一、 二部圖

數學傳播 38卷1期, pp. 22-29

二部圖一個猜想

陳宏賓

一、 二部圖

這裡我們要談的圖 (graph) 是指一個有序對 G = (V, E), V 是一個有限集 (非空), 它所包含的元素稱為點 (vertex); E 是 V 中的點所形成的 (部份) 二元子集的集合, 意即 E ⊆ {e : e ⊆ V, |e| = 2}, E 中每一個二元子集 e 則稱為邊 (edge)。 為了方便以見, 我們將 e ={u, v} 記作 e = uv, 而 u 和 v 則稱為 e 的端點。 在這裡, uv 和 vu 是沒有分別的。

圖的研究起始於十八世紀知名數學家歐拉 (Euler), 他將當時流傳在卡尼斯堡 (K¨onigsburg) 的七橋問題清楚地用點邊描述並解決 [1], 這也是後來一般常見的益智遊戲p一筆劃y [2]; 關於 圖研究的領域稱為圖論, 說到圖論, 最知名的莫過於p四色定理y (至今仍未有令人滿意的數學 證明)。 而第一本圖論的書是在相隔兩百年後的 1936 年才由卡內基 (K¨onig) 所撰寫 [3]。 至今 不到一百年間, 圖論的廣泛應用和研究動能相輔相成, 使其在近年來發展非常迅速。

一個圖稱為二部圖(bipartite graph) 就是其點集 V 可以分成 A 和 B 兩部份, 而且每 一條邊都恰有一端點在 A 另一端點在 B。 二部圖在圖論的研究中是一個很基本的圖類, 舉凡 兩種事物之間關聯的表達都可以用二部圖來呈現, 因此受到相當大的關注。 其中, 二部圖的匹配 問題就是二十世紀初非常熱門的話題, 當年卡內基 (K¨onig) 的圖論一書有一大部份是在談論 二部圖, 由此, 可見一斑。 我們以下只考慮簡單圖 (simple graph), 即邊集 E 中所有元素 e 都 不同且每一條邊 e 的兩個端點也都不同。

二、 點數與邊數的關係

點數與邊數的關聯在圖論的研究上是個重要的議題。 透過簡易的計算, 我們可以知道:

A. 任一 n 個點的圖最多有 ⁿ⁽ⁿ₂⁻¹⁾ 條邊。

此達到最多邊數的圖則稱為完全圖 (complete graph), 即任意兩點都有一條邊相連。

也不難得到:

B. 任一 n 個點的二部圖最多有 ⌊ⁿ₄²⌋ 條邊。

達此最多邊數二部圖的 A, B 兩部份點數分別為 ⌊ⁿ₂⌋ 和 ⌈ⁿ₂⌉, 且 A 中所有點都和 B 中 所有點相連, 記作 K⌊ⁿ₂⌋,⌈ⁿ₂⌉。

這也是最多邊數的完全二部圖。

事實上, n 個點且p不含三角形y的最多邊數圖也就是這個圖 K_⌊ⁿ_2⌋,⌈ⁿ_2⌉。 緬投 (Mantel) 在 1907 年證明了:

C. 任一 n 個點且不含三角形的圖 G 最多只有 ⌊ⁿ₄²⌋ 條邊, 且這個圖就是 K_⌊ⁿ_2⌋,⌈ⁿ_2⌉。

證明: 假設 A ⊆ V (G) 是 G 中最大的獨立集 (independent set), 意即 A 的任意兩點都沒有 邊。 因為不含三角形, 所以任一點 x 的鄰居所成的集合必為獨立集, 因此, 我們知道 d(x) ≤ |A|

(這裡 d(x) 表示 x 的鄰居數量)。 令 B = V (G) \ A。 因為每一條邊至少有一個端點落在 B, 所以邊數

|E(G)| ≤∑

x∈B

d(x)≤ |A||B| ≤ (|A| + |B|

2 )² = n² 4 ,

由於 |A| 和 |B| 都是整數的關係, 我們可以更進一步推論 |E(G)| ≤ ⌊ⁿ₄²⌋ 且等號成立時的圖

就是 K⌊ⁿ₂⌋,⌈ⁿ₂⌉。 

匈牙利的圖靈 (Tur´an) 在 1941 年給了上述定理一般性的推廣, 將之從不含 3 個點的完 全圖 (也就是上述的三角形) 推廣至不含 r 個點的完全圖。

D. 任一 n 個點且不包含 r 點完全圖的圖最多只有 ^(r_2r⁻²⁾ⁿ₋₂² 條邊。

這種圖就是 n 個點的均勻完全多部圖, 意即有 n 個點均勻分成 r −1 部, 任兩點在不同部 有一條邊, 若在同一部內則沒有邊。 後人為了感念圖靈的貢獻, 也稱作圖靈圖 (Tur´an graph)。

這類不含某種特定子圖的圖的最多邊數的研究是屬於極端圖 (extremal graph) 研究的範 疇。 極端圖研究的源頭始於匈牙利數學家圖靈, 並且在匈牙利開枝散葉, 就連著名的組合數學家 艾狄胥 (Erd˝os) 也為其著迷, 著有相當多的研究成果。 至今才 70 年左右的時間, 已經開展出 一個專門的研究領域 – 極端圖理論 (Extremal Graph Theory), 有興趣的讀者可以參考 [4]。

三、 張黃猜想

今天要談的, 不是極端的概念, 而是中庸!

以下稱 H 是 G 的導出子圖(induced subgraph) 指的是, V (H) ⊆ V (G) 且 E(H) = {uv ∈ E(G) : u, v ∈ V (H)}。

猜想 1 (張黃猜想 1980). ¹ 任一 2^k 條邊的簡單二部圖, 必有一個恰好 2^k−1 條邊的導出子 圖。

1p張y是張鎮華教授, 目前任教於台灣大學數學系; 而p黃y是黃光明教授, 已經從交通大學應用數學系退休。

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d e f g a 1 0 1 1 b 1 1 1 0 c 0 1 0 1

d e f g

d e f g a

b c

a b c

d e f g a 1 0 1 1 b 1 1 1 0 c 0 1 0 1

G H

圖 ^1: 圖 G 為 7 個點 8 條邊的二部圖, 不難發現圖 H 為圖 G 的一個 4 條邊導出子圖, 其中 V (H) = {a, c, d, f, g} ⊆ V (G) 且 E(H) = {ad, af, ag, cg}。

若將二部圖用連接矩陣來表示, 則張黃猜想有一個在矩陣上等價對應的版本。

猜想 2. 任一有 2^k 個 1 的 0-1 矩陣, 存在恰好 2^k−1 個 1 的子矩陣。

圖 1 是關於張黃猜想及其矩陣對應的一個例子。

如果將 p簡單圖y 限制拿掉, 那麼我們很容易可以找出反例, 如圖 2。

ᎅࣔ

圖^2: 不存在 2 條邊的導出子圖。

更進一步, 若我們將 p二部圖y 限制拿走, 則同樣能夠找出反例, 如圖 3。

ᢰ܀޲ڶ ᢰᖄנ՗ቹ

ᎅࣔ

圖^{3: 6}個點的完全圖加 1 條獨立的邊, 此圖共有 16 條邊, 但卻不存在 8 條邊的導出子圖。

最後, p點數是 2 的正整數次方y 這個條件也是重要的, 否則同樣存在反例, 如圖 4。

圖^4: 此為一個 46 條邊的簡單二部圖 K5,9∪ e, 但卻不存在 23 條邊的導出子圖。

四、 猜想緣起與發展

這個關於二部圖的猜想, 來自一個看起來跟圖論毫無關係的新興領域 – 群試 (Group Testing)。

群試起源

時間倒回到 1941 年, 地球上正經歷著砲火隆隆的第二次世界大戰, 當時奉行孤立主義的 美國還尚未參與戰爭。 一直到了 12 月 7 日這天, 一發意料之外的砲彈落在美國的珍珠港海軍 基地, 才打破了美國的寧靜。 日軍這場偷襲不僅造成美軍傷亡慘重, 更令世界局勢發生重大變 化, 美國羅斯福總統在發生日軍偷襲珍珠港事件後, 旋即宣佈參戰。 為參與歐洲及亞洲的戰場, 美國要在短時間內召募大量士兵, 而在當時梅毒這可怕又致命的傳染病猖獗, 為免梅毒在士兵 間傳染開來, 進而影響戰力, 徵召來的士兵都必須經過嚴格的血液篩檢, 而梅毒的血液篩檢在當 時又相當昂貴, 美國軍方為此頭痛不已。

針對這個問題, 在醫院工作的朵夫曼 (Dorfman) 提出了一套有效節省篩檢費用的方法 [5], 他建議與其將血液樣本一個個檢驗, 何不先將若干份血液樣本混合, 再檢驗此混合樣本是否 遭受梅毒感染, 如果呈現陰性反應(即未受感染), 則代表對應這些血液樣本的士兵們都未受感 染; 反之, 如果呈現陽性反應 (受感染), 則再將對應的這些血液樣本一個個檢驗, 找出所有受梅 毒感染的士兵。 朵夫曼這個簡單的想法就是群試理論的原型。

基本模型

有 n 個血液樣本, 用0-1向量 x = (x1, . . . , x_n)來表示 (0: 未受感染; 而1: 被感染), 其 中有 d 個受到感染, 而目標是用少量的檢測 (group test) 將所有受感染的樣本找出。 每次檢 測的是任意子集合 S ⊆ {x1, . . . , x_n}, 得到的結果 Q(S) 有 2 種可能: Q(S) = 1 如果 S 中 有被感染樣本; Q(S) = 0 如果 S 中所有樣本都未被感染。

理論下界

令 t(n, d) 表示此模型下所需的檢測次數。 由於總共有 (_n

d

) ≥ (ⁿ_d)^d 種可能的分佈, 且每 次檢測只會得到 2 種可能, 根據夏農 (Shannon) 所發展出來的資訊理論 (Information The- ory), 我們知道 2^t(n,d) ≥(_n

d

)≥ (ⁿ_d)^d,兩邊同時取 log 得到 t(n, d) ≥ d logⁿ_d。 這時候我們稱

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d logⁿ_d 為 t(n, d) 的理論下界。

幸運的是, 這個理論下界是可以達到的, 指得是用 cd logⁿ_d 個檢測(c 是一個常數)。 有非 常多的論文探討關於這個常數 c 的值, 不過這又是另外一個故事了, 有興趣的讀者不妨自己動 動腦, 或者參考這本關於群試理論的專門書 [6]。

直覺不一定是對的

有天, 張和黃在做研究的過程中, 發現了一個出乎意料的結果, 問題是這樣子的:

問題 1. 如果有兩個集合 A 和 B, A 中有 5 個樣本, B 中有 3 個樣本, 若已知 A 和 B 中 都恰有 1 個受到感染, 那麼需要幾次檢測才足夠找出這 2 個受感染樣本呢?

直覺上, 因為 A 和 B 是不相交的兩個集合, 將它們分開處理, 分別找出受感染樣本似乎 是最好的策略。 用簡單的二元搜尋法, 我們可以知道分別處理所需的檢測次數為

⌈log25⌉ + ⌈log23⌉ = 3 + 2 = 5.

然而, 事實並非如此。 令 A = {a1, a2, a3, a4, a5} 且 B = {b1, b2, b3}。 張和黃的演算法是這 樣子的:

• 先測 S1 ={a1, b₁}。

– 如果 Q(S1) = 1,則再測 S2 ={a1}。

∗ 如果 Q(S2) = 1, 則知 A 中受感染樣本為 a1, 另外 B 中只有 3 個樣本因此可 以用 ⌈log23⌉ = 2 個檢測完成。

∗ 如果 Q(S2) = 0,則知 B 中受感染樣本為 b1,另外 A 中僅剩下 {a2, a₃, a₄, a₅} 共 4 個可疑樣本, 因此, 也能夠用 ⌈log24⌉ = 2 個檢測完成。

– 如果 Q(S1) = 0, 則知 a1 和 b1 都未受感染, A 和 B 分別只剩下 4 個和 2 個可疑 樣本, 因此, 能夠用 ⌈log24⌉ + ⌈log22⌉ = 3 個檢測完成。

綜合以上, 我們可以發現只要 4 次檢測就能夠找出這 2 個受感染樣本, 比分開處理所需的 5 次 檢測好一點, 而事實上, 4 次剛好是理論下界 ⌈log25× 3⌉, 也是最好的可能了。

有了這個小例子的佐證, 張和黃開始對這問題的一般性感到興趣, 並且提出了:

問題 2. [7] 對任意不相交的兩集合 A 和 B, 是不是都存在只用理論下界 ⌈log2|A||B|⌉ 次數 的檢測方法呢?

張黃猜想與問題 2 _的關係

我們先試著將問題 2 中 |A| × |B| 種受感染樣本可能的分佈想成一個 |A| × |B| 的矩陣, 每一個位置填上 p∗y 表示未確定, 填上 p1y 表示其對應行和列的兩個樣本即為受感染樣本, 填 p0y 表示對應行和列的兩個樣本至少有一個是未受感染。

每一次的檢測只有兩種可能的結果, 每一種結果會分別排除一些分佈的可能, 意即, 有些 分佈會從 ∗ 被斷定為 0, 直到某一次檢測能夠判定哪一個分佈是 1 其他全部都是 0 為止。 因 此, 如果存在一種檢測的策略, 能夠保證在每一次檢測中, 將矩陣中剩下未確定的位置數量減少 一半, 則表示經過 ⌈log2|A||B|⌉ 次檢測後, 全部未確定的 ∗ 都將變成 0 或 1, 達成目的。

現在就用問題 1 這個例子, 來解說它與張黃猜想的關係。 想像一個 V (G) = (A, B) 的 完全二部圖 G, 它的連接矩陣有 3 × 5 = 15 條邊, 在此先填入 15 個 ∗。 首先我們找出一 個 8 條邊的導出子圖 G0, 其點集為 V (G0) = {b2, b₃, a₂, a₃, a₄, a₅}, 而定義另外 7 條邊所 形成的圖為 G1; 其次, 找一個包含於 G0 的 4 條邊的導出子圖 G00, 其點集為 V (G00) = {b3, a₂, a₃, a₄, a₅}, 剩下的 4 條邊所成的圖定義為 G01; 從 G1 中找一個 4 條邊的導出子圖 G₁₀,其點集為 V (G10) ={b1, a₂, a₃, a₄, a₅}, 定義 G1 中剩餘 3 條邊所 形成的圖為 G11;依 此一直下去直到邊數為 1, 新增下標 0 代表其導出子圖, 下標 1 為其剩餘圖, 依序定義出這些 圖:

G =





∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗



 , G₀=





0 0 0 0 0 0∗ ∗ ∗ ∗ 0∗ ∗ ∗ ∗



 , G₁=





∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0



 , G⁰⁰=





0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0∗ ∗ ∗ ∗



 ,

G₀₁=





0 0 0 0 0 0∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 0



 , G¹⁰=





0∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



 , G¹¹=





∗ 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0



 , G⁰⁰⁰=





0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0∗ ∗



 ,

G₀₀₁=





0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0∗ ∗ 0 0



 , G⁰¹⁰=





0 0 0 0 0 0 0 0∗ ∗ 0 0 0 0 0



 , G⁰¹¹=





0 0 0 0 0 0∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0



 , G¹⁰⁰=





0 0 0∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



 ,

G101=





0∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



 , G¹¹⁰=





0 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0



 , G¹¹¹=





∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



 , G⁰⁰⁰⁰=





0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0∗



 ,

G₀₀₀₁=





0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0∗ 0



 , G⁰⁰¹⁰=





0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0∗ 0 0



 , G⁰⁰¹¹=





0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0∗ 0 0 0



 , G⁰¹⁰⁰=





0 0 0 0 0 0 0 0 0∗ 0 0 0 0 0



 ,

若邊數m不是剛好為2的整數次方, 如2ⁱ≤ m ≤ 2ⁱ⁺¹,則視為增加一些虛擬的邊使其總數為2ⁱ⁺¹,以2ⁱ為一半。

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G₀₁₀₁=





0 0 0 0 0 0 0 0∗ 0 0 0 0 0 0



 , G⁰¹¹⁰=





0 0 0 0 0 0 0∗ 0 0 0 0 0 0 0



 , G⁰¹¹¹=





0 0 0 0 0 0∗ 0 0 0 0 0 0 0 0



 , G¹⁰⁰⁰=





0 0 0 0∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



 ,

G₁₀₀₁=





0 0 0∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



 , G¹⁰¹⁰=





0 0∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



 , G¹⁰¹¹=





0∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



 , G¹¹⁰⁰=





0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0



 ,

G₁₁₀₁=





0 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0



 .

對照前面提到的演算法, 第一次先測 S1 = {a1, b₁}, 如果 Q(S1) = 0, 則表示 a1 和 b1

都是未受感染樣本, 因此, 剩下的可能用圖來表示的話, 即為 G0; 反之如果 Q(S1) = 1, 則剩 下的可能即為 G1。 依此類推, 我們不難發現這些圖都恰好分別對應到某一種檢測結果, 一直到 最後只剩下一條邊時, 那條邊所代表的就是所求的兩個受感染樣本。

接下來的問題可能在於, 找到一個導出子圖後, 例如 G0,我們該如何設計出一個檢測內容 恰好符合這個導出子圖呢? 其實很簡單, 只要檢測所有不在 G0 中的點即可, 那就是 {a1, b₁}。

經由上面的討論可以知道, 證明張黃猜想即正面證明了問題 2。 但不幸的是, 反過來並不成 立; 也就是說, 即使證明了問題 2 是對的, 也不足以證明張黃猜想。 事實上, 問題 2 早在 1981 年(也就是提出後的隔年) 就被張和黃證明出來 [8]。 雖然原始的問題已經被解決, 但張黃猜想卻 開啟了圖群試理論的新潮流:

給定一個二部圖 G = (V, E), 已知其中有一條邊是壞邊其餘都是好邊, 試問如何用最少 的檢測次數將壞邊找出來? 這裡的檢測仍然可以是任意的點集合 S ⊆ V , 但 Q(S) 則是不同 於傳統群試: Q(S) = 1 表示點集合 S 所生成的子圖中有一條邊是壞邊, Q(S) = 0 則表示生 成的子圖中所有邊都是好邊。

自此, 圖上的群試理論的研究正式展開。 有興趣的讀者, 可以參考 [9, 10] 及裡面豐富的參 考資料。 針對張黃猜想的研究結果並不多, 目前最好的結果記載於暨南大學阮夙姿和台灣大學 張鎮華教授合著的這一篇論文 [11], 證明了

定理 1 ([11]). 對於任意 2^k 條邊的二部圖, k ≤ 5, 張黃猜想都是對的。

參考資料

1. L. Euler, Soluto problematics ad geometriam situs pertinentis, Commentaii Academiae Scientiarum Impericalis Petorplictance, Vol. 8 (1736), pp. 128-140.

2. 徐力行, 沒有數字的數學, 天下文化, 2003年。

3. D. K¨onig, Theory of Finite and Infinite Graphs, translated by R. Mcloart with com- mentary by W. T. Tutte, Biskh¨auser, Boston, 1990.

4. B. Bollob´as, Extremal Graph Theory, New York: Dover Publications, 2004.

5. R. Dorfman, The detection of defective members of large populations. Ann. Math.

Statist., Vol. 14, No. 4, pp. 436-440, 1943.

6. D. Z. Du and F. K. Hwang, Combinatorial Group Testing and Its Applications, New Jersey, World Scientific, 1993.

7. G.J. Chang and F.K. Hwang, A group testing problem, SIAM J. Alg. Disc. Meth., Vol. 1, No. 1, pp. 21-24, 1980.

8. G.J. Chang and F.K. Hwang, A group testing problem on two disjoint sets, SIAM J.

Alg. Disc. Meth., Vol. 2, No. 1, pp. 35-38, 1981.

9. M. Aigner, Combinatorial Search, John Wiley and Sons, New York, 1988.

10. M. Bouvel, V. Grebinski and G. Kucherov, Combinatorial search on graphs motivated by bioinformatics applications: a brief survey. Lect. Notes Comput. Sci., Vol. 3787, pp. 16-27, 2005.

11. J.S. Juan and G.J. Chang, Group testing in graphs, J. Comb. Optim., Vol. 14, pp. 113- 119, 2007.

—本文作者任職中央研究院數學研究所^—

小品 小數點

作者 : _唐翊寧

我是仰望實數的小數點, 站立在數大的人群裡。

只是默默地凝視旁人, 是安靜又卑微的配角。

在浩瀚塵世中, 我是多麼的渺小,

但, 當需要我在整數和小數的中間畫上分界點時, 那時的我是不能缺少的主角。

—本文作者為中國科技大學財務金融系學生—