(景興國中)黃俊才(麗山國中) 文宏元(金歐女中)林裕意(開平中學)

林壽福 (興雅國中)、傅聖國(健康國小) 李素幸(雙園國中)

台北縣:顏志成(新莊高中) 陳鳳珠(中正國中) 黃清揚(福和國中) 董芳成(海山高中) 林旻志(錦 和中學) 孫梅茵(海山高工) 周宗奎(清水中學) 莊嘉玲(林口高中) 王鼎勳、吳建任(樹 林中學) 陳玉芬(明德高中) 羅春暉 (二重國小)

宜蘭縣:陳敏皓(蘭陽女中) 吳秉鴻(國華國中)林肯輝(羅東國中)

桃園縣:許雪珍(陽明高中) 王文珮(青溪國中) 陳威南(平鎮中學) 洪宜亭(內壢高中)

鐘啟哲(武漢國中) 徐梅芳(新坡國中) 郭志輝(內壢高中) 程和欽 (永豐高中)、

鍾秀瓏(東安國中) 陳春廷(楊光國民中小學)

新竹縣:洪誌陽、李俊坤、葉吉海(新竹高中) 陳夢琦、陳瑩琪、陳淑婷(竹北高中)

洪正川(新竹高商)

苗栗縣:廖淑芳 (照南國中)

台中縣:洪秀敏(豐原高中) 楊淑玲(神岡國中)

台中市:阮錫琦(西苑高中) 歐士福(五權國中)

嘉義市:謝三寶(嘉義高工)

台南市:林倉億(家齊女中)

台南縣:李建宗(北門高工)

高雄市:廖惠儀(大仁國中)

屏東縣:陳冠良(枋寮高中)楊瓊茹(屏東高中)

澎湖縣:何嘉祥(馬公高中)

金門:楊玉星(金城中學) 張復凱(金門高中) 馬祖:王連發(馬祖高中)

附註:本通訊長期徵求各位老師的教學心得。懇請各位老師惠賜高見!

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HPM 通訊第十卷第十二期第三版

陳藎謨《度測》之研究

桃園縣東安國中 鍾秀瓏老師 摘要

本研究主要分析明末清初學者陳藎謨所撰《度測》成書的時代及各卷的內容,期望透 過此一文本的探討,有助於掌握明末清初的數學發展及其歷史脈絡。《度測》一書分為卷 上、卷中、卷下三部分,書末附有〈開方說〉兩卷、〈度算解〉一卷。在《度測》的卷中 及卷下,均只針對《周髀算經》的內容舉例說明,但卷上卻分為六個小節—〈詮經〉、〈詮 理〉、〈詮器〉、〈詮法〉、〈詮算〉和〈詮原〉。這種安排不同於中國古代算書的體例,而和

《崇禎曆書》的體例十分類似,足見在《度測》一書中,陳藎謨把《周髀算經》與西方測 量術進行了綜合和會通。他利用《崇禎曆書》的體例,企圖去詮釋《周髀算經》和進行「勾 股測望」,這正是傳統中國人一直強調的「中學為體,西學為用」的思想。此外,陳藎謨 以《測量法義》和《勾股義》為藍圖,解說測量的原理及方法,可知《度測》一書必然受 到《幾何原本》一定程度的影響。透過《度測》的內容分析,得以窺見一位次要的數學工 作者,在《幾何原本》等西學輸入中國之際,如何將西方傳入的學理及工具巧妙地融入中 國傳統數學中,致力於中西數學的會通工作。

關鍵字:陳藎謨、度測 Abstract

The study is to analyze the book Dou Ce edited by Chen Jinmo, a Chinese scholar flourished in the late Ming and early Qing period. My aim is to illustrate the Chinese

mathematical in the historical context. The Dou ce is divided into three major parts: Volumes 1, 2 and 3. To the end there are appendices of the Kai Fang Shu and Dou Suan Jei. Unlike

Volumes 2 and 3 in which the author explains the contents and examples from Zhoubi suanjing, Volume 1 has six sections, namely, “Chuan Jing”, “Chuan Li”, “Chuan Chi”, “Chuan Fa”,

“Chuan Suan” and “Chuan Yuan”. Format of the volume was different from that of traditional Chinese mathematics texts, but instead very similar to that of Chong Zhen Calendar Book.

Chen summarized and integrated the Zhoubi suanjing with Western surveying principles. That Chen utilized the format of the Chong Zhen Calendar Book to dictate Zhoubi suanjing and processed “Gougu measurement” reflected his primary concern with the ideology that “Chinese remains the essence while western science is only for practice”. In addition, Chen used Celiang fayi and Gougu yi as blueprints to explain surveying principles and methodologies. In this connection, the Dou Ce was significantly influenced by the Ji He Yuan Ben (1607 Chinese version of Euclid’s Elements).

Keywords: Chen Jinmo, Dou ce

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HPM 通訊第十卷第十二期第四版

一、緒論

相較於宋元數學高度發展的成就,一般總認為明代數學呈現停頓、衰退的情形,對明 代數學的評價,大都不高。明代除了蓬勃的商業活動帶動了商用數學的發展,統治階層對 曆算的漠視和壓制,使得明代數學整體上處於一種落後狀態。在當時數學成就乏善可陳的 情況下,明末清初耶穌會士利瑪竇等人來華,為了取得中國封建統治者和學者們的信任,

他們根據當時修改曆法的迫切需要,帶來一批天文學與數學的著作。在這種背景下,西方 初等數學開始輸入中國。

在傳入的數學之中,徐光啟與利瑪竇合譯的《幾何原本》前六卷(1607 年)影響最 大。1由於利瑪竇的宣傳,加上明代數學處於落後狀態,徐光啟如獲至寶。他受了《幾何原 本》的啟迪,在編譯《崇禎曆書》和《農政全書》時十分重視數學理論。此外,他著有《測 量法義》、《測量異同》和《勾股義》,用《幾何原本》的邏輯推理方法來分析東西測量方 法的異同和論證中國古代的勾股方法。《測量法義》是徐光啟與利瑪竇合譯《幾何原本》

前六卷後,認識到《幾何原本》是「度數之宗」、「眾用所基」,因而以《幾何原本》的公 理體系和演繹推理對「西泰子之譯測量諸法」、「系之義也」的首次嘗試。徐光啟認為:「西 方測量術就『法』而論,與中國古代《周髀算經》、《九章算術》的勾股測量術是『不異』

的,然而西方測量術有《幾何原本》作理論依據,故『貴其義』。」2

受徐光啟的影響,明末研究西方數學並有著作的學者不少,陳藎謨的《度測》即為其 一。陳藎謨承續徐光啟的議論,進一步提出「西學中源」的看法。在《度測》一書中,陳 藎謨把《周髀算經》與西方測量術進行了綜合和會通。不同於徐光啟的看法,陳藎謨提出

《測量法義》是爲了詮釋《周髀算經》的論點。他著作《度測》的用意是為了使《周髀算 經》和《測量法義》的內容更清楚,更易於學習。

在本文中,筆者嘗試透過陳藎謨及其著作《度測》的相關研究,說明一位次要的數學 工作者,在《幾何原本》等西學輸入中國之際,如何致力於中西數學的會通工作,使得中 國傳統數學呈現新的風貌。

二、陳藎謨的生平及著作

陳藎謨,字獻可,號肅 庵,晚號澂真子,浙江檇李(今嘉興)人,為明末諸生,3曾 拜師於黃道周(1585-1646)門下,4撰有《皇極圖韻》一卷、《肅 庵槧》一卷、《元音統 韻》二十二卷、 《易傳》、《樂律希聲》、《孝經疏義》、《祥異編年》、《參同契注》、

《象林》二卷,以及《度測》三卷等著作。其中,《皇極圖韻》、《元音統韻》、 《易傳》、

《樂律希聲》、《孝經疏義》為國學和聲韻學方面的著作,而《肅 庵槧》則是陳藎謨和他

1 《幾何原本》前六卷譯自德國耶穌會士兼數學家克拉維斯(C. Clavius, 1537~1612 年)的十五卷拉丁文評 註本《幾何原本》,卷首題「利瑪竇口譯,徐光啟筆受」。

2 參見王渝生,〈《測量法義》提要〉,《測量法義》,收入郭書春主編,《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四 分冊,頁2~3。

3 諸生是各種官學生的統稱,比如考中秀才的可以做州縣學生,鄉試中舉的可以入國學做監生,此外貢生、

捐生、等都是諸生。諸生是有身份的人,吃官糧,穿襤衫,(即「諸生服」),監生能直接入仕,其他的也 可透過科舉做官。

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HPM 通訊第十卷第十二期第五版

的老師黃道周之間的書信往來。雖然中國文化大學中國文學研究所碩士鄭雅方認為陳藎謨 象數學著作多於聲韻學著作,5但筆者認為陳氏的著作仍以國學和聲韻學較多,影響也較為 深遠。由於他擅長象數之學,精於「步算」、「占驗」之術,明末清初的大數學家梅文鼎 也對他頗為讚賞。6

三、《度測》之部分內容

《度測》分為卷上、卷中及卷下三部分,本文僅就和《幾何原本》比較有關的卷上和 卷中部分稍加說明。

(一)卷上

在《度測》的卷中及卷下,均只針對《周髀算經》的內容舉例說明,7但卷上卻分為 六個小節—〈詮經〉、〈詮理〉、〈詮器〉、〈詮法〉、〈詮算〉、〈詮原〉,這種安排不同於中國 古代算書的體例,而和《崇禎曆書》的體例十分類似,8足見在《度測》一書中,陳藎謨把

《周髀算經》與西方測量術進行了綜合和會通。他在〈《度測》自敘〉中提及:「徐玄扈先 生有《測量法義》、《句股義》。是《周髀》者,句股之經;《法義》者,句股之疏傳也。」

9他更進一步說明:「首詮算經,次臚諸法,合今古而淺言之,出以己意,發凡繪圖,庶幾

《周髀算經》大彰,法義彌著,以便有志經濟之、習之者。」10陳氏也有近似「西學中源」

的說法:「謨按九章参伍錯綜,周無窮之變,而句股尤竒奧。其法肇見《周髀》,周公受之 於商高,以度天地、推日月。」11另外,在《度測》卷上〈詮器〉一節中,他認為:「泰西 之有《測量法義》也,實本《周髀》算術而加詳焉。」12雖然他沒有就這個論題展開論述,

然而清初學者的「西學中源」論正是由此而來。13本部分針對《度測》卷上的六個小節進 行討論。

1.詮經

在《度測》卷上〈詮器〉一節的最後一段中,陳藎謨明確地指出:

右《周髀算經》首章,徐玄扈先生曰:「凡《九章》勾股之鼻祖。甄鸞李淳風為之重

4 黃道周字幼玄,福建漳浦人,是理學名家而兼通西法,善於天文曆數皇極之學。

5 參見鄭雅方,《《元音統韻》音系研究》,頁 20。

6 參見吳仰賢等纂、許瑤光等修,《嘉興府志》〈五〉,收入《中國方志叢書》華中地區第五十三號;盛楓,

《嘉禾徵獻錄》收入《四庫全書存目叢書》史部 傳記類125,頁 612。

7 《周髀算經》原名《周髀》,全書分上下兩卷,撰者不詳,一般認為約成於公元前一世紀,它是中國現存 最早的天文數學著作。在天文學方面,《周髀算經》主要闡述了當時的蓋天說和四分曆法。以數學的角度來 看,《周髀算經》講述了算學的方法、用勾股來測量天體以及複雜的分數計算等等。

8 《崇禎曆書》由徐光啟主持編譯。全書共有一百三十七卷,主要內容是介紹當時歐洲天文學家第谷(Tycho Brahe)的地心學說。全書分為節次六目和基本五目,節次六目視將曆法分成六個部分,包括日躔、恆星、

月離、日月交會、五緯星、五星交會等;基本五目是指法原、法數、法算、法器、會通等。法原部份進呈的 節共有四十卷,約占全部進呈書的30%,其中數學理論著作就是屬於這一部分的。在法數中屬於數學部分 的有三角函數表。在法器中介紹儀器及計算工具。

9 引自陳藎謨,〈《度測》自敘〉,《度測》,頁 292。

10 同上註。

11 同上註,頁 291。

12 引自陳藎謨,《度測》卷上,頁 331。

13 參見王揚宗,〈「西學中源」說在明清之際的由來及其演變〉,《大陸雜誌》第九十卷第六期(台北:大陸雜 誌社,1995 年 6 月 15 日)。

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HPM 通訊第十卷第十二期第六版

釋,頗明悉,實為算書中古文第一。」愚按甄、李重釋,止趙君卿句股方圓圖而不及,

經俱爭柝其流耳,原本在此不在彼也。又曰:「至于商高問答之後,所謂榮方問于陳 子者,言日月天地之數,則千古大愚也。而亦有近理者數十語,絕勝渾天家。」愚故 揭首章及趙注銓之,使學者溯矩度之本其來有自,以證泰西立法之可據焉。14

由上述引文,可明瞭陳藎謨撰《度測》一書的動機,是為了說明西方傳入的「矩度測量」

方法,其原理源自中國之《周髀算經》,這正是「西學中源」論的開端之一。同時,也解 釋了《度測》一書中為何只收入《周髀算經》首章、但卻未收入其中趙君卿的「句股方圓 圖」之緣由。

在〈詮經〉中,陳藎謨的寫作方式和大部分銓經者相近,先引用《周髀算經》的原文 及趙君卿注,15然後,再附上自己所撰的詮文。在銓文中,陳藎謨除了針對經文及注文作 詳盡的詮釋外,他也依自己對經文的理解,對注文作出嚴正的評論。

雖然陳藎謨參考了徐光啟的〈《句股義》序〉作為〈銓經〉的總結,但他並未直接引 述〈《句股義》序〉中所引用的《周髀算經》經文及趙君卿的注文。由他引用的第一段經 文及注文後均加上「唐寅曰」來看,陳盡謨引用明朝萬曆年間(1573-1619)胡震亨刻《祕 冊匯函》叢書時所收錄《周髀算經》的可能性較高。

2. 詮理

在《度測》卷上〈詮理〉中,陳藎謨再次重申勾股定理始自《周髀算經》的主張:

萬形繁,出圓以方,圓斯縱、橫、斜三體定,所謂:「折矩以為句廣三,股修四,徑 隅五者」,商高溯庖犧而立義也。句股求弦,句弦求股,股弦求句,明兩則得一。句 求股弦,股求句弦,弦求句股,明一不能以得兩。古法立表以通其窮,今用矩度以代 立表。表矩者攝小句股之形象,成大句股之比例也。若遇高深廣遠,目力能收,足不 可及,則三者無一可知,而立表法又窮,古法用重表,今法用重矩,而景較、距較生 焉。景較以見縱,距較以見橫,兩較者,亦攝小句股之形象,成大句股之比例也,句 股大端盡于此。句股之數曰:「縱、橫、斜」,句股之理曰:「圓與方」。互換通分,其 在心目。「大哉言數!」周公豈欺我哉?16

陳藎謨認為利用勾股運算可以測高、測深、測廣、測遠。利用勾值和股值可以求出弦 值,利用勾值和弦值可以求出股值,利用股值和弦值可以求出勾值。陳藎謨在《度測》中 除利用西洋新法之「矩度測量」外,兼採古法「立表測量」。無論是「立表測量」或「矩 度測量」,都是利用勾股運算及相似三角形三邊成比例進行測量,而勾股的原理則可溯自

《周髀算經》。 3. 詮器

在「詮器」一開始,陳藎謨便再次重申「西學中源」的主張:「泰西之有《測量法義》

也,實本《周髀》舊術而詳焉。」17並介紹測量的儀器 —「矩度」。

14 引自陳藎謨,《度測》卷上,頁 329~330。

15 趙爽,字君卿,大約是魏晉(公元三至四世紀)時期的人。他在數學方面的成就,主要保存在〈《周髀算 經》注〉之內,其中對後世影響最大的是〈勾股圓方圖注〉。

16 引自陳藎謨,《度測》卷上,頁 330~331。

17 同上註,頁 332。

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HPM 通訊第十卷第十二期第七版

在《測量法義》中,18對於西方的測望之器—「矩度」的製造及使用方式有詳細說明:

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圖一 泰西矩度圖

測量者,以測望之山岳樓台之高、井谷之深、土田道里之遠近也。其法先造一測望之

器,名曰「矩度」。造矩度法,用堅木版或銅版作甲乙丙丁直角三角形,以甲角為矩 極,作甲丙對角線,次依乙丙、丙丁兩邊,各作相近兩平行線,次以乙丙、丙丁兩邊,

各任若干平分之。從甲向各分各作虛直線,而兩邊之各外兩平行線間,則作實線。

如上圖,即外兩線間為宗矩極之十二平分度也。其各內兩平行線間,則於三、六、九 度亦作實線,以便別識。若以十二度更細分之,或每度分三、分五、分六、分十二,

視矩大小作分,分愈細,即法愈詳密矣。次于甲乙邊上作兩耳相等,耳各有通光竅。

通光者,或取日光相射,或取目光透照也。或植兩小耳代耳,亦可。其耳竅表末,須 與甲乙平行,末從甲點置一線,線末垂一權,其線稍長於甲丙對角線,用時任其垂下,

審定度分。既設表度十二,下方係依此論。若有成器欲驗已如式否,亦同上法。其用 法如下方諸題。20

陳藎謨在《度測》卷上〈詮器〉中提及:

然十二為乘,十二為分,不若十乘十,十分十之便捷也。古今法以十為度,積矩之度 百,積矩之分千,積矩之細分萬,以至十萬、百萬,詳密至矣。21

所以,他自創「肅 菴矩度」,如下圖。

18 《測量法義》由利瑪竇口述,徐光啟筆錄,刊於明萬曆三十五年丁未~三十七年己酉(1607~1609),主要 為介紹歐洲應用歐氏幾何原理進行具體測量的方法。徐光啟翻譯此書的用意在於「法而系之義」,也就是根 據所學到的平面幾何原理,來說明實測的具體方法,並在題記中強調這種方法同《周髀算經》、《九章算術》

所載的傳統方法在原理上是一致的,可見他早已注意中西科學技術的結合問題。

19 引自徐光啟,《測量法義》,收入《徐光啟著譯集》上函之八,頁 1。

20 同上註。

21 引自陳藎謨,《度測》卷上,頁 332。

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HPM 通訊第十卷第十二期第八版

22 圖二 肅 菴矩度圖

筆者十分欣賞陳藎謨在「詮器」方面的創見和發明。將矩度分為十個刻度,應能使計 算更為便捷,也更適用於「十進位值」制的特性。可惜,《度測》一書當時並未印行傳世,

肅 菴矩度」因而也未能廣為流傳。

4. 詮法

在《度測》卷上〈詮法〉中,陳藎謨針對勾股測望的方法詳加說明。他認為西法用天 干、地支定出矩度及進行解釋,並未利用文字多作解說,所以,一般人如果不參考解說,

很難看得懂圖;如果只參考解說而沒有對照圖形,往往也無法明瞭解說的內容。所以,他 在進行解說時省略天干地支的符號,而用「上、下、左、右、大句、小句、大股、小股、

大弦、小弦」加以說明。陳藎謨在《度測》中以「五尺」取代中國舊法之「步」,以「三 百六十步」表示中國古法中所謂的「里」。

陳藎謨認為中國古法「立表測量」與西方傳入的「矩度測量」方法雷同,但「矩度測 量」較便捷。且「立表測量」不易精確,攜帶標竿(即「表」)十分費力,且「立表測量」

不及「矩度測量」快速和省時省力,所以「矩度測量」較佳。然而,當「矩度」來不及製 作或來不及取用時,標竿卻是隨時可找到的,而且有時「矩度測量」也要借助「立表測量」。 所以,他在討論測量問題,同時用「立表測量」與「矩度測量」兩種方法說明。

雖然中國古法「立表測量」中所用的標竿長度並無統一規定,但陳藎謨在《度測》中,

將標竿的長度稱為「立表」定為「十尺」,目高及矩度懸掛的高度稱為「窺表」定為「四 尺」,「立表」扣掉「窺表」所餘的長度「六尺」稱為「餘表」。他在《度測》中的討論,

都以「立表」、「窺表」和「餘表」等名詞,而不直接標明「十尺」、「六尺」和「四尺」等 數據。

陳藎謨直接引用《周髀算經》中商高回答周公的話語:「平矩以正繩,偃矩以望高,

覆矩以測深,臥矩以知遠,環矩以為圓,合矩以為方」,23作為測量的方法,《度測》全書

22 同上註,頁 333。

23 引自《周髀算經》,收入郭書春主編,《中國科學技術典籍通彙》數學卷一,頁 15。

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HPM 通訊第十卷第十二期第九版

即針對這六句話進行測量問題的探討。

5. 詮算

在《度測》卷上〈詮算〉中,陳藎謨指出西法「矩度測量」和中國古法「立表測量」

採用的計算方式並不相同:

舊術句股,或立一表,或立重表,參望既直,開方命之。今用矩度,命三率法,以待 開方,得其四率。24

他清楚地說明在「矩度測量」時採用「三率法」進行求值,而中國古法的「立表測量」則 採用「開方法進行求值」,兩者計算方式有所不同。

陳藎謨仿照《測量法義》引用了西方傳入的「三率法」,但是,他並未依照《測量法 義》的方式加以演繹證明。可知在處理數學的問題上,他仍受限於中國傳統數學的影響。

然而,藉由「三率法」的引入,確實大為簡化了「矩度測量」的計算工作。

6. 詮原

在《度測》卷上〈詮原〉中,陳藎謨指出勾股測量的根本是勾股弦:

句股算,立法多端:相減曰「較」,相併曰「和」。句股相減為「句股較」,句弦相減 為「句弦較」,股弦相減為「股弦較」,句與股併為「句股和」,句與弦併為「句弦和」,

股與弦併為「股弦和」,弦與句股交併為「弦較和」,25弦與句股和併為「弦和和」,弦 與句股和相減為「弦和較」,弦與句股較相減為「弦較較」。錯綜為用,更多名義。總 以縱、橫、斜三法為原,和較其支也。施于矩度,一以高、深、廣、遠、方、圓收之,

去諸名義。然昧其原,莫得矩度之解。故止本三法,□以奇零,以準不齊,以資矩論。

26

他還在本小節最後面作了一個評論:

論曰:「句股法」必用自乘。何求其方也?必問其方。何問其積也?積則句、股、弦 共之。故句有句積,股有股積,弦不別有積也。弦不別有積,故併句股得弦積,以弦 積除句得股,除股得句也。萬有不齊之形,方之斯準于齊,矩之斯準于方,準于方斯 可以求圓,而天地日月之經緯定。方者為法用,圓者藏于矩,不為法用也。愚故以兩 句兩股之謂矩,一句一股,木工曲尺不謂之矩也。句三、股四、弦五,不過取小數以 見積,使人易明其理,以通于散漫難收之數。乃陳子答榮方之測日徑者曰:「日益表 南,晷日益長,候句六尺」,無論其理尚繁,密測匪屬定論。使必候句六尺,以合于 股八、弦十,過此上下,豈不可以測日之徑圍乎?「矩度測量」與「立表測量」運用,

雖分得數則,一皆自三法之積實出,通乎斯術,斯可與明矩度之原矣。27

根據陳藎謨所作之評論,可知「矩度測量」與「立表測量」都是利用「勾股定理」:

, , 。只要明白「勾股弦互求」的原理,便

可以進行勾股測量了。

2 2

2 股 弦

勾 + = 弦2 −勾2 =股22 −股2 =勾2

(二)卷中

24 引自陳藎謨,《度測》卷上,頁 338。

25 「弦與句股交」應為「弦與句股較」之誤。

26 引自陳藎謨,《度測》卷上,頁 342。原文中文字缺漏部分,以□表示。

27 引自陳藎謨,《度測》卷上,頁 347~348。

(10)

HPM 通訊第十卷第十二期第一○版

《度測》卷中共分為〈平矩以正繩〉、〈偃矩以望高〉、〈覆矩以測深〉、〈弦矩以見廣〉

四小節。在〈平矩以正繩〉這一節中,陳藎謨分別藉由「矩度測量」和「立表測量」解釋

「平矩以正繩」的意義。在〈偃矩以望高〉、〈覆矩以測深〉、〈弦矩以見廣〉三小節中,陳 氏則分別以數例說明及評論測高、測深、測遠的方法。因測高、測深、測遠的方法和原理 均十分類似,筆者僅就〈平矩以正繩〉和〈偃矩以望高〉進行分析與討論。

1. 平矩以正繩

凡用測依繩水之定施于表矩,斯大句股之形正方焉。大句股之形敧,矩度待受之過。

故法倚矩于窺表,眂其針無偏,則表體直;又從兩耳衡眂之地無污隆,則相矩平,于 是始運矩。

凡立高測卑,以高處取直為準。如上法在臺,在山皆然。居卑測高,以相距之地取平 為準。如木能平,以矩度橫眂之,識其高處起高算。次量所識以下高,併上高淂全高。

如所識處不能至或不欲至,則以相距數,用測深法測下高,併之淂全高。測深者以口 徑取平為準。

立表測法,必藉窺表。以四尺為則,立表四尺處,亦取小大以窺表,參望取平。立表 窺表,以繩取直。28

2. 偃矩以望高

《度測》卷中〈偃矩以望高〉一節,共分為「句股相等」、「以句求股」、「以股求句」、

「重矩求高」四個主題。本文中,筆者僅針對「重矩求高」主題列舉一個例題。

【重矩求高】

重矩測量

以矩度測,不知句股之高,先得直景幾何,如在倒景互換互換直景。次退行幾何,再 取直景,如在倒景互換直景。次以兩直景相減淂幾何為景較一率,以表度二率與退行 距較三率相乘淂積實幾何,景較一率分之淂表上物高四率,加窺表淂全高。即以表上 物高作直景立高測遠法,以表度為一率,前距直景為二率,與立高三率相乘得積實幾 何,以表度一率分之淂前距四率幾何。互換圖法載後測 深 篇 中 。

設有隔溪峭壁,不知其高?臨溪用矩度測得直景六十○分八七,退行一十四尺,29測 得倒景八十八分四六一五 ,峭壁高幾何? 溪闊幾何?

法以後距倒景八十八分四六一五互換,淂直景一百一十三分○四三。兩直景相減,淂 景較一率五十二分一七三,以表度二率乘距較三率二十四尺,淂積實二百四十尺,景 較五十二分一 七 三分之,淂表上峭壁高四十六尺餘分五萬二千一百七十三之四百二十。加窺 表,淂峭壁全高五十尺。即以表上峭壁高四十六尺作三率,以前距直景六十○分八七 作二率,相乘淂積實二十八萬○○○二尺,表度分之,淂溪闊二十八尺○○○二。此分積矩為十 萬 分 ,

28 引自陳藎謨,《度測》卷中,頁 349~351。

29 「一十四尺」應為「二十四尺」之誤

(11)

HPM 通訊第十卷第十二期第一一版 葢 直 景 六 十 為 百 位 , 則○分為千

分,八釐為萬分,七毫為十萬分。 30

今解:

E"

E E'

F K

I

H B'

G

B

A A'

C D

D' C'

圖三 重矩求高圖 如右圖,(B'E"−BE):AB=FK:IH

BE E

B

FK IH AB

= × ''

'

BF IH HG IH

IG= + = + 。

BE AB HB

IH : = : ,

AB BE HB= IH× 。

087 .

= 6

BEFK =24,D'E'=8.84615, 3643

. 84615 11 . 8

10

" 10

' × ≈

= E

BB'E"−BE ≈5.2173,

52173 46 420 2173 . 5

24 10× =

=

IHIG≈46+4=50。 0002

. 10 28

087 . 6 46× ≈

=

HB

重表測量

法曰:以立表求不知句股之高,先立表退行,以窺表參相直。又從前表退行幾何,立 表又退行,以窺表參相直,以餘表乘兩立表距較為積實,以兩窺表距立表數相減餘為 景較,以景較除積實淂立表上高。加立表淂全高。再置表上高乘前表距窺表數為積實,

仍以餘表除積實,淂前表距物高相遠數。又法再置距較乘前表距窺表數為積實,仍以 上景較除積實,亦淂前表距物高相遠數。又總法既淂前距併後距為後表間相距數,以 餘表乘之為積實,以後表退行數分之,淂表上立高,加立表淂全高。

設有隔溪峭壁,不知其高。臨溪立表退行二尺四寸,31以窺表參相直。又距前表十七 尺二寸一八,立表退行六尺七寸八二,以窺表參相直,峭壁高幾何?溪闊幾何?法以 餘表乘兩立表距較十七尺二十 一 八,淂一百○三尺三寸○八為積實,兩窺表距兩立表數相減餘

二尺五寸八二為景較,以景較二尺五寸八二除積實,淂立表上高四十尺餘分二萬五千八百二

十之二十八,32加立表,淂全高五十尺。再置表上高四十

以乘前表距窺表四尺二寸,淂積

30 引自陳藎謨,《度測》卷中,頁 361~363。

31 「二尺四寸」應為「四尺二寸」之誤。

32 「二萬五千八百二十之二十八」應為「二千五百八十二之二十八」之誤。

(12)

HPM 通訊第十卷第十二期第一二版

實一百六十八尺,餘表分之,淂溪闊二十八尺。33 今解:

如右圖, DF KH JK AM KF

= × ,

JL AM MB AM

AB= + = + 。

JK KH AM

BL: = : ,

JK KH BL= AM× 。

218 .

=17

KFKH =4.2,FD=6.782, 17.218 6 103.308 28

40 40 6.782 4.2 2.582 2582

AM ×

= = = ≈

− ,

K

L I H M

F

G C

A

N D

B

E J

圖四 重表求高圖 50

10 40+ =

AB , 28

6 2 . 4 40× ≈

=

BL

陳藎謨在進行「矩度測量」時,採用的寫作方式為先說明法則(法曰),次舉例計算

(設),最後,才進行評論(論曰)。除了「重表測量」外,「立表測量」則均直接進行解 題,並未先說明方法。

如同陳藎謨在卷上〈詮法〉中的評論,他認為西法以天干地支說明並不妥,所以,他 不用天干地支作說明,而用「上、下、左、右、大句、小句、大股、小股、大弦、小弦」

加以說明。對於整個「矩度測量」,則一律用三率法及相似三角形來解釋。

四、結論

明末清初耶穌會傳教士們到東方傳教,企圖開闢新的據點。為了取得中國統治者和學 者們的信任,他們根據當時修改曆法的迫切需要,帶來一批天文學與數學的著作。在這種 背景下,西方初等數學開始輸入中國。

在傳入的數學中,影響最大的是《幾何原本》。由於利瑪竇的宣傳,加上明代數學處 於停滯狀態,徐光啟如獲至寶。他受了《幾何原本》的啟迪,在編譯《崇禎曆書》和《農 政全書》時十分重視數學理論。此外,他著有《測量法義》、《測量異同》和《勾股義》,

利用《幾何原本》的邏輯推理方法來分析東西測量方法的異同和論證中國古代的勾股方 法。徐光啟認為《測量法義》是用來詮釋《幾何原本》,然而,《測量法義》中舉出的測量 方法,和《周髀算經》和《九章算術》中的「勾股測望法」相同。受徐光啟的影響,明末 研究西方數學並有著作的不少,陳藎謨的《度測》即為其一。

《度測》之名,來自「矩度測量」之意。受到徐光啟的影響,陳藎謨不單單贊同《測 量法義》中的『矩度測量』和中國傳統算經『勾股測望』的原理相同,他更進一步在〈《度 測》自敘〉中評論:

謨按九章參伍錯綜,周無窮之變,而句股尤竒奧。其法肇見《周髀》,周公受之於商 高,以度天地、推日月。其法肇見周公,周公受之商高,以度天地、推日月。且曰:

33 引自陳藎謨,《度測》卷中,頁 365~367。

(13)

HPM 通訊第十卷第十二期第一三版

禹之所以治天下者,此數之所生也。唐設算學博士,督課試舉,而《周髀》算有程。

國初制科尚試算數,後寖厭薄焉,握算不知縱橫必歸,儒者悉問句股哉?泰西來賓,

斯學始偹,大方家多傳之。徐玄扈先生有《測量法義》、《句股義》。是《周髀》者,

句股之經;《法義》者,句股之疏傳也。然《周髀》篇首,包舉道法,趙注不能盡其 微。次段推測,後世解經疏大,難以合于用。泰西以支干名號為圖為文,亦既詳顯;

而不耐讀者心以目迷,掩卷庋閣,以故通斯學者仍尠焉。謨爰撰茲編,首詮算經,次 臚諸法,合古今而淺言之,出以己意,發凢繪圖。庶幾周髀大彰,法義彌著,以便有 志經濟之、習之者。34

為了說明「西學源自中國」的論點,也爲了使後人對《周髀算經》中的「勾股測望」問題 有更深層的了解,陳藎謨於是撰寫了《度測》一書。

《度測》一書是以《測量法義》、《勾股義》為藍圖完成的,但陳藎謨在《測量法義》

立論的基礎上也有許多不同的想法。徐光啟僅將《測量法義》視作詮《幾何原本》,而其 原理方法同於《周髀算經》、《九章算術》;陳藎謨則進一步將《測量法義》視作詮《周髀 算經》。此外,在《勾股義》中,處處可見《幾何原本》公理化的演繹證明方式,但在《度 測》中,則少見此種論證。

雖然陳藎謨仿照《測量法義》引用了西方傳入的「三率法」處理測量問題,但是他並 未依照《測量法義》的方式加以演繹證明,可知在處理數學的問題上,他仍受限於中國傳 統數學的影響,並未採用《幾何原本》的邏輯推理的論證方式。然而,藉由「三率法」的 導入,確實大為簡化了測量的計算工作。

透過《度測》的內容分析,我們得以窺見一位次要的數學工作者,在《幾何原本》等 西學第一次輸入中國之際,如何將西方傳入的學理及工具巧妙地融入中國傳統數學中,懷 抱「中學為體,西學為用」的原則,致力於中西數學的會通工作。

參考資料:

一、史料

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明‧徐光啓,《勾股義》,收入郭書春主編,《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊,

鄭州:河南教育出版社,1993 年。

明‧徐光啓,《測量法義》,收入郭書春主編,《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊,

鄭州:河南教育出版社,1993 年。

明‧徐光啓等編;湯若望重訂,《西洋新法曆書》,收入薄樹人主編,《中國科學技術典籍 通彙》天文卷第八分冊,鄭州:河南教育出版社,1993 年。

34 引自陳藎謨,〈《度測》自敘〉,《度測》,頁 291~292。

(14)

HPM 通訊第十卷第十二期第一四版

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明‧顧應祥,《勾股筭術》,收入郭書春主編,《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊,

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鄭州:河南教育出版社,1993 年。

清‧李善蘭、偉烈亞力編譯,《幾何原本》,收入郭書春主編,《中國科學技術典籍通彙》

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清‧梅文鼎,《績學堂文鈔》,收入《四庫全書》集部 別集類 263,台南:莊嚴出版社,1997 年。

清‧盛楓,《嘉禾徵獻錄》,收入《四庫全書存目叢書》史部 傳記類 125,台南:莊嚴出版 社,1997 年。

清‧阮元,《疇人傳》,收入楊家駱主編,《疇人傳彙編》上冊,台北:世界書局,1982 年。

二、近人著作

王連發,《勾股算學家—明顧應祥及其著作研究》,台北:國立台灣師範大學數學系教學碩 士班碩士論文,2002 年。

朱維錚,《利瑪竇中文著譯集》,香港:香港大學出版社,2001 年。

李人言(本名李儼),《中國算學史》,台北:台灣商務出版社,1990 年。

李廸、郭世榮,《清代著名天文數學家梅文鼎》,上海:上海科學技術文獻出版社,1988 年。

李迪,《中國數學通史:明清卷》,南京:江蘇教育出版社,2004 年。

李迪,《梅文鼎評傳》,南京:南京大學出版社,2006 年。

李儼、杜石然,《中國古代數學簡史》,台北:九章出版社,1992 年。

杜石然主編,《中國古代科學家傳記》上、下集,北京:科學出版社,1992 年。

杜石然主編,《李儼、錢寶琮科學史全集》,瀋陽:遼寧教育出版社,1998 年。

杜石然,《數學、歷史、社會》,瀋陽:遼寧教育出版社,2003 年。

沈康身,《九章算術導讀》,武漢:湖北教育出版社,1994 年。

吳文俊主編,《世界著名科學家傳記》上、下集,北京:科學出版社,2003 年。

梅榮照主編,《明清數學史論文集》,南京:江蘇教育出版社,1990 年。

(15)

HPM 通訊第十卷第十二期第一五版

梅榮照、李兆華,《算法統宗校釋》,台北:九章出版社,1992 年。

張豈之,《中國歷史:元明清卷》,北京:上海高等教育出版社,2002 年。

黃清揚,《中國1368~1806 年間的勾股術發展之研究》,台北:國立台灣師範大學數學研究 所碩士論文,2002 年。

楊玉星,《清代算學家方中通及其算學研究》,台北:國立台灣師範大學數學系教學碩士班 碩士論文,2003 年。

陳衛平、李春勇著,《徐光啟評傳》,南京:南京大學出版社,2006 年。

郭書春、劉鈍校點,《算經十書》,瀋陽:遼寧教育出版社,1998 年。

錢寶琮主編,《中國數學史》,北京:科學出版社,1992 年。

鍾秀瓏,《陳藎謨《度測》之內容分析》,台北:國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士 論文,2007 年。

三、期刊論文

王渝生,〈《勾股義》提要〉,收入郭書春主編,《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊

(鄭州:河南教育出版社,1993),頁 25。

王渝生,〈《測量法義》提要〉,收入郭書春主編,《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分 冊(鄭州:河南教育出版社,1993),頁 1~3。

杜石然,〈明代數學及其背景〉,《數學.歷史.社會》(瀋陽:遼寧教育出版社,2003),

頁316~328。

杜石然,〈徐光啟〉,《中國古代科學家傳記》下集(北京:科學出版社,1993),頁888~900。

杜石然,〈梅文鼎〉,《中國古代科學家傳記》下集(北京:科學出版社,1993),頁1030~1040。

馬翔,〈《勾股算術》提要〉,收入郭書春主編。《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊

(鄭州:河南教育出版社,1993),頁 973。

馬翔,〈《弧矢算術》提要〉,收入郭書春主編,《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊

(鄭州:河南教育出版社,1993),頁 1079。

徐光啟,〈題《測量法義》〉,《測量法義》,收入《徐光啟著譯集》上函之八(上海:上海 古籍出版社,1983),頁 1。

梅榮照、王渝生、劉鈍,〈歐幾里得《原本》的傳入和對我國明清數學的影響〉,收入梅榮 照主編,《明清數學史論文集》(南京:江蘇教育出版社,1990),頁 182~218。

梅榮照,〈明清數學概論〉,收入梅榮照主編,《明清數學史論文集》(南京:江蘇教育出版 社,1993),頁 1~20。

(16)

HPM 通訊第十卷第十二期第一六版

從 HPM 觀點看九年一貫國中數學幾何教材

──以「尺規作圖」為例

台北縣明德中學 陳玉芬老師

摘要:

本研究試圖從《幾何原本》第一卷與現今國中幾何相關部份的「尺規作圖」做比較研 究。研究方法則採用內容分析法,針對《國民中小學九年一貫課程綱要:數學學習領域》

中與「尺規作圖」相關的內容來探討 HPM (Relations between the History and Pedagogy of Mathematics ) 可以如何介入國中的數學幾何課程之中。透過《幾何原本》vs. 國中幾何課 程相關部份之研究分析,得到結果如下:

1. 國中的九年一貫《課程綱要》的能力指標,對於「尺規作圖」教學之精神未能具體 實踐。

2. 各版本幾何內容中,看似充滿豐富的活動,卻落於「有活動無課程」或是「有課程 無文化」的窘境。

3. 各版本的教材內容中,對於「尺規作圖」的定位仍止於利用直尺、圓規作出基本的 幾何圖形,未能有多元化的思考。

根據以上研究結果,研究者建議:未來在課程綱要的設計方面,應具體呈現有關數學 史的能力指標,並提供教師的數學史進修課程以落實數學史的教學;同時,在幾何教材的 設計上,應有更多元化的思考,協助學生對幾何知識進行深入思考和廣泛探究,進而強化 演繹推演及空間推理的訓練等的能力;此外,在課程設計方面,應培養他們對「數學美」

的欣賞,以彰顯課程目標與文化素養。也應注重學生實際生活經驗,激發學生的積極學習,

反映當代社會的多元文化。

關鍵詞:HPM、國中幾何教材、尺規作圖、幾何原本、數學美 英文摘要:

Junior High School Mathematics Curriculum and Textbooks in the Nine-year Integrated Structure: An HPM perspective

This study was designed to compare the interrelated geometry in The Elements and

the related part of the compass and straightedge constructions in junior high school mathematics geometry curriculum by using the content-analysis methodology. The questions we raise in this study is to explore how HPM (Relations between the History and Pedagogy of Mathematics) intervene in the curriculum, especially its geometrical aspects. My findings are summarized as follows:

(1). What by “compass and straightedge construction” teaching means is not much fulfilled in the competence indicators of Grade 7-9 “Curriculum Guidelines”.

(2). Abundant activities designed in the textbooks under study apparently dominate their

(17)

HPM 通訊第十卷第十二期第一七版

content in which curriculum goal is less emphasized.

(3). In the content of all teaching materials, the addressing of “compass and straightedge constructions” is limited to the very elementary problems which is difficult to inspire student’s the intellectual need of .the constructions.

Based on the findings, the researcher suggested that the competence indicators of history of mathematics should be presented concretely in the future revised Curriculum Guidelines. In addition, pr oviding teachers with history of mathematics for their professional development is also very beneficial. Meanwhile, geometry materials design should offer more diversified ways of thinking, and help that students can develop deep thinking of geometry knowledge. Still, students’ deductive reasoning and space reasoning ability should also be reinforced and students’

ability of appreciating the beauty of mathematics should be promoted. Concerning activities design, it should focus on students’ authentic experience in order to motivate students to learn actively, and reflect on the various cultures in the society.

Keywords: HPM, Geometry Material, Compass and Straightedge Constructions, The Elements, Beauty of Mathematics.

一、前言

國中生為什麼要學「尺規作圖」?如果要學,應該學多少?從現行的數學課程綱要來 看,在升入高中之際,平面幾何的學習已經結束,而進入坐標解析幾何。但是除了平面幾 何中的一些重要定理,如畢氏定理(商高定理)在升入高中之後仍會一再運用到之外,「尺 規作圖」卻從此消聲匿跡了。所以,「尺規作圖」若只是扮演一個階段性的任務,那麼,

它的任務究竟是什麼?同時「尺規作圖」在國中的平面幾何課程中,只是其中一個單元中 的一小節,所以,學生在學習的過程中,對尺規作圖的瞭解、大多是一知半解,遑論「尺 規作圖」背後之數學的知識價值與歷史意義。以「尺規作圖」而言,35在希臘時期的數學,

即有了非常嚴密的邏輯規範與演繹論證的素養。然而現今的教科書中,儼然將「尺規作圖」

視為只是一種作圖的工具,而忽略了所應「附加」的數學知識。

因此,本文將針對尺規作圖的意義與教學上的定位,分三部份來討論:第一部分先從 歷史的脈絡中探討「尺規作圖」的限制由來,以及「尺規作圖」在當時脈絡下的教學定位;

接著從現今教科書各版本中對「尺規作圖」單元的內容作一分析比較;而最後則說明從古 今的對照中,如何找出教學上的另一條進路。

二、「尺規作圖」的限制由來與教學上的定位

從數學歷史的發展來看,我們發現「尺規作圖」的限制源自於希臘的學術風潮。也可 以說,從希臘時期的泰勒斯 ( Thales, 640-546 B.C. ) 在數學中引入了邏輯證明之後,幾何 學逐漸發展成為一門獨立的、演繹的科學(梁宗巨,1998),也就是將數學抽象化思考,

進而從實用領域提升到思辯的層次(蘇惠玉,1999)。接著,柏拉圖(Plato, 公元前 427-347)

35 所謂的「尺規作圖」,即指平面幾何作圖中,限制只能使用「沒有刻度」而且只能用來畫直線的直尺和圓 規作為作圖的工具。

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HPM 通訊第十卷第十二期第一八版

的哲學思想也有著關鍵性的影響,他認為:幾何觀念是不存在於物質層面的,是超乎經驗 而存在的,是以「形式」(form)存在於某一個理想世界中。對他而言,學習數學是一種

「再發現」的過程,他想要去掌握或瞭解自然界現象外永恆不變的真理,數學則為他提供 了一條路徑,他在《共和國》(Republic)中,藉由蘇格拉底的話語,道出了他的數學哲學觀 點:

有一種知識是我們不可或缺的。我們所追求的這種知識有兩種用途,一種是軍 事上的,另一種是哲學上的。因為打仗的人必須研究數目,否則便無法整頓隊 伍。哲學家們亦然,他們需要在浩瀚多變的知識領域中,尋找真理並緊握它們,

所以他必須同時是一個數論家。……我們必須盡力勸勉城邦未來的領袖學習數 論,不僅僅是業餘學習,要不停的學習,直到能夠用心靈來體會數目的存在為 止。……領袖們必須為軍事用途和自己的靈性研讀數學,也因為這是使他們能 辨別真理和存在的捷徑。(轉引自蘇惠玉,1999)。

換言之,柏拉圖認為,數學家們要確實掌握一些用心靈的眼睛、才能看得清東西。現 實世界中的一切,只是理想世界中「形式」或「理形(ideal)」的不完美倒影而已,唯有 透過數學嚴謹的訓練,才可能掌握不斷變化的自然現象背後的永恆不變的真理。所以,只 要有圓和直線這兩個柏拉圖認為最簡單、最完美的圖形,應該就足以描繪其他的圖形了,

而且,若允許使用其他的機械工具,那麼,感覺成分將多於思考成分,從而就顯得膚淺且 幼稚了。而這樣的一個思想,從歐幾里得的《幾何原本》(The Elements)中有了具體的 呈現。

首先,歐幾里得利用《幾何原本》第1冊的前3 個設準(postulate)(即以下三則),

先說明了「尺規作圖」中一些基本概念的存在性,而這三點可說是承襲亞里斯多德的邏輯 演繹推理中的特定性概念 ( special notions ):36

1. 從任一點到任一點可作直線 ( To draw a straight line from any point to any point )。

2. 有限直線可沿著直線不斷地延長 ( To produce a finite straight line continuously in a straight line )。

3. 以任意中心與任意距離可作一圓 ( To describe a circle with any centre and distance )。

也就是說,歐幾里得認為二點間可用一直尺畫出一條直線,而且,此直線可不斷地重複延 長,37與給任一點與半徑長度就能畫出一個圓,這些觀念是顯而易見的,於是將它們視為 最根本的概念。而在這最根本的概念中,只需要用圓規和直尺即可完成。所以,「無論從 哲學還是從幾何曲線的可作性的認識出發,希臘人是堅決主張作圖必須有尺規限制的」

2 亞里斯多德認為一個敘述是由多個概念與關聯組合成的,而一個敘述的引用,它必是來自於其他更早之前 已經建立的敘述。而敘述本身必須依次地由先前的證明來獲得,也就是來自於先前的演繹,正因為我們不可 能無止境地持續這樣往回推演過程,因此,必有某些部份是一個起始點,所以有些敘述就必須被視為是真理 而且無需藉由證明來支撐其存性,他將這樣的「真理」分成了二類:一類是「對所有演繹法都視為基礎的真 理」,稱為「一般概念」( common notions ),另一類是「一種特定的法則的視為基礎的真理」稱為「特定概念」

( special notions ) ( Bunt, Jones & Bedient, 1998 ) 。

37 在當時的希臘時期是避談「無限」概念的,歐幾里得也不例外,從上述的設準 2 即可看出端倪,敘 述中只說明直線可以不斷地增加,卻未說明此直線是「無限」延長。參考陳玉芬 (2006 )。從HPM 觀點看九年一貫國中數學幾何教材。國立台北教育大學數學教育研究所碩士論文。

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HPM 通訊第十卷第十二期第一九版

(蘇惠玉,1999)。這就是希臘的基本精神,它要求基本假定越少越好,而推出的命題則 愈多愈好。所以,對於作圖工具,自然也相應地限制到不能再少的條件。

接著,我們將從《幾何原本》中有應用到「尺規作圖」的相關例題,詳細說明「尺規 作圖」在歷史中所扮演的角色。

《幾何原本》第1 冊 命題 1:在一個已知有限直線上作一個等邊三角形。

也就是:AB 為已知線段,求作在線段 AB 上作一等邊三角形

C

A B

作法:1. 分別畫出二個圓(A,AB),(B,AB38(設準3),C為二圓的交點。2. 連接 AC 與 BC (設準1)(如右圖)。

證明:因為 ACAB (定義 15), BCAB (定義 15),所以 AC BC,得 ABC∆ 為 等邊三角形。

《幾何原本》第1 冊的命題 2:由一個已知點(作為端點)作一線段等於已知線 段。39 即:A為已知點,BC為已知線段,求作一線段與BC等長。(如下圖,引自Euclid, 2002,頁 5)

作法:1. 連接AB(設準1);2. 在 AB 上作等邊三角形 DAB(命題 1)3.畫出(B, BC ) 的圓(設準 3);延長 DA,DB 成直線AE,BF,(設準 2)畫出(D, DG )的圓(設準 3); BCQ =BG

DGDLDADB;∴AL 等於 BC (公理 3)

證明: DLQ ≅DG(定義15);DADB(由作圖得知)。

AL BG

∴ ≅ (公理3),因此推得 AL BC≅ (公理1)。

38 在本節中對於《幾何原本》的文本內容,呈現方式,為便於閱讀,將以較接近現今的數學符號來表示,因 此所轉譯的方式雖有所不同,但不失其文本之本意。在此(A,AB)則表示以A為圓心,AB為半徑所畫的 圓。(B,AB)之意義亦同。

39 即A為已知點,BC為已知線段,求作一線段AL與BC等長。

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HPM 通訊第十卷第十二期第二○版

由上述的二題證明中,可以看出歐幾里得對於「尺規作圖」在作圖時的「尺」、「規」

是有所要求的:

‧對於命題2 中,最後結果 AL BC≅ 的手段可說是透過「長度的一一對應」,40而非用

「測量」。因此,對於直尺上的刻度則顯得是個多餘的條件了。

‧從上述的二個命題中也可發現,歐幾里得對於畫圓的處理,始終顯得「保守」,41舉 例來說,歐幾里得之所以並未使用「任意長為半徑與任一點來作圓」,如:作圓(P,AB),

正是因為歐幾里得對於「圓規具有伸縮的特質」有所保留,也就是說,他認為:圓規的腳 一旦離開紙面,那麼將使圓規精準度有所質疑 (Bunt, Jones & Bedient, 1998 )。因此,歐幾 里得在證完該命題之後,圓規的腳即可離開紙面了。而這也更顯示歐幾里得認為,即使在 作圖,對於幾何演繹的訓練也應具備高度的嚴謹性。

‧如此一來,那麼我們是否必須對「設準3:以任意中心與任意距離可作一圓」的措 辭稍作修正?恰恰相反!筆者認為「設準3」的內容恰如其分!因為從歐幾里得的命題安 排來看,在命題1 之後,緊接著命題 2 的內容,可知歐幾里得希望能藉由命題 2 的證明結 果來說明可以利用「任何一線段長與任一點」都能做出一個圓。因為任何一段長度都可以 由命題2 的作圖法獲得,而這也使得「圓規的特質」所造成的誤差在「理論上」可以克服 了。

接著,再來看看「尺規作圖」在幾何上的應用。首先是命題3。

《幾何原本》第1 冊的命題 3:已知兩條不相等的線段,試由大的上邊截取一條線段使 它等於另外一條。(如右圖,引自Euclid,2002,頁 5)

作法:由點A 取 AD 等於線段 C (命題 2) 且以 A 為心,以 AD 為距離畫圓 DEF。(設 準3)。

證明:因為點A 是圓 DEF 的圓心,做 AE 等於 AD. (定義 15) C 也等於 AD,所以線段 AE、C 的每一條都等於 AD。

40 首先要說明的是在《幾何原本》中的「全等於 ( equality ) 」,相當於現今的 congruent 的符號,而「」,

指的是「彼此的量是能夠一一對應的」(即公理 4)

41 因為只要是畫圓,所使用的圓心必是作為該半徑的線段長的其中一個端點,如:若該圓的半徑長為AB 則圓心必為端點的A或B。

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HPM 通訊第十卷第十二期第二一版

顯然地,此命題的手法近似於現今教科書中的作法,這表示歐氏明白這樣的事實是存 在的,只是他為了這樣的存在性,運用了更加嚴謹的方式來證明。也便於命題5 及命題 22 的證明。42

在《幾何原本》中相關的作圖題有:第1冊中的命題1、2、3、9、10、11、12、22、

23、31、42、44、45 與 46。43然其中命題1、2,3 已如上述,命題 22、42、44、45 與 46 雖然也屬國中課程內容,但並未安排於教科書的「尺規作圖」單元中,故在此不加詳述。

《幾何原本》第1 冊的命題 9:二等分一個已知角(如下圖)。

作法:1.在角的二邊截取 B,C 二點,使得 AC=AB (設準 3);

D C

A B

2. 連接 BC ,並作等邊三角形 BCD (命題 1);3.連接AD(設準1)

證明:1.因為三邊全等,則三角形 ACD∆ ≅ ∆ABD(命題8)

2. 則對應角∠CAD≅ ∠BAD

《幾何原本》第一冊命題10:二等分一個直線段(即中點作圖)。如下圖所示。

作法:1.作全等三角形 ABC (命題 1);2.平分 ACB∠ ,並交於AB上的D 點 (命題 9);

3. D 點即為AB的平分點。

證明:利用命題4:若兩對應邊相等且夾角相等,則二個三角形全等(SAS 全等性質),

得證AD=BD,故D 點即為AB的平分點。

D C

B A

《幾何原本》第1 冊的命題 11:由已知直線 l 上的已知點 A 作一直線,使與已知直線 成直角(即過線上一點作一垂線),如下圖。

42 命題 5:在等腰三角形中,兩底角彼此相等。

命題 22:由已知的三個線段長作一個三角形。

43 命題 42:利用已知角作平行四邊形,使其面積等於已知三角形的面積。

命題 44:利用已知線段、已知角作平行四邊形,使其面積等於已知三角形的面積。

命題45:利用已知的四邊形、已知角作平行四邊形,使其面積等於已知的四邊形面積。

命題 46:在已知線段上作一個正方形。

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HPM 通訊第十卷第十二期第二二版

作法:1.在 l 上截取 B,C 二點,使得 AC= AB(設準3);2. 作一等邊三角形 BCD (命 題1);3. 連接AD(設準1),則AD即為 BC 上的垂線。

證明:1.因為三邊全等,則三角形 ACD∆ ≅ ∆ABD(命題8);

2. 所以∠CAD≅ ∠BAD,得AD為直線 l 上過A點的垂線

(定義10)。44

B A C l D

《幾何原本》第1 冊的命題 12:由已知直線外的一已知點 A,

作該直線 l 的垂線。

作法:1. 在直線 l 外找一點 P,並使得 A,P 二點在 l 的異側;2.

作圓(A,AP(設準 3) 並交直線 l 於 B,C 二點;3. 作 BC 中點 D(命 題10),連接AD ( 設準 1),

AD即為所求,如下圖。

A

證明:1. 因為三邊對應等長,則三角形 ACD∆ ≅ ∆ABD(命題8);2. 所以 皆為直角(定義10)。

ADB ADC

∠ ≅ ∠

B D •P C l

《幾何原本》第1 冊的命題 23:在已知直線的已知點上作一角與已知角相等(如下圖,

引自Euclid,2002,頁 19)。設 AB 是已知直線,A 為它上面一點, DCE∠ 為已知角。

作法:1.在 DCE∠ 的二個邊上分別任意取點D、E,並連接DE。2.利用已知的三條線 段CD、DE、CE 作 AGF∆ ,使得AF 等於 CD,AG 等於

CE,FG 等於 DE (命題 22),則∠FAG= ∠DCE

證明:1.因為三邊對應全等,則三角形 AFG∆ ≅ ∆CDE

(命題8);2. 所以作出了∠FAG≅ ∠DCE

《幾何原本》第1 冊的命題 31:過一已知點 A,作一直線EF平行於已知直線 BC(如 下圖,引自Euclid,2002,頁 26)。

作法:1.在 BC 上任取一點 D,連接AD;2.在AD上的點A,作 DAE∠ ≅ ∠ADC(命題 23);3.且設直線 AF 為直線 EA 的延長線,則EFsuur

即為所求。

44 定義 10:在同一直線上的二鄰角相等,則此二角為直角。

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