圓源緣園-探討多邊形與頂點圓覆蓋關係 國

圓源緣園-探討多邊形與頂點圓覆蓋關係

國立武陵高級中學 顏文麒 指導老師 吳明霞

中 中 中文文文摘摘摘要要要

在研究 IMO 的題目中, 看到一個圖形, 是由三角形的三頂點為圓心做等半徑的圓, 隨即我便 想是否可以找出三角形頂點的三個圓完全覆蓋三角形時的最短半徑, 並推廣到凸多邊形; 同時對 這題目, 更可以運用到生活上, 花圃的灑水器系統: 如何在各角落上用灑水區域是 ”圓” 形的水

”源” 不斷的擴張圓的邊 ”緣” 來覆蓋整個花 ”園”, 並且找出最短的灑水距離.

為了方便, 我定義, 當 N 邊形頂點的 N 個圓能完全覆蓋此 N 邊形時的最短半徑為 R. 我先 從三角形來討論, 找出三角形的 R. 銳角三角形發現 R 就是它的外接圓半徑. 但是鈍角三角形, 發現它的外接圓半徑並不符合我所謂 R 是最短半徑, 只需要覆蓋它的最長邊即可完全覆蓋鈍角三 角形, 也就是說它的 R 是第二長邊的中垂線過最長邊焦點至其頂點.

而直角三角形, 用鈍角或銳角都可以處理, 也就是說它的 R 就是斜邊的一半. 接著討論四邊 形, 再尋找四邊形的 R 時, 我最先將其切割為兩組兩個三角形, 但是發現若出現鈍角三角形將會 影響我的判斷, 並且如果將其推廣至多邊形將太複雜. 所以經過不斷的操作及試驗, 我發現關於頂 點圓擴張的情形與多邊形內部中一點到頂點的關係, 將其結合作出「拔點作法」, 但是這個作法 我發現它有使用條件, 對於不符合條件的圖形, 我在參考資訊的 Voronoi Diagram 演算法, 並將 其應用在我這問題上, 最終找出了區域法, 以及我在不斷操作 Geogebra 時得出的新拔點法.

至於三維, 我正在尋求它的最短球半徑, 發現或許可以使用類似區域法的操作來畫分多面體的 區域, 並找出區域中的距離, 來找出最短球半徑.

這個題目, 具有相當意義的實用價值, 至於對三維來說, 更可以用於有實質意義的炸彈爆破及 雷達掃描, 而我更希望能在進一步探討期間有重疊覆蓋的問題, 來改進其實用價值.

關關關鍵鍵鍵字字字: 拔點法、最短半徑、中垂線

Abstract

In The theme of this study of IMO, I saw a graph, which is a circle in which there is a triangle with three vertices to be centered as equal radius. And then, I was thinking that whether I was able to find three circles of triangle vertices to completely cover up the shortest radius. It then expanded to be a convex polygon; meanwhile, this theme could be also applied to our daily life in a way of sprinklers. The sprinklers spread water in circle, continuing expanding its edge in circle to cover up a whole round garden. Furthermore, a shortest sprinkling distance was found.

For the sake of convenience, I defined that when N circles of the vertices of N -side (triangle) could completely cover the N -side; the shortest radius would be R. I would like to first discuss the triangle to find out R of the triangle. R which was discovered in the acute angle of a triangle was the radius of its circumcircle. Nevertheless, the obtuse angle of a triangle was discovered that the radius of its circumcircle did not conform what I called R was the shortest radius. It just covers up its longest side and the whole obtuse-angle triangle could be totally covered. In other words, The R was the central vertical line of second longest side going through focus at the longest side to the vertices.

As far as the right-angled triangle is concerned, either an obtuse angle or an acute angle could be handled. That is to say, Its R is the half of the bevel edge. Next, quadrilateral would be discussed; When R of a quadrilateral was sought, I would initially cut it into two groups of two triangles. Nevertheless, I found if there was a obtuse-angle triangle, my judgment would be affected. If it were be extended to be a polygon, I found it extremely complicated. After repeated operations and tests, I discovered the relations between the expansion of vertices circle and inner central line to vertices of a polygon, and then it is combined to put forth a ”Pulling Point Practice”. I found such a practice could be good for its usage. For those graphs in unconformity, I referred to the Voronoi Diagram Algorithm, and applied it to this issue. Finally, I found out a regional method; with my continuing operation of Geogebra, I finally derived a new Pulling Point Practice”.

As to three dimensions, I am looking for its shortest sphere radius, discovering that it is likely to apply the regional method to divide in into multi-faceted regions. Eventually the distance in the region could be sought as well as the shortest sphere radius.

It is considerably significant and valuable in the study of this theme. As for the issue of three dimensions, we may use more substantial bomb blast and radar scan. I am highly looking forward to having further exploration over the issue of overlapping coverage to improve its substantial value.

Keywords: Pulling Point Practice ,the shortest radius, Voronoi Diagram

1 研 研 研究 究 究動 動 動機 機 機

在研究 IMO 的題目中, 看到一個圖形, 是由三角形的三頂點為圓心做等半徑的圓, 隨即我 便想是否可以推廣到更多邊的凸邊形, 甚至還求出當完整覆蓋圖形時的最短半徑; 也想到 可以推廣到花圃的灑水器系統:如何在各角落上用灑水區域是 ”圓” 形的水 ” 源” 不斷的 擴張圓的邊 ”緣” 來覆蓋整個花 ”園”, 並且灑水距離要最短.

2 研 研 研究 究 究目 目 目的 的 的

一、 探討平面上的三角形, 如何求出覆蓋此圖的最短半徑.

二、 探討平面上的四邊形, 如何求出覆蓋此圖的最短半徑.

三、 探討平面上的凸 N 邊形, 如何求出覆蓋此圖的最短半徑.

3 研 研 研究 究 究設 設 設備 備 備及 及 及器 器 器材 材 材

紙、筆、電腦(GeoGebra 軟體).

4 研 研 研究 究 究過 過 過程 程 程及 及 及方 方 方法 法 法

我先定義由 N 邊形各頂點為圓心畫圓, 當 N 個圓能完全覆蓋整個多邊形時的最短 半徑 為 R, 以節省往後討論的篇幅.

一、 三角形

由三角形做起: 分別討論銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形之做法與證明.

(一) 銳角三角形之做法:

做出銳角 △ABC 之外心 K, 則外接圓半徑 AK 即為 R. (參見圖 1) 說

說

說明明明: 若將半徑再縮短, 則點 K 無法被任一圓覆蓋, 故線段 AK 為覆蓋此圖的 最短半徑.

圖 1

(二) 鈍角三角形之做法:

做出鈍角 △ABC (其中 BC ≥ AC ≥ AB )的第二長邊 AC 之中垂線, 交最長 邊 BC 於一點 P , 則 P C 即為 R. (參見圖 2)

圖 2

說 說

說明明明: 若仿照銳角三角形, 採取連接到外接圓圓心的距離必不符合我題目的”最 短”的要求, 因為我發現只要覆蓋最長邊, 即可完整覆蓋此三角形. (參見圖 3)

圖 3

(三) 直角三角形之做法:

直角 △ABC 可由銳角三角形之做法或鈍角三角形之做法完成, 最長邊 AB 的 一半即為 R. (參見圖 4)

說 說 說明明明:

如果以銳角作法, 則外心即為最長邊的中點.

如果以鈍角作法, 則以第二長邊的中垂線交最長邊的點也是最長邊的中點.

故直角三角形的 R 即為最長邊的一半.

圖 4

二、 四邊形

一開始我的想法是用切割的方法將一個四邊形分別切為兩群的四種三角形, 來分開 討論以求 R. 以下為四邊形 ABCD 的討論:

(一) AC 連線將四邊形 ABCD 切割成 △ABC 及 △ACD (參見圖 5)

圖 5

(二) BD 連線將四邊形 ABCD 切割成 △ABD 及 △BCD (參見圖 6)

在圖 5 中, 我可以比較出 AF > AE, 但在圖 6 中的 DF 、DE 皆不符合 R 的定義, 原因是在 △ABD 內的圖形不全然只被圓A、圓B、圓D 所覆蓋. 由於 ∠BCD 為鈍 角, 圓C 有可能覆蓋進 △ABD 造成覆蓋 △ABD 的圓半徑下降. 因為切割出來的四 個三角形可能皆為鈍角三角形, 而這也是為何我不在後面的過程中採用切割多邊形 成三角形的方式, 因為不僅要找尋(n

3

)個三角形, 十分耗時, 而且在找尋的過程中充 滿頂點之間的交互影響. 所以四邊形的討論我劃歸到 ”多邊形” 內進行討論.

圖 6

三、 多邊形

根據前述所說明的, 若用切割的方式去操作, 不僅十分沒效率, 而且所產生的答案不 見得正確. 而當我在用 GeoGebra 操作時, 我赫然發現一個重要的東西: 若我要覆蓋 到一個多邊形內的點的時候, 因為我知道面積是無限多個點所構成, 我正是要把所有 的點都覆蓋, 其中任意一點到頂點的最短距離, 表示各頂點都以此長度做圓其中必有 一個圓覆蓋該點, 而我要把整個圖形的點完全覆蓋, 所以要找「到各頂點之最短距離 中的最長」, 此即為我所求的 R, 而找出的那一點, 我稱之為關鍵點. (參見圖 7)

圖 7

K點只需 KD3長度(= 2.61)便可被圓D3覆蓋. 而我所要求的 R 正是在多邊形的區 域上的任一點到各頂點的最短距離的線段中的最長.

而從這個觀念, 我們便可以證明三角形的 R, 為何是我上述所說的.

銳角三角形每邊都做中垂線, 將其分成六個直角三角形, 很明顯的看出線段 AD, BD, CD能覆蓋六個三角形, 若令 R 為小於 AD 的一線段 AP , 則以 AP 為半徑時, 不能覆蓋到 D 點, 故知 R 等於 AD

直 直

直角角角三三三角角角形形形

也可用銳角三角形的作法處理.

鈍 鈍

鈍角角角三三三角角角形形形

兩側都切成兩個直角三角形, AD 和 CH 能分別覆蓋四個三角形, 而中間的三角形 又可以被 BH 覆蓋 BH ≥ BD, 即

∠BDH ≥ ∠BHD ⇒ 2∠A ≥ 2∠C ⇒ BC ≥ AB.

若令 R 為小於 BH 的一線段 AP 則 H 無法被覆蓋, 故 R 為 BH.

而當我繼續用 GeoGebra 模擬圓的擴張時又發現到一件事情, 當圓擴張到某些程度 時, 某些以頂點為圓心的圓已經無法對剩餘多邊形中未覆蓋的區域造成影響.

說 說 說明明明:

我先定義以一個頂點 DX 為端點的兩邊的中垂線的交點為 Px, 這樣可以節省我往 後討論的篇幅. 當圓 D1, 圓 D2,圓 D3三點共同交到一個交點 P2 時, 我便可知, 若 圓的半徑持續增加的話, D2 的圓對未覆蓋面積所覆蓋的區域, 將已被 D1, 圓 D3 覆 蓋. (參見圖 8)

圖 8

而我稱這個現象為 ”D2 被 D1, D3 夾擊”, 代表圓 D2 的功能已被圓 D1, 圓 D3 取 代. 證明(參照圖 9):

我先以 A, B, C 模擬相鄰的三個點(即為上述的 D1, D2, D3),而 D 點便是以三點 為頂點所形成的三角形的外心(即為上述的 P2), E 點便是代表在 AC 的中垂線上的 距 B 較遠的一點(離 A, C 點距離皆會一樣長).

∵ ∠EDB > ∠EDC

∵ BE²= DE²+ DB²− 2 · DE · DB · cos ∠EDB, CE²= DE²+ DB²− 2 · DE · DB · cos ∠EDC

∴ BE > CE

故當圓A 與圓C 與圓B 交於 D 點後, 在平面上尚未被覆蓋到的區塊都會被圓A 或 圓C 提前覆蓋.

圖 9

在操作的圖 8的過程中, 我知道 P2 為 D1D₂, D₂D₃分別作中垂線的交點, 為了要方 便拔除點的話, 我先對每條邊做中垂線, 以便每次拔除一個點之後所形成的新邊時可 以方便顯現出新的 P 點, 以表示我在用 GeoGebra 模擬圓形的擴張及夾擊.

最後根據這兩個發現, 我提出了可將多邊形不斷的將一個頂點去除的「拔點做法(簡

稱拔點法)」, 如此一來不但可省去許多心力, 還可免去判斷是否已找到合乎題意的 最小半徑.

拔拔拔點點點做做做法法法的的的完完完整整整敘敘敘述述述:

首先將 N 邊形相鄰的三個頂點三個一組連接成三角形, 即可分為(D1, D2, D3), (D2, D3, D4)· · · (DN, D1, D2) 等 N 組, 再將這 N 個三角形各自找出外心, 分別 是(P2, P3· · · PN, P1), 將 D1 與 P1、D2 與 P2· · · Dn 與 Pn 分別連接, 並比較當 Px 在 多邊形內部時 DxPx 其長短, 而後找出這數條線段中最短的, 將其頂點 Dx 去除, 即將其 相鄰兩頂點連接起來形成 N − 1 邊形. 我稱以上做法為「拔點做法」. 重複拔點做法至最 後之圖形, 且此圖形便為基本圖形, 再找出 R.

當我在找出各個 Px 的同時, 若 Px 在多邊形的外部, 因為此 Px 會干擾我做出不正確 的判斷, 這個部分我將會在討論完拔點法的次序後再討論, 目前需等到多邊形內部的點皆 被拔完時才會進行處理.

下列是我操作我的拔點法的次序, 以五邊形 D1D₂D₃D₄D₅ 來做討論(參照圖 10):

圖 10

(一) 先由各相鄰的邊做出中垂線並記錄交點. (參見圖 11)

圖 11

(二) 由於 (D1, D2, D3)所形成的三角形半徑 D2P2為五線段中最短的, 故將 D2拔除, 並 將 D1、D3連接起來形成四邊形 D1D3D4D5, P1, P2, P3便隨之消失, 而在由 D3D1

做中垂線, 交 D3D4 和 D5D1 之中垂線 P7, P6. (參照圖 12、13)

圖 12

圖 13

(三) 由於 (D1, D5, D4)所形成的三角形半徑 D5P5為五線段中最短的, 故將 D5拔除, 並 將 D1、D4連接起來形成 △D1D3D4, P4、P5、P6 便隨之消失, 而再由 D4D1 做中 垂線, 交 D3D₄ 和 D3D₁ 於 P7. (參見圖 14)

P₇,正是 △D1D₃D₄ 的外心, 故處理的方法便採取前述的銳角三角形時的做法.

圖 14

實際上我們在做拔點法之前, 曾有另外一個想法, 就是稍後會提到的區域法, 並將其 用在任一一個凸多邊形上, 其大致是將每個頂點的區域完全分, 每個區域到他所屬的頂點 有最短距離, 我們量出區域中最長距離即得結果, 不過若 P 點在內部時, 區域的劃分將變 得極為繁複, 若以一五邊形為例, 我們要將其中一點到其他點全部連線, 並在所有線上都 做中垂線, 而沿著中垂線靠該點的內緣劃出區域, 即畫出的區域內不得有任一一條中垂線 並且要做 4 個點才能確定區域, 此法太複雜, 所以我們改採拔點法簡易的去點來找出 R, 下面是拔點法之證明.

這是一劃分好之區域圖, 注意到 AH 跟 GH, 這會使我們將多邊性內部的區域完全分 成兩塊, 若不斷地這樣兩兩配對下去, 將會發現左右必會剩下兩個以上的四邊形區域, 而 我們的拔點法只是比較四邊形區域, 故我們可以確定我們所拔除的點, 必然不會是 R 所在 的區域.但是當我以為這個方法已經足以讓我高枕無憂時, 我赫然發現一件事:若所有的 P 點 都在多邊形外部的話, 可能會讓多邊形拔點到最後只能停滯在四邊形而無法劃歸成三角

形, 所以我將這種情形特別提出來, 稱為”特殊四邊形”, 而正是因為發現這個四邊形, 才發 現拔點法有盲點, 進而在往後的時間提出區域法及新拔點法.

特殊四邊形 D1D2D3D4的說明(參見圖 15):

(一)所有 P 點都在圖形外.

(二)特殊四邊形中三邊中垂線會過最長邊.

(三)R 即為 D1B 及 D4B

綜合以上, 我稱符合以上三種情況之四邊形為特殊四邊形.

圖 15

特殊四邊形的討論:

從特殊四邊形的研究中, 我發現其所求最短半徑為「最長邊對邊中垂線過最長邊的交 點到最長邊對邊兩旁的頂點」(即圖中 BD1 或 BD4 的距離), 此四邊形我不能將其化簡 為三角形, 因為若是用拔點法, D3 會先被拔掉, 但關鍵點所在的 D2D3 卻也因此消失, 這 樣會讓結論導向錯誤的方向. 我探究其原因, 發現因為關鍵點即為 D1D4 作中垂線, 交在 D2D3 上的交點, 故若有任何一頂點被拔除, 便會影響關鍵點的呈現. 而我此時也聯想到 鈍角三角形的作法, 似乎也有異曲同工之妙, 而裡面所隱藏的便是若要求出關鍵點的話, 關鍵點必為以某兩端點所形成的線段的中垂線交在某兩點所形成的線段的交點, 而三角形 的形態便是由於前者與後者的端點有一點重合, 反之則為特殊四邊形.

另一方面, 縱使此圖形最終的樣貌為三角形, 但因為我要求的是”最短”, 故各圓形彼此 的最後關鍵的點必會在多邊形的邊上, 而兩圓與邊之間的討論會造成我操作上的麻煩. 所 以我再參考過”演算法筆記”這個網站裡的 Voronoi Diagram 的演算法後, 思考是否可以將 其中的原理套用在這種情形下, 經過我一番討論後, 我分別討論出區域法及新拔點法兩種 方法.

一、 區域法:

有別於前面的拔點法, 只是單純的討論交點與頂點的距離來做出取捨, 這次我打算改 以用區域來對頂點做取捨. 快速的介紹一下 Voronoi Diagram 的演算法:

當一個平面上散布許多點. 互相鄰近的點, 以中垂線劃分區域, 就形成了 Voronoi Diagram. 而這意味著平面上每一處, 各自歸類於最近的點, 就形成了 Voronoi Diagram.

而 Voronoi Diagram 的演算法中, 能讓我直接討論多邊形內的數個交點即可, 而不 必一一窮舉多邊形區域上的每一個點.

此處的區域法, 因為 P 點在外時, 區域法切割並不複雜, 故我將其獨立出來以增加效 率. 說說說明明明:

(一) 我以五邊形 D1D2D3D4D5 為例, 對各邊長分別做出中垂線, 並選取在非重合 區域內的一點 K. (參見圖 16)

圖 16

∵ K 點在 AB 的右邊, 所以 KD3 < KD₂, 同理,KD2 < KD₁, KD₁< KD₅, KD4< KD5, KD1< KD4,所以 KD3 是距離各頂點距離的最短.

(二) 我以五邊形 D1D₂D₃D₄D₅ 為例, 對各邊長分別做出中垂線, 並選取在重合區 域內的一點 K. (參見圖 17)

圖 17

∵ K 點在 AB 的右邊, 所以 KD3 < KD₂, 同理, KD1 < KD₂、KD2 <

KD₅、KD4< KD₅、KD1< KD₄,但無法判斷 KD3 與 KD3 何者較短, 而 這種情形便是我需要耗費心思處理的部分.

下列是我操作我的區域法的次序, 以五邊形 D1D₂D₃D₄D₅(參照圖 18)來做討論:

(一) 與前述的拔點法相同, 須由多邊形的邊做出中垂線, 但與拔點法不同的是, 我這 次需要的 K 點並不是由兩相鄰的邊所做出的中垂線的交點, 而是中垂線交在 多邊形的另一條邊上的點. (參見圖 18)

圖 18

(二) 我命 Dx 點與其兩邊的中垂線所交此多邊形的點所形成的區域稱為 ”Dx 區 域”, 並塗上顏色以做區別, 其中 △D2P1A、△D5P5C、 五邊形 D1DP2P4E區 域皆為藍色, 六邊形 D3BP3D1P1A、六邊形 P3BD4CP5P3 皆為紅色. (參見 圖 19)

圖 19

(三) 若多邊形上所有的 Dx 區域皆沒有任何重合, 則直接比較各區域之端點與頂點 的距離, 而最長的距離即為 R, 以五邊形 D6D7D8D9D10 為例 (參見圖 20、

圖 21):

圖 20

圖 21

圖 20 的圖形中最長的最短距離(對多邊形上各頂點的距離中的最短)為 P6D6(=

4.33),故 R 的長度為 4.33.

(四) 若在多邊形內部有區域重合, 意味著在重合區域內至少有一個區塊到兩頂點以 上為等距離, 因為區域的分割是由中垂線所做的, 則知道我可以明確的對相鄰 的頂點做切割, 而造成重合區域其原因是兩對面的頂點交互影響, 造成我不知 道他距哪個點有最短距離, 意即他可能同時對兩點以上具有最短距離, 故我採 取將區域重合的兩區域的端點連接起來做中垂線與其他線段做交點, 則此重合 區域內最長的最短距離的討論空間便直接劃歸為一點, 而不須一一窮舉大範圍 區域內的點. (參見圖 22、圖 23)而我知道上述的區塊必為兩端點所連接起來線 段的中垂線, 故若要表示此重疊區域裡的最長的最短距離的點必在此中垂線上, 則他的交點便是我所關注的. 若他與相鄰同樣是由重疊區域的端點所連接起來 線段的中垂線有交點, 那個交點便為此區域的關鍵點, 若無上述的情形發生, 中 垂線與多邊形的交點便為此區域的關鍵點, 簡單來說, 把所有重疊的區域的端 點視為一個較小的多邊形來操作.

圖 22

在這個圖形中, 可看出最長的最短距離為 P7D4(= 5.32). 則此多邊形的 R 的長 度即為 5.32.

而此時我發現, 區域都沒有重合的多邊形的結論正與前述的 ”特殊四邊形” 的結論不 謀而合, 更進一步證實了我的看法.

圖 23

補充: 雖然此種方法可以直接就找出 R 及關鍵點, 並且可以在不破壞整張圖的完整 性下操作, 但操作手續上相對較繁複, 若端點數目一變多, 則複雜性相對的會提升.

二、 新拔點法:

由於一個頂點對圖形上的影響, 不僅是會兩兩形成邊, 也會形成以頂點為圓心的圓.

修正外心在外的因為最後關鍵點必在邊上, 而圓形與邊的交互影響十分重要, 如果我 能直接拔除一個點, 有可能拔掉的不是影響關鍵點的圓, 但卻是影響關鍵點的邊, 這 樣會讓我無法求出最佳答案. 故我的此處的第二種拔點法便為 ”若一個圓Dx 和 Dx

為端點的兩條邊皆被拔除後, 此 Dx 視同拔除”, 此方法必定可求出最後的圖形(特殊 四邊形或三邊形), 這個方法在某個層面上便是模擬 GeoGebra 的操作.

下面以五邊形 D1D2D3D4D5 說明 (參見圖 24):

先把相鄰的三個頂點 D1D2D3 視為一個三角形, 若是鈍角所對到的邊, 則用鈍角的 處理方式, 由另外兩條作中垂線交在最長邊上, 紀錄兩點距離各端點中的較長距離, 而這個距離代表著當半徑達到這個長度時, 這條邊會被完全覆蓋; 反之則代表著這條 邊長只需用邊長的一半的邊長即可覆蓋. 並且我發現若 P 點都在外部, 多邊形至少 會有兩個銳角, 我即可在兩個銳角間不斷進行比較. 而圓 D2 會在 B 點時被 D3 夾 擊, 對尚未被覆蓋的區域無法產生影響力.

圖 24

由圖 24 可知, D1D2可用 JD1 長度覆蓋, D2D3可用 AD4長度覆蓋, 圓D2 會在 B 點時被覆蓋. 同理, D1D5 可用 GD1 長度覆蓋, D4D5 可用 F D5長度覆蓋, 圓D5 會

在 E 點時被覆蓋.

補 補

補充充充:雖雖雖然然然效效效率率率一一一定定定會會會比比比窮窮窮舉舉舉法法法高高高, 但但但這這這個個個方方方法法法仍仍仍曠曠曠日日日費費費工工工, 所所所以以以不不不建建建議議議採採採納納納.

5 研 研 研究 究 究結 結 結果 果 果

在找尋一多邊形的 R 時, 一開始我讓多邊形上的各個頂點 DX 相鄰兩邊的中垂線的相 交, 交點為 PX. 若在多邊形內部有一個以上的 PX, 則採取比較 PXDX 長度的大小, 並把 PXDX 中長度最小的線段, 刪去此頂點 DX, 形成一個 N − 1 的多邊形. 若在多邊形內部 並沒有任何 PX, 則我現在關注的焦點便為圓與邊的交點, 我採取的是區域法及新拔點法.

區域法即為用中垂線來切割整個多邊形的內部, 採取將整個區塊劃歸到一個或極少數個點 來進行比較, 無須一一窮舉每一個點；新拔點法, 以按部就班的方式來處理此多邊形, 但 操作上較繁瑣.

6 討 討 討論 論 論

未來展望: 希望未來可以朝向三維方面去發展, 可以在立體空間中, 以各頂點為球心, 求最短半徑來做球以完全填滿多面體的內部, 來應用到較具規模的狀況, 例如軍事爆破等.

7 結 結 結論 論 論

經過不斷的努力, 我從一開始的分類窮舉, 到切割成三角形, 到關鍵三角形, 乃至發現 特殊四邊形, 再到拔點作法及區域與新拔點法, 一步一步的推演尋找, 雖然過程中並非一 帆風順, 但我最終找到了完善的解法, 或許正是如此跌跌撞撞, 我才能完成這件作品吧！

我最後以拔點法為主, 再以區域法或新拔點法做修正來處理多邊形的 R, 進而得出結果.

參 參 參考 考 考文 文 文獻 獻 獻

[1] 黃家禮(民89). 幾何明珠. 九章出版社.

[2] 演算法筆記: VoronoiDiagram. http://www.csie.ntnu.edu.tw/ u91029/VoronoiDiagram.html