(1)(9)0

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.11.10 範

圍 2-3 多項方程式(2) 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

2

z

z 的共軛複數為____________﹒

解答 1 − i 解析 ¹

2

z

z =2 4 3

i i +

+ =(2 4 )(3 ) (3 )(3 )

i i

i i

+ −

+ − =10 10 9 ( 1)

+ i

− − = 1 + i﹐所求=1 i+ = 1 − i

2. 若(2 − i)x² − 3(1 − i)x − 2(1 + i) = 0 有實數解﹐求另一虛根為____________﹒

解答 −1 5−3

5i

解析 設方程式之實根為α﹐則(2 − i)α² − 3(1 − i)α − 2(1 + i) = 0

⇒ (2α² − 3α − 2) + ( −α² + 3α − 2)i = 0

⇒ ²

2

2 3 2 0

3 2 0

α α

α α

 − − =



− + =

 ⇒ (2 1)( 2) 0

( 1)( 2) 0

α α

α α

+ − =

 − − =

 ⇒

1 2 2 1 2 α α

 = −



 = 或 或

∴ α = 2

設另一根為β﹐則 2 + β =3(1 ) 2

i i

−

− =3

5(3 − i) ⇒ β =3

5(3 − i) − 2 = 1 3 5

− − i 3. x﹐y ∈ R﹐若(x + yi)² = − 8 − 6i﹐則數對(x﹐y) = ____________﹒

解答 (1﹐− 3)或(− 1﹐3)

解析 ∵ (x + yi)² = (x² − y²) + (2xy)i = − 8 − 6i ， ∴ ^{2 2} 8

2 6

x y

xy

 − = −

 = −

 ⇒ ^{2 2} 8

3

x y

xy

 − = −

 = −

 由 y = −3

x代入 x² − y² = − 8 ∴ ² 3 ²

( ) 8

x − −x = − ⇒x⁴ + 8x² − 9 = 0

∴

(

− 1)(

+ = ⇒ 9) 0

∴x = 1﹐y = − 3 或 x = − 1﹐y = 3 z= −1 3 ,i − +1 3i

4. 設 m﹐k ∈ Q﹐m ≠ 0﹐且方程式 2mx² − 3mx + 2x + m + k = 0 之根為有理數﹐則有理數 k =__________﹒

解答 − 1 或 − 2

解析 ∵ 方程式 2mx² − 3mx + 2x + m + k = 0 之根為有理數

∴(− 3m + 2)² − 4．2m(m + k) = 9m² − 12m + 4 − 8m² − 8mk = m² − 2(6 + 4k)m + 4 為完全平方式

⇒ (6 + 4k)² − 4 = 0 ⇒ (6 + 4k + 2)(6 + 4k − 2) = 0

⇒ (k + 2)(k + 1) = 0 ∴ k = −1 或 k = − 2

5. 方程式 6x⁴ + 5x³ + 9x² − 4x − 4 = 0 之有理根為__________﹒

解答 −1 2﹐2

3

解析 設 ax − b 為其整係數一次因式﹐(a﹐b) = 1﹐則 a | 6﹐b | − 4

∴ b

a之可能值為± 1﹐± 2﹐± 4﹐±1 2﹐±1

3﹐±2 3﹐±4

3﹐±1

6﹐利用綜合除法

∴ 有理根為−1 2﹐2

3

6. 已知三次方程式 x³ + x² − 4x + 6 = 0﹐其中一複數根為 1 + i﹐求其他各根為__________﹒（有兩個）

解答 1 − i﹐− 3

解析 實係數方程式有一根 1 + i﹐必有共軛虛根 1 − i﹐

2 2 2

1 1 ( 1) ( ) 2 2 0

x

= ± ⇒ − = ± ⇒

− = ±

⇒

−

+ =

⇒ (

− 2

+ 2)(

+ = 3) 0

∴ 另二根為 1 − i 及 − 3

7. 設 a﹐b ∈ R﹐若 x⁴ − x³ + ax² + 7x + b = 0 有一根為 1 + 2i﹐則 a + b =__________﹒

解答 − 3

解析 此方程式為實係數方程式﹐有一根 1 + 2i﹐必有另一根 1 − 2i

∴ [x − (1 + 2i)][x − (1 − 2i)] = x² − 2x + 5 為 x⁴ − x³ + ax² + 7x + b = 0 之因式 1 1 1

1 2 5 1 1 7

1 2 5

1 ( 5) 7

1 2 5

( 3) 2

1 2 5

0

a b

a b

a b

+ −

− + − + + +

− +

+ − + +

− +

− + +

− + −

∴ a − 3 = − 1﹐b = − 5 ⇒ a = 2﹐b = − 5，故 a + b = 2 + (− 5) = − 3

8. 設 k 為負整數﹐若 f (x) = x⁴ − 2x³ + x² + kx − 3 有整係數一次因式﹐求 k 之值__________﹒

解答 − 11

解析 設 f (x)的整係數一次因式為 ax − b﹐則 a | 1﹐b | − 3﹐則 ax − b 可為 x ± 1﹐x ± 3 (1) x + 1 | f (x) ⇒ f (−1) = 0 ⇒ 1 + 2 + 1 − k − 3 = 0 ⇒ k = 1（不合）

(2) x − 1 | f (x) ⇒ f (1) = 0 ⇒ 1 − 2 + 1 + k − 3 = 0 ⇒ k = 3（不合）

(3) x + 3 | f (x) ⇒ f (− 3) = 0 ⇒ 81 + 54 + 9 − 3k − 3 = 0 ⇒ k = 47（不合）

(4) x − 3 | f (x) ⇒ f (3) = 0 ⇒ 81 − 54 + 9 + 3k − 3 = 0 ⇒ k = −11 故 k = −11

9. k 為整數﹐且x⁴−x³+kx²−2kx− = 有有理根﹐求 k =____________﹒ 2 0 解答 0﹐ 2−

解析 所有可能的有理根為 1± ﹐ 2±

(1)若 1 為其根 ⇒ 1 1− + −k 2k− = ⇒ 2 0 k = − 2 (2)若 1− 為其根 ⇒ 1 1+ + +k 2k− = ⇒ 2 0 k= 0

(3)若 2 為其根 ⇒ 16 8 4− + k−4k− = ⇒ 6 02 0 = ﹐ k 無解 (4)若 2− 為其根 ⇒ 16 8 4+ + k+4k− = ⇒ 2 0 22

k= − 8 （不合）

故k= ﹐ 20 −

10.求含有− 2 及 i 兩根的最低次實係數方程式：__________________________﹒

解答 x³ + 2x² + x + 2 = 0

解析 (x + 2)(x − i)(x + i) = 0 ⇒ (x + 2)(x² + 1) = 0 ⇒ x³ + 2x² + x + 2 = 0

11.若一四次有理係數方程式有 2 − 3 及 1 − i 兩根﹐則此方程式為_____________________﹒

解答 x⁴ − 6x³ + 11x² − 10x + 2 = 0

解析 四次有理數係數方程式有 2 − 3 及 1 − i 兩根﹐必有另兩根 2 + 3 及 1 + i

∴ 此方程式為[x − (2 − 3 )][x − (2 + 3 )][x − (1 − i)][x − (1 + i)]

即[(x − 2)² − ( 3 )²][(x − 1)² − (i)²] = (x² − 4x + 1)(x² − 2x + 2) = x⁴ − 6x³ + 11x² − 10x + 2 則此方程式為 x⁴ − 6x³ + 11x² − 10x + 2 = 0

12.若 f (x) = x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0﹐已知 f (x) = 0 有一根為 1 3 2

− i﹐又 a + bi 亦為其根（a < 0﹐b

≠ 0）﹐則數對(a﹐b) =__________﹒

解答 (−1

2﹐± 3 2 ) 解析 ∵ (x −1 3

2

− i)(x − 1 3 2

+ i) = x² − x + 1

又 f (x) = (x² − x + 1)(x³ + 2x² + 2x + 1) (除法原理)⇒ f (x) = (x² − x + 1)(x + 1)(x² + x + 1)

∴ f (x) = 0 之五根為 1 3 2

− ± i﹐− 1﹐ 1 3 2

− ± i

∴ (a﹐b) = (−1

2﹐± 3 2 )

13.設整係數方程式 x⁴ + 3x³ + bx² + cx + 10 = 0 有四個相異有理根﹐則其最大根為____________﹒

解答 2

解析 設四個相異有理根為 ,α β γ δ, , ﹐整係數方程式 x⁴ + 3x³ + bx² + cx + 10 = 0 (x )(x )(x )(x ) 0

⇒ − α − β − γ − δ =

⇒

− α + β + γ + δ ( )

+ ... + αβγδ = 0

14. a ﹐b 為有理數﹐若1− 2為x⁴+ax³−6x²+bx+ = 之一根﹐求(1) ( , )1 0 a b = _____﹒ (2)所有根____﹒

解答 (1) (0,0) ;(2)1± 2﹐ 1− ± 2

解析 (1)∵方程式為有理係數方程式 ∴一根1− 2 ⇒ 另一根1+ 2﹐

故[x− −(1 2)][x− +(1 2)]=x²−2x− 為原式之因式﹒ 1

1 ( 2) 1

1 2 1 1 6 1

1 2 1

( 2) 5

( 2) ( 2 4) ( 2) (2 1) ( 2) 1

1 2 1

2 ( ) 0

a

a b

a b

a a a

a b a

a b a

+ + −

− − + − + +

− −

+ − +

+ + − − + − −

− + + + +

− + +

+ + +

∴a= ﹐0 b= 0

(2)原式為(x²−2x−1)(x²+2x− = 1) 0 x²−2x− = ⇒ 1 0 x= ±1 2； x²+2x− = ⇒ 1 0 x= − ±1 2﹒

15.設 2+ 為i f x( )=2x⁵+ax⁴+bx³+cx²+dx− = 之一根（ a ﹐ b ﹐ c ﹐ d 為整數）﹐求 9 0 (1) a= __________﹒ (2) b = __________﹒ (3) c = __________﹒ (4) d = __________﹒

解答 (1) 1− ;(2) 4− ;(3)2;(4)18

解析 ∵方程式為整係數 ∴即為實係數方程式 ∴有一根 2 i+ ⇒ 必有另一根 2 i− 又方程式為整係數 ∴亦即為有理係數方程式

∴一根 2 i+ ⇒ 另一根− 2+ i 一根 2− ⇒ 另一根i − 2− i

∴原式必含[x−( 2+i)][x−( 2−i)][x− −( 2+i)][x− −( 2−i)]

=(x²−2 2x+3)(x²+2 2x+3) =x⁴−2x²+ 之因式 9 比較x 與常數項得原方程式⁵ (x⁴−2x²+9)(2x− = 1) 0

⇒ 2x⁵−x⁴−4x³+2x²+18x− = ∴9 0 a= − ﹐1 b= − ﹐4 c= ﹐2 d =18

16.設 f (x) = a3x³ + a2x² + a1x + a0為實係數三次多項式﹐若 f (3 + 2i) = − 5 + 4i﹐則 f (3 − 2i) =________﹒

解答 − 5 − 4i

解析 f (x)為實係數多項式﹐z 為複數﹐則 f ( z ) = ( )f z

故 f (3 − 2i) = f (3 2i+ ) = (3 2 )f + i = ( 5 4 )− + i = − 5 − 4i

17. ( )f x ﹐ ( )g x 為實係數多項式﹐若 (1 2 )f + i = − ﹐ (3 4 ) 1 23 4i g − i = + ﹐求 (1 2 )i f − i ×g(3 4 )+ i = _____﹒

解答 11 2i−

解析 f(1 2 )− i ×g(3+4 )i = f(1 2 )+ i ×g(3 4 )− i = f(1 2 )+ i ×g(3 4 )− i = −(3 4 ) (1 2 )i × + i = +(3 4 )(1 2 ) 11 2i − i = − i

18.ax² + (a − 1)x − 8 = 0 有一根介於 1 和 2 之間﹐另一根介於 − 2 和 − 1 之間﹐則 a 值的範圍為______﹒

解答 3 < a <9 2

解析 令 f x( )=ax²+(a−1)x− ﹐利用勘根定理： 8 (1) (2) 0

( 2) ( 1) 0 f f

f f

 <

 − − <

 ﹐ (2 9)(6 10) 0

(2 6)( 7) 0

a a

a

− − <

 − − <

 ﹐

5 9

3 2

3 a a

 < <



 >











，

19.方程式f x( )=x³+ − = 在 1 與 2 之間有一實根﹐在誤差要小於x 3 0 1

10的情況之下﹐求其近似值?

解答 1.2

解析 f(1)= − < ﹐ (2) 7 01 0 f = > ⇒ 根在 1～2 之間

取 1 與 2 中點1.5 ﹐ f(1.5)=(1.5)³+(1.5) 3 1.875− = > 0 ⇒ 根在 1～1.5 之間

(1.1) (1.1)

(1.1) 3 0.569 0

f

= + − = − <

(1.2) (1.2)

(1.2) 3 0.072 0

f

= + − = − <

(1.3) (1.3)

(1.3) 3 0.497 0

f

= + − = >

取1.2與1.3中點1.25 ﹐

(1.25) (1.25)

(1.25) 3 0.203125 0

f

= + − = >

20.若 1 3

2

− + i

ω = ，求下列各式的值：

(1) ω²⁰¹⁰ =______. (2) 1+ ω + ω +² ...+ ω²⁰¹⁰ =_______. (3) 2ω + ω + ω + =⁵ 3 ⁴ 4 5 ______.

解答 (1)1; (2)1 ; (3)1 5 3 2 + i

解析

3 2

1 3

1, 1 0

2

− + i

= ⇒ = + + =

ω ω ω ω = ω，則

(1)

ω

= ω (

) = 1

(2) 1+ ω + ω +² ...+ ω²⁰¹⁰ = + ×1 0 670=1.

(3)

2 ω + ω + ω + = ω + ω + ω + = ω + ω + + ω +

3

4 5 2

3 4 5 2(

1) 5 3

0 5 3

2 2

i i

− + +

= + ⋅ + =

21.若 a = 2 1 3i

−

+ ﹐則(1 + a)(1 + a²)(1 + a³)(1 + a⁴) =____________﹒

解答 1 + 3i 解析 a = 2

1 3i

−

+ = 1 3

2

− + i= ω，則(1 + a)(1 + a²)(1 + a³)(1 + a⁴)

= (1 + ω)(1 + ω²)(1 + ω³)(1 + ω⁴) = (− ω²)．(− ω)．2．(1 + ω) = 2(1 + ω) = 2(− ω²) = − 2ω² = − 2． 1 3

2

− − i= 1 + 3i

22.設 x﹐y 為兩個非零複數﹐滿足 x² + xy + y² = 0﹐則( x )²⁰¹⁰ ( y )²⁰¹⁰

x y + x y

+ + 之值為____________﹒

解答 − 1

解析 ∵ x² + xy + y² = 0﹐同除y²

⇒ ( )

1 0

y

+ + =

t

=

1 3 2

y i

x = =t ^{− ±} =ω

∴ ω³ = 1 且ω² + ω + 1 = 0

求值式 = ( 1 x y x y+

)²⁰¹⁰

+

)²⁰¹⁰ =(

1 ω

ω

+ )²⁰¹⁰

+

=( ω₂ ω

− ) + ( 1₂ ω

− )^20102010 = ₂₀₁₀1 ₄₀₂₀1 ω ⁺ω ⁼

1 1 2 1 1+ =

22.a﹐b∈R﹐ 1 3 2

ω =^{− +} i﹐若 1

3−ω = a + bω﹐則數對(a, b) = ____________﹒

解答 ( 4 1 13, 13)

解析 ∵ 1 3 2

ω=^{− +} i ∴ ω³= 且 1 + 1 ω + ω² = 0

又 1

3−ω = a + bω ⇒ 1 = (3 − ω)(a + bω) = 3a + 3bω − aω − bω²

⇒ 1 = 3a + 3bω − aω − b( − 1 − ω) = (3a + b) + ( − a + 4b)ω

∴ 3 1

4 0 a b

a b

 + =

− + =

 ⇒ a = 4

13﹐ 1 b=13

23.設 z 為複數﹐若 z² − 1₂

z = 2i﹐則(1) z² =____________﹒ (2) z +1

z=____________﹒

解答 (1) i; (2) ± 2 解析 (1) z² − 1₂

z = 2i ⇒ 設 z² = t ⇒ 1 ²

2 (2 ) 1 0

t i t i t

− =t ⇒ − − = ， 配方t²−2it+ = + ⇒i² 1 i²

(

−

)

= ⇒ = 0

2 2

0

2 1

a b

ab

 − =

 =



……

……^﹐又

2 2

1

a

+

= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅③

由①③ ⇒ 2a² = 1 ⇒ a = ± 1

2﹐則 ² 1

b = ⇒2 由②，b = ± 1 2 若 z = 1

2+ 1

2i﹐則 z +1

z=z² 1 z

+ = 1

1 (1 ) 2

i i +

+

= 2

若 z = − 1 2− 1

2i﹐則 z +1

z=z² 1 z

+ = 1

1 (1 ) 2 i

i +

− + = − 2 故 z +1

z= ± 2