• 沒有找到結果。

# 軌跡

N/A
N/A
Protected

Share "軌跡"

Copied!
28
0
0

(1)

## 軌跡

### 胡晉傑

Abstract

The study derived from the definition of ellipse: the sum of the distance between one moving point and two points is constant. I changed the definition into three lines, and the trail is composed of point P that satisfies m1·d(P, L1) +m2·d(P, L2) +m3· d(P, L3) =const. I probed into the situation of when the constant is greater than 0 or equal 0, and I enable m1, m2, m3to be smaller than 0 or greater than 0. As the result, I found that the trail I want can be got by using a plane for cutting the quadrangular pyramid, like the way to have a conic section from a cone. I also found the relations between the variables of the trail and the quadrangular pyramid. Additionally, I changed the third line into another point A, which has conic section for the trail, and it is the point A that is the focal point; On the other way, from the discussion of the eccentricity, I constructed a triangle model that stands for the relations between m1, m2, m3and slope of L2, and the sort of conic section which trail belongs to.

(2)

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b) (c)

(d) (e)

(3)

(4)

## 2 本 本 本研 研 研究 究 究 之 之 之詳 詳 詳細 細 細內 內 內容 容 容

1

1

2

2

2.1

2.2

### 兩 兩 兩線 線 線

2.2.1 兩兩兩平平平行行行線線線

1. 當 d=k⇔T= I∪L1∪L2.

2. 當 d>k⇔T在 II, III 區分別距 L2, L1d−k

2 處. (圖 5 的 L)

(5)

2.2.2 兩兩兩相相相交交交線線線

m1·PC+m2·PD=const.=c, c∈R+,

m1·PC+m2·PD=m1· b

a+b·d1+m2· a

a+b·d2=m1·d1· a+b a+b =c.

2. 證明其他區域不合:

OP, 圖 8, 令 P0 ∈ −→

OP−P, P0H ⊥ L1 於 H, P0K⊥L2於 K.

(a) 當 P0 ∈ OP−P, 因為 PI > P0H, PJ > P0K, 所以 m1·PI+m2·PJ > m1· P0H+m2·P0K⇒P0∈/T.

(b) 同理, 當 P0∈−→

OP−OP⇒m1·PI+m2·PJ>m1·P0H+m2·P0K⇒P0∈/T.

(c) 由 (a), (b) 可以分別證明圖 9 與圖 10 所成區域皆不合.

(6)

(d) 同 理 可 證 被 L1, L2 分 割 的 另 外 三 塊 區 域, 故 T = {P ∈ R2|P 滿足 m1· d(P, L1) +m2·d(P, L2) =const.}時, T為平行四邊形.

a2+b2 ,令 L1, L2交點 為坐標原點定坐標系.

P1P2,在(+,+)區所得軌跡為 P1P2.

P1P2,在(+,−)區所得軌跡為{←−→

P1P2−P1P2};其他部分亦同, 得 證.

(7)

1

1

2

2

3

3

2.3

### 三 三 三線 線 線

2.3.1 m1·d(P, L1) +m2·d(P, L2) +m3·d(P, L3) =c 作圖.

m1|y| +m2|kx−y|

k2+1 +m3|ax−y|

a2+1 =c,

m1|y| +m2|kx−y|

√k2+1 +m3|ax−y+b|

√a2+1 =c,

(8)

2.3.2 由由由極極極端端端化化化情情情形形形找找找 m1·d(P, L1) +m2·d(P, L2) =m3·d(P, L3)軌跡

d(P1, L2) =0⇒d(P1, L1) =d(P1, L3) 作 L1, L3銳交角平分線交 L2於 P1, P1即為所求.

P1P3∪←−→

P2P4) − (P1P3∪P2P4) + (P1P2∪P3P4).

PX : P1X1=P2P : P2P1⇒PX= P1X1·P2P

P2P1 =a· P2P

P2P1, (1)

PY : P2Y2=P1P : P1P2⇒PY= P2Y2·P1P P1P2

=b· P1P P1P2

, (2)

(1) + (2) ⇒PX+PY=a· P2P P2P1

+b· P1P P1P2

= aP2P+bP1P P1P2

.

(9)

PZ= P1P·P2Z2+P2P·P1Z1

P1P2 = aP2P+bP1P P1P2 , 所以

PX+PY= aP2P+bP1P P1P2

=PZ.

2. −→

P1S∪−→

P2T∪−−→

P3U∪−−→

P4V 部分: 同上理, 可得證 (圖 17).

3. 不合部分:

(a) 區域 1 (圖 19):

P1S 取一動點 P, 作 PI ⊥ L1 於 I, PJ ⊥ L2 於 J, PK ⊥ L3 於 K, 已知 PI+PJ = PK, 作 L01 L1, L02 L2, L03 L3,令 L3, L20, L03在區域 1 中圍成區 塊為 I,在 I 中取一動點 P0, 因為 L01 L1, 所以 P0I0 > PI, 因為 L02 L2, 所以

(10)

P0J0>PJ, 因為 L03 L3, 所以

P0K0<PK⇒PI+PJ=PK>P0K0

⇒P0I0+P0J0>P0K0

⇒在 I 中任意點皆不合.

P1S上的動點, 隨著 P 移動, I 可以涵蓋整個區域 1, 故區域 1 不合.

(b) 區域 2∼13:

(a) (b) (c)

(d) (e)

2.3.3 m·d(P, L1) +n·d(P, L2) =l·d(P, L3) 令 L1: y=0, L2: y= (tan θ)x, L3: y= (tan φ)x 定定定理理理 2.3.

sin φ sin θ > n

l 或 sin φθ sin θ > m

l , 才會有軌跡圖.

1. 令 d(P, L1) = d1, d(P, L2) = d2, d(P, L3) = d3, 作 A, C ∈ L1, B, D ∈ L2, 且 d(A, L2) = d2, d(C, L2) = d2, d(B, L1) = d1, d(D, L1) = d1, 連接 A, B, C, D 所 形成的平行四邊形為 m·d(P, L1) +n·d(P, L2) =定值的圖.

(11)

2. 作 L03, L003 L3,且相距為 d3的兩條線交 1. 的平行四邊形於 Pi, i∈ N,則隨定值的增 大將所有的 Pi連在一起形成軌跡圖, 如圖 21 (粗線), 我發現當(m, n, l)為某一數組 時, 會沒有圖形, 如圖 23.

L1: y=0, L2: y= (tan θ)x, L3: y= (tan φ)x, d(B, L1) =d1, d(A, L2) =d2, d(H, L3) =d3, m1·d(P, L1) +m2·d(P, L2) =m3·d(P, L3) =d, 如圖 24, 25 出現圖形⇒OC>OF 或 OD>OH.

OC= d2

sin θ = d

sin θ, OF= d3

sin φ = dsin φ OD= d1

sin θ = d

sin θ, OH= d3

sin φθ = dsin φθ OC>OF⇒ 1

sin θ > 1

sin φsin φ sin θ > n

l, OD>OH⇒ 1

sin θ > 1

sin φθsin φθ sin θ > m

l . 引引引理理理 2.4. 四個折點的距離滿足內外點分比.

M, B, O, C 滿足 MBOB = MD

OD, 即(MO, BC) = −1.

(12)

m1·d(B, L1) =d(B, L3) ⇒m1= BE BF, 同理

m= d(D, L3) d(D, L1) = DG

DH ⇒ BE DG = BF

DH.

DG = BF

DH ⇒ MB MD = OB

OD ⇒ MB

OB = MD OD, 同理 L1上四點亦同, 另外六種狀況亦同.

2.3.4 直直直四四四角角角錐錐錐模模模型型型

(13)

(a) 4, 2類似雙曲線 (b) 3, 3類似雙曲線 (c) 4, 0類似拋物線 (d) 3, 2類似雙曲線

(e) 封閉類似橢圓 (f) 3, 0類似拋物線 圖 27

A為 L1, L2交點, B 為母線 ML1與平面 E1的交點, C 為 E1與 E2的交線與 L1的交 點, D 為母線 ML2與平面 E1的交點, 作 BH1⊥ L3, DH2⊥ L3, BH3⊥ L2, DH4⊥L2,則

(14)

BH1: BH3=DH2: DH4, 即證

BH1: DH2=BH3: DH4, 如圖 33.

4BCH1∼ 4DCH2,4BAH3∼ 4DAH4(AA)

⇒BH1: DH2=BC : CD, BH3: DH4= AB : AD,

BC : AB=FC : IF=H I : GH, (3)

(15)

CD : AD= ID : GD. (4)

H I

GH = tan θ tan ω, ID

GD = tan θ tan ω 若 L16k不平行於 L2, 得證.

BD =CE=d(I1, I3), AB= AC(因為VA有軸), 所以

DB BA = EC

CA.

1. 軸與母線的夾角 ω.

2. 軸與平面法線向量夾角 α.

3. 軸與 L1的夾角 θ1. 4. 軸與 L2的夾角 θ2.

5. L1與 L2的夾角 θ, 如圖 38.

(16)

sin θ2

tan ω·sin α·sin θ, m2= tan ω·sin α·sin θsin θ1 .

(17)

⇔m1= BH

BQ = BF·csc α

BO·sin θ = (FV·cot ω) ·csc α (BK·csc θ2) ·sin θ, 因為 BFVK 是矩形, 所以 FV=BK

⇔m1= sin θ2

tan ω·sin α·sin θ, m2= sin θ1 tan ω·sin α·sin θ, 同理其他六種軌跡圖亦同.

VA為 x 軸正向,−→

VB為 y 軸正向,−→

OV為 z 軸正向, P(r cos β, r sin β), A(sec βr , 0), B(0,csc βr ), 看上圖五個三角形, tan θ1 = csc βrc , tan θ2 = sec βrc , tan α= cr, 看4OAB與餘弦定理

cos θ = 2c

2

2 q

(c2+cscr22β)(c2+secr22β)

= p 1

(1+tan2θ1)(1+tan2θ2) =cos θ1cos θ2

(18)

2.3.5 推推推理理理作作作圖圖圖方方方法法法

1. 有軌跡可連轉折點得 L1, L2, 連與平面 E1的交點可得 L3. 2. 有 L1, L2, L3可用轉折點求得 m1, m2.

3. 因 ω以固定, 決定截面截入角度 α 可得 θ, θ1, θ2之聯立方程, 可解得 θ, θ1, θ2. 4. 按以上求得變數便可截出欲求軌跡的截法.

m1= sin θ2

tan ω·sin α·sin θ, m2= sin θ1

tan ω·sin α·sin θ, cos θ =cos θ1·cos θ2,

m2

= sin θ2 sin θ1.

m2

= sin θ2 sin θ1

=k, 解聯立方程式

( m

m12 = sin θsin θ2

1 =k

cos θ =cos θ1·cos θ2

cos2θ1= (k2−1) ±p(k2−1)2+4k2cos2θ

2k2 . (取正, 負不合)

k→limcos2θ1=1, lim

k→0cos2θ1=1, k=1 時,

cos2θ1=cos2θ, cos θ≤cos2θ1<1, 必可得一組解 cos θ1, cos θ2, 因為

π

2 −αcos θ1, cos θ2π 2, 所以可以任選滿足上述條件的 α 做截平面的角度, 藉由

m1= sin θ2 tan ω·sin α·sin θ,

(19)

tan ω= sin θ2 m1·sin α·sin θ, 有了 ω 可得角錐的類型.

2.3.6 m1·d(P, L1) +m2·d(P, L2) =m3·d(P, L3) +c 作圖.

d(P1, L2) =0⇒d(P1, L1) =d(P1, L3), 作 L1, L3銳交角平分線交 L2於 P1, P1即為所求.

(20)

2.4

### 兩 兩 兩線 線 線 一 一 一點 點 點

2.4.1 軌軌軌跡跡跡圖圖圖類類類型型型

⇒ |y| + |kx−y|

k2+1 = q

(x−a)2+ (y−b)2

⇔y2+2|y||kx−y|

√k2+1+ (|kx−y|

√k2+1)2= (x−a)2+ (y−b)2.

(5)

1. 當 y(kx−y) >0, P(x, y) ∈I 或 III (同號區) 時, (5) 式可整理成 1

k2+1x2+2k(1−√ k2+1) k2+1 xy +2

√k2+1−1 k2+1 y

2−2ax−2by+a2+b2=0.

(21)

δ=B2−4AC= 4k

2(1−√

k2+1)2−8√

k2+1+4 (k2+1)2 ,

δ>0⇔4k

2(1−√

k2+1)2−8√

k2+1+4 (k2+1)2 >0, 簡化得 k>0 或 k< −√

3.

(a) 當 L2斜率大於√

3 時軌跡為雙曲線類, 如圖 54.

(b) 當 δ=0 時⇔k=√

3, 當 L2斜率等於√

3 時軌跡為拋物線類, 如圖 55.

(c) 當 δ<0 時⇔0<k<√

3, 當 L2斜率介於(0,√

3)軌跡為橢圓類, 如圖 56.

2A B D B 2C E D E 2F

a2k2+b2k2−2b2

k+1−2b2−2abkp

k2+1+2abk=0.

(a) 當 a=0, 即 A 點在 x=0上的情況

⇒b2k2−2b2p

k2+1−2b2=0

i. 當 b=0, 即 A 點為原點時, 圖形恆退化, 如圖 57.

(22)

ii. 當 b6=0

⇒k2−2p

k2+1−2=0

⇒k2−2p

k2+1−2=0

⇒k= q

2√ 2−1.

2−1亦會退化.

(b) a6=0, 即 A 點不在 x=0上的情況, 同除 a2,並令 p= ba, k=tan θ, 0θπ2

⇒k2+p2k2−2p2p

k2+1−2p2−2pkp

k2+1+2pk=0

⇒p= k(√

k2+1−1) 2√

k2+1−2−k2 = tan θ(sec θ−1)

2(sec θ−1) −tan2θ =tan(π 2 + θ

2)

⇒當 A 在 y= [tan(π 2 +θ

2)]x 的線上時, 圓錐曲線在 I, III 區會退化.

1

k2+1x2+2k(1−√ k2+1) k2+1 xy +2

√k2+1−1

k2+1 y2−2ax−2by+a2+b2=0 橢圓退化點(2CD−BEδ ,2AE−BDδ ),在 I, III 區:

2CD−BE

δ >0, 2AE−BD δ >0.

(23)

b

a =p=tan(π 2 +θ

2). 將上述兩不等式簡化為

⇒ −kp

k2+1+2k+2k3

√ k2+1

k +1

k <0, 且 k2+1<0

⇒k無實數解

⇒不論圖形為何, 皆不會出現橢圓的退化情況.

2. 當 y(kx−y) <0,在 II, IV 區 (異號區) 時,

δ=B2−4AC= 4k

2(1+√

k2+1)2+8√

k2+1+4 (k2+1)2 . 當 δ>0

⇔ (k2+1)2+2(k2+1)pk2+1>0, 簡化得√

k2+1> −2⇒恆成立, 軌跡恆為雙曲線類, 如圖 60.

3. 若雙曲線退化⇒∆=01 2

2A B D B 2C E D E 2F

=0,令 k=tan θ, 設退化線 y= px, 可 解得

p= k(√

k+1+1) 2+2√

k2+1+k2 = k(√

k+1+1) (√

k2+1+1)2 =tanθ 2, A 點在 y= [tanθ

2]x 會退化,圖 61.

1. 在同號區 L2的斜率會以√

3為界改變圓錐曲線的種類.

(24)

2. 在異號區則必為雙曲線類.

3. 同號區當 A 在 y= [tan(π 2 +θ

2)]x 會退化, 異號區當 A在 y= [tan(θ

2)]x 會退化.

P(u, v) ∈T

⇔t2[Au2+Buv+Cv2+2al2u+2bl2v−l2(a2+b2)] =0

⇔A(tu)2+B(tu)(tv) +C(tv)2+2al2(tu) +2bl2(tv) −l2t2(a2+b2) =0

⇔P0(tu, tv) ∈T0

2.4.2 準準準線線線觀觀觀點點點

|y| + |kx−y|

√k2+1 = q

(x−a)2+ (y−b)2

√ k

k2+1x+

√k2+1−1

√k2+1 y= q

(x−a)2+ (y−b)2,

(25)

s (√ k

k2+1)2+ (

√k2+1−1

√k2+1 )2

√ k

k2+1x+

√k2+1−1

√k2+1 y

(√ k

k2+1)2+ (

√k2+1−1

√k2+1 )2

= q

(x−a)2+ (y−b)2, 令 k=tan θ,不失一般性 0<θ< π

2; θ為 L1, L2夾角, 後經化簡得

⇒2 sinθ 2 =

p(x−a)2+ (y−b)2

(sin θ)x+ (1−cos θ)y p(sin θ)2+ (1−cos θ)2

.

d(P, L)可知 A 點為圓錐曲線焦點,(sin θ)x+ (1−cos θ)y為其準線.

2)]x , 即 2.4.1中求得 A 點若在其上會退化的退化線, 同 時也是 L1, L2的角平分線, 而異號區亦有相同結論. 接著我將這個結論推廣到(m, n, l):

√k2+1 =l·q(x−a)2+ (y−b)2.

d(P, L)的形式, 在同號區的結果:

√m2+n22mn cos θ

l =

p(x−a)2+ (y−b)2

(n sin θ)x+(m−n cos θ)y

(n sin θ)2+(m−n cos θ)2

,

e=

√m2+n22mn cos θ

l .

m2+n22mn cos θ⇒e<1⇒圓錐曲線為橢圓類, 當 l=√

m2+n22mn cos θ⇒e=1圓錐曲線為拋物線類,

(26)

m2+n22mn cos θ⇒e>1⇒圓錐曲線為雙曲線類.

2+n2−2mn cos(πθ)

l .

2.4.3 三三三角角角形形形模模模型型型

m2+n2−2mn cos θ

l , 我覺得這形勢很像餘弦定理, 所以我建構 一三角形模型.

4ABC中 AB=n, AC=m,∠CAB=θ 可用以表示同號區的圓錐曲線類型

(27)

2.4.4 推推推理理理焦焦焦點點點與與與準準準線線線

1. 軌跡圖必為圓錐曲線類型.

2. 兩線一點中的那一點為圓錐曲線中的一個焦點.

3. 過兩線交點的直線:(n sin θ)x+ (m−n cos θ)y=0為圓錐曲線準線, 且這條準線與 2. 所述之焦點為同一組配對, 當 A 點位於此線時, 圓錐曲線會退化, 退化情形如下:

q(x−a)2+ (y−b)2=e· |x−a|

⇒ (1−e2)(x−a)2+ (y−b)2=0, 異號區同理.

e2−1=0為兩條直線通過同號區的部份.

(a) 同號區為

m2+n22mn cos θ

l .

(b) 異號區為 pm2+n2−2mn cos(πθ)

l .

(28)

2.4.5 推推推理理理兩兩兩線線線一一一點點點相相相對對對位位位置置置關關關係係係與與與軌軌軌跡跡跡圖圖圖的的的影影影響響響

1. 兩線: 因為離心率只與夾角有關, 兩線夾角 θ 直接決定離心率的大小, 再配合三角形 模型, 可簡單決定圓錐曲線類型.

2. 一點:

(a) 當 A 點延著準線方向移動時, 因 p 固定不變, 圓錐曲線大小不變, 只跟著 A 點 做平移動作.

(b) 當 A 點延著準線法向量方向移動時, p 會隨 A 點移動而改變, 造成圓錐曲線依 p 放大倍率而放大.

(c) 由 (a), (b) 知, 當 A 點任意移動時, 可將其移動分解成 (a), (b) 兩種方向, 而知其 如何平移與放大縮小.

### 參 參 參考 考 考文 文 文獻 獻 獻

[1] 《高級中學數學》, 李虎雄, 陳昭地, 黃登源, 李政貴, 林礽堂, 儲啟政等編, 三版, 康熙 圖書網路股份有限公司, 1 至 64 頁, 中華民國九十年出版.

[2] 《The Geometer’s Sketchpad 操作手冊》, 翁永福, 四版, 私人出版.

[3] 《幾何學辭典》, 筮部貞市郎, 三版, 九章出版社, 中華民國八十年出版.

[4] 《複數解析幾何 數學傳播季刊選集 11》, 許振容, 呂素齡, 中央研究院數學研究所, 中華民國八十年六月.

[5] 《高中數學實驗教材第四冊、第五冊》, 高中數學實驗教材編輯小組蔣彥士等, 修訂 三版, 國立編譯館, 中華民國七十三年一月.

[This function is named after the electrical engineer Oliver Heaviside (1850–1925) and can be used to describe an electric current that is switched on at time t = 0.] Its graph

different spectral indices for large and small structures Several scintil- lation theories including the Phase Screen, Rytov, and Parabolic Equa- tion Method

 Having found that the fines as a whole are a measure falling within the scope of Article XI:1 and contrary to that provision, the Panel need not examine the European

As a remedy, using higher order schemes, like WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory) scheme [24], to solve compressible multiphase ﬂows is also found in the

 If I buy a call option from you, I am paying you a certain amount of money in return for the right to force you to sell me a share of the stock, if I want it, at the strike price,

Writing texts to convey information, ideas, personal experiences and opinions on familiar topics with elaboration. Writing texts to convey information, ideas, personal

“I don’t want to do the task in this

Writing texts to convey simple information, ideas, personal experiences and opinions on familiar topics with some elaboration. Writing texts to convey information, ideas,