Lov´ asz 的雨傘 張 鎮華
1. 前言
匈牙利數學家 L´aszl´o Lov´asz1 於1999 年獲得 Wolf獎2, 他的得獎理由是 「在離散 數學裡獲得突破性的基本結果, 其在純數學、 應用數學以及理論計算機科學都有十分重要 的應用。 藉由引進一些仰賴於幾何、 多面體及拓樸技術的深刻數學方法,他解決了許多重要 的問題, 包括完美圖猜測, Kneser 猜測及決定五邊形Shannon 容量· · ·」。
這篇文章主要的目的就是要來介紹Lov´asz決定五邊形Shannon容量的精彩推導,順 帶談論 1960 年代離散數學家所關心的一些議題, 我們先從圖論談起。
2. 圖論緣起
很少有一個數學次領域可以說是從那一年誕生的,而今,大部分的人都肯定, 圖論的產 生源自於1736年歐拉 (Euler) 的一篇討論七橋問題的文章[1]。
在十八世紀的時候, 東普魯士的 K¨onigsburg (現今俄羅斯的 Kaliningrad)市有一條 Pregel 河 (現今 Pregolya 河)流經, 河的中心有兩座小島, 小島與河的兩岸有七座橋相連 接(參見圖1左邊之示意圖)。 當地流傳一則這樣的謎題,要如何才能從某一塊土地開始,將 每一座橋恰好經過一次。
1L´aszl´o Lov´asz生於1948年3月9日,他的工作主要在組合學,於1999年獲得Wolf獎,以及Knuth獎,於2010年 獲 得Kyoto獎。 他曾獲得三次(1964, 1965, 1966)國際數學奧林匹亞金牌, 1970年獲得匈牙利科學院的博士學位。 Lov´asz主 要在E¨otv¨os大學工作,於1975∼1982曾主持Szeged大學幾何學系, 1990年代在Yale大學,並在微軟研究中心直到2006 年再回E¨otv¨os大學。 他從2007年1月1日到2010年12月31日這四年擔任國際數學聯盟主席。
21976 年Ricardo Subiranay Lobo Wolf和他太太Francisca捐出一千萬美金,創立Wolf基金會,獎勵在農業、 化學、 數 學、醫學、 物理、 藝術六大領域有傑出貢獻的科學家。
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圖1: 四塊土地及七座橋的示意圖(左)及其抽象表示 (右)。
一般觀察力略為敏銳的人在經過一些嘗試之後, 很快就會發現這是不可能的。 當做數 學家, 歐拉給出一個 「精確」 的說法。 首先, 他進一步將土地和橋的示意圖抽象, 用四點代 表四塊土地, 一些點對之間的曲線 (邊) 代表橋,如圖1右邊所示。 七橋問題於是變成, 是否 可以從某一點開始, 沿著邊走到另一點, 再沿著另一條邊走到另一點, 依此類推, 目的是要 將每一條邊都恰好走過一次。
歐拉的思考不只在七橋的特殊情況,他考慮一般的圖。 對於圖中的每一點v, 定義其度 數d(v) 為與 v 相鄰的邊數, 如圖 1中的 d(A) = d(C) = d(D) = 3且d(B) = 5, 當我們 將圖中的所有點的度加起來時, 每加一個點的度, 我們順便將與他相鄰的邊做一個記號, 所 以度的總和就是記號的數目; 但是因為每一條邊恰有兩個端點, 所以會得到兩個記號, 因此 歐拉得到下面的公式:
X
v
d(v) = 2m
其中 m 是邊的數目。 以上的這個證明方法就是所謂的雙重計數法 (double counting), 是 十分有用的基礎手段。 由度數和的公式, 我們知道, 度數為奇數的點有偶數個, 如圖 1 的圖 就有四個奇度點。
歐拉說明七橋問題沒有解的方法如下。 假如存在一個從 x到y的走法(如今在圖論上 稱為道路),如果 z 有異於x 和y, 則當我們借由某一條邊走進z 之後, 必借由另一邊走出 z 到另外一點, 因此, 和 z 相鄰的邊必然成對出現, 得知 d(z) 是偶數。 但是圖1的四個點, 都是奇點,所以是不可能的。
歐拉的論文比較大的篇幅是在討論反方向。 它說明了, 只要圖是連通而且各個點的度 都是偶數, 那麼一定可以從任意點出發, 沿著點邊的走法, 走出一條道路, 並且每一條邊只 用到恰好一次, 最後回到原來出發的點。3
3詳細閱讀歐拉的論文,可以發現,其實他的論證略有不完備,但要將它改正卻也不困難。 因此,現在人們還是將此定理歸功於他, 並且將這樣的路徑以他命名,稱為歐拉路徑。
如果連通圖有 2k個奇點,則將其兩兩配對, 以這些點為端點加上 k 條新的邊,成為一 個只有偶點的連通圖, 因此, 存在一條將每邊恰走過一次又回到原出發點的道路; 再將新加 入的 k 條邊拆除, 會變成 k 條道路。 所以七橋問題中其實是要走兩段道路, 而不能由某地 出發將每座橋恰走過一次, 到達另一處。
3. K¨ onig 的第一本書
從1736 年到1936 年這兩百年間,可以說是圖論的春秋戰國時代,不同領域的研究人 員在他們各自的岡位上, 以不同的名稱, 不同的內容, 探索與歐拉發現的圖一樣的概念 (參 見 [2])。 一直到 1936 年, K¨onig 撰寫了圖論的第一本書 [3], 圖論在數學上於是有了正式 的定位。 從 1936 到現在不到一百年, 圖論的發展迅速, 各種理論及應用, 在數學及其他學 科中都得到極多的肯定, 相關的書籍成幾何級數增加。
為了解釋方便, 我們來定下一些的基本用語。 所謂圖是指一有序對 G = (V, E), 其 中 V 是非空的有限集, 其元素稱為 (頂) 點, E 是一些 V 的相異二元無序對的集合, 即 E ⊆ {e : e ⊆ V, |e| = 2} 其元素稱為邊。 有的時候, 我們用 V (G) 表示圖 G 的點集, 而 E(G)表示圖 G的邊集。 方便起見, 我們常將一條邊e ={u, v}直接寫成 uv, 因此 uv和 vu 是相同的。 此時,我們說 u和 v 是e 的端點,也說e 和u (及v) 相連,並說u 和v 相 鄰,或者說 u 是v 的鄰居, 而用 N(v)表示 v 的所有鄰居所構成的集合。
為了視覺上的方便, 我們常常將一個圖具體地劃出來, 如圖 2 表示 V = {a, b, c, d, e}
及 E = {ab, ae, bc, be, cd, de} 的圖。 如果圖中點的名稱暫時不重要時, 我們也可能不將它 們標出來,一直等到有需要的時候再來標示, 如果只有少數點的名字必須用到, 我們也可能 只標示出那些點的名字。
圖2: 一個有5個點及6條邊的圖。
圖的定義也可以有種種變化。 如果我們允許兩點之間可以不只連一條邊, 就可以產生 有重邊的重圖;如果我們允許一條邊的兩端點相同, 就產生有迴邊的近圖; 如果我們允許圖
的邊有方向 (此時 (u, v) = uv 和 (v, u) = vu 視為不同), 就產生有向圖; 如果我們允許 V (G) 為無窮集合,就產生無窮圖。
圖3: 重圖、 近圖、 有向圖及無窮圖之例。
一個圖中的一條道路是指一條點邊相間的序列v0e1v1e2· · · ekvk 其中的vi−1 和vi 是 ei 的端點; v0 稱為此道路的起點、vk 為終點、 k 為長;滿足 v0 = vk 的道路稱為封閉道路, 滿足 v0 6= vk 的道路稱為開放道路。 如果一個圖沒有重邊或迴圈, ei 就被 vi−1 和 vi 完全 決定, 因此我們可以用v0v1· · · vk 表示道路。 一條行跡是指邊不重複的道路,而一條路徑是 指點不重複的道路, 一條歐拉迴路是指一條將每一條邊恰用一次的封閉行跡。 一個圖是連 通的, 如果任何兩點之間均有一條道路。 歸結來說, 歐拉的定理如下所述。
定理(歐拉).如果G 沒有度為0的點, 則G存在歐拉迴路若且唯若G 是連通的而且其中 每一點均有偶度數。
一個圖稱為二部圖 (bipartite graph), 如果其頂點集可以分割成 A 和 B, 使得圖中 每一條邊恰有一端點在 A、 另一端點在 B。 圖的一個配對是指一邊集, 其中每兩條邊都沒 有共同端點。 二部圖配對的研究是二十世紀初流行的議題, K¨onig當年就是著迷於此,對圖 論大感興趣, 才會寫下圖論的第一本書,其中二部圖配對佔了不少篇幅。 而著名的匈牙利算 法就是 K¨onig 和Egerv´ary 用演算法的觀點求二部圖中最大配對的方法, 參見[4, 5]。
4. 圖的點著色
圖的著色源自於十九世紀中葉英國的一位學生 Francis Guthrie (後來成為南非大學 數學教授)提出的平面圖四著色問題,這個問題歷經一百多年的研究,產生了不少研究方向 和工具, 最後在 1977 年時由Appel、 Haken 和Koch [6, 7] 藉由電腦的幫助, 透過 「放電 論證法」 證明了四色定理。 他們的方法依賴電腦的大量計算, 很難讓數學家們都滿意, 因此 至今仍有人還在繼續努力,希望能找到一個簡潔而 「可閱讀」 的證明。 正如同當時人們的評
語所說的:「一個好的數學證明應該像一首詩, 而這根本是電話簿。」 雖然他們的證明後來被 Robertsen、 Sanders、 Seymour和Thomas 四人[8]簡化, 不過還是不能避免利用到電腦 來驗證。
我們著眼於圖的著色, 不在四色定理而在其有許多的實際應用, 諸如排時、 排序、 時間 表、 頻道分配、 資源分配、 實驗設計等等議題,都可以借由圖的著色來解決。
一個圖G的正常k-著色是指一函數f : V (G)→ {1, 2, . . . , k} 使得兩點x和y相鄰 時恆有 f (x) 6= f(y)。 圖 G 的著色數 χ(G) 是存在正常 k-著色的最小 k 值。 圖 2 中的五 個點的圖G 可以用 f (a) = f (c) = 1、 f (b) = f (d) = 2、 f (e) = 3 著色, 所以 χ(G)≤ 3;
事實上 χ(G) = 3,因為 a、b、 e 三個點要著不同顏色。
圖G的一個獨立集 (點團)是指一集合S ⊆ V (G),其中的任意相異兩點均不相鄰(相 鄰),而圖 G的獨立數 α(G) (點團數ω(G)) 是指獨立集(點團集) 的最多點數。 由正常k- 著色f 的定義可以知道, f−1(i) = {x ∈ V (G) : f(x) = i}是一個獨立集, i = 1, 2, . . . , k。 所以著色數 χ(G) 其實也是可以將 V (G)分割成最少的獨立集的個數, 其中每一個獨立集 f−1(i)稱為一個色類。
著色之所以可以有廣泛的運用, 是因為很多應用實際上是要將一些物件分割成具有某 性質的子類, 如果我們將這些物件視為一個圖的點集, 將不具特定性質的兩物件連邊, 常常 可以將問題化為圖著色。 今舉一例說明如下。
某大學有 n門課同時要開設, 第i 門課的開設時段為[ai, bi]區間,教務處的任務是要 將這些課程排出來, 利用越少的教室越好, 當然, 時段重疊的兩門課要排在不同的教室。 我 們可以造一個圖 G, 其頂點集 V (G) = {v1, v2, . . . , vn} 表示這 n 門課, 其邊集表達課的 衝突性,即 E(G) ={vivj : i6= j 且[ai, bi]∩ [aj, bj]6= ∅}。 如果將可以排用同一教室的兩 門課著同色, 就是一個正常著色, 所以 χ(G) 其實就是要求的教室的最少間數。
上述利用實數軸上的區間定義出來的圖稱為區間圖,求區間圖的著色數在1960年代是 很熱門的話題。
5. 完美圖起源
我們先來看看如何求區間圖的著色數,如果區間圖G的頂點vi 對應的區間為[ai, bi], 為了方便起見,假設a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an。
我們利用貪求法將 G 著色: i 從 1 到 n 逐一將 vi 著為 「沒有被 j < i 而 [ai, bi]∩ [aj, bj]6= ∅的vj 用到的最小正整數。」
由上述的著色方法可以看出這是一個正常著色。 假設總共用到 k 色, 我們將用對偶方 法證明, 其實 χ(G) = k。首先, 對於任意圖 G我們恆有弱對偶不等式:
ω(G)≤ χ(G),
這是因為 G 中的任意點團中的相異點都要用不同的顏色去著。 回到區間圖的著色, 如果 vi 用了第 k 色, 之所以如此, 是因為存在 j1, j2, . . . , jk−1 小於 i, 使得 vjr 用了第 r 色 (1≤ r ≤ k − 1),而且 [ajr, bjr] 和[ai, bi]相交, 但是 jr < i表示 ajr ≤ ai, 因而[ajr, bjr] 包含點 ai, 這表示 {vj1, vj2, . . . , vjk−1, vi}是一個 k 點的點團, 因此
k ≤ ω(G) ≤ χ(G) ≤ k, 所以證明了 ω(G) = χ(G) = k。
會有上述的好結果, 本質上是 G 具有 ω(G) = χ(G) 這樣 「完美」 的性質, 這在下述 Shannon 的工作中會再度出現。 雖然如此, Berge 在 1960 年代在定義 G 的完美性時卻 有更強的要求。 一個圖 G 稱為完美圖 (perfect graph), 如果對其任意導出子圖 H 均有 ω(H) = χ(H)。H 是 G 的導出子圖指的是 V (H) ⊆ V (G) 且 E(H) = {xy ∈ E(G) : x, y ∈ V (H)}。Berge 這樣定義是因為縱使 ω(G) = χ(G), 它可能也是一個內部包含架構 很差的圖。 舉例來說, 不管H 是什麼圖, 如果他有 n 點,則考慮 G = H∪ Kn 時,都會有 ω(G) = χ(G) = n。
早年在考慮完美圖時, 除了 ω 和χ 這對參數之外,人們也考慮 α 和θ,其中 θ(G)是 指將 G 的點集分割成最少的點團的個數。 因為G 中的獨立集 (點團) 在 G 的補圖Gc 中 是點團 (獨立集), 所以
α(G) = ω(Gc)且θ(G) = χ(Gc) 或者是
ω(G) = α(Gc)且χ(G) = θ(Gc)。
所以, 研究 ω 和 χ 其實等同在補圖研究 α 和θ。 以下 Shannon 的工作是用 α 和 θ 描述 的。
Shannon [9] 在1956年研究零錯信息傳輸,他希望傳輸的信息都要不混淆。 假設我們 有一符號集 V ,我們可以造一圖G,以V 為點集,而其邊集 E ={xy : x和y 造成混淆}。 兩條長度為 m 的信息 x1x2· · · xm 和y1y2. . . ym 不混淆是指對某一個 i 有xi = yi 且xi 和 yi 不混淆。 目標是固定 m 之後,想要找一包含兩兩不混淆的長度為 m 的信息集合。 一 個簡單的方法是找一大小為 α(G) 的獨立集 S, 則
{x1x2· · · xm : xi ∈ S}
是一個大小為 α(G)m 的信息集。 問題是, 能不能做得更好?
答案是, 有時確實可以做得更好, 以G = C5 為例子, 此時 V (C5) ={a, b, c, d, e} 且 E(C5) = {ab, bc, cd, de, ea}, 是為五邊形圖。 易知 α(C5) = 2, 因此上述的造法得到大小 為 2m 的不混淆信息集。 但是我們可以考慮這樣的集合, 對於每一個奇數 i, xixi+1 是取自 {aa, bc, ce, db, ed} 有五種取法, 這樣會造成一大小為 5⌊m/2⌋ 的不混淆信息集, 這遠比 2m 大很多。
圖4: xixi+1 取自 {aa, bc, ce, db, ed} 有五種取法。
為了簡化敘述,我們來定義圖的強乘積(strong product)。 如果G和H 是兩圖,其強 乘積G⊗ H 的頂點集V (G⊗ H) = V (G) × V (H),而邊集E(G⊗ H) = {(x, y)(x′, y′) : (x = x′ 或xx′ ∈ E(G)) 且 (y = y′ 或yy′ ∈ E(H))}。
圖5: P4⊗ P5。
當 m 是正整數時, Gm = G⊗ G ⊗ · · · ⊗ G (共 m 次)。 因此, Shannon 所要求的數其實 就是 α(Gm)。 因為對任意 G 和H 恆有
α(G⊗ H) ≥ α(G) · α(H),
我們得知 α(Gm) ≥ α(G)m。 前述 G = C5 的例子中 α(C5m) ≥ α(C5)m = 2m, 當 然後來我們更進一步知道 α(C5m) ≥ 5⌊m/2⌋。 一般而言, α(Gm) 都是指數成長, 為了方
便, 我們考慮 α(Gm)1/m, 而當 m → ∞, 其極限總是存在4, 於是就可以定義 ψ(G) = limm→∞α(Gm)1/m,我們稱它為Shannon 容量(Shannon capacity)。 回到上述的C5,到 底 ψ(C5) 是多少? 我們已經知道 ψ(C5)≥√5 了。
在討論 Lov´asz 證明 ψ(C5) =√5 之前, 讓我們回到完美圖。 首先, ω 和 χ 之間的弱 完美不等式 χ(G) ≥ ω(G) 一樣,我們也有 θ(G) ≥ α(G),因此, 再加上一些推導就有
α(G)α(H)≤ α(G ⊗ H) ≤ θ(G ⊗ H) ≤ θ(G)θ(H),
更一般而言, α(G)m ≤ α(Gm)≤ θ(Gm)≤ θ(G)m或者α(G)≤ α(Gm)1/m≤ θ(Gm)1/m≤ θ(G)。 如果α(G) = θ(G),我們就可以得到ψ(G) = α(G)這樣好的公式。 這其實也是當年 Berge他們急於問,何時 α(G) = θ(G)的原因。 但如同前面所提,一般是要α(H) = θ(H) 對 G所有導出圖 H 都成立比較容易說。
因為 G的ω和χ 關係等同於其補圖Gc 的α 和θ 的關係,我們事實上,是在研究G 的完美性和 Gc 的完美性。 第一個非完美的最小圖是 C5, 這也是為何ψ(C5)≥√5 > 2 = α(C5) 的原因。 在研究完美圖的過程, Berge 發現 G 和 Gc 中只要有一個是完美圖, 另一 個也是,例如區間圖就如此;完美圖不能有C2k+1 和C2k+1c (k≥ 2)為其導出子圖,而似乎 反過來也成立。 因此他寫下了兩個著名的猜測:
(C1) 圖 G為完美圖若且唯若 其補圖 Gc 為完美圖。
(C2) 圖 G為完美圖若且唯若 G 不含 C2k+1 及 C2k+1c (k ≥ 2)為導出子圖。
其中 (C2) 如果對的話, 可以推得 (C1) 也對, 所以 (C1) 也被稱為完美圖弱猜測, 而 (C2) 就被稱為完美圖強猜測。 完美圖弱猜測在 1972 年被 Lov´asz [7, 8] 證明出來, 這 也是 Lov´asz獲得 Wolf獎的得獎理由之一,然而完美圖強猜測則一直要等到2006年才被 Chundnovsky、 Robertson、 Seymous、 Thomas 四人 [9] 證明出來。
6. Lov´ asz 的巧思
現在讓我們來談談Lov´asz如何算ψ(C5)的方法。 對於Rn中的向量x = (x1, x2, . . ., xn) 及 Rm 中的向量 v = (v1, v2, . . . , vm), 我們用 x ◦ v 來表示他們的張量積 (ten- sor product), 它是一個 Rmn 中的向量 (x1v1, x2v1, . . . , xnv1, x1v2, x2v2, . . . , xnv2, . . ., x1vm, x2vm, . . . , xnvm)。 我們用 hx, yi 表示 Rm 中的兩個向量 x 和 y 的內積 (inner
4一般來說,如果函數f : N → R+滿足f (m + n) ≥ f (m)f (n)對任意m, n ∈ N恆成立,則limm→∞f (n)1/n存在。這 是著名的Fekete引理。
product), 也就是 Pni=1xiyi。 此時對於Rn 中的向量 x 和y, 以及 Rm 中的向量v 和 w, 我們恆有
(x◦ v, y ◦ w) = hx, yi · hv, wi (∗) 假如圖G的頂點集 V (G) ={1, 2, . . . , n}。 我們稱G的一個標準正交代表(orthonormal representation) 是一組歐式空間的單位向量(v1, v2, . . . , vn),使得對於不相鄰的i和j 必 有 vi 和 vj 垂直。 顯然, 取一組兩兩互相垂直的單位向量是任意n 點圖的標準正交基底, 所以這樣的代表總是存在的。 由式子 (∗) 顯然有:
引理1. 如果 (u1, u2, . . . , un)和(v1, v2, . . . , vn)分別是G 和H 的標準正交代表,則所有 ui◦ vj 將形成G⊗ H 的一個標準正交代表。
定義一個標準正交代表 (u1, u2, . . . , un) 的值 (value) 為 minc max
1≤i≤n
1 hc, uii2
其中 c 遍歷所有單位向量, 而當中達到最小值的那個 c 稱為此代表的柄(handle)。 我們用 φ(G) 表示 G 的所有標準正交代表的值當中最小的值, 並稱那個達到最小值的代表為最佳 代表(optimal representation)。
引理2. φ(G⊗ H) ≤ φ(G)φ(H)。
證明: 設 (u1, u2, . . . , un) 和 (v1, v2, . . . , vn) 分別為 G 和 H 的最佳代表, 其柄分別為 c 和 d。 由式 (∗) 知, c◦ d 為單位向量, 再套用式子 (∗),可知
φ(G⊗ H) ≤ maxi,j 1
hc ◦ d, ui◦ vji2 = max
i,j
1
hc, uii2hd, vji2 = φ(G)φ(H)。 引理3. ψ(G)≤ φ(G)。
證明: 我們首先證明α(G)≤ φ(G)。 令(u1, u2, . . . , un)是G的一個帶柄 c的最佳標準正 交代表。 不失一般性假設 {1, 2, . . . , k} 是 G 中的一個最大獨立集, u1, u2, . . . , un 兩兩垂 直,所以
1 =kck2 ≥ Xk
i=1
hc, uii2 ≥ α(G) φ(G),
由此以及引理 2 可知 α(Gn)≤ φ(Gn)≤ φ(G)n, 開n 次方取極限便可以得到引理。 有了上述的基礎, 我們便能來看 Lov´asz 對於 ψ(G) = √5 的精彩證明。 考慮一把傘 (是的, 雨傘,現實生活中的那個),其傘柄跟傘骨均為單位長, 而傘骨有五根,並想像傘的頂
端位於三維空間中的原點 O(0,0,0),傘柄的一端在 (0,0,1),而五根傘骨的一端 A1, A2, A3, A4, A5 在傘是合著的時候, 也是在 (0,0,1)。 當我們打開這把傘的時候 A1, A2, A3, A4, A5 落在三維空間的平面 z = √1− r2 中以 (0, 0,√1− r2) 為圓心及 r 為半徑的圓上, 形成 一個正五邊形。 r 從 0 逐漸增大到最多為 1 就是打開傘的過程。 當半徑為 r 時, 正五邊形 的邊長為 2r sin 36◦, 而不相鄰的 Ai 和Aj (例如 A1 和A3)之間的距離為 2r sin 72◦, 所 以傘骨 OAi 和 OAj 形成邊長為 1、 1、2r sin 72◦ 的等腰三角形, 由畢氏定理得知 OAi 和 OAj 的夾角在2r sin 72◦ =√2 時為直角,也就是說, 傘打開到 r = csc 72◦/√2≈ 0.7435 時, 不相鄰的骨之間的夾角恰為直角, 此時我們就把傘柄對應的向量當作 c, 而傘骨對應 的向量 u1, u2, u3, u4, u5 就會是 C5 一組標準正交代表。 可以計算 hc, uii = 5−1/4, 從而 ψ(C5)≤ φ(C5)≤√
5, 故得到ψ(G) = √5。
參考文獻
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—本文作者任教國立台灣大學數學系—
