超阿波羅圓漣漪

超 阿波羅圓漣漪

黃立恒

國立新竹高級中學

Abstract

The Apollonius circles are graceful and historical. As I view them in a new per- spective, I successfully figure out a transformation from the intersections of a plane and some Apollonius spheres to pencil of coaxial circles, and vise versa. By alternat- ing one or both of the given points along different tracks, I have developed a variety of activated systems called super Apollonius circles. They, as well as the track of their hearts, are of distinct characters.

摘

摘摘要要要: 阿波羅圓可能源於阿波羅尼奧斯對圓錐截痕的研究, 而我從原始的定義發展出一 動點一定點和雙動點的超阿波羅圓系, 並發現了它們一些特別的性質.

1 研 研 研究 究 究簡 簡 簡介 介 介

在高二數學課本 (許志農 [1]) 的例題之中, 我首次接觸阿波羅圓. 老師在課堂上的介紹, 讓 我對這個主題產生了興趣, 想要再加以延伸. 我先查詢相關文獻以了解阿波羅圓 (系) 的重 要性質, 如實驗本 [2] 證明了符合定義的動點軌跡為一圓, 並求得圓心位置 (座標) 和半徑 長; 洪梓翔 [3] 探討了圓系隨距離比的變化情形, 也證明任一阿波羅圓為 A, B 兩點的鏡射 圈.

在研究過程中, 我發現隨著平面的角度和位置不同, 可以和阿波羅球面系截出同心圓系 或共軸圓系; 我也能將共軸圓系轉換成阿波羅球面系和平面的截痕.

另外, 藉由對阿波羅圓進行 “動態化” 的操作, 我定義了數種超阿波羅圓系. 本研究的主 要目標是討論各型超阿波羅圓系及其圓心軌跡的幾何性質. 我的研究步驟是先觀察這些 圓系的圖形, 再推導它們的方程式, 用解析方法證明觀察結果.

討論時, 我先從一個動點 (動態化一次) 的情形開始. 針對各類不同的圓系探討 A 點位 置和 B 點軌跡兩個變因的影響. 至於兩個動點的情形, 我發現在特定的速度條件下, 其圓 心軌跡為擺線類的曲線.

最後, 要特別感謝丘成桐中學數學獎提供的機會; 許燦煌老師的指導, 傅瑞琪, 吳思鋒兩 位老師各方面的協助以及楊嘉鴻同學的參賽經驗分享.

2 文 文 文獻 獻 獻探 探 探討 討 討

顧及本研究的完整性, 收錄以下性質和證明.

2.1

阿 阿 阿波 波 波羅 羅 羅 圓 圓 圓 (系 系 系)

定定定義義義 2.1. 設 A(aA, bA), B(aB, bB)為座標平面上兩定點, 定義滿足 ^PA_PB =√

α(α>0)的 P 點軌跡為 Cα.

性性性質質質 2.2. 當 k=1 時, C₁為 AB 的垂直平分線; 當 k6=1 時, C_k為一圓, 稱為阿波羅圓.

令

PA PB

2

= (x−a_A)²+ (y−b_A)² (x−aB)²+ (y−bB)² =k

⇒C_k:(k−1)x²+ (k−1)y²−2(aBk−a_A)x−2(bBk−b_A)y= −(a²_B+b²_B)k+a²_A+b²_A 當 k6=1 時, Ck:

x− ^aBk−a_A k−1

2

+^y−^bBk−b_A k−1

2

= (a²_A+b²_A+a²_B+b²_B−2aAaB−2bAbB)k (k−1)²

= ^AB

2×k (k−1)² >0 表示以 D_a

Bk−a_A

k−1 ,^bB_k−1^k−bA

為圓心, rk= ^AB×

√k

|k−1| 為半徑的圓.

性性性質質質 2.3. 圓心隨 k 變化

阿波羅圓的圓心 D 在直線 AB 上, 而且是在 AD : DB=k : 1 的外分點上. 當 k>1 時, k值愈大, 圓心愈靠近 B; 當 0<k<1 時, k值愈小, 圓心愈靠近 A.

證證證明明明.

OD= (^aBk−a_A

k−1 ,b_Bk−b_A

k−1 ) = (a_B+ ^aB−a_A

k−1 , bB+^bB−b_A

k−1 ) =OB+ ¹ k−1AB, 又

OD= (^aBk−aA

k−1 ,bBk−bA

k−1 ) = (aA+^k(aA−aB)

1−k , bA+^k(bA−bB)

1−k ) =OA+ ^k 1−kBA, 即 ^PA

PB =√

k阿波羅圓的圓心 D 即是直線 AB 上滿足 AD : DB=k : 1 的外分點. 因

OD=OB+ ¹

k−1AB=OA+ ^k 1−kBA,

當 k>1 時, k值愈大, _k−1¹ 愈小, 圓心愈靠近 B. 而 0<k<1 時, k值愈小,_1−k^k 愈小, 圓心 愈靠近 A. 當 k→∞ 時, 圓心 D→B; 當 k→0 時,圓心 D→A.

性性性質質質 2.4 (圓半徑隨 k 變化). k>1 時, k值愈大, Ck的半徑愈小; 0<k<1 時, k值愈小, Ck

的半徑愈小, 而且 Ck與 C¹

k 半徑相等.

證證證明明明. 半徑 r_k,

r²_k =AB²· ^k

k²−2k+1 =AB²· ¹

k−2+¹_k = ^AB

2

(k+¹_k) −2. 設 y=k+¹_k(k>0), 由算幾不等式得: y=k+¹_k ≥2

q

k×¹_k =2, 而 y=2 時 k=1, k 與 y 的關係如下圖:

圖 1

當 k> 1 時, k值愈大,(k+¹_k)^愈大, C_k的半徑愈小. 同理, 當 0< k<_{1 時, k值愈小,} (k+¹_k)愈大, C_k的半徑愈小. 又

r_k =AB

r k

k²−2k+1 =AB

s 1

k−2+¹_k = ^AB

|√

k−^q1_k| .

因此, Ck與 C1

k 半徑相等.

性性性質質質 2.5. 任意一個阿波羅圓都是 A, B 兩點的鏡射圈.

證證證明明明. 設 C_k 為任一阿波羅圓, C 為過 A 且與 Ck正交的圓, D(^aB_k−1^k−aA,^bB_k−1^k−bA)_{為 Ck的圓} 心.

圖 2

∵DA×DB=    

k 1−k

·AB×    

AB k−1

= ^AB

2k

(k−1)² (∵k>₀)

=r²_k,

又 C 與 Ck正交, 所以 r²_k =DT², 故 DT²=DA×DB (T為切點). 由圓冪定理逆定理知圓 C 過 B, 因此 A, B 對 C_k鏡射.

性性性質質質 2.6. 所有過 A且與任意一個阿波羅圓 Ck正交的圓形成以←→

AB為根軸的共軸圓系.

證證證明←→明明. 由性質 2.5., 過 A 且和任意一個阿波羅圓正交的圓皆會通過 B 點. 因此, 它們形成以 AB為根軸的共軸圓系. 若以座標表示, 則有

[(x−a_A)(x−a_B) + (y−b_A)(y−b_B)] +t[(b_A−b_B)x− (a_A−a_B)y+ (a_Ab_B−b_Aa_B)] =_0.

其中(x−a1)(x−a2) + (y−b1)(y−b2) = 0 表示以 AB 為直徑的圓, 參數 t ∈ _{R. 而} (bA−bB)x− (aA−aB)y+ (aAbB−bAaB) =0 表示 ←→

AB, 即根軸. 值得注意的是: 它與 k 值無關.

2.2

特 特 特殊 殊 殊的 的 的平 平 平 面 面 面曲 曲 曲線 線 線

將一個小圓沿著一個大圓的外部作沒有滑動的滾動. 滾動時, 小圓圓周上的每個定點所 描繪的曲線稱為 “外擺線”.

圖 3 性性性質質質 2.8. 外擺線的參數方程式

如圖 3, 設固定圓半徑為 R, 滾動圓半徑為 r. P 對 C 的相對座標(r cos(φ−π), r sin(φ− π)) = (−r cos φ,−r sin φ). C 對 O 的相對座標((R+r)cos θ,(R+r)sin θ); P 對 O 的

相對座標為 ((R+r)cos θ−r cos θ,(R+r)sin θ−r sin θ)_{. 由弧長 Rθ} = r(φ−θ), 得 Rθ=rφ−rθ⇒ (R+r)θ=rφ⇒φ= ^(R+r)_r θ.

外擺線的參數式

(x, y) = ((R+r)cos θ−r cos(R+r)

r θ,(R+r)sin θ−r sin(R+r) r θ) 也可以寫成







x= (a+b)_{cos t}−b cos(^a+b b )t, y= (a+b)sin t−b sin(^a+b

b )t,

t∈R.

3 單 單 單動 動 動點 點 點的 的 的超 超 超 阿 阿 阿波 波 波羅 羅 羅 圓 圓 圓系 系 系

3.1

超 超 超 阿 阿 阿波 波 波羅 羅 羅 圓 圓 圓系 系 系的 的 的定 定 定義 義 義

定定定義義義 3.1. 對於一個阿波羅圓 Cα,定義 “動態化” 的操作為將兩個定點之ㄧ沿著特定軌跡 Γ 移動, 使得 Cα作相應的變化.

定定定義義義 3.2. 在距離比√

k (即^PA_PB) 固定的條件下進行一次 “動態化” 的操作, 稱所得圓系為 Γ 上的 Rk型超阿波羅圓系, 記為 Rk(_Γ).

說說說明明明. “動點沿著軌跡 Γ 移動時, k 值保持不變” 是此型圓系的重要特徵, 故稱之為 Rk型, 其中 R 代表距離比 (Ratio of distances).

定定定義義義 3.3. 設動點座標(m, n),且函數 g(x, y)^將點(m, n)^對應_到距離比√

k (即 ^PA_PB). 在此 條件下進行一次 “動態化” 的操作, 稱所得圓系為 Γ 上的 R_g(m,n)型超阿波羅圓系, 記做 R_g(m,n)(_Γ).

說說說明明明. 此型圓系為 Rk型超阿波羅圓系的推廣, 藉由函數 g(x, y)使得距離比 R 隨著 B 點 移動而改變, 故稱之為 R_g(m,n)型. 反過來說, Rk型圓系是此型圓系的特例, 即取 g(x, y)_為 常數函數.

3.2

繪 繪 繪製 製 製超 超 超 阿 阿 阿波 波 波羅 羅 羅 圓 圓 圓系 系 系

用 GSP 繪製 R_k型超阿波羅圓系的步驟如下:

1. 開啟新檔, 並作一定點以及動點所在圖形 Γ.

2. 過定點作一直線和 Γ 相交, 形成動點.

3. 利用工具列中的伸縮變換, 在直線上作出圓上一點和圓心.

4. 使用工具列中的構圖→軌跡圖, 即可作出圓系或圓心的軌跡.

R_g(m,n)型超阿波羅圓系的作圖步驟和 Rk型大致相同, 但作出定點, 圖形 Γ 和動點之後

必須先輸出動點的座標(m, n)_{, 經由函數 g}(x, y)_得到 ^PA

PB 的值, 再計算伸縮變換的比例.

3.3

R 型 型 型超 超 超 阿 阿 阿波 波 波羅 羅 羅 圓 圓 圓系 系 系的 的 的方 方 方程 程 程式 式 式

本節推導 R 型超阿波羅圓系和其圓心軌跡的方程式輔助後續的證明. 首先, 設 A 點和 B 點座標分別為(a_A, b_A),(aB, bB), 由性質 2.3 知圓心 D 的座標可表示為(^ka_k−1^B−aA,^kb_k−1^B−bA). 若令其為(a⁰, b⁰),則有

aB = ^k−1 k a⁰+^aA

k , bB = ^k−1 k b⁰+^bA

k . 不失ㄧ般性令 B 點為動點, 沿著函數 b= f(x)的軌跡移動, 代入可得

k−1 k b⁰+^bA

k = f(^k−1 k a⁰+^aA

k ), 即

b⁰ = ( ^k

k−1)_f(^k−1 k a⁰+^aA

k ) − ^bA

k−1. (1)

承上述討論, 將 A 點, B 點座標和 rk=

√ k

k−1AB代入 Rk型超阿波羅圓系 (x−a⁰)²+ (y−b⁰)²=r_k²,

可得



x−^kaB−a_A k−1

2

+^y−^kbB−b_A k−1

2

=^

√k k−1

h

(aB−aA)²+ (bB−bA)²ⁱ. 展開得

x²+y²− ^2x

k−1(kaB−aA) − ^2y

k−1(kbB−bA) +^k(a²_B+b²_B) − (a²_A+b²_A) k−1 =0, 再將(a_B, b_B)_代換為(a_B, f(a_B))^可得

x²+y²− ^2x

k−1(kaB−aA) − ^2y

k−1(k f(aB) −bA) +^k(a²_B+ f(aB)²) − (a²_A+b²_A)

k−1 =0. (2) 將 (1) 和 (2) 中的 k 以 g(a_B, f(a_B))_{代入, 得到 Rg}(m, n)型超阿波羅圓系的圓心軌跡和 圓系方程式:

b⁰ = ( ^g(aB, f(aB))

g(aB, f(aB)) −1)f(^g(aB, f(aB)) −1 g(aB, f(aB)) ^a

0+ ^aA

g(aB, f(aB))) − ^bA

g(aB, f(aB)) −1, (3)

x²+y²− ^2x

g(aB, f(aB)) −1(g(aB, f(aB)))aB−aA)

− ^2y

g(aB, f(aB)) −1(g(aB, f(aB))f(aB) −bA

+^g(aB, f(aB))(a²_B+f(aB)²− (a²_A+b²_A)) g(a_B, f(a_B)) −1 =0.

(4)

3.4

單 單 單動 動 動點 點 點超 超 超 阿 阿 阿波 波 波羅 羅 羅 圓 圓 圓系 系 系的 的 的幾 幾 幾何 何 何性 性 性質 質 質

引引引理理理 3.4. 對一 Cα 的兩定點 A, B 分別以 ^PA_PB = √

k和 ^√1_k 進行動態化, 得到 Rk(Γ)_A 和 R1

k(_Γ)_B,兩者經過平移可以完全重合.

說說說明明明. 作圖時, 我是先複製 Rk(Γ)_A,再將 A, B 的名稱對調且取 ^PA_PB 為倒數. 因此, 作出的 R1

k

(_Γ)_B經過平移可以和 Rk(_Γ)_A完全重合. 因此, 在以下的證明過程中, 不失一般性, 令動 點為 B 點.

性性性質質質 3.5. 保守性

當動點的軌跡是一個函數圖形, Rk型超阿波羅圓系的圓心軌跡為一個同類型的函數圖 形.

證證證明明明. 承 4.2.1節, 令 B 點為動點, 沿著函數 b= f(x)的軌跡移動, 推得圓心軌跡如 (1) 式, 為 f(x)經過平移和伸縮而得. 平移不會影響函數的種類, 又此式對 x 軸和 y 軸伸縮的比例 相等, 只會讓圖形放大或縮小, 也不會影響函數的類型.

性性性質質質 3.6. 移動性

定點位置不影響 Rk型超阿波羅圓系的圓心軌跡形狀.

證證證明明明. 定點 A 的位置影響了其座標, 即 (1) 式中的 aA和 bA. 而這兩項對圖形的影響都是 改變平移量的大小, 因此不會影響圖形的形狀.

引引引理理理 3.7. 若動點沿一直線 (線段) 移動, 則 Rk型超阿波羅圓系的圓心軌跡為一平行動點軌 跡的直線 (線段).

證證證明明明. 對於一般的直線, 可設其方程式為 b= f(x) =cx+d. c=_{0 時, f}(x) =d , (1) 式可 化簡為 b= _k−1^k d−_k−1^bA ,其圖形為一水平線. c6=0 時, f(x) =cx+d, (1) 式化簡為

b=cx+^caA+kd−bA

k−1 , 其圖型為一平行 y= f(x)的斜直線.

而若 B 點在鉛直線 x=x0上, 則可設其座標為(x0, t), t∈R. 那麼 D 點座標可表示成 (^kx_k−1^0−aA,^kt−b_k−1^A), t∈R, 其軌跡為一鉛直線.

若將上述討論中的變數 x 和 t 的範圍限制在一個閉區間內, 便可以使 B 點在直線的一 部分, 即一線段上移動. 經由相似的討論過程, 即可證得相同的結論.

定定定理理理 3.8. 若動點軌跡是一多邊形或圓, Rk型超阿波羅圓系的圓心軌跡和原軌跡相似.

證證證明明明. 此證明過程較長, 我先以三角形的例子做代表. 設 A 在4EFG內部, 我將4EFG分 割成 EF, EG, FG 三線段, 如圖 4.

由引理 3.7, EF, EG, FG 會分別對應到 E⁰F⁰, E⁰G⁰, F⁰G⁰三線段, 此三線段會形成一個封 閉三角形. 由於此三線段的伸縮比例相同且分別平行原三角形的各邊, 故形成的三角形和 原三角形相似.

圖 4 圖 5 圖 6

而 A 點在圖形上和圖形外的情形由性質 3.6 即可確定圓心軌跡和原三角形相似, 如圖 4.圖中咖啡色的是圓心軌跡, 其他顏色的是原圖形.

相同的切割技巧可以應用到任意多邊形, 如圖:

圖 7 圖 8 圖 9

因為圓是正 N 邊形的極限情形, 所以上述討論對它們也成立.

4 雙 雙 雙動 動 動點 點 點的 的 的超 超 超 阿 阿 阿波 波 波羅 羅 羅 圓 圓 圓系 系 系

4.1

定 定 定義 義 義 雙 雙 雙動 動 動點 點 點的 的 的超 超 超 阿 阿 阿波 波 波羅 羅 羅 圓 圓 圓系 系 系

從單動點超阿波羅圓系的定義, 可以直接推廣出下列定義 4.1 - 4.3.

定定定義義義 4.1. 對於一個阿波羅圓 Cα,定義 “雙重動態化” 操作為使兩定點分別沿著特定軌跡 Γ1,Γ2做等速率運動, 使得 Cα作相應的變化.

定定定義義義 4.2. 在距離比√

k (即 ^PA_PB) 固定的條件下進行一次 “雙重動態化” 操作, 稱所得圓系 為 Γ1,Γ2上的 Rk型超阿波羅圓系, 記為 Rk(Γ1,Γ2).

定定定義義義 4.3. 設動點座標(m, n),且函數 g(x, y)^將點(m, n)^對應_到距離比√

k (即 ^PA_PB). 在此 條件下進行一次 “雙重動態化” 操作, 稱所得圓系為 Γ1,Γ2上的 Rg(m, n)_{型超阿波羅圓} 系, 記做 R_g(m,n)(_Γ1,Γ2).

4.2

修 修 修正 正 正繪 繪 繪 圖 圖 圖方 方 方法 法 法

由於 4.06 版的 GSP 不能用一個軌跡圖和動點再作軌跡圖, 因此繪圖方法的 第四步驟 “使 用工具列中的構圖→軌跡圖作出圓系或圓心的軌跡” 必須修正成: 選擇顯示圓系或圓心 的軌跡, 再選擇兩個動點進行動態模擬.

4.3

方 方 方程 程 程式 式 式的 的 的推 推 推廣 廣 廣

令 A 點也沿著函數 b=h(a)的軌跡移動, 代入 4.2.1 小節各式可得:

Γ1,Γ2上的 Rk型超阿波羅圓系圓心軌跡方程式

b⁰ = ( ^k

k−1)f(^k−1 k a⁰+ ^aA

k ) − ^h(aA) k−1. Γ1,Γ2上的 Rk型超阿波羅圓系方程式

x²+y²− ^2x

k−1(kaB−a_A) − ^2y

k−1(k f(aB) −h(a_A)) +^k(a²_B+f(a_B)²− (a²_A+h(a_A)²)) k−1 =0.

Γ1,Γ2上的 Rg(m, n)型超阿波羅圓系圓心軌跡方程式

b⁰= ( ^g(a_B, f(a_B))

g(aB, f(aB)) −1)f(^g(a_B, f(a_B)) −1 g(aB, f(aB)) ^a

0+ ^aA

g(aB, f(aB))) − ^h(a_A) g(aB, f(aB)) −1. Γ1,Γ2上的 Rg(m, n)_{型超阿波羅圓系方程式}

x²+y²− ^2x

g(a_B, f(a_B)) −1(g(aB, f(aB))aB−a_A)

− ^2y

g(aB, f(aB)) −1(g(aB, f(aB))f(aB) −h(aA)) + ^g(a_B, f(a_B))(a²_B+ f(a_B)²) − (a²_A+h(a_A)²)

g(a_B, f(a_B))a_B−1 =0.

4.4

雙 雙 雙動 動 動點 點 點超 超 超 阿 阿 阿波 波 波羅 羅 羅 圓 圓 圓系 系 系的 的 的幾 幾 幾何 何 何性 性 性質 質 質

開始討論雙動點的情形後, 它們之間的速度關係便開始顯得重要, 因此必須 推導下列引理, 其中 D 點為阿波羅圓的圓心, α=√

k, M 點為 AB上滿足 ^MA_MB =α 的分點, 而−→_v

ij為 i 點相 對於 j 點的速度向量.

引引引理理理 4.4.

−−→vDA= ^k k−1

−→vBA; −→_v

DB= −1 k−1

−→vAB; −−→_v

MB = ¹ α+1

−→vAB; −−→_v

MA= ^α α+1

−→vBA.

證證證明明明. (只列出第一式的圖)

i 點相對於 j 點的速度向量是由和 j 點一起移動的觀察者所測量, 對他來說, 只有 i 點在 移動. 由引理 4.8, 若動點沿一線段移動, 則 D 點的軌跡為一平行動點軌跡的線段 (M 點同 理), 因此可構成圖中的相似三角形, 推得下列速率比, 和動點軌跡本身是否平行無關; 方向 則是直接觀察所得.

圖 10 圖 11

4.4.1 兩兩兩平平平行行行直直直線線線

定義在一組平行直線 L1, L2上的超阿波羅圓系具有下列性質:

性性性質質質 4.5. 當 ^PA_PB 為定值√ k且−_v→

A =−→_v

B,則 Rk(_Γ1,Γ2)中的所有圓半徑均相同, 且其圓心 軌跡為一平行 L1, L2的直線.

圖 12

證證證明明明. 在上述條件中, A, B 兩質點間沒有相對運動, 所以 AB 的長度固定. 又距離比 固定為 √

k, 依圓半徑 rk =

√k

|1−k|AB, Rk(Γ1,Γ2) 中所有圓的半徑均相同. 由引理4.4,

−→

v_D = _k−1^k −_v→

B−_k−1¹ −_v→

A. 當−_v→

A = −_v→

B,圓心 D 速度為 _k−1^k −_v→

B−_k−1¹ −_v→

A =−_v→

A, 因此其軌跡為 一平行 L1, L2的直線.

性性性質質質 4.6. 當 ^PA_PB 為定值√ k且−_v→

A=k−_v→

B, Rk型超阿波羅圓系中的所有圓有相同的圓心.

證證證明明明. 由引理 4.4,−_v→

D = _k−1^k −→_v

B−_k−1¹ −_v→

A. 將−_v→

A=k−_v→

B代入上式即可得−_v→

D=_0.

引引引理理理 4.7. 當 ^PA_PB 為定值√ k且−_v→

A= −√ k−_v→

B, AB上滿足 ^MA_MB =√

k 的點 M為一不動點.

證證證明明明. 由引理 4.4, −_v→

M = ^√1

k+1

−→ v_A+

√

√ k k+1

−→ v_B. 將 −_v→

A = −√ k−→_v

B 代入上式即可得−_v→

M = 0.

引引引理理理 4.8. 承引理 4.7, 過 M 點作垂直 L1, L2的直線交 Rk(Γ1,Γ2)中的任意一圓於 N, 則 N 點也是一個不動點.

證證證明明明. 因為←→

MN垂直於 A, B 的移動軌跡 (即 L1, L2), 所以 N 點的移動速度和 M 點相同.

−→

v_M = 0 時 M 點不動, N 點也不動. 換句話說, M 點不動而 N 點動會使←→

MN不垂直 L1, L2.

引引引理理理 4.9. 反向之共點圓

承引理 4.7, 4.8, R_k(L1, L2)中的所有圓交於引理中所述 M, N 兩點.

證證證明明明. 因為 ^MA_MB =√

k, 所以 M 點落在阿波羅圓上; 又 N 點落在阿波羅圓上為已知. 由引 理 4.7 和 4.8 知 M, N 點為不動點, 所以 Rk(L1, L2)中的所有圓交於此兩點.

定定定理理理 4.10. 兩平行直線上的共軸圓系

設過 M 和 N 的所有圓形成共軸圓系 CS,則 Rk(_Γ1,Γ2) =C_S.

證證證明明明. 由引理 4.9, Rk(L1, L2)中的所有圓交於 M, N 兩點, 因此 Rk(Γ1,Γ2) ⊆CS. 而若在 C_S 上取一圓, 此圓的圓心落在 MN 的中垂線上, 且會過 M, N 兩點, 故此圓∈ R_k(_Γ1,Γ2), 即 CS ⊆R_k(_Γ1,Γ2), 證得 R_k(_Γ1,Γ2) =CS.

4.4.2 一一一直直直線線線(兩兩兩重重重合合合直直直線線線)

若使 L2和 L1重合為 L, 性質 4.5 中的圓心軌跡也會是 L. 性質 5.6, 5.7 依然成立; N 點實 際上和 M 點重合, 因此引理 5.8 和 5.7 等價. 而引理 5.9 修正為 “Rk(L₁, L2中的所有圓相 切於該點‘’. 定理 5.10 仍成立, 只是此時 CS為相切而非相交的共軸圓系, 根軸為通過該點 和 L 垂直的直線.

圖 13. 兩平行直線上的共軸圓系 圖 14. 兩重合直線上的共軸圓系

4.4.3 兩兩兩相相相交交交直直直線線線

承引理 4.7, 若動點軌跡為兩相交直線, 且速度向量−_v→

A 和−→_v

B的夾角 φ∈ (0,^π₂)_{. 當兩質點} 的速率比 ^v_v^A

B =k sec φ,圓心軌跡垂直於 B 點的軌跡.

圖 15

證證證明明明. 將−_v→

D拆成−_v→

A方向和垂直−_v→

A方向的兩個分量, 分別以−−−→_v

D A 和−−−→_v

D⊥A 表示. 由引 理 4.4,

−→ vD = ^k

k−1

−

→vB− ¹ k−1

−→ vA

= ^k

k−1(−−→_v

B A+−−→_v

B⊥A) − ¹ k−1

−→ vA

= ¹

k−1(k−−→

v_B

 A− −→ vA) + ^k

k−1

−−→vB⊥A

=−−−→_v

D A+−−−→_v

D⊥A. 若 ^v_v^A_B =k cos φ,−_v→

A=k−−→_v

B A.代入可得−−−→_v

D A =0,−_v→

D只剩下垂直於−_v→

A的分量.

4.4.4 兩兩兩動動動點點點在在在同同同一一一圓圓圓上上上

性性性質質質 4.11. 對於定圓 C0上的雙動點超阿波羅圓系, 其圓心軌跡為 C0的外擺線若且為若

v_A

v_B =k= (^PA

PB)², k6=1,且兩動點旋轉方向相同.

證證證明明明. 定義 2.7 為外擺線的定義, 性質 2.8 描述了它的參數方程式具有







x= (a+b)cos t−b cos(^a+b b )t, y= (a+b)sin t−b sin(^a+b

b )t,

t∈R.

的形式, 而且一個該形式的參數方程式恰對應到半徑為|a|的固定圓和其半徑為|b|^的滾 動圓所形成的外擺線. 以下證明當且僅當兩動點的速率比滿足上述條件 時, 給定系統的圓 心軌跡方程式具有性質 2.9 的形式.

不失一般性令 B(cos θ, sin θ)_{, A}(_cos(λθ)_{, sin}(λθ) 為單位圓上的動點. 此假設代表

−−−−−−→

A的角速度= λ

−−−−−−→

B的角速度,且同時由(1, 0)出發. 因為 A, B 在同一圓上, 所以|λ| = ^v_v^A

B. 由性質 2.3 知 D 點座標為

k cos θ−cos(λθ)

k−1 ,k sin θ−sin(λθ) k−1



, θ∈R.

取 a=1,則 b= _k−1¹ .若 λ6= ^a+b_b = ¹⁺

1 k−1 1 k−1

=k,則參數方程式不滿足性質 2.9 的形式. 由 於 k>0, 因此 λ>0, 即兩動點旋轉方向相同.

另外, 在外擺線的尖點處, 由於^v_v^A_B =k且兩動點旋轉方向相同, 所以−_v→

A=k−→_v

B由引理

4.4,−_v→

D= _k−1^k −_v→

B− _k−1¹ −_v→

A =0. 即外擺線上的動點在尖點的速度為零.

圖 16. K=2 的外擺線, 俗稱心臟線 圖 17. K=4 的外擺線, 有三拱

附 附 附錄 錄 錄

設 A(a1, a2), B(b1, b2)為兩固定點電荷, A 和 B 帶異性電且 A 的電量是 B 的電量的

√

α倍, 則阿波羅圓 Cα上的任意一點 P 均滿足電位為零.

說明. 在物理學上, 電位的定義是單位正電荷在電場中的某一個位置所具有的電位能. 若 電場的場源是單一點電荷, 電位可表示成:

V= ^kQ r .

式中的 V 為電位, k 為庫倫常數, Q 為場源的電量 (有正負), r 為該點和場源的距離. 而題 設的系統為 A 和 B 兩個點電荷的組合, 某一點的電位由 A 和 B 共同決定. 不妨假設 B 點 帶負電, 對於座標平面上滿足 ^PA_PB =√

α 的任意 P 點都有:

Vp= ^kQA r_A −^kQB

rB

= ^kQB rB

(

√

√α

α−1) =0.

反之, 解 VP=0 可得

PA PB =√

α 或 r_A, r_B→_∞.

所以在有限的距離內, 只有 Cα上的點電位為零.

參 參 參考 考 考文 文 文獻 獻 獻

[1] 許志農, 黃森山等編;hh_{高級中學數學第三冊}ii_{, 龍騰文化.}

[2] hh高中數學實驗教材第四冊ii,高中數學實驗教材編輯小組, 國立編譯館, 中華民國七 十三年一月.

[3] 洪梓翔, 萬原府;h_{阿波羅圓漣漪}i,中華民國第四十八屆中小學科學展覽會.

[4] 趙文敏;h^幾何學中的海倫-擺線及其他i, 科學月刊第二十卷第十一, 十二期.