考量機率特性之結合反應曲面法與非線性時變粒子群 演算法於電力諧波濾波器最佳化設計
張英彬*
南開科技大學電機與資訊技術系
摘 要
本文探討在系統阻抗變化及諧波電流不確定因素下之工業用戶大容量電 力諧波濾波器之規劃，藉由使用最佳規劃與機率法來解決困難之求解問題，有 效改善諧波污染，以提升工業用戶之電力品質。由於在工業用戶中裝設大容量 被動濾波器改善諧波問題，必須考量諧波管制標準、虛功率補償及濾波器損失 限制條件，故形成非線性不可微分性質最佳化問題，以傳統嘗試法難以處理。
有鑑於此，本文先使用反應曲面法結合非線性時變粒子群演算法求解濾波器規 劃問題，反應曲面法能快速收斂並找尋出最佳解，建立濾波器系統模型，並考 量系統阻抗及諧波電流之隨機不確定因素，但為了避免陷入局部最佳解，再結 合非線性時變粒子群演算法為基礎的隨機搜尋法，使得求出全域最佳解之機會 大增。最後，為驗證所提方法，本文使用工業用戶化工廠濾波器設計實例，使 用整流器的非線性負載。由模擬結果顯示，本文提出的方法能快速決定濾波器 容量，有效抑制諧波，並避免系統共振問題。
關鍵詞：反應曲面法，粒子群演算法，非線性時變，電力品質，諧波濾波器。
APPLICATION OF COMBINED RESPONSE SURFACE METHODOLOGY AND PARTICLE SWARM OPTIMIZATION WITH NONLINEAR
TIME-VARYING EVOLUTION FOR HARMONIC FILTERS CONSIDERING PROBABILISTIC CHARACTERISTICS
Ying-Pin Chang*
Department of Electrical and Information Engineering Nan Kai University of Technology
Nantou, Taiwan 542, R.O.C.
Key Words: response surface methodology, particle swarm optimization, nonlinear time-varying evolution, power quality, harmonic filter.
ABSTRACT
This paper provides the study of large-scale industrial harmonic filter design problems using optimization techniques and probability-based methods, considering system impedance and harmonic currents uncertainties.
*通訊作者：張英彬，e-mail: [email protected]
Corresponding author: Ying-Pin Chang, e-mail: [email protected]
The solutions of difficult optimization planning problems are achieved. It is indicated that the proposed methods not only reduce harmonic pollution but also improve power quality. In the passive harmonic filter design of the applications, this method can determine optimal filter sizes. The purposes are to minimize the total demand distortion of harmonic currents.
Filters loss, reactive power compensation, constraints of individual har- monics are also considered. These are difficult to solve by conventional methods since the solution space is extremely broad. Owing to the ability dealing with optimization problems, the paper presents a combination of response surface methodology (RSM) and particle swarm optimization with nonlinear time-varying evolution (PSO_NTVE) to investigate the planning of large-scale passive harmonic filters. The basic strategy of RSM guides the search point to local optimum and the PSO_NTVE escapes from the valley of the local optimum in order to arrive at a global optimum. Finally, in order to verify the proposed methods, case studies are taken from a chemical plant where DC arc furnaces are installed. The results show that the proposed methods can quickly determine filter capacitors, reduce harmonic pollution, and avoid amplification.
一、前 言
近年來電力電子技術高度發展，電力電子設備廣泛應 用於電力裝置上，由於非線性負載的特性，使得電力諧波 造成之影響日漸嚴重，由於非線性負載的特性造成大量諧 波注入電力系統，嚴重諧波污染影響電力品質，甚至導致 過電壓與過電流破壞電力設備、輸電線過熱導致絕緣劣 化、造成保護電驛誤動作、量測儀器造成量測誤差、電容 發生並聯共振等問題。由於上述的各種問題，會對帶來電 力系統安全、穩定、經濟發展構成潛在的威脅[1]，因此，
對電力系統諧波問題的研究已被人們逐漸重視。諧波問題 涉及範圍很廣，包括對諧波源分析、諧波補償和諧波改善 等，所以必須加以改善諧波以提昇電力品質，並裝置電力 諧波濾波器濾除電力系統中之非線性負載所產生諧波，
並符合電力公司諧波管制標準及濾波器虛功率補償之限 制條件。
有許多學者過去幾年間致力於濾波器之設計，文獻 [2-4]以傳統試誤法 (try and error method) 決定濾波器容 量，此種方法不僅相當耗時，而且所求並非是濾波器最佳 容量。為改善以上缺點，許多文獻陸續提出各種最佳化演 算法 (optimal method)，例如可行方向法是用梯度去求解非 線性最佳化問題的搜尋法[5]，也是求解具限制條件最佳化 問題的方法，優點是收斂速度快，缺點是求解過程易陷入 區域最佳解。循序無限制條件最小化技巧 (sequential unconstrained minimization techniques, SUMT) [6]，在目標 函數為非線性函數時，其極小值容易發生數值問題。針對 此問題，在被動式濾波器規劃方面，最近有些文獻採用隨 機直接搜尋法，例如基因演算法[7]，能夠處理任何型式種 類之目標函數及限制條件，是一種多路徑搜尋 (multi-path search) 的最佳化方法，不論是線性、非線性、連續或混合
變數皆能有效求解，是一種強健之搜尋法則，文獻[8]利用 基因演算法及處罰函數之概念，並應用交談式模糊多目標 非線性規劃法設計濾波器，並考慮系統負載及短路容量不 確定性，而文獻[9]以配電系統為實例，使用靈敏度分析方 法決定被動濾波器最佳位置，再根據基因演算法計算濾波 器最佳容量。然而基因演算法主要缺點，是在最佳化求解 過程，為了增加族群的多樣性以擴展搜尋空間，通常會設 定較大族群數，所以相對收斂速度會變慢，求解較為耗 時。模擬退火法 (simulated annealing approach) 也是採用 隨機直接搜尋方法，可處理非線性和不可微分目標函 數，文獻[10]採用模擬退火法求解濾波器最佳容量，不過 主要缺點是計算時必須評估非常多的設計點。差分進化 法 (differential evolution method) [11]可以解決不可微分的 非線性函數最小化問題，採用隨機直接搜尋法，利用上代 與下代間競爭原理，因此收斂速度較快，然而因快速收斂 特性可能使族群多樣性大幅減少而過早收斂，極可能收斂 至區域最佳解。文獻[12]則提出改良型差分進化法，稱為 混合差分進化法 (hybrid differential evolution method)，嵌 入加速程序 (accelerating operations) 及遷移程序 (migrant operations) 克服以上缺點。
有些文獻則提出實驗設計方法，則是以較少的實驗變 數 組 合 ， 取 得 特 定 條 件 下 有 效 的 計 算 值 ， 如 直 交 表 (orthogonal arrays)、田口方法 (Taguchi method) 與反應曲 面法 (response surface methodology, RSM) 等方法，並使用 於不同操作條件下的最佳化。文獻[13]以反應曲面法同時 測定各變數間影響的反應值，此方法同時具有尋找區域最 佳化條件功能，因此被廣泛應用於工程案例設計。此外，
粒子群演算法 (particle swarm optimization, PSO)，是屬於 人工智慧演算法，西元 1995 年由甘迺迪 (Kennedy) 與埃 伯哈特 (Eberhart) 兩位學者所提出，這兩位學者藉由觀察
鳥類族群覓食的訊息傳遞所得到的啟發，粒子群演算法的 理論基礎是以單一粒子來做為鳥類族群之中的單一個體，
於演算法中賦予該粒子擁有記憶性，並能夠透過與粒子群 體中的其他粒子之間的互動而尋求到最佳解[14]，然而，
PSO缺點即在求解最佳化問題的搜尋初期收斂速度較快，
到了後期搜尋階段隨著粒子群逐漸往群體最佳解的粒子靠 近，因而喪失了整個群體的多樣性，導致搜尋後期收斂速 度變慢且粒子易陷入局部最佳解。為了解決此一缺點，使 其具有動態適應方法的研究，利用非線性時間的演算變化 調整慣性權重與加速常數，改良現有 PSO 缺點並應用於最 佳規劃，利用五個著名的樣本函數驗證，並且已有具體的 研究成果[15]。
本文主要是針對工業用戶，提出被動式濾波器最佳規 劃方法，能有效降低系統之諧波失真問題，提高供電之電 力品質。因此本文首先提出反應曲面法，能快速地收斂並 找尋出最佳解，但為了避免陷入局部最佳解，再結合非線 性時變粒子群演算法為基礎的隨機搜尋法，從局部最佳解 跳出，使得求出全域最佳解之機會大增。不過在最佳化求 解過程，為了達到搜尋整體全域最佳解，非線性時變粒子 群演算法通常會避免陷入區域最佳解，以及提昇解答的正 確性與收斂速度。
二、研究方法
本文所探討之化工廠工程案例，基本上皆屬於不可微 分的非線性函數最佳化問題，求解空間中，包含著許多局 部最佳解，如同許多山谷的地形，以傳統嘗試法難以處理。
有鑑於此，本章節首先提出反應曲面法，快速收斂並找尋 出最佳解，建立濾波器系統模型，能快速地收斂並找尋出 最佳解，但為了避免陷入局部最佳解，再結合非線性時變 粒子群演算法為基礎的隨機搜尋法，從局部最佳解跳出，
使得求出全域最佳解之機會大增，首先介紹最佳化設計數 學式表示。
1. 最佳化設計問題描述
濾波器規劃目的是以電流總諧波失真為最小化，並考 慮虛功率補償與各次諧波限制條件，其表示如下：
(一) 目標函數
濾波器規劃問題以數學式表示如式 (1)：
( )
F THDI MOF
Minimize M Q =I − (1)
其中
ITHDI – MOF：流向系統 MOF 端電流諧波總需量失真。
(二) 限制條件
諧波電流須滿足諧波管制標準，例如 IEEE Standard 519 [16]。為避免濾波器引發並聯共振產生諧波放大現 象，於調諧點以下之諧波電流限制條件為管制標準。
(1) 虛功率補償
L R C C1
L R C
L C
圖1 各種類型被動式濾波器之電路圖
每一組濾波器基本波虛功率上下限如式 (2)：
max min
Fi Fi Fi
Q >Q >Q (2)
其中
QFi：第 i 個濾波器基本波虛功率;
max
QFi ：第 i 個濾波器基本波虛功率的上限;
min
QFi ：第 i 個濾波器基本波虛功率的下限。
(2) 調諧點 h0與阻尼時間常數 m (damped time con- stant)
如圖 1 所示為三種被動式濾波器型式[6]，為濾除 之諧波頻率時為電感性，可防止諧波放大，調諧點 限制如下式 (3)-(8)：
(a) 單通濾波器
0 1
1 2 h
f LC
= π (3)
* *
1 0 2
a h ≤ ≤h a h (4)
(b) 高通阻尼濾波器
0 1
1 h 2
πf CR
= (5)
2
m L
=R C (6)
* 2
1< ≤h0 h m−m , 0< < (7) m 1 (c) C型阻尼濾波器
2 2 2
0
2 2
1 ( 1)[ ( 1)],
0 1
h m h h m h
h m h
h
∗ ∗ ∗
∗
∗
∗
< − − −
< <
−
(8)
h0, m同式 (5) 及式 (6)。
2. 最佳化方法
本文採用兩種最佳化的方法分別為 (一) 反應曲面 法；(二) 非線性時變粒子群演算法。說明如下：
(一) 反應曲面法
反應曲面法的設計概念是由 Box 和 Wilson 在 1951 年
圖2 反應曲面法實驗設計之流程圖
時首先提出[17]，基本構想為結合數學與統計分析方 法所發展的方法論，根據實際的實驗數據，描述受測 試因子與目標函數間相互關係的數學模式，進一步藉 由此模式尋找極值點所在的位置。
(1) 反應曲面法之原理：
反應曲面法經由 Box 等學者長期的研究，此方法 已發展得相當完整如圖 2 所示，統整其最佳化步 驟，主要包括五項。
(2) 極值點區域之逼近：
根據現有文獻資料或實驗數據選擇適當的因子，推 論有效範圍，設定各個因子合理實驗範圍，利用二 水準因子設計 (two-level factorial design) 及陡升 路徑法 (method of steepest ascent) 找尋極值點區 域。
(3) 反應曲面數學模式之建立：
依照中心合成設計 (central composite design)，結 合因子設計實驗之數據，以多元迴歸 (multiple regression) 進行二階模式的數據契合。
(4) 模式適切性之檢驗：
以統計檢定方法證明此數學模式在實驗數據描述 上的適切性。
(5) 極值點之決定：
在確定反應曲面模式之後，可藉由求極值之數學理 論決定極值點位置及由理論計算的最佳回應值。
(6) 因子影響效應之分析：
各因子對目標函數的影響效應及因子間的相互關 聯效應亦可藉由此數學模式進行分析，並進一步以 實驗證明極值點的可靠性。
反應曲面法藉由二水準因子設計及陡升實驗方法找 出粗略的極值點所在區域後，再進一步的確定極值點 的位置，一般使用二階模型方程式如下式 (9)：
2 o
1 1
k k
i i ii i ij i j
i i i j
X X X X
Y β β β β ε
= = <
+ +
= +
∑
+∑ ∑
(9)其中：Y 為反應變數，X 為自變數，能更詳細的描述 極值點之座標及立體曲面之變化，依此模式尋找極值 點座標，代表在反應 Y 中所觀測的雜訊或誤差，也代 表二階模型係數。
(二) 非線性時變粒子群演算法
粒子群演算法是一種進化計算技術，主要概念是源自 於對動物群體行為的研究。傳統粒子群演算法缺點即 在求解最佳化問題的搜尋初期收斂速度較快，到了後 期搜尋階段隨著粒子群逐漸往群體最佳解的粒子靠 近，因而喪失了整個群體的多樣性，導致搜尋後期收 斂速度變慢且粒子易陷入局部最佳解。粒子群演算法 進行修正，使其具有動態適應方法的研究，利用非線 性時間變化的演算調整慣性權重與加速常數，改良現 有粒子群演算法缺點並應用於濾波器最佳規劃，所提 非線性時變粒子群演算法能調整慣性權重與加速常 數，利用五個著名的樣本函數，驗證所提出方法的效 能。最後利用更新法則來對每個粒子目前的位置做更 新如下式 (10)-(15)：
1 1
( 1) ( ) ( ) ( ) ( l( ) ( ))
i t+ =ω t ⋅ i t +c t r⋅ ⋅ i t − i t
V V P P
2( ) 2 ( g i( )) for i 1, 2, , mp
c t r t =
+ ⋅ ⋅ P −P (10)
( ) ( ) ( 1)
i t = i t +V ti +
P P (11)
max
min max min
max
( ) iter iter ( )
k iter
α
ω =ω + − ⋅ ω −ω
(12)
max
1 1min 1max 1min
max
( ) iter iter ( )
c k c c c
iter
− β
= + ⋅ −
(13)
max
2 2 max 2min 2 max
max
( ) iter iter ( )
c k c c c
iter
− γ
= + ⋅ −
(14)
, , {0, 0.5, 1, 1.5, 2}
α β γ∈ (15)
其中
mp：種族粒子群數；
k：目前疊代數；
圖3 結合反應曲面法與非線性時變粒子群演算法應用 於濾波器最佳規劃的流程
Pi(k)：在疊代 k 中第 i 個粒子的最佳位置；
l( )
P ki ：在疊代 k 中第 i 個粒子的最佳解；
Pg：全粒子的最佳解；
Vi(k)：在疊代 k 中第 i 個粒子的速度；
ω(k)：第 k 疊代慣性權重；
c1(k)：第 k 疊代認知參數；
c2(k)：第 k 疊代社群參數；
(Pg － Pi(k))：現在位置和群體最佳值的距離；
r1、r2：介於 0 和 1 之間的隨機常數。
如圖 3 為結合反應曲面法與非線性時變粒子群演算法 應用於濾波器最佳規劃的計算流程，說明如下：
(1) 輸入系統阻抗與諧波源資料。
(2) 由電腦隨機產生 1000 個諧波電流。
(3) 建立匯流排阻抗矩陣。
(4) 判斷原有濾波器在不同負載時濾波效果是否不 足，必須重新設計濾波器，若符合則進行反應曲面 法程序；反之，進入結束狀態。
(5) 給定濾波器容量初始解。
(6) 設定各因子的合理實驗範圍。
(7) 設計 2n組二水準全因子實驗。
(8) 使用陡升路徑法找尋極值點區域。
(9) 判斷因子是否在最佳值區域，若為非則回至步驟 6 重新設計。
(10) 使用中心合成設計增加軸點及中心點實驗，補足 各因子的水準值。
(11) 計算二階迴歸模型分析。
(12) 反應曲面法近似解加上 (mp-1) 個隨機向量值，做 為非線性時變粒子群演算法初始值。
(13) 參數設定及隨機初始化粒子的位置和速度。
(14) 計算每顆粒子的目標函數。
(15) 每顆粒子與該粒子之最佳評估值比較，則以新的 位置及評估值取代為最佳解。
(16) 若粒子的最佳評估值優於群體的最佳解，則取代 所有粒子的最佳解。
(17) 根據公式 (12)-(14) 調整粒子慣性權重、認知參 數、疊代社群參數。
(18) 代回公式 (10)-(11) 改變粒子的速度和位置。
(19) 判斷輸出最佳解是否達到滿足條件，否則回到步 驟 14。
(20) 疊代次數累計 G = G + 1。
(21) 驗證疊代次數是否達到 Gmax = 1000，若不足則回 到步驟 (14) 繼續執行，直到最大疊代次數為止。
三、結果與討論
本文所探討實際案例化工廠，當整流器運轉時，於責 任分界點流向系統部分諧波電流不符合台電諧波管制標 準，因此濾波器須重新設計，總虛功率補償的要求如表一 所示，使得系統功率因數改善為 1。圖 4 為化工廠整流器 之電路單線圖，負載為三組 30.4 MVA 之 6 脈波整流器。
為減少諧波輸出量，整流器變壓器一次側安排成各差 20 度，以組合成 18 脈波整流器。為濾除諧波該廠裝置有 5
表一 化工廠22kV側負載之功率與功率因數
負載功率 功率因數
視在功率(MVA) 實功率(MW) 虛功率(MVAR) 未裝設濾波器 裝設濾波器之後
91.2 73.87 54 0.81 1.0
表二 化工廠模擬所使用之台電系統等效電阻與電感值
台電系統阻抗 1.39% 1.73% 3.05% 5.52% 7.62%
RS 0.00224 Ω 0.00279 Ω 0.00492 Ω 0.00891 Ω 0.01229 Ω LS 0.1785mH 0.222mH 0.3916mH 0.7087mH 0.9783mH 註：Vbase = 22 kV、Sbase = 100 MVA
圖4 化工廠電力系統單線圖
次及 7 次濾波器。主變壓器一次側有其他負載及 385 MVA 之汽電共生發電機組。主變壓器一次側以上包括台電系 統、汽電共生發電機及其他負載，以等效台電系統阻抗 (RS + jXs) 表示，此阻抗隨台電系統狀況而變化，在本文中 共採用五種阻抗值，列於表二。其中 1.73%與 3.05% 為由 台電所提供之最大與最小短路容量計算所得，1.39%為台 電最大短路容量加上五部汽電共生發電機全開時之阻抗，
5.52%為實際於 A 點量測切換 7 次濾波器造成的電壓與虛 功率變化計算所得，7.62%則是與台電解聯時五部發電機 全開時的等效阻抗。假設系統與變壓器阻抗的品質因數 (quality factor) 為 30，而且電阻在不同頻率時均維持固 定，可能使模擬結果較為保守，尤其是在與台電解聯時的 模擬分析。圖 4 中 M 點至 F 點間之 XLPE 電纜以電容等效
表示，D 點的負載以串聯兩台 3.75 MVA 馬達之等效阻抗 表示。雖然一般皆假設 6 脈波整流器並不會產生偶次諧波 電流，但由表三的整流器諧波電流實測值卻顯示有少量的 偶次諧波依然會產生，因此計算諧波潮流時必須包含偶次 諧波。整流器會產生偶次諧波電流，通常是因元件特性不 對稱或閘流體觸發角度上下半週不對稱所致，另外電壓波 形失真時，也會使整流器產生偶次諧波電流。
本實例探討某化工廠的諧波電流放大現象及濾波器 重新設計所遭遇的問題。該廠原先設有 5、7 次諧波濾波 器濾除整流器諧波電流，不過在系統輕載時出現明顯的 5 次諧波放大，因不符合電力公司管制標準，進而導致整 流器降載運轉，造成效率損失。而該廠主要負載為三台 整流器，考慮不平衡運轉情況，共分三種負載狀態。模
表三 化工廠整流器三種諧波電流模式 諧波電流(A)
諧波次數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
模式 1 1493 16 18 12 178 5 136 17 18 7 模式 2 2219 35 31 27 31 13 34 18 21 13 模式 3 2219 40 37 35 64 14 44 20 24 15 諧波次數 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 模式 1 22 4 23 10 15 17 48 15 33 14 模式 2 62 17 53 21 26 21 97 18 95 18 模式 3 55 15 49 13 24 26 88 17 90 16
式 1 諧波電流源為只有兩台整流器不平衡運轉，總負載為 232 kA (DC)，模式 2 與模式 3 為兩種諧波電流源均為三台 整流器平衡運轉，總負載為 348 kA (DC)。而模式 1 諧波電 流源由濾波器製造廠商測量的平均值，而模式 2 與模式 3 之奇次諧波為整流器製造商所提供。表三模式 3 諧波電流 源的特點是在低次諧波電流量頗為可觀。模式 2 和模式 3 中因平衡運轉時 5 次、7 次諧波電流互相抵消，故較不平 衡運轉時少，而 17 次、19 次諧波電流因無法抵消，且負 載較重所以失真量亦較大。
1. 原有濾波器
該廠主要負載為三台整流器，考慮不平衡運轉情況，
共分三種負載狀態，如表三所示。模式 1 諧波電流源為只 有兩台整流器不平衡運轉，總負載為 232 kA，模式 2 與模 式 3 為兩種諧波電流源均為三台整流器平衡運轉，總負載 為 348 kA。
2. 機率考量
濾波器設計時，有些不確定因素應考慮，例如系統阻 抗會變化，不同負載狀態會產生不同諧波電流，而且所裝 設濾波器運轉後，濾波器參數失調與製造上的誤差也會造 成調諧點漂移問題。以機率概念來描述不確定因素，針對 可能的情況，即隨機變數，給定不同機率值，最後再以數 學期望值與標準差做為濾波器規劃的依據。
(一) 整流器諧波源模式
目前工業界大多採用高脈波整流方式，本文所提實例 為 18 脈波整流器架構。通常整流器正負半波對稱運 轉，只會產生奇次諧波，因此如果有大量的偶次諧波 電流產生，可能為轉換器內部故障造成不對稱運轉，
或正負半周電壓波形不對稱，當然也可能是電力電子 元件不相同。有鑑於此，以機率分佈詮釋所產生的不 確定性負載諧波電流大小。常態變數機率分佈的數學 方程式取決於期望值和標準差：µ和σ兩個參數。因 此用 f(x) 來代表 X 的密度數值：
1 2 ( )[ ]
1 2
, ( ) 2
x u
e x
f x σ
πσ
− −
−∞ ≤ ≤ ∞
= (16)
期望值和標準差表示如下式 (17)：
2 A B µ= + 和
6 B A
σ≅ − (17)
其中 A、B 值代表諧波變化之最大與最小值。由電腦 產生 1000 個常態分佈隨機諧波電流值，如圖 5 所示 為基本波 I1與各次諧波 I2~I9之常態分佈圖，針對各種 可能出現的目標函數值都有一個機率，利用期望值與 標準差做為濾波器規劃依據，每一小圖中設定產生 1000個隨機諧波電流值，其中圖 5 之基本波 I1得知，
變動範圍從 1490 A~2200 A 之間，電流平均值由方程 式集中於 1800 A 附近，往左右兩側呈現遞減狀態，而 縱軸 n 為隨機產生的次數，約有 48 次的隨機次數產 生。其次，特性諧波源 I5變動範圍從 68 A~180 A 之 間，電流平均值大約集中在 120 A 附近，往左右兩側 遞減的現象，約累計有 29 次的隨機次數產生。同理，
諧波源 I7變動範圍較小，介於 4 A~46 A 之間。
(二) 系統阻抗變動
台電電廠機組常有定期維修情形，因此系統短路容量 並非定值，而是在最大與最小間變動，這將影響濾波 器設計結果。為使系統阻抗值的考量更具體化，以上 述最大與最小阻抗變動範圍之機率分佈概念描述可 能出現所成的集合，代入方程式 (16) 與 (17)，其中 A、B 值分別代表系統阻抗變化之最大與最小值，最 大值為 7.62%是與台電解聯時五部發電機全開時的等 效阻抗，而最小值則為 1.39%為台電最大短路容量加 上五部汽電共生發電機全開時之阻抗，同時由電腦產 生 1000 個常態分佈隨機系統阻抗值，各種可能出現 的阻抗有一個相對應機率大小，以此呈現系統阻抗變 動的影響。
3. 反應曲面法模擬分析
使用 Minitab 軟體進行模擬分析化工廠三個設計方 案，目標函數設定為總諧波電流失真率 THDI最小化。本 文所選定之濾波器容量於每一個設計方案設定兩個實驗因 子及兩個水準，避免濾波器有過度補償現象，因此設定容 量之最大與最小值搜尋範圍。
1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 0
10 20 30 40 50
10 20 30 40 50
0 10 20 30 40
15 20 25 30 35 40
0 5 10 15 20 25 30 35
10 15 20 25 30 35 40
0 5 10 15 20 25 30 35
60 80 100 120 140 160 180 0
5 10 15 20 25 30
4 6 8 10 12 14 16
0 5 10 15 20 25 30 35
0 10 20 30 40 50
0 5 10 15 20 25 30 35
17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 0
5 10 15 20 25 30 35
18 20 22 24 26
0 5 10 15 20 25 30 35
I1 (A) I2 (A) I3 (A)
n n n
I4 (A) I5 (A) I6 (A)
n n n
I7 (A) I8 (A) I9 (A)
n n n
圖5 化工廠整流器諧波源模式之機率常態分佈圖
0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 99 90 50 10 1
(a) Residual
Percent
3.85 3.80 3.75 3.70 3.65 0.10
0.05 0.00 -0.05 -0.10
(c) Fitted Value
Residual
0.08 0.04 0.00 -0.04 -0.08 4 3 2 1 0
(b) Residual
Frequency
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10
(d) Observation Order
Residual
Versus Order Histogrm
Residual Plots for THDI
Normal Probability Plot Versus Fits
圖6 使用反應曲面法在第一設計方案統計分析
(一) 第一設計方案：
如圖 6(a) 所示為使用反應曲面法於第一次設計方案 之殘差線性圖，此殘差分析圖在於檢測非常態性，Y 軸為百分比 (%)，則 X 軸表示殘差值，所求之 THDI (%) 值以隨機且以點分佈方式呈現，而殘差值可以直線方 式來近似一條斜線，百分比的範圍其最小在 5%，而 最大在 95%，其殘差值範圍介於 ±0.1 之間，而直線
方程式為 y = 800x + 50，R2 = 0.86表示殘差值呈現常 態分佈。圖 6(b) 為使用反應曲面法於第一次設計方案 之殘差直方圖，此直方圖在於檢測多個波峰、離群值 與非常態性。Y 軸為變動頻率，則 X 軸表示殘差值；
隨機變動頻率介於 0~4 之間，其中殘差值 0 為變動頻 率 2，±0.04 與 ±0.08 的殘差值為 1，而 ±0.02 殘差值 的變動頻率 4 為最高，此直方圖呈現對稱鐘型顯示殘
Q1
Q2
10.0 9.5 9.0 8.5 8.0 10.5
10.0
9.5
9.0
8.5
> 4.0
< 3.7 3.7-3.8 3.8-3.9 3.9-4.0 THDI
Contour Plot of THDI vs Q2, Q1
圖7 使用反應曲面法在第一設計方案的等高線
10 11
3.60 3.75 3.90
9 4.05
8 9 8
10 9.21
9.25
THDI (%)
Q2 (10
6 VAR)
Q1 (106 VAR)
Surface Plot of THDI vs Q2, Q1
25
圖8 使用反應曲面法在第一設計方案的反應曲面
High Cur Low New
D 0.96390
THDI
Minimum y = 3.6102 d = 0.96390 Composite Desirability 0.96390
Q2
10.9142 [9.1761]
8.0858 Q1
10.4142 [9.2143]
7.5858
圖9 使用反應曲面法在第一設計方案的最佳化條件
差值為常態分配。圖 6(c) 為使用反應曲面法於第一次 設計方案之殘差配適圖，此配適圖在於檢測非一致性 變異數波峰、遺漏的高階項與離群值。Y 軸為殘差值，
則 X 軸為 THDI (%)表示；THDI的範圍 3.62%~3.845%
之間隨機變動，當殘差值於 0.088 時，其 THDI為最大；
當殘差值於−0.081 時，其 THDI為最小，殘差值應隨 機分佈於 ±0.1 範圍之間。圖 6(d) 所示為使用反應曲 面法於第一次設計方案之殘差折線圖，此折線圖在於 檢測殘差的時間相依性，Y 軸為殘差值，則 X 軸為觀 測次數表示；在第九次測量時其殘差值 0.87 為最大，
而在第十四次量測時其殘差值−0.8 為最小。如圖 7 所 示為應用反應曲面法於第一設計方案之等高線，而圖 中心點附近呈現橢圓狀 (淡綠色)，其 THDI < 3.7%， Q1與 Q2分別為 9.0 MVAR 與 9.5 MVAR，下一層 (青 綠色) THDI介於 3.7%~3.8%之間，最後一層 (深綠 色)，THDI > 4%以上。圖 8 所示應用 RSM 於第一設 計方案之反應曲面，圖中最小值 Q1與 Q2分別為 9.214 MVAR與 9.176 MVAR 最佳化表示。
如圖 9 所示由反應曲面法所得之最佳濾波器容量為 Q1 = 9.214 MVAR及 Q2 = 9.176 MVAR，進而預測之 THDI為 3.61%，經由統計分析所得 P 值如表四所示，
其中 Q12與 Q22係數分別小於 0.05 為顯著值，表示該 值不可忽略，其他係數可忽略不計。
(二) 第二設計方案：
如圖 10(a) 為使用反應曲面法之殘差線性圖，Y 軸為 百分比 (%)，則 X 軸表示殘差值，所求之 THDI (%) 值 以隨機且以點分佈方式呈現，而殘差值可以直線方式 來近似一條斜線，百分比範圍最小設定為 5%，而最 大為 95%，其殘差值範圍介於 ± 0.06 之間，而直線方 程式為 y = 1066x + 50，R2 = 0.90表示殘差值呈現常態 分佈。圖 10(b) 為使用反應曲面法之殘差直方圖，Y 軸為變動頻率，則 X 軸表示殘差值；隨機變動頻率介 於 0~3 之間，其中在 0、0.01、−0.04 及−0.06 的殘差 值變動頻率同為 1.0，再者−0.01 與−0.02 的殘差值變 動頻率為 2.0，而 0.02 與 0.03 的殘差值變動頻率為 3.0 最高，此圖顯示殘差值為非常態分配。圖 10(c) 為
表四 利用反應曲面法在第一設計方案之二階迴歸係數
Term Coef SE Coef T P
Constant Q1
Q2
Q12
Q22
Q1× Q2
3.61693 -0.03878
0.02627 0.08704 0.05584 -0.00298
0.02215 0.01918 0.01918 0.01996 0.01996 0.02712
163.314 -2.022
1.370 4.360 2.797 -0.110
0.000 0.083 0.213 0.003 0.027 0.916
0.050 0.025 0.000 -0.025 -0.050 99
90 50 10 1
(a) Residual
Percent
3.100 3.075 3.050 3.025 3.000 0.02 0.00 -0.02 -0.04 -0.06
0.02 0.00 -0.02 -0.04 -0.06
(c) Fitted Value
Residual
0.02 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 3 2
1 0
(b) Residual
Frequency
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
(d) Observation Order
Residual
Normal Probability Plot Versus Fits
Histogram Versus Order
Residual Plotsfor THDI
圖10 第二設計方案統計分析
Q1
Q2
8.230 8.225 8.220 8.215 8.210 4.310
4.305
4.300
4.295
4.290
THDI
< 3.000 3.000-3.015 3.015-3.030 3.030-3.045 3.045-3.060 3.060-3.075 > 3.075
Contour Plot of THDI vs Q2, Q1
圖11 第二設計方案的等高線
使用反應曲面法之殘差配適散佈圖，此圖 Y 軸為殘差 值，則 X 軸為擬合值表示；擬合值的範圍 2.997~3.098 之間隨機變動，當殘差值於 0.031 時，其擬合值為最 大；當殘差值於−0.062 時，其擬合值為最小，且殘差 值應隨機分佈於 0.03~0.062 範圍。圖 10(d) 為使用反 應曲面法之殘差折線圖，此折線圖 Y 軸為殘差值，則 X 軸為觀測次數表示；在第十一次測量時其殘差值 0.032為最大，而在六次量測時其殘差值−0.061 為最小。
4.30 4.31 3.000
3.025 3.050
8.21 3.075
8.22 4.29
8.23 THDI (%)
Q2 (10
6 MAR) Q1 (106 MAR)
Surface Plot of THDI vs Q2, Q1
4.3
圖12 第二設計方案的反應曲面
如圖 11 所示為應用反應曲面法於第二設計方案之等 高線圖，而圖中心點附近呈現橢圓狀 (深綠色) 其 THDI > 3.075%，Q1與 Q2分別為 8.23 MVAR 與 4.31 MVAR，下一層 (草綠色) 其 THDI介於 3.06%~3.075%
之間，最後一層 (深藍色) 其 THDI < 3%以上。圖 12 所示應用反應曲面法於第二設計方案之反應曲面 圖，圖中最佳值 Q1與 Q2分別為 8.23 MVAR 與 4.31 MVAR，而 THDI最小值為 2.99%。
表五 三種設計方案之結果比較
濾波器最佳容量(MVAR) 二階迴歸方程式
第一設計方案
Q1 : 9.21 Q2 : 9.17 Q3 : 35.62
3.61 - 0.038 Q1 -0.026Q2 + 0.087Q12
+ 0.055Q22
- 0.003 Q1 Q2 (R2 = 0.86)
第二設計方案 Q1 : 8.23
Q2 : 4.31 3.07-0.008Q1 -0.01Q2 - 0.051Q12
- 0.019Q22
+0.0042 Q1 Q2 (R2 = 0.90) 第三設計方案 Q1 : 7.60
Q2 : 7.58 3.14 + 0.15Q1 + 0.1833Q2 - 0.04Q12+ 0.135Q22+0.12 Q1 Q2 (R2 = 0.81)
High Cur Low Optimal
D 0.97011
d = 0.97011 Minimum
THDI
y = 2.9892 0.97011 Desirability Composite
4.290 4.310 8.210
8.230Q1 Q2
[8.230] [4.310]
圖13 第二設計方案的最佳化結果
12.5 3 10.0
7.5 4
5
8 10 5.0
12 THDI
Q2 Q1
Surface Plot of THDI vs Q2, Q1
7.5 8
圖14 第三設計方案反應曲面圖
(三) 第三設計方案：
圖 13 為第二設計方案的最佳化結果，而如圖 14 所 示係應用反應曲面法於第三設計方案之反應曲面，
圖中最小值 Q1與 Q2分別為 7.6 MVAR 與 7.58 MVAR 最佳化表示。如圖 15 所示為實驗設計方法所得之最 佳濾波器容量 Q1 = 7.6 MVAR及 Q2 = 7.58 MVAR。 而預測之最佳電流諧波失真率為 2.71 %，經由統計 分析所得 P 值，其中 Q1與 Q1
2係數分別小於 0.05 為 顯著值，表示該值不可忽略，其他係數可忽略不計。
如表五所示為三種設計方案之結果比較，包括濾波器
Cur High 0.97292Low
D Optimal
d = 0.97292 Minimum
THDI
y = 2.7077 0.97292 Desirability Composite
4.20 12.0 7.60
12.0
Q2
Q1
[7.60] [7.5879]
圖15 第三設計方案的最佳化值
容量最佳值及二階迴歸方程式，經由判定係數法 R2 來分析濾波器模型資料，可以清楚得知三種設計方案 有明顯差異，當判定係數法 R2越接近 1 表示濾波器模 型資料點幾乎都能擬合到所定的模式上，即模型的解 釋能力愈高；其中以第二設計方案 R2 = 0.90擬合值最 高，其次為第一設計方案 R2 = 0.86，與第三設計方案 R2 = 0.81，應用反應曲面法計算出的最佳條件代回 MATLAB濾波器程式設計運算，因此可證實利用反應 曲面法實驗設計結果之可行性。
4. 應用反應曲面法與非線性時變粒子群演算法濾波器 最佳化設計
(一) 原有設計方案：
投入原有的 5 次、7 次單通濾波器，由表六觀察在原 有濾波器於 MOF 點 5 次諧波電流由 178 A 降為 93.15 A，但並不符合管制標準 91.84 A，以及 18 次諧波電 流由 15 A 減低至 8.4 A，但也不符合管制標準 8.2 A，
可見濾波效果仍不足。除此之外，2 次、3 次、4 次諧 波電流被放大，其中以 4 次諧波電流放大為 238.09 A 超過管制標準 22.96 A。在高頻方面，11 次和 13 次諧 波電流源為 22 A 及 23 A，分別降為 11 A 與 12.15 A。
本廠 18 脈波整流器負載，在模式 1 時，17 次和 19 次 特性諧波電流因無法抵消，有較大諧波電流分別為 48 A及 33 A，加濾波器也降為 26.68 A 及 18.6 A。
表六 化工廠濾波器設計結合反應曲面法與非線性時變粒子群演算法之MOF諧波電流 諧波電流 (A)
裝設濾波器
RSM RSM+PSO_NTVE 諧波次數 未裝設
濾波器 原有
濾波器 第一設計
方案 第二設計
方案 第三設計
方案 第一設計
方案 第二設計
方案 第三設計 方案
管制標準 (A)
2 16 17.03 14.54 22.88 20.15 17.84 19.73 19.16 22.96 3 18 24.12 1.34 21.31 22.46 0.16 21.31 24.40 91.84 4 12 238.69 11.34 22.09 16.87 14.20 17.11 18.89 22.96 5 178 93.15 69.25 61.74 88.44 46.81 49.75 57.99 91.84 6 5 3.95 2.49 5.59 2.49 2.34 5.35 5.77 22.96 7 136 27.13 10.81 8.95 20.73 22.59 15.27 15.48 91.84 8 17 6.37 15.35 9.50 3.75 14.93 9.05 8.92 22.96 9 18 7.91 4.83 9.76 2.10 4.64 9.13 8.66 91.84 10 7 3.33 0.18 3.36 0.03 0.21 3.65 3.15 22.96 11 22 11.00 4.54 11.97 4.25 3.54 12.10 9.45 45.92 12 4 2.07 2.39 2.10 1.71 1.92 2.68 1.84 11.48 13 23 12.15 10.47 6.14 9.00 8.90 5.51 4.46 45.92 14 10 5.38 3.70 0.84 4.02 3.46 0.84 0.52 11.48 15 15 8.17 7.58 0.05 8.11 6.19 0.05 0.01 45.92 16 17 9.36 8.71 1.21 10.47 7.74 1.15 0.79 11.48 17 48 26.68 25.16 1.00 2.10 24.64 8.24 6.56 32.8 18 15 8.40 7.32 3.04 3.23 7.27 2.81 1.84 8.2 19 33 18.60 23.25 16.01 17.54 25.37 18.11 9.45 32.8 20 14 7.94 8.13 4.44 4.35 7.35 4.09 2.89 8.2 THDI (%) 9.1 10.01 3.61 2.99 2.71 2.69 2.60 2.70 4.0
整體而言，原有濾波器表現不甚理想，其中 THDI = 10.01%也超過管制標準之 4%，其無法符合管制標 準，為改善上述現象，因此共設計三種濾波器方案，
而值得注意的是在低次諧波電流有被放大現象，若在 不平衡負載情況下運轉，將會產生更大的低次諧波電 流。
(二) 第一設計方案：：
經由反應曲面法模擬分析之後，為求解濾波器容量全 域最佳值，緊接著使用 MATLAB 軟體進行非線性時 變粒子群演算法模擬最佳化設計，如表六得知因裝設 5次高通阻尼濾波器能抑制低次諧波電流，MOF 點 2 次、3 次、4 次諧波電流分別大幅降至 17.84 A、0.16 A 及 14.2 A，符合調諧點以下諧波電流限制於管制標 準。5 次諧波電流降為 46.81 A，遠低於管制標準 91.84 A，MOF 點 7 次諧波電流減低至 22.59 A，可知濾波 效果較佳。在高頻方面，受 11 次濾波器之影響，11 次和 13 次諧波電流分別降為 3.54 A 與 8.9 A，17 次諧 波電流改善至 7.27 A。綜合以上所述，此方案之濾波 器組合表現甚佳，THDI為 2.69%遠低於管制標準之 4%。不過由表七得知濾波器損失 859.14 kW 遠低於反 應曲面法的濾波器損失，大幅減少濾波器之損失，因 此非線性時變粒子群演算法設計成效顯著。
(三) 第二設計方案：
由表六得知，因裝設 3 次單通濾波器能抑制低次諧波 電流，MOF 點 2 次、3 次、4 次諧波電流分別大幅降 至 19.73 A、21.31 A 及 17.11 A，符合調諧點以下諧波 電流限制於管制標準。其次裝設 5 次單通濾波器 MOF 點 5 次諧波電流降為 49.75 A，遠低於反應曲面法的諧 波電流 61.74 A，以及電力公司管制標準 91.84 A。最 後 MOF 點 7 次諧波電流減低至 15.27 A，雖不及反應 曲面法的諧波電流 8.95 A，但遠低於管制標準 91.84 A。在高頻方面，受 7 次高通阻尼濾波器之影響，13 次和 15 次諧波電流降為 5.51 A 與 0.05 A。由以上所 述，此設計方案之濾波器表現，在低次諧波改善不如 理想，高次濾波效果反而較顯著，THDI為 2.6%遠低 於反應曲面法的諧波電流 2.96%並且符合台電管制標 準 4%，為目前最佳之濾波器設計方案。不過由表六 得知濾波器損失已降至 782.37 kW，目標函數為 2.60%，低於原有濾波器之 10.01%，並且符合電力公 司管制標準之 4%。
(四) 第三設計方案：
由表六得知，因裝設 2 次 C 型阻尼與 5 次單通濾波器 能抑制低次諧波電流，MOF 點 2 次、3 次、4 次諧波 電流分別大幅降至 19.16 A、24.40 A 及 18.89 A，符合
![圖 2 反應曲面法實驗設計之流程圖 時首先提出[17]，基本構想為結合數學與統計分析方 法所發展的方法論，根據實際的實驗數據，描述受測 試因子與目標函數間相互關係的數學模式，進一步藉 由此模式尋找極值點所在的位置。 (1) 反應曲面法之原理： 反應曲面法經由 Box 等學者長期的研究，此方法 已發展得相當完整如圖 2 所示，統整其最佳化步 驟，主要包括五項。 (2) 極值點區域之逼近： 根據現有文獻資料或實驗數據選擇適當的因子，推 論有效範圍，設定各個因子合理實驗範圍，利用二 水準因子設計](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/9124537.408996/4.892.98.418.138.556/反應曲面法實驗設計之流程與統計據實際試因子進一步藉個因子合理.webp)
