利用逆算法並配合實驗數據估算CPU上之散熱鰭片的熱傳係數

(1)

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

利用逆算法並配合實驗數據估算 CPU 上之散熱鰭片的熱傳係數

計畫類別：個別型計畫

計畫編號： NSC94-2212-E-006-103-

執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日執行單位：國立成功大學機械工程學系（所）

計畫主持人：陳寒濤

報告類型：精簡報告

處理方式：本計畫可公開查詢

中華民國 95 年 9 月 18 日

(2)

利用逆算法並配合實驗數據估算 CPU 上之散熱鰭片的熱傳係數 Estimation of the heat transfer coefficient on the heat sink of CPU using the

inverse method with experimental data

計畫編號： NSC-94-2212-E-006-103 執行期限：94 年 8 月 1 日至 95 年 7 月 31 日

主持人：陳寒濤國立成功大學機械工程學系教授

中文摘要

本文之逆算法乃混合拉式轉換法 (Laplace transform technique)及有限差分法 (Finite-difference method)並配合最小平方法 (Least-squares scheme)及溫度實驗數據來估算 CPU 上之散熱鰭片的熱通量及熱傳係數。在進行逆算過程中，標準試件與散熱鰭片交界處之未知溫度假設為時間的函數。為了欲求得較正確的估算值，整個時間域被分割成數個小時間域，而後再利用本文之逆算法來估算於每一個小時間域之未知量。本文以自行設計之測試平台來量測各種不同幾何外形之散熱鰭片(Heat sink)於各種不同風速作用下，於標準試件上之各種不同量測位置的溫度數據，而後將這些溫度量測值代入本文之逆算法來估算標準試件與散熱鰭片交界處之溫度，進而可推得該散熱鰭片之平均熱傳係數，並評估其散熱效果。為了欲驗證本文之逆算法及實驗方法的可靠性及精確性，本文之估算值將和實驗值或相關的經驗公式相比較。本文之主要目的在於欲建立 CPU 上之散熱鰭片的檢測試驗方法，以期此研究結果能有助於散熱鰭片之研發及設計的參考。

於反算法的過程中，將以最小平方法來修正未知值，此計算過程直至所求得於量測位置之溫度計算值與其所對應點之溫度量測值之間的誤差甚小為止。

關鍵詞：CPU，散熱鰭片，熱傳係數，逆算法

Abstract

A hybrid inverse method involving the Laplace transform and finite-difference methods in conjunction with the least-squares scheme and measured temperature is applied to predict the unknown heat flux and heat transfer coefficient for the heat sink on CPU in this project. The temperature at the interface of

unknown a priori and is assumed to be the function of time before performing the inverse calculation. To obtain a more accurate estimate, the whole time domain is divided into several analysis sub-time intervals. Later, the unknown estimates on each analysis interval can be predicted using the present inverse method. The experimental apparatus of my own device is applied to measure the temperatures of the standard test material at various measurement locations for various geometrical heat sinks and air speeds. Based on these measured temperature, the temperature at the interface of the standard test material and the heat sink, the average heat transfer coefficient and the cooling capacity of the heat sink can be predicted. To evidence the accuracy and reliability of the present inverse method, the present predicted results will compare with experimental data and the results obtained from the textbook.

The main purpose of this project is to want to establish the inspection scheme of the heat sink on CPU. It is expected that the present estimates can helpful for the research and design of the heat sink on CPU produced by the native companies.

The least-squares scheme will be applied to modify the unknown values in performing the inverse calculation. The computational procedures are performed repeatedly until the relative errors between the calculated and measured temperatures are less than a tolerance value.

Keywords: CPU, heat sink, heat transfer

coefficient, inverse method

一、前言

隨著個人電腦使用的普及化，產品不斷地推陳出新以滿足消費者對電腦具有處理速度快、記憶容量大、價位低、噪音低、體積小及功能多樣性等要求；這些需求也帶動了晶片製造技術不斷地朝「提高積体密度」

(3)

1

對地使得晶片的發熱量迅速增大，但晶片若長期處於高溫的環境下，容易影響其運轉的穩定度，甚至縮短其壽命。根據相關資料顯示，包括電腦的中央微處理器(CPU)在內的電子設備，55%的失效問題都是由於過熱所致。因此，開發高效率的散熱設備已成為當前最重要的課題。

目前最普遍的散熱設備為散熱片(Heat sink)與風扇組合而成的散熱模組，其工作原理為將電子元件的發熱量傳導至大面積的鰭片上，然後藉助風扇產生的流場將熱量傳至周圍的空氣中，藉此散熱方式使電子元件維持在正常運作的溫度範圍內。不過面對目前電子元件發熱量愈來愈高的情況，小尺寸之散熱片已無法完全有效地將電子元件所產生之熱量給移除，以致散熱片的尺寸越來越大，而鰭片的外形也有了更多的變化，可是伴隨而來的卻是成本增加以及能否達到所需散熱效果的問題，所以開發一套可靠的檢測平台實為當務之急。

二、研究目的

由於解決散熱的設計能力始終無法提升，以致散熱模組產業漸漸進入障礙期。在 CPU 邁入 3Ghz 時代，技術的突破已是業者生存的必要條件。很明顯地，於機械設備和電子產品的開發上，散熱系統是急待解決的難題之一。由於使用 ICE PACK、FLUENT 和 FLOTHERM 等之分析方法時，須做一些適合軟體的假設條件方能解析，以致其分析結果的可靠度如何尚值得進一步求證。有鑑於此，本文以逆算法配合溫度實驗數據來預估散熱鰭片之熱傳係數及散熱量，進而評估不同散熱鰭片對 CPU 的散熱效果。為了欲驗證本文之逆算法的可靠性及精確性，其估算值將和實驗值或課本內之經驗公式相比較。本文逆算法的優點是分析過程簡單、預測值的可靠性高和研發經費低。目前國內從事此研究的專家學者並不多，且大都僅侷限於理論分析，甚少配合真正的實驗量測值來進行分析。希望本文之研究結果可作為散熱模組產業或其他相關業者於從事散熱鰭片之設計時的參考，以期能有助於提升國內這方面的研發能力。故本計畫在學術上及實際應用上均有其研究價值。

三、文獻探討

至今已有許多專家學者從事散熱鰭片的熱行為研究。Haper 與. Brown 以理論解析矩形鰭片、環狀鰭片之溫度分佈，進而求得鰭片之熱傳行為[1]。Schmidt 以數學理論建立分析模型，並將整個鰭片分割成數個獨立單位，而後計算其鰭片效率，進而提出散熱鰭片之計算經驗公式[2]。Elenbaas 則是利用 Schmidt 之經驗公式配合自身之實驗結果提出兩平行板間之熱傳係數[3]。Ostrach 於完全發展流(Fully developed flow)之假設下研究兩平行板間之熱行為[4]。Bodoia 與 Osterle 以數值模擬分析兩加熱垂直平板於自然對流下之流場發展情形[5]。亦有以熱阻觀念來探討散熱鰭片之散熱效果[6, 7]。

McManus 和 Starner 是自行設計完整之鰭片組，並量測鰭片基座之內部溫度來推算於各種不同傾斜角度下之平均熱傳係數 [8]。McManus 和 Harahap 也以同樣的方法分析垂直鰭片之平均熱傳係數[9]。Jones 與 Smith 自行設計一正列垂直矩形鰭片，並量測鰭片基座之溫度，進而提出該鰭片上之平均熱傳係數的經驗公式[10]。

四、研究方法

至今已有不少的專家學者致力於逆向熱傳導問題之研究，至今已有不少數學方法 [11-14]被提出來解析此問題。最近，Chen 等人[13,14]以混合逆算法來預測未知的表面熱行為，其結果顯示此混合逆算法可同時求得精確的表面溫度預測值與表面熱傳量。此混合逆算法的優點為量測位置對預測結果的影響不大，此意味著實驗時不須將溫度量測點置於很靠近未知邊界處。除此之外，溫度量測誤差對預估結果的影響也不是很敏感。有鑑於此，本文將繼續以此混合逆算法並配合實驗溫度數據來預估 CPU 上之散熱鰭片的平均熱傳係數，進而評估不同散熱鰭片對 CPU 的散熱效果。散熱片與測試平台的組合示意圖如圖一所示。任一截面皆安置四支熱電偶，該位置之溫度為此四個溫度的平均。

數學模式的建立

為了便於進行分析，本文之假設如下所示：

(4)

1. 假設標準試件之材質為均勻、具有等向性，且其熱傳導係數(

k

)和其熱容量 (ρ

c

_p)也均為定值。

2. 由於標準試件的厚度遠小於其長度及寬度，所以不考慮標準試件四週的熱傳，

故可以將此問題視為一維的熱傳導問 題，即僅考慮 Z 方向的熱傳現象。

根據以上假設，本問題之統制微分方程式可表示為：

2 2

( , )

c

p ( , )

T z t T z t

z k t

∂ ρ ∂

∂ = ∂ (1) 其對應之邊界條件與初始條件分別為：

( 0 , ) 0( )

T t

=

F t

(2)

? ) ( ) ,

( L t = F t =

T

_L (3) 及

( , 0 ) _in

T z

=

T

(4) 其中 T 為標準試件之溫度，

T 為標準試件

_in 之初始溫度，ρ為密度，

c 為比熱。

_p t和

z

分別為時間及位置座標。為了要預測表面溫度 T(L,t)之值，故必須量得其他量測位置

z

_m 之溫度值 T(

z

_m,t)。

為了移去(1)式~(3)式中與時間有關之項，故對這些方程式進行拉式轉換，則可推得拉式轉換後之統制方程式與邊界條件，分別如以下形式

2 2

T

in

T s

z

α

T

α

∂ − ⋅ = −

∂

% % (5)

1

0 T~

) s ( F~ ) s , 0 (

T~ = = (6) 及

n

L T~

) s ( F~ ) s , L (

T~ = = (7) 其中

p

k

α

c

=

ρ 為熱擴散係數 (Thermal diffusivity)。

s v iw

= + 為拉氏轉換參數，

v

和

w

均為實數。函數 ( , )

T z t 之拉氏轉換式定

義為：

∫

^∞ ⁻

=

0

st

dt e ) t , z ( T )

s , z ( T ~

(8) (5)式~(7)式之中央差分式為：

1 1

2

i

2

i i in

i

T T T s T

l α T α

−

− +

+

− ⋅ = −

% % %

%

i = 2,…,n-1 (9) 其中

_l

為相鄰兩格點間之距離。

將(6)式及(7)式代入(9)式可整理成如下之矩陣方程式：

[ ] ^{A T} { }

^% ⁼^{{ }}

^F

(10) 其中

[ ] ^A

^{為含有}

^s

^{之 (}

ⁿ

^{− × −}^{2) (}

ⁿ

²⁾^{帶狀矩}

陣，

{ } T% 為拉氏轉換後之節點溫度所構成的

矩陣以及{ }

^F

為強迫項矩陣。最後利用高斯消去法(Method of Gaussian elimination)和數值逆拉氏轉換法 (Numerical inversion of Laplace transform)來解析(10)式以求出各節點之試件溫度。

由於

T

(

L

,

t

)為未知，若欲以單一函數來描述整個時間域內之

T

(

L

,

t

)隨時間的變化情形似乎並不容易，故本文便先將整個時間 域分割成 M 個小時間區間 (Sub-time interval)，而後假設每個小時間區間內未知溫度 T^m(L,t)為 (N-1) 次之時間多項式函數，其形式如下所示：

∑

=

^N − 1 j

1 j j m

( L , t ) C t

T

j=1,2,…,M (10) 其中

C

_j為待定係數。在進行逆運算之前，先給定一組

C

_j之起始猜測值，而後利用本文之混合逆算法求得於量測位置

z

_m之計算溫度值，假設於

z

_m處之計算溫度與量測溫度之差的平方和為

[ ]

∑

=

−

=

^N

j

m mea m

cal

z t T z t

T E

1

)

2

, ( )

,

(

(11) 本文以最小平方法來修正起始猜測值，直至 E 為最小值為止。一旦求出

T

(

L

,

t

)之後，標準試件內部的溫度分佈便可以直接解方式求得。而後便可由下式求出標準試件與散熱鰭片交界處之熱通量q_L(t) 及熱傳係數 h(t)，其表示式為：

( )

( _∞)

−

=

+

− −

∂ =

− ∂

=

T T h

T T k T

t z L k T q

n

n n n

L 2l

, ² 4 ¹

(12)

其中

T

_∞為外界溫度。

T

_n₋₂，

T

_n₋₁及

T 分別為

_n

(5)

3 z = L − 2 _l

，

L − _l

及 L 之格點溫度。

五、結果與討論

為驗証本文預測值之可靠性，本文所預測之平均熱傳係數將與課本內之經驗公式 [15]相比較。經驗公式如下 :

( )

²

1 39 2 . 0 2

s

0 . 081 Ra

1500 Nu Ra

−

− −

 





 



  +



 



= 

(13)

其中Nu 與 Ra 被定義為： _s

air s hS/k

Nu = (14) 及

Ra= )

D (S S ) T T (

g _L ³ να

− β _∞

(15) (13)式之適用條件為 Pr=0.71，0.026≦ H/L

≦0.19，0.016≦S/L≦0.2 與2×10²<Ra<6×10⁵。 於此 H 為鰭片高度，

S

為鰭片間距， L 為鰭 片長度。k_air為外界空氣溫度。 h 為平均熱傳係數。

圖二 ~ 圖四分別為對應 H=0.01m ， H=0.015m 與 H=0.02m 之本文平均熱傳係數預測值與經驗公式之值的比較。這些圖顯示本文之平均熱傳係數預測值，皆比經驗公式 (11)式所求得之值稍高些許。此乃本文之 h 值同時含有對流熱傳係數 (Convective heat transfer coefficient) 與輻射熱傳係數 (Radiation heat transfer coefficient)所致，故其值會略高於經驗公式所求得之平均熱傳係數。雖然本文之 h 預測值皆比經驗公式之值稍高一些。但，大致上兩者之差並不大。這些結果也顯示平均熱傳係數會隨著鰭片間距增大而變大，但最後會趨近於某一定值。皆約在 S = 0.02m 時便已趨近該定值。表一~表三分別表示標準測試件於穩態與自然對流之環境下，對應不同鰭片高度與間距之散熱鰭片的熱通量及平均熱傳係數。這些表之結果顯示於相同之鰭片間距下，鰭片高度愈高時，

其對應之平均熱傳係數愈低。此乃由於鰭片間距小或鰭片過高時，可能會有聚熱的現象發生，鰭片間距愈大或鰭片高度愈低時，則空氣的流動限制較小，以致其自然對流之平均熱傳係數較高。但，散熱鰭片的熱通量於相同之鰭片間距下，卻隨著鰭片高度愈高而愈大。此乃由於散熱面積變大所致。散熱鰭片的熱通量於相同鰭片高度下，會隨著鰭片

間距變大而變大。此乃由於鰭片間距變大時，較不會有聚熱的現象發生，以致其散熱量較大。

六、參考文獻

1. D.R.Haper and W.B. Brown, Mathematical equations for heat conduction in the fins of air cooled engines, NACA. Rept, (1922) 158.

2. T.E. Schmidt, Heat transfer calculations for extended surface, Refri. Eng. (1949) 351-357.

3. W. Elenbaas, The heat dissipation of parallel plates by free convection. Physica, 1 (1942) 1-28.

4. S. Ostrach, Laminar natural-convection flow and heat transfer of fluids with and without heat sources in channels with constant wall temperatures, NACA Tech.

Note (1952) 2863.

5. J.R. Bodoia and J.F. Osterle, The development of free convection between heated vertical plates, ASME J. Heat Transfer 84 (1962) 40-44.

6. S. Lee, Optimum design and selection of heat sinks, Proc. 11^th IEEE Semi-Term Symp. (1995) 48-54.

7. 陶正裕, 熊建銀, 屈治國, 李惠珍, 何雅玲, 陶文銓, “CPU 散熱器換熱特性的實驗研究,” 工程熱物理學報 25 (2004). 861-863.

8. H.N. McManus and K.E. Starner, An experimental investigation of free- convection heat transfer from rectangular- fin arrays, ASME J. Heat Transfer, 85 (1963) 273-277.

9. H.N. McManus and F. Harahap, Natural convection heat transfer from horizontal rectangular fin arrays, ASME J. Heat Transfer, 89 (1967) 34-37.

10. C.D. Jones and L.F. Smith, Optimun arrangement of rectangular fins on horizontal surfaces for free-convection heat transfer, ASME J. Heat Transfer 92 (1970) 6-10.

11. M. N. O&& zisik, Heat Conduction, 2^nd ed., John Wiley and Sons, New York, 1993, Chapter 14.

12. K. Kurpisz and A. J. Nowak, Inverse Thermal Problems, Computational

(6)

Mechanics Publications, Southampton, U.K, 1995.

13. H.T. Chen, S.Y. Lin and L.C. Fang, Estimation of surface temperature in two-dimensional inverse heat conduction problems, Int. J. Heat Mass Transfer 44 (2001) 1455-1463.

14. H.T. Chen, S.Y. Lin, H.R. Wang and L.C.

Fang, Estimation of two-sided boundary conditions for two-dimensional inverse heat conduction problems, Int. J. Heat Mass Transfer 45 (2002) 15-23.

15. F. Kreith and M.S. Bohn, Principles of Heat Transfer, 5^th ed., West Publishing Co., 1993, 349-350.

七、計畫成果自評

本文乃以真正實驗量測值和本文逆算法來預測 CPU 上散熱鰭片之熱通量與平均熱傳係數。由本文之結果可以發現本文之混合逆算法所預測之結果具有不錯之準確性。未來可將本文之逆算法運用於解析其他種類之散熱鰭片。除此之外，擺置方式，

噴霧冷卻及風速對散熱鰭片的影響如何等等，這些問題皆值得再進一步研究。期望本文之研究能對產業界提供更多有實用性的參考資料或作為 ICE PACK、FLUENT 和 FLOTHERM 等商業軟體的測試之用。

表一於自然對流下，對應 L = 0.1m、H = 0.01m 及各種不同 S 值之

h

的比較

) (m

S ^q

(

^w^m²

)

^h^est⁽^W^/^m²^K⁾ ^h^exp⁽^W^/^m²^K⁾^[15]

0.006 3098 2.83 2.40 0.009 4227 4.09 4.05 0.012 4688 5.15 4.97 0.015 4840 5.40 5.34 0.018 5206 5.84 5.69 0.020 5524 6.15 5.87 0.025 5619 6.27 - - - 0.030 5620 6.29 - - -

表二於自然對流下，對應 L = 0.1m、H = 0.015m 及各種不同 S 值之 h 的比較

表三於自然對流下，對應 L = 0.1m、H = 0.02m 及各種不同 S 值之 h 的比較

圖一散熱鰭片與測試平台之組合示意圖

)

(m

S ^q

(

^w^m²

)

^h^est⁽^W^/^m²^K⁾ ^h^exp⁽^W^/^m²^K⁾^[15]

0.006 3355 2.57 2.17 0.009 5003 3.78 3.67 0.012 6284 4.77 4.68 0.015 7068 5.41 5.27 0.018 7466 5.94 5.54 0.020 7752 6.00 5.77 0.025 7872 6.12 - - -

0.030 7866 6.13 - - -

) (m

S ^q

(

^w^m²

)

^h^est⁽^W^/^m²^K⁾ ^h^exp⁽^W^/^m²^K⁾^[15]

0.006 3987 2.13 2.08 0.009 6029 3.67 3.52 0.012 7863 4.66 4.62 0.015 8100 5.27 4.99 0.018 8859 5.63 5.40 0.020 9364 5.88 5.61 0.025 9602 6.03 - - -

0.030 9595 6.01 - - -

Z

T_L

T_L/2

T₀

(7)

5

0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03

s ( m )

0 2 4 6 8 10

h

est( t ) ( W/m2 K )

Present estimates Ref. [14]

h^est⁼^-0.887⁺⁷⁸⁸^G^S^-²⁹⁴⁷⁸^G^S²⁺³⁷³⁵⁰⁰^G^S³

圖二於自然對流下，對應 L = 0.1m、H = 0.01m 及各種不同 S 值之

h

的比較

0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03

s ( m )

0 2 4 6 8 10

h

est( t ) ( W/m2 K )

h^est⁼^-1.243⁺⁷⁸²^G^S^-²⁷⁰⁸⁷^G^S²⁺³⁰⁶⁰²²^G^S³

圖三於自然對流下，對應 L = 0.1m、H = 0.015m 及各種不同 S 值之h的比較

0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03

s ( m )

0 2 4 6 8 10

h

est( t ) ( W/m2 K )

h^est⁼^-2.273⁺⁹³⁷^G^S^-³⁵⁶³²^G^S²⁺⁴⁵³³⁹⁷^G^S³

圖四於自然對流下，對應 L = 0.1m、H = 0.02m

及各種不同 S 值之

h

的比較

利用逆算法並配合實驗數據估算CPU上之散熱鰭片的熱傳係數

Abstract

Keywords: CPU, heat sink, heat transfer

1

k

c

c

T z t T z t

z k t

T t

F t

? ) ( ) ,

( L t = F t =

T

T z

T

T 為標準試件

c 為比熱。

z

z

z

T

T s

z

T

k

c

=

s v iw

v

w

T z t 之拉氏轉換式定

∫

=

dt e ) t , z ( T )

s , z ( T ~

2

T T T s T

l α T α

− +

− ⋅ = −

% % %

%

l

[ ] A T { }

F

[ ] A

s

n

n

{ } T% 為拉氏轉換後之節點溫度所構成的

F

T

L

t

T

L

t

∑

=

( L , t ) C t

T

C

C

z

z

[ ]

∑

−

=

z t T z t

T E

)

, ( )

,

(

T

L

t

T T h

_l

[ ] ^{A T} { }

^F

[ ] ^A

^s

ⁿ

ⁿ

^F

z = L − 2 _l

L − _l

表一於自然對流下，對應 L = 0.1m、H = 0.01m 及各種不同 S 值之

圖一散熱鰭片與測試平台之組合示意圖

圖二於自然對流下，對應 L = 0.1m、H = 0.01m 及各種不同 S 值之

圖四於自然對流下，對應 L = 0.1m、H = 0.02m