摘要

摘要

由 於 在 晶 片 設 計 中 的 全 域 繞 線 中 ， 每 個 連 線 的 網 路 上 做 建 造 史 丹 爾 樹 已 經 是 必 要 的 步 驟 了，過 去 的 建 造 史 丹 爾 樹 的 演 算 法 大 多 著 重 於 將 總 線 段 長 度 最 小 化 ， 而 且 建 造 一 個 最 小 方 正 史 丹 爾 樹 是 一 個 NP-c omplete 的 問 題 ， 一 個 以 史 丹 爾 樹 為 基 本 的 全 域 繞 線 ， 是 為 了 要 找 到 一 個 有 權 重 邊 的 史 丹 爾 樹，而 這 顆 樹 的 目 的 是 要 同 時 最 佳 化 線 段 的 長 度 以 及 密 度 。

當 線 段 延 遲 時 間 已 經 變 成 主 導 效 能 的 主 要 因 素 ， 使 得 建 造 史 丹 爾 樹 已 經 改 為 以 降 低 時 間 延 遲 為 導 向，一 個 以 效 能 表 現 為 導 向 的 史 丹 爾 樹 就 是 以 降 低 全 域 繞 線 上 的 延 遲 時 間 為 目 的 。

另 外 一 個 主 要 用 來 改 善 延 遲 時 間 的 方 法 為 加 入 共 享 的 緩 衝 器 ， 在 建 造 史 丹 爾 樹 的 過 程 中，先 加 入 緩 衝 器，並 有 效 且 以 時 序 限 制 為 導 向 的 將 緩 衝 器 加 入 並 共 享，先 將 原 始 樹 形 利 用 加 入 共 享 與 非 共 享 的 緩 衝 器 而 將 最 長 延 遲 時 間 降 低，並 且 加 入 緩 衝 器 可 以 因 為 緩 衝 器 的 特 性 而 可 以 看 成 樹 形 已 經 被 緩 衝 器 切 成 各 個 獨 立 的 部 份 。

然 後 在 將 已 經 插 入 完 緩 衝 器 的 樹 形 ， 考 慮 設 定 新 的 史 丹 爾 端 點 ， 因 為 我 們 將 史 丹 爾 端 點 看 成 是 隱 藏 在 分 支 點 下，進 而 可 以 利 用 時 序 限 制 的 觀 念 去 拉 出 可 以 降 低 最 長 延 遲 時 間 的 史 丹 爾 端 點，利 用 這 基 於 插 入 共 用 緩 衝 器 和 拉 出 史 丹 爾 端 點 的 方 法 來 建 造 一 顆 時 序 導 向 的 史 丹 爾 樹 。

Abstract

It is essential for each interconnection net to construct a Steiner tree in the global routing stage. The previous Steiner tree algorithms focus on the minimization of total wire length and the construction of a minimum length rectilinear Steiner tree has been shown to be NP-complete. On the other hand, a Steiner tree-based global router has been proposed to find a weighted Steiner tree for an interconnection net, and its aim is to optimize the total wire length and routing density simultaneously.

As the timing delay of the interconnection nets has become more important in performance-driven design, Steiner tree algorithms have focused on minimizing the timing delay of the interconnection net. As a result, the performance-driven Steiner tree algorithms have been proposed to minimize the delay function in a Steiner tree.

In the thesis, we propose a timing-driven Steiner tree construction approach based on the insertion of sharing-buffer to insert sharing-buffers to reduce the timing delay of the critical path. As a result, the resultant routing tree can be treated as several independent sub trees by using the concept of buffer insertion.

Furthermore, any Steiner point may be introduced into any ^{∧ -}type branch wire.

Our approach considers to assign necessary Steiner points into the original routing tree to reduce the timing delay of the critical path. As a result, the timing delay of the critical path can be reduced by introducing hidden Steiner points onto feasible positions. Finally, a timing-driven Steiner tree based on sharing-buffer insertion and Steiner point assignment can be constructed.

致 謝

此 篇 論 文 能 夠 順 利 完 成 要 特 別 感 謝 指 導 教 授 顏 金 泰 老 師 不 遺 餘 力 的 指 導，不 論 在 課 業 上 或 是 生 活 上 所 遇 到 的 困 難，都 能 給 予 我 最 大 的 幫 助 ， 讓 我 能 順 利 的 解 決 問 題 ， 還 有 陳 永 源 老 師 在 研 究 所 兩 年 期 間 ， 對 於 相 關 課 程 的 指 導 教 學 盡 心 盡 力 ， 在 此 也 特 別 感 謝 他 。

在 研 究 所 的 求 學 過 程 中 ， 非 常 感 謝 實 驗 室 的 學 長 - 、 陳 逢 銘 、 陳 彥 翔 及 學 姐 李 佳 芳，在 這 兩 年 中 均 給 予 我 很 大 的 幫 助。以 及 許 多 實 驗 室 的 同 學 -吳 嘉 偉 、 林 鎧 平 、 李 育 政 、 賴 世 軒 、 張 云 斌 、 林 勝 茂 及 呂 昆 龍 幫 助 我 解 決 問 題 ， 也 感 謝 學 弟 -林 崑 鳴 、 羅 岳 峯 、 江 柏 毅 、 黃 明 欽、陶 尚 宇、林 立 文 與 葉 昭 松 在 實 驗 室 的 熱 心 服 務 以 及 課 業 上 的 討 論 與 指 教 。 最 後 要 感 謝 家 人 的 支 持 ， 當 我 在 挫 折 及 困 難 時 ， 給 我 鼓 勵 及 關 心 ， 讓 我 在 求 學 過 程 中 無 後 顧 之 憂 ， 能 夠 專 心 的 完 成 學 位 。

謹 將 此 篇 論 文 獻 給 家 人 、 師 長 、 同 學 及 朋 友 們 ， 共 同 分 享 這 得 來 不 易 之 榮 耀 。

王 姿 雅 謹 致 中 華 民 國 九 十 四 年 七 月 於 新 竹

目 錄

摘要 ...I 英文摘要 ...II 致謝 ...III 目錄 ... IV 圖表目錄 ... VII 表格目錄 ... IX

第一章 簡介 ...1

1.1 在積體電路設計中電子設計自動化工具所扮演之角色...1

1.2 半客戶式積體電路設計流程之簡介...3

1 . 2 . 1 板 面 規 劃 之 簡 介 . . . 5

1 . 2 . 2 整 體 繞 線 之 簡 介 . . . 5

1 . 2 . 3 細 部 繞 線 之 簡 介 . . . 6

1 . 2 . 4 緩 衝 器 所 扮 演 之 角 色 及 定 位 . . . 6

1.3 晶片驗證...7

1.3.1 驗證技術...7

1.3.2 驗證方法...7

第二章 研究動機與問題描述...9

2.1 研究動機 ...9

2.2 問題描述 ...10

2.3 參數符號之定義 ...11

第三章 在史丹爾樹中插入緩衝器 ...12

3.1 繞線區域 ...12

3.2 固定長度線段上加入緩衝器前後的延遲時間...13

3.3 最佳加入緩衝器位置...14

3.4 分支型態的連線...17

3.4.1 兩個線段上之符合時序限制的插入共享緩衝器區…...17

3.4.2 插入共享緩衝器位置的彈性...21

3.4.3 插入共享緩衝器位置的策略...24

3.5 插入緩衝器於史丹爾樹中步驟...26

3.6 插入緩衝器之演算法...27

第四章 史丹爾端點的設定...29

4.1 加入緩衝器後的樹形...29

4.2 拉出分支點下的史丹爾端點觀念...30

4.3 兩種型態的連接線段...30

4.4 可能合併而產生史丹爾端點的情形...31

4.5 分支點上設定新的史丹爾端點的時序限制...33

4.6 設定史丹爾端點位置的彈性...35

4.7 設定加入新的史丹爾點的彈性區域中之最佳位置...37

4.8 設定新的史丹爾端點於建造史丹爾樹中的步驟...38

4.9 設定新的史丹爾端點之演算法...39

第五章 基於共用緩衝器插入與史丹爾端點設定技巧之時序導向史丹爾樹 形建構...40

5.1 建造時序導向史丹爾樹形的步驟...40

5.1.1 建造一個起始樹形...40

5.1.2 插入共享緩衝器...41

5.1.3 設定新的史丹爾端點...41

5.1.4 實際路徑的設定...42

5.2 建造時序導向史丹爾樹形之演算法...42

5.3 建造時序導向史丹爾樹形之例子...43

第六章 實驗結果和實驗數據...45

第七章 結論與未來展望...47

參考文獻 ...49

圖 表 目 錄

圖 2 . 1 問 題 描 述 示 意 圖 ...1 0

圖 3.1 繞 線 區 域 示 意 圖 ...12

圖 3.2 在 一 線 段 上 插 入 緩 衝 器 與 其 等 效 RC 電 路 ...14

圖 3.3 加 入 緩 衝 器 之 線 段 長 度 與 延 遲 時 間 關 係 圖 ...15

圖 3.4 線 段 以 插 入 的 緩 衝 器 分 段 示 意 圖 ...15

圖 3.5 兩 個 線 段 的 可 能 合 併 的 三 種 關 係 ...16

圖 3.6 尚 未 加 入 共 享 緩 衝 器 的 分 支 型 態 連 線 ...18

圖 3.7 已 加 入 共 享 緩 衝 器 的 分 支 型 態 連 線 ...19

圖 3.8 兩 線 段 位 於 相 鄰 象 限 之 可 能 合 併 區 域 ...22

圖 3.9 線 段 位 於 相 鄰 象 限 的 解 重 疊 區 域 ...22

圖 3.10 兩 線 段 位 於 相 同 象 限 之 可 能 合 併 區 域 ...23

圖 3.11 線 段 位 於 相 同 象 限 的 解 重 疊 區 域 ...23

圖 3 . 1 2 有 效 合 併 區 域 中 找 最 佳 延 遲 時 間 的 點 與 延 遲 時 間 曲 線 圖 ...2 4 圖 3 . 1 3 考 慮 面 積 成 本 選 擇 插 入 位 置 彈 性 與 延 遲 時 間 曲 線 圖 ...2 5 圖 3.14 插 入 緩 衝 器 之 演 算 法 ...28

圖 4.1 經 過 緩 衝 器 插 入 後 的 樹 形 ...29

圖 4.2 生 成 樹 與 史 丹 爾 樹 ...30

圖 4.3 樹 形 中 的 分 支 型 態 的 連 接 線 段 ...31

圖 4.4 樹 形 中 的 Y 型 態 的 連 接 線 段 ...31

圖 4.5 可 能 可 以 合 併 加 入 史 丹 爾 端 點 的 三 種 情 形 ...32

圖 4.6 相 鄰 象 限 加 入 史 丹 爾 點 區 域 圖 ...35

圖 4 . 7 相 鄰 象 限 加 入 史 丹 爾 點 之 延 遲 時 間 與 合 併 線 段 長 度 曲 ...3 6 圖 4 . 8 相 鄰 象 限 加 入 史 丹 爾 點 區 域 圖 ...3 6 圖 4 . 9 相 鄰 象 限 加 入 史 丹 爾 點 之 延 遲 時 間 與 合 併 線 段 長 度

曲 ...37

圖 4.10 在 有 效 區 域 中 逼 近 最 佳 位 置 點 ...37

圖 4.11 設 定 新 的 史 丹 爾 端 點 之 演 算 法 點 ...39

圖 5.1 建 造 起 始 樹 形 示 意 圖 ...40

圖 5.2 插 入 共 享 的 緩 衝 器 示 意 圖 ...41

圖 5.3 設 定 新 的 史 丹 爾 端 點 示 意 圖 ...41

圖 5 . 4 建 造 時 序 導 向 史 丹 爾 樹 形 之 演 算 法 ...4 2 圖 5 . 5 實 際 路 徑 的 設 定 ...4 2 圖 5.6 史 丹 爾 樹 形 建 構 的 例 圖 ...43

表 格 目 錄

表 6.1 比 較 經 過 演 算 法 之 後 樹 形 的 最 大 延 遲 時 間 和 執 行 時 間 ...47

第 一 章 簡 介

1.1 在 積 體 電 路 設 計 中 電 子 設 計 自 動 化 工 具 所 扮 演 之 角 色

早 期 ， 還 未 有 積 體 電 路 時 ， 產 業 界 與 學 術 界 均 是 使 用 印 刷 電 路 板 (PCB) 而 將 其 應 用 於 電 子 產 品 上 ， 但 隨 著 時 代 的 進 步 ， 消 費 者 對 電 子 產 品 之 要 求 逐 漸 升 高 ， 電 路 複 雜 度 及 效 能 也 逐 漸 提 升 而 體 積 與 成 本 卻 需 不 斷 的 縮 小 與 下 降 ， 最 終 已 無 法 單 靠 印 刷 電 路 板 來 完 成 一 符 合 現 代 需 求 之 電 子 產 品 。

藉 由 電 子 設 計 自 動 化 工 具 的 幫 助 ， 人 們 可 在 終 端 機 或 個 人 電 腦 上 ， 以 圖 形 方 式 繪 出 較 小 的 電 晶 體 層 次 佈 局(Layout)圖 ， 再 用 數 個 小 型 佈 局 圖 組 合 成 較 大 之 佈 局 圖 ， 依 此 方 式 ， 直 到 完 成 整 個 電 路 設 計 ； 也 可 使 用 硬 體 描 述 語 言 再 藉 由 合 成 器 之 幫 助 完 成 一 電 路 設 計 。 其 中 硬 體 描 述 語 言 之 設 計 方 式 為 目 前 積 體 電 路(IC, Integrated Circuit)設 計 業 者 在 實 作 數 位 電 路 時 最 常 使 用 之 方 式，主 要 是 因 為 此 設 計 方 式 能 有 效 降 低 設 計 與 驗 證 之 時 間 。

根 據 莫 爾 定 律(Moore’s law)， 單 一 晶 片 上 可 容 納 之 電 晶 數 目 ， 約 每 隔 十 八 個 月 便 會 增 加 一 倍 ， 電 晶 體 數 與 工 作 頻 率 之 成 長 模 式 莫 爾 定 律 十 分 相 符 合 。 而 在 這 數 以 萬 計 的 電 晶 體 中 基 本 上 依 其 電 路 功 能 可 分 為 兩 大 類 ， 一 為 類 比 電 路 ， 此 類 電 路 在 現 階 段 之 應 用 上 因 所 須 之 電 路 並 不 複 雜 但 其 電 路 特 性 與 元 件 特 性 較 難 掌 握 ， 而 電 子 設 計 自 動 化 相 關 領 域 之 學 者 與 專 家 對 此 類 電 路 之 研 究 也 尚 在 起 步 階 段 ， 所 以 在 現 階 段 上 ， 如 需 使 用 到 類 比 電 路 還 尚 未 能 以 硬 體 描 述 語 言 之 方 式 來 完 成 電 路 之 設 計 ， 須 使 用 繪 圖 之 方 式 將 電 晶 體 層 次 之 佈 局 圖 繪 出 再 經 由 模 擬 、 驗 證 之 軟 體 來 判 斷 結 果 之 好 壞 ； 一 為 數 位 電 路 ， 目 前 大 部 份 積 體 電 路 設 計 者 均 是 先 使 用 硬 體 描 述 語 言 描 述 其 電

路 架 構 ， 再 合 成(Synthesis)出 電 路 圖 ， 再 交 付 予 P&R 工 具 將 其 佈 局 圖 畫 出 。

通 常 積 體 電 路 之 設 計 流 程 可 分 為 三 類 ， 一 為 全 客 戶 式(Fully Custom)設 計 流 程 ， 早 期 當 電 子 設 計 自 動 化 工 具 還 在 起 步 之 階 段 ， 所 有 積 體 電 路 設 計 公 司 均 選 擇 此 流 程 做 為 設 計 準 則 ， 然 而 隨 著 電 子 設 計 自 動 化 的 進 步 ， 現 今 此 種 方 式 通 常 只 應 用 在 類 比 電 路 上 ， 然 而 也 有 部 份 數 位 電 路 也 用 此 方 式 設 計 ， 但 為 數 不 多 ； 一 為 半 客 戶 式 (Cell Based)設 計 流 程，而 半 客 戶 式 設 計 流 程 即 是 一 個 以 硬 體 描 述 語 言 為 基 礎 之 設 計 流 程，晶 片 設 計 者 先 用 硬 體 描 述 語 言(如：VHDL 或 Verilog) 來 設 計 電 路 ， 再 透 過 電 子 設 計 自 動 化 工 具 完 成 電 路 之 佈 局 ， 如 此 ， 當 電 路 過 於 龐 大 且 複 雜 ， 可 藉 由 電 子 設 計 自 動 化 工 具 有 效 節 省 晶 片 開 發 時 間；一 為 可 程 式 規 劃 之 邏 輯 閘 陣 列(FPGA)設 計 流 程 ， 此 種 方 式 與 半 客 戶 式 之 設 計 方 式 有 類 似 之 處 ， 也 是 一 個 以 硬 體 描 述 語 言 為 基 礎 之 設 計 流 程 ， 其 兩 者 主 要 之 差 異 在 於 半 客 戶 式 設 計 在 完 成 電 路 之 佈 局 後 還 需 經 過 一 下 線(Tape Out)階 段 才 可 完 成 一 晶 片 ， 其 下 線 時 間 約 為 二 至 三 個 月 ， 如 所 須 之 晶 片 為 數 不 少 時 ， 此 種 方 式 之 成 本 較 低 ； 然 而 可 程 式 規 劃 之 邏 輯 閘 陣 列 設 計 在 完 成 電 路 佈 局 後 是 將 其 結 果 燒 錄 至 一 已 事 先 做 好 之 晶 片 中 ， 其 燒 錄 是 指 規 劃 晶 片 中 之 繞 線 ， 使 其 功 能 達 到 所 須 之 要 求 且 可 重 複 規 劃 使 用 ， 其 時 間 約 為 數 分 鐘 ， 當 所 須 之 晶 片 數 不 多 時 ， 此 種 方 式 之 成 本 較 低 。 在 這 競 爭 激 烈 的 電 子 市 場 上 ， 部 份 供 應 商 會 先 以 可 程 式 規 劃 之 邏 輯 閘 陣 列 之 設 計 方 式 節 省 產 品 上 市 時 間 ， 提 高 產 品 佔 有 率 ， 再 以 半 客 戶 式 設 計 方 式 降 低 售 價 。

傳 統 上 ， 電 子 設 計 自 動 化 工 具 在 晶 片 設 計 流 程 中 可 分 成 前 段 (Front-End)和 後 段 (Back-End)兩 個 階 段 ， 前 段 設 計 流 程 中 主 要 包 含 電 路 合 成 及 功 能 模 擬(Simulation)與 驗 證 (Verification)等 等 ； 而 後 段

設 計 流 程 一 般 稱 之 為 實 體 設 計(Physical Design)，其 中 包 含 分 割 (Partition)、板 面 規 劃 (Floorplan)、擺 置 (Placement)、整 體 繞 線 (Global Routing)、細 部 繞 線 (Detail Routing)等 部 份。隨 著 製 程 技 術 的 不 同 ， 晶 片 設 計 所 著 重 之 重 點 也 隨 之 改 變 。 舉 例 來 說 ， 早 期 因 製 程 過 大 且 良 率(Yield)並 不 高 ， 單 一 晶 片 之 成 本 也 就 高 居 不 下 ， 而 實 體 設 計 所 著 重 的 是“如 何 將 佈 局 結 果 縮 至 最 小 ?”，但 隨 著 技 術 的 進 步，製 程 不 斷 縮 小 而 良 率 也 不 斷 提 升 ， 單 一 晶 片 之 成 本 也 隨 之 下 降 ， 實 體 設 計 所 著 重 之 重 點 改 變 為“如 何 在 適 當 大 小 之 晶 片 中 將 其 效 能 提 升 至 極 限?”， 也 就 是 從 以 低 成 本 為 考 量 之 設 計 流 程 轉 變 為 以 執 行 效 能 為 考 量 之 設 計 流 程 。

1.2 半 客 戶 式 積 體 電 路 設 計 流 程 之 簡 介

第 一 步 是 將 需 求 寫 入 系 統 規 劃 書(System Specification)中，其 中 記 載 著 晶 片 之 功 能 、 執 行 效 能 、 消 耗 功 率 、 晶 片 大 小 等 等 ， 在 規 劃 書 中 只 有 晶 片 需 求 ， 不 包 含 如 何 設 計 。

系 統 合 成(System Level Synthesis)是 以 人 工 方 式 將 規 劃 書 中 硬 體 之 部 份 寫 成 硬 體 描 述 語 言(Hardware Descript Language)， 軟 體 部 份 寫 成 軟 體 語 言(Software Language)( 因 本 論 文 所 討 論 主 題 為 硬 體 ， 故 不 探 討 軟 體 部 份) ， 其 中 最 常 用 使 用 之 硬 體 描 述 語 言 為 VHDL、 VerilogHDL， 此 時 硬 體 描 述 語 言 所 描 述 之 電 路 通 常 稱 為 行 為 描 述(Behavioral Description)電 路。行 為 描 述 之 電 路 並 不 考 慮 電 路 所 需 資 源 ， 而 只 寫 出 電 路 所 需 之 功 能 ， 及 輸 入/輸 出 腳 位 。

高 階 合 成(High Level Synthesis)是 將 行 為 描 述 電 路 合 成 為 暫 存 器 轉 換 階 層 架 構 描 述(RTL Structural Description)電 路 之 步 驟 ， 主 要 是 找 出 描 述 電 路 之 電 路 架 構 ， 如 以 加 法 器 、 乘 法 器 、 暫 存 器 與 匯 流

排 組 成 一 功 能 電 路 。

有 了 暫 存 器-轉 換 架 構 描 述 電 路 之 後，接 下 來 要 做 邏 輯 合 成 之 動 作 ， 主 要 目 的 是 將 加 法 器 ， 減 法 器……等 電 路 均 化 為 邏 輯 閘 電 路 。 一 個 完 整 的 邏 輯 合 成 系 統 需 考 到 許 多 因 素 ：

一 、 邏 輯 之 正 確 性(Logical Correctness)： 邏 輯 合 成 所 產 生 之 邏 輯 合 成 電 路 其 功 能 要 與 行 為 描 述 之 電 路 功 能 相 同 。

二 、 設 計 規 則 之 正 確 性(Design-Rule Correctness)： 邏 輯 合 成 所 產 生 之 邏 輯 合 成 電 路 需 符 合 其 設 計 規 則 ， 如 保 有 時 間(Hold Time)、

扇 出 數(Fan-Out)…等 。

三 、 品 質 : 面 積 與 時 間 的 抉 擇 (Quality : Area and Delay Tradeoff)： 根 據 規 劃 書 之 描 述 ， 定 義 其 限 制 條 件 ， 將 晶 片 所 需 之 邏 輯 閘 數 與 時 間 控 制 在 範 圍 內 。 所 需 注 意 的 是 傳 統 上 計 算 延 遲 時 間 並 不 會 考 慮 邏 輯 閘 位 置 ， 但 因 時 間 收 斂 的 關 係 ， 現 在 考 慮 延 遲 時 間 會 將 此 因 素 納 入 考 量 。

四 、 製 程 技 術 的 考 量(Scalable)： 因 製 程 技 術 不 斷 的 進 步 ， 目 前 單 一 晶 片 已 能 達 到 千 萬 顆 邏 輯 閘 ， 因 此 要 能 同 時 規 劃 更 多 的 邏 輯 閘 才 可 。

五 、 階 層 式 設 計(Hierarchical Design)： 因 邏 輯 閘 的 數 目 會 越 來 越 多 ， 若 無 法 使 用 階 層 式 之 方 法 那 設 計 時 間 會 不 斷 的 拉 長 。

通 常 在 此 設 計 階 段 前 之 設 計 流 程 稱 之 為 前 段 設 計 ， 在 此 之 後 的 設 計 流 程 稱 為 後 段 設 計 ， 在 本 節 其 餘 部 份 將 討 論 後 段 設 計 流 程 ， 而 本 論 文 所 研 究 之 方 向 也 是 應 用 於 後 段 設 計 中 的 其 中 一 環 。

傳 統 因 製 程 技 術 的 關 係 ， 邏 輯 閘(gate) 延 遲 遠 大 於 線 段 延 遲 (Interconnection Delay) ， 但 隨 著 製 程 進 步 至 深 次 微 米 (Deep-Submircon , DSM)， 線 段 延 遲 與 單 胞 延 遲 間 之 關 係 已 逐 漸 改 變 ， 現 今 ， 如 不 將 線 段 延 遲 納 入 考 量 ， 則 晶 片 時 序(Timing)必 定 產

生 錯 誤 ， 因 此 實 體 設 計 之 各 步 驟 中 均 有 不 少 產 業 界 與 學 術 界 先 進 提 出 新 的 設 計 方 式 ， 如 在 傳 統 之 板 面 規 劃 只 注 重 晶 片 面 積 之 考 量 ， 相 繼 也 開 始 會 考 量 到 時 序 之 問 題 。 而 由 此 段 文 章 中 也 可 得 知 在 不 同 製 程 上 ， 對 於 實 體 設 計 的 每 個 階 段 也 會 有 不 同 的 考 慮 因 素 。

1.2.1 板 面 規 劃 之 簡 介

在 實 體 設 計 流 程 中 ， 每 一 階 段 都 有 一 主 要 考 慮 因 素 。 早 期 ， 因 製 程 技 術 的 不 成 熟 ， 單 一 晶 片 之 成 本 遠 大 於 現 今 之 成 本 ， 因 此 板 面 規 劃 主 要 考 慮 之 因 素 為 「 面 積 」 ， 即 如 何 在 板 面 規 劃 時 讓 其 結 果 之 面 積 達 到 最 小 ， 而 隨 著 製 程 進 入 到 深 次 微 米(製 程 技 術 在 0.25μm 以 下)，如 何 在 板 面 規 劃 時 使 得「 效 能 」得 到 提 升 且 能 幫 助「 可 繞 線 度 」 (Routability)為 現 今 最 主 要 之 考 量 因 素 。

1.2.2 整 體 繞 線 之 簡 介

在 經 由 板 面 規 劃 後 即 能 得 知 所 有 電 路 區 塊 與 腳 位 之 實 際 位 置 ， 而 在 整 體 繞 線 階 段 中 將 規 劃 腳 位 連 線 之 大 體 路 徑 ， 而 整 體 繞 線 在 線 段 延 遲 上 正 扮 演 著 決 定 性 之 角 色 。 但 隨 著 製 程 技 術 之 進 步 ， 整 體 繞 線 之 問 題 也 有 所 改 變 ， 隨 著 系 統 單 晶 片(SOC , System on Chip)時 代 之 來 臨，晶 片 內 部 所 含 之 矽 智 產(SIP)也 愈 多，單 一 晶 片 之 功 能 也 不 斷 提 升 ， 而 設 計 晶 片 之 時 間 卻 減 少 ， 將 個 人 電 腦 之 工 作 以 晶 片 取 代 之 夢 想 已 非 不 可 能 的 事 ， 然 而 所 付 出 之 代 價 即 為 複 雜 度 之 提 升 ， 而 衍 生 出 可 繞 性 之 問 題 ， 在 一 晶 片 中 可 繞 性 之 問 題 就 代 表 著 晶 片 設 計 之 成 敗 ， 因 而 可 繞 性 之 問 題 也 逐 漸 受 到 重 視 ， 如 何 在 效 能 提 升 之 同 時 尚 能 兼 固 可 繞 性 之 問 題 就 成 為 目 前 整 體 繞 線 上 最 急 需 迫 切 所 要 解 決 之 問 題 。

除 了 良 好 的 線 段 繞 線 路 徑 規 劃 能 改 善 延 遲 時 間 外 ， 藉 由 線 段 寬 度 之 調 整 也 是 目 前 常 用 之 方 式 ， 因 藉 由 寬 度 之 變 大 ， 單 位 面 積 之 阻 抗 也 隨 之 下 降 ， 進 而 能 提 升 線 段 之 效 能 ， 線 段 寬 度 對 延 遲 時 間 之 改 善 也 有 其 上 限 所 在 ， 當 寬 度 大 於 上 限 值 之 後 ， 其 所 增 加 之 面 積 只 會 對 晶 片 有 負 面 之 影 響 ， 並 無 法 改 善 其 延 遲 時 間 。

1.2.3 細 部 繞 線 之 簡 介

在 整 體 繞 線 完 畢 之 後 即 可 得 知 每 一 腳 位 之 大 體 路 徑 ， 接 下 來 即 是 找 出 其 詳 細 之 路 徑 。 早 期 ， 在 此 階 段 只 須 注 意 可 繞 性 之 問 題 ， 但 到 了 深 次 微 米 的 時 代 ， 漏 話(Crosstalk)的 問 題 就 越 來 越 嚴 重 ， 所 謂 漏 話 問 題 指 的 是 若 有 兩 條 線 段 其 繞 線 結 果 太 過 於 接 近 ， 雖 無 接 觸 ， 但 若 有 電 流 通 過 ， 則 兩 線 段 之 信 號 完 整 性 均 會 受 到 影 響 。

一 般 依 其 繞 線 方 式 可 分 為 兩 種，一 為 格 子 形(Grid)繞 線，及 在 繞 線 前 先 將 所 有 非 電 路 區 塊 之 區 域 割 成 相 同 大 小 之 格 子 狀 ， 再 針 對 每 一 格 子 做 細 部 繞 線 ； 一 為 最 少 格 子 形(Gridless)繞 線，即 是 在 繞 線 前 所 切 割 之 繞 線 格 子 大 小 並 不 全 部 相 等 ， 兩 者 最 大 之 差 別 是 在 格 子 形 繞 線 時 所 花 之 時 間 遠 大 於 最 少 格 子 形 繞 線 時 間 ， 但 在 處 理 單 一 區 塊 時 之 複 雜 度 則 是 最 少 格 子 繞 線 所 花 的 時 間 較 多 ， 但 其 最 終 之 結 果 以 格 子 形 繞 線 較 佳 。

1.2.4 緩 衝 器 所 扮 演 之 角 色 及 定 位

緩 衝 器 主 要 之 功 能 是 降 低 線 段 延 遲 時 間 ， 通 常 一 線 段 延 遲 時 間 如 不 能 符 合 系 統 之 要 求 ， 且 其 延 遲 時 間 在 大 於 緩 衝 器 本 身 延 遲 之 情 況 下 ， 藉 由 緩 衝 器 之 幫 助 來 降 低 線 段 延 遲 時 間 是 一 常 用 之 方 式 。

早 期 ， 因 電 路 系 統 之 簡 單 且 對 效 能 之 要 求 不 高 ， 所 以 在 單 一 晶 片 上 所 需 插 入 之 緩 衝 器 數 並 不 多 ， 因 此 傳 統 上 藉 由 緩 衝 器 插 入 來 改

善 晶 片 整 體 效 能 之 動 作 是 在 完 成 細 部 繞 線 之 後 才 執 行 ， 但 隨 著 對 效 能 要 求 之 提 升 ， 單 一 晶 片 上 緩 衝 器 之 數 目 也 隨 之 增 多 ， 而 其 時 間 收 斂(Timing Closure)之 問 題 也 隨 之 嚴 重，因 此 在 整 體 繞 線 前 就 事 先 預 估 緩 衝 器 數 目 及 擺 放 位 置 之 觀 念 也 隨 之 提 升 。

1.3 晶 片 驗 證

在 整 個 晶 片 流 程 中 無 論 是 那 一 步 驟 均 有 可 能 出 錯 ， 能 越 早 找 出 錯 誤 所 在 則 因 錯 誤 而 衍 生 出 的 成 本 就 會 越 低 ， 在 一 般 情 形 下 ， 若 設 計 一 晶 片 所 花 費 之 時 間 為 十 天 則 有 超 過 六 天 以 上 的 時 間 是 在 做 驗 證 ， 因 此 可 知 如 何 驗 證 出 每 一 步 驟 為 正 確 的 工 作 是 在 晶 片 設 計 中 所 佔 的 中 要 性 。

1.3.1 驗 證 技 術 (Verification Technology)

依 驗 證 技 術 而 言 可 將 其 分 為 四 類：模 擬 基 礎(Simulation-base)技 術、靜 態(Static)技 術、正 規 (Formal)技 術、與 實 體 驗 證 分 析 (Physical Verification and Analysis)四 類 ， 而 傳 統 上 較 常 使 用 之 驗 證 技 術 為 模 擬 基 礎 技 術 、 正 規 技 術 與 實 體 驗 證 分 析 ， 然 而 因 晶 片 內 所 含 之 電 晶 體 太 多 ， 因 此 靜 態 技 術 之 驗 證 才 崛 起 。 在 模 擬 基 礎 技 術 中 最 廣 為 人 知 的 莫 過 於 使 用 率 最 高 程 式 碼 包 含 度(Code Coverage)及 系 統 單 晶 片 時 代 才 產 生 的 硬 體/軟 體 同 步 驗 證 (HW/SW Co-Verification)，而 在 正 規 驗 證 技 術 中 最 常 用 的 莫 過 於 正 規 等 效 檢 查(Formal Equivalence Checking)。 而 無 論 是 何 種 技 術 均 可 用 於 不 同 的 驗 證 階 層 上 。

1.3.2 驗 證 方 法 (Verification Methodology)

當 晶 片 設 計 進 入 到 系 統 單 晶 片 時 代 ， 驗 證 方 法 可 分 為 五 個 部

份：一、系 統 階 層 驗 證；二、暫 存 器 轉 換 階 層 驗 證；三、軟 體 驗 證 ： 四 、 邏 輯 閘 驗 證 ； 五 、 實 體 驗 證 ， 而 在 傳 統 驗 證 過 程 中 若 有 錯 誤 需 馬 上 除 錯 ， 否 則 晶 片 必 定 會 無 法 符 合 系 統 要 求 ， 但 在 系 統 單 晶 片 的 時 代 ， 因 在 晶 片 設 計 中 會 使 用 許 多 矽 智 產 ， 但 絕 大 多 數 的 供 應 商 只 會 提 供 此 矽 智 產 的 功 能 、 效 能 或 電 源 消 耗 ， 並 不 會 提 供 內 部 電 路 之 架 構 ， 因 此 在 分 析 如 電 源 穩 定 性(IR Drop)、 漏 話 雜 訊 (Cross Talk) 之 類 問 題 時 ， 並 無 法 由 電 子 設 計 自 動 化 工 具 中 得 知 此 晶 片 設 計 是 否 正 確 ， 而 此 類 問 題 目 前 尚 需 求 助 有 經 驗 之 工 程 師 才 能 解 決 。

第 二 章 研 究 動 機 與 問 題 描 述

2.1 研 究 動 機

當 晶 片 的 內 部 連 線 速 度 主 控 晶 片 的 主 要 效 能 ， 如 果 能 增 快 晶 片 內 部 的 連 線 速 度 ， 降 低 晶 片 內 部 連 線 的 延 遲 時 間 ， 就 能 將 主 導 晶 片 速 度 的 關 鍵 原 因 改 良 ， 提 昇 晶 片 的 效 能 。

因 此 為 了 降 低 內 部 連 線 的 延 遲 時 間 ， 本 論 文 提 出 解 決 方 法 ， 有 別 於 過 去 在 實 際 繞 線 後 才 計 算 加 入 的 緩 衝 器 位 置 與 數 量 ， 而 在 實 際 繞 線 階 段 之 前 就 能 有 效 的 估 計 使 用 的 緩 衝 器 的 數 量 與 位 置 ， 希 望 能 在 晶 片 內 部 連 線 延 遲 時 間 這 個 部 份 加 以 改 善 ， 本 論 文 提 出 兩 種 方 式 用 於 降 低 內 部 連 線 的 延 遲 時 間 ， 一 為 在 內 部 連 線 上 加 入 緩 衝 器 ， 此 方 法 又 分 為 加 入 的 緩 衝 器 能 否 被 兩 個 以 上 的 端 點 共 享 而 同 時 降 低 兩 個 端 點 的 延 遲 時 間 ， 或 是 無 法 共 享 而 只 能 在 可 以 因 為 加 入 緩 衝 器 而 降 低 此 端 點 的 延 遲 時 間 的 線 段 上 加 入 緩 衝 器 。

本 論 文 的 另 一 個 方 法 為 在 既 有 的 起 始 樹 上 ， 拉 出 隱 藏 於 分 支 點 或 是 端 點 下 的 史 丹 爾 端 點（Steiner point），因 為 加 入 史 丹 爾 端 點 可 以 使 原 本 的 內 部 連 線 因 為 合 併 而 使 得 長 度 減 少 ， 既 然 內 部 連 線 的 長 度 減 少 了 ， 那 麼 因 為 線 段 上 有 單 位 電 容 ， 線 段 既 然 變 短 了 ， 那 麼 電 容 相 對 的 也 減 少 了 ， 在 本 論 文 中 就 是 利 用 這 樣 的 想 法 去 利 用 史 丹 爾 端 點 來 降 低 內 部 連 線 的 延 遲 時 間 。

因 為 把 史 丹 爾 端 點 看 成 是 隱 藏 在 原 本 的 起 始 樹 形 的 分 支 或 是 端 點 下 ， 與 過 去 去 建 立 史 丹 爾 樹 的 方 法 比 較 起 來 ， 可 以 因 此 大 幅 降 低 建 立 史 丹 爾 樹 的 複 雜 度 。

以 上 兩 點 即 為 本 篇 論 文 的 研 究 動 機 ， 以 時 序 限 制 的 觀 點 去 不 斷 地 將 共 享 緩 衝 器 的 在 合 併 線 段 上 的 位 置 最 佳 化 ， 也 是 以 時 序 限 制 的

觀 點 去 將 史 丹 爾 端 點 的 位 置 在 合 併 的 線 段 上 做 最 佳 化 ， 以 期 能 達 到 最 好 之 降 低 延 遲 時 間 的 效 果 。

2.2 問 題 描 述

首 先 要 規 劃 處 理 一 個 起 始 的 樹 形 ， 當 輸 入 資 訊 為 一 個 在 單 獨 的 網 狀 結 構 中 由 連 結 點 組 成 的 集 合 時，分 出 唯 一 的 來 源 點（source），

與 一 個 或 一 個 以 上 的 端 點 （sink） ， 即 為 問 題 的 輸 入 資 訊 。

然 後 將 此 輸 入 的 資 訊 建 成 一 個 起 始 的 樹 ， 以 各 端 點 與 來 源 點 直 接 連 線 的 方 式 做 連 接 ， 直 到 所 有 的 端 點 都 存 在 於 起 始 的 樹 形 當 中 。 此 篇 論 文 最 後 要 將 此 起 始 樹 形 ， 在 當 中 加 入 共 享 的 緩 衝 器 與 史 丹 爾 端 點 ， 加 入 共 享 緩 衝 器 方 面 ， 是 以 分 支 的 線 段 連 接 型 態 作 為 可 能 加 入 共 享 緩 衝 器 的 情 形 ， 當 此 分 支 的 線 段 長 度 達 到 可 以 因 加 入 緩 衝 器 而 降 低 時 序 延 遲 時 間 時 ， 此 時 就 可 以 以 加 入 共 享 緩 衝 器 來 降 低 時 序 延 遲 時 間 ， 而 在 分 派 史 丹 爾 端 點 的 部 份 ， 是 以 分 支 的 線 段 連 接 型 態 和 鏈 狀 的 線 段 連 接 型 態 最 為 可 以 拉 出 隱 藏 的 史 丹 爾 端 點 的 情 形 ， 經 過 這 些 步 驟 以 求 能 讓 所 有 端 點 的 時 序 延 遲 時 間 減 少 ， 達 到 時 序 延 遲 時 間 上 的 最 佳 化 。

Source S1

S2

S3

S4

S5 Source

S1

S2

S3

S4

S5

Steiner point

Sharing buffer

圖 2.1 問 題 描 述 示 意 圖

(b) 建造插入緩衝器與史丹爾點的結果樹形 (a) 原始的來源點與端點

2.3 參 數 符 號 之 定 義

在 本 篇 論 文 中 ， 會 使 用 到 的 符 號 定 義 如 下 ：

¾ R : 來 源 端 的 輸 出 電 阻 值 _so

¾ C : 目 地 端 的 輸 入 電 容 值 _si

¾ c : 單 位 長 度 的 電 容 值

¾ r : 單 位 長 度 的 電 阻 值

¾ l : 兩 點 之 間 的 線 段 長 度

¾ w : 固 定 的 線 段 寬 度

¾ T : 緩 衝 器 內 部 之 延 遲 時 間 _b

在 此 定 義 相 關 的 變 數 ， 以 下 的 章 節 將 會 使 用 這 些 變 數 來 討 論 相 關 內 容 。

第 三 章 在 史 丹 爾 樹 中 插 入 緩 衝 器

在 建 造 史 丹 爾 樹 的 步 驟 中 ， 首 先 先 加 入 緩 衝 器 ， 而 插 入 緩 衝 器 可 以 分 為 兩 類 緩 衝 器 類 型 ， 分 為 共 享 的 緩 衝 器 以 及 單 一 線 段 上 非 共 享 的 緩 衝 器 ， 這 一 章 將 介 紹 如 何 在 一 個 樹 形 中 加 入 以 降 低 整 棵 樹 中 最 大 的 延 遲 時 間 為 目 的 ， 去 加 入 適 當 的 共 享 與 非 共 享 緩 衝 器 。

3.1 繞 線 區 域

在 兩 個 端 點 的 連 接 中 ， 尚 未 實 際 繞 線 前 ， 定 義 一 個 繞 線 區 域 ， 此 區 域 為 兩 端 點 之 間 連 線 最 短 路 徑 的 可 能 路 徑 ， 在 此 區 域 中 路 徑 的 走 法 從 第 一 個 點 到 第 二 個 點 時 ， 只 能 往 上 （ 當 目 的 點 在 來 源 點 的 上 方 ） 或 只 能 往 下 （ 當 目 的 點 在 來 源 點 的 下 方 ） ， 只 能 往 左 （ 當 目 的 點 在 來 源 點 的 左 方 ） 或 只 能 往 右 （ 當 目 的 點 在 來 源 點 的 右 方 ） ， 如 此 一 來 由 來 源 點 到 目 的 點 的 路 徑 就 可 以 是 最 短 路 徑 了 ， 而 這 個 所 有 可 能 的 最 短 路 徑 所 構 成 的 區 域 就 叫 做 繞 線 區 域 ， 如 下 圖 3.1 所 示 ：

繞線區域 : R_a,b

a

b

圖 3.1 繞 線 區 域 示 意 圖

3.2 固 定 長 度 線 段 上 加 入 緩 衝 器 前 後 的 延 遲 時 間

假 設 有 一 個 線 段 ， 長 度 是 Ｌ ， 而 有 一 個 固 定 的 寬 度 ｗ ， 而 單 位 線 段 上 面 的 電 阻 和 電 容 就 分 別 是 ：

2 (c) cwl

w (r) rl

=

= 單位線段電容 單位線段電阻

以 對 於 一 個 線 段 來 說 的 等 效 電 路 ， 然 後 將 這 個 等 效 電 路 根 據 使 用 Elmore 延 遲 模 組 來 計 算 線 段 延 遲 時 間 如 下 ：

( )

si so si

so

si si

so

C w R

cw rC rc R

) w C ( c w ) r C w (c R D

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+

=

+ +

+

=

λ λ

λ λ λ

λ

2 0

2 線段延遲時間 2

以 上 為 一 個 固 定 線 段 上 尚 未 加 入 緩 衝 器 的 延 遲 時 間 ， 接 下 來 計 算 在 此 固 定 長 度 λ的 線 段 上 加 入 一 個 緩 衝 器 之 後 的 延 遲 時 間 ， 而 此 固 定 線 段 的 長 度 會 被 插 入 的 緩 衝 器 分 隔 為 來 源 點 到 緩 衝 器 的 長 度 為 x和 緩 衝 器 到 端 點 的 長 路 為λ-x：

( )

( )

( ) ( ) ( )

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+ +

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+ +

=

si si

b

b b

so

w C -x c w

-x C r

w -x c R

cxw C w C rx cxw R

2 2

λ λ λ

的延遲時間 緩衝器到此線段上端點

遲時間 此線段上到緩衝器的延

因 此 將 此 兩 被 緩 衝 器 分 隔 的 兩 個 線 段 的 延 遲 時 間 合 起 來 ， 即 為 從 來 源 點 到 端 點 的 延 遲 時 間 ：

( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( )

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+

+ +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+ +

=

si

si b

b b

so

w C -x c w

-x r

C w -x c R cxw C

w C rx cxw R

2

2 λ

λ

λ λ

T x

,

D_{1 b}

w,x w,l-x

Rso

Cb

2 x cw

Rb

Csi

w rx

( )l-x/2

Cw C_{w( )l-x/2} w

rx

2 x cw

圖 3.2 在 一 線 段 上 插 入 緩 衝 器 與 其 等 效 RC 電 路

3.3 最 佳 加 入 緩 衝 器 位 置

在 一 個 長 度 為λ的 線 段 上，定 義 加 入 一 個 緩 衝 器 的 最 佳 位 置 為 距 離 來 源 點 x 的 距 離 ： _op

( )

cw -C C r

w -R

x_op R^{b so si b} 2 2

2+ +

= λ

而 在 這 個 長 度 為λ的 線 段 上，因 為 在 最 佳 位 置 插 入 緩 衝 器，而 求 得 的 最 佳 延 遲 時 間 為 ：

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

b b si b

so

b si b so b

si b

so op

cw T -C C -r r

-R R -cw

C C R l R

C w C

R r cw R

rcl l D

+

+ + +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + +

+

=

2 2 2 2

2 1

4 4

2 2

2 4

要 決 定 是 否 能 在 一 個 線 段 上 加 入 緩 衝 器 ， 以 降 低 延 遲 時 間 ， 因 為 加 入 的 緩 衝 器 ， 本 身 就 有 一 個 緩 衝 器 內 部 的 延 遲 時 間T ， 所 以 決_b 定 能 否 因 為 加 入 緩 衝 器 而 降 低 延 遲 時 間 的 要 素 就 在 於 此 線 段 能 否 因 為 加 入 緩 衝 器 而 使 加 入 緩 衝 器 的 延 遲 時 間 小 於 未 加 入 緩 衝 器 的 延 遲 時 間 ， 利 用 此 關 係 可 定 義 出 一 個 長 度 ：

(

^{b so}

)

^{b si}

(

R_bC_b T_b

)

rc cw

C C r

R R

w − + +

− +

≥ 4

λ

只 要 是 線 段 長 度 超 過λ，都 可 以 藉 由 加 入 緩 衝 器 而 降 低 線 段 延 遲 時 間 。

線段長度 加入緩衝器可降低延遲時間的線段長度

未加入緩衝器的延遲時間 延遲時間

加入緩衝器的延遲時間

λ

圖 3.3 加 入 緩 衝 器 之 線 段 長 度 與 延 遲 時 間 關 係 圖

而 在 此 長 度 為λ的 線 段 上，先 假 設 要 插 入 ｋ 個 個 數 的 緩 衝 器，加 入 ｋ 個 緩 衝 器 之 後 的 線 段 延 遲 時 間 為 ：

其 中 ｘ 是 由 來 源 點 到 第 一 個 緩 衝 器 位 置 的 線 段 長 度 ， 而 ｙ 是 兩 兩 緩 衝 器 之 間 的 線 段 長 度 ， 此 兩 個 長 度 的 計 算 方 式 如 下 ：

C

si l

x y y y y

R

so

圖 3.4 線 段 以 插 入 的 緩 衝 器 分 段 示 意 圖

定 義 好 可 以 因 為 加 入 緩 衝 器 而 降 低 延 遲 時 間 的 線 段 長 度 後 ， 而 在 該 線 段 上 應 該 加 入 多 少 個 緩 衝 器 可 以 達 到 最 好 的 延 遲 時 間 ， 因 為 緩 衝 器 內 部 本 身 就 有 一 個 延 遲 時 間 ， 也 就 是 加 入 一 個 緩 衝 器 ， 相 對 的 也 要 增 加 一 個 緩 衝 器 內 部 的 延 遲 時 間 ， 那 麼 可 以 代 表 在 一 個 線 段 上 面 無 限 制 的 加 入 數 個 緩 衝 器 其 實 不 一 定 就 能 達 到 最 佳 的 降 低 延 遲 時 間 的 效 果 ， 所 以 接 下 來 定 義 一 個 數 字 k代 表 者 在 線 段l上 加 入 k 個 緩 衝 器 可 以 達 到 最 佳 的 效 果 ：

cw C r

w P R

cw C r

w P R

cw C r

w P R

T C R

P P P l rc

k

^{b b b}

=

^so

+

^b

=

^b

+

^b

=

^b

+

^si

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎥

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎢

+

− + + +

+

−

=

_{1 2 3}

2 2 3 1

2

2 1 2

1

, ,

, ) (

max

在 兩 個 線 段 中 ， 共 存 在 有 四 種 相 鄰 關 係 ， 為 了 要 考 慮 此 兩 線 段 之 間 可 能 可 以 合 併 的 情 形 ， 列 出 以 下 三 種 相 鄰 關 係 以 及 其 中 可 以 合 併 的 最 大 線 段 集 合 ：

S

s

1

s

2

S

s

1

s

2 (a) S¹和 S²存在於相鄰的象限 R^S,S1交集

R^S,S2為垂直或水平的部分線段

S

s

1

s

2

(c)S1和 S2存在於相同的象限且 RS,S2和 RS,S1

都不完全互相包含 R^S,S1交集 R^S,S2為 R^S,S1 或 R^S,S2的部分線段

(b)S¹和 S²存在於相同的象限且 R^S,S2 完全包含 RS,S1（或 RS,S1完全包含 R^S,S2）R^S,S1交集 R^S,S2為 R^S,S1或 R^S,S2

圖 3.5 兩 個 線 段 的 可 能 合 併 的 三 種 關 係

在 圖 3.2 的 (a)中 ， 兩 個 端 點 S1 和 S2存 在 於 相 鄰 象 限 中,兩 個 線 段 的 繞 線 區 域 RS , S 1和 RS , S 2的 交 集 也 就 是 可 能 合 併 的 區 段 為 垂 直 或 是 水 平 的 部 分 線 段;而 在 (b)中，兩 個 端 點 S1 和 S2存 在 於 同 一 個 象 限 中，而 且 RS , S 1完 全 包 含 RS , S 2，或 RS , S 2完 全 包 含 RS , S 1，兩 個 線 段 的 繞 線 區 域 RS , S 1 和 RS , S 2 的 交 集 也 就 是 可 能 合 併 的 區 段 為 RS , S 2 或 是

RS , S 1； 而 在(c)中 ， 兩 個 端 點 S1 和 S2存 在 於 同 一 個 象 限 中 ，RS , S 1和

RS , S 2互 不 完 全 包 含 ， 兩 個 線 段 的 繞 線 區 域 RS , S 1和 RS , S 2的 交 集 也 就

是 可 能 合 併 的 區 段 為 RS , S 1或 是 RS , S 2的 部 分 線 段 。

以 上 三 種 情 形 即 為 分 析 兩 個 線 段 之 間 可 能 合 併 的 區 域 ， 在 後 面 的 插 入 共 享 緩 衝 器 以 及 分 派 史 丹 爾 端 點 中 ， 因 為 都 是 需 要 合 併 部 分 的 線 段 來 達 成 共 享 緩 衝 器 或 是 分 派 史 丹 爾 端 點 在 合 併 的 線 段 終 點 上 ， 所 以 能 否 合 併 也 代 表 是 否 可 以 減 少 時 序 延 遲 時 間 的 可 能 性 。

3.4 分 支 型 態 的 連 線

首 先 要 定 義 可 能 加 入 共 享 緩 衝 器 的 連 線 型 態 為 一 個 分 支 型 態 的 連 線 ， 因 為 合 併 部 分 的 線 段 而 在 合 併 線 段 長 度 的 終 點 加 入 一 個 共 享 的 緩 衝 器 ， 使 得 此 分 之 型 態 的 連 線 中 的 兩 個 端 點 都 能 夠 利 用 到 這 個 共 享 的 緩 衝 器 。

3.4.1 兩 個 線 段 上 之 符 合 時 序 限 制 的 插 入 共 享 緩 衝 器 區 域 在 確 定 了 可 以 合 併 的 線 段 關 係 後 ， 就 要 在 可 以 合 併 的 線 段 上 討 論 有 關 於 插 入 共 享 的 緩 衝 器 位 置 ， 首 先 要 插 入 這 個 共 享 緩 衝 器 有 幾 個 限 制 ， 符 合 限 制 之 後 才 算 是 有 效 的 插 入 共 享 緩 衝 器 以 降 低 時 序 延 遲 時 間 。

目 的 是 要 加 入 共 享 的 緩 衝 器 ， 那 麼 在 加 入 緩 衝 器 之 後 ， 必 定 是

要 讓 此 合 併 的 兩 個 端 點 的 緩 衝 時 間 能 夠 達 到 某 個 程 度 的 改 變 ， 而 達 成 可 以 合 併 的 條 件 。 首 先 先 介 紹 計 算 一 個 單 獨 的 來 源 點 連 接 兩 個 端 點 的 艾 爾 摩 延 遲 模 組 計 算 出 來 的 延 遲 時 間 算 式 ：

z 用 艾 爾 摩 延 遲 模 組 計 算 兩 個 端 點 尚 未 加 入 任 何 緩 衝 器 時 的 延 遲 時 間 ：

C

_a

R

s

C

_b

b

D

0 a

D

0

圖 3.6 尚 未 加 入 共 享 緩 衝 器 的 分 支 型 態 連 線

端 點 A 的 延 遲 時 間 計 算 公 式 如 下 所 示 ：

2 ) ( )

( ) ,

0 ( A A A

B B A A S B A

A cl w C

w C rl

w cl C w cl R l l

D = + + + + +

端 點 Ｂ 的 延 遲 時 間 計 算 公 式 如 下 所 示 ：

2 ) ( ) (

) ,

0 ( B B B

B B A A S B A

B cl w C

w C rl

w cl C w cl R l l

D = + + + + +

計 算 好 尚 未 加 入 緩 衝 器 前 的 延 遲 時 間 後 ， 考 慮 是 否 要 加 入 共 享 的 緩 衝 器 ， 評 估 是 否 要 加 入 共 享 的 緩 衝 器 即 為 將 先 假 設 加 入 共 享 的 緩 衝 器 ， 並 且 計 算 出 加 入 共 享 緩 衝 器 的 延 遲 時 間 ， 假 設 兩 端 點 的 連 接 線 段 合 併 的 長 度 為 ｘ ， 而 合 併 線 段 的 終 點 即 為 插 入 共 享 緩 衝 器 的 位 置 ， 以 下 為 兩 個 端 點 在 合 併 ｘ 線 段 長 度 後 加 入 共 享 緩 衝 器 的 延 遲 時 間 ：

C

_b

R

s

C

a

b

D

1

x

a

D

1

圖 3.7 已 加 入 共 享 緩 衝 器 的 分 支 型 態 連 線

端 點 A 加 入 共 享 緩 衝 器 後 的 延 遲 時 間 計 算 公 式 如 下 所 示 ：

b A A

A

B B

A A

b b b

S B A A

T w C

x l c w

x l r

C w x l c C w x l c R cxw C

w C rx cxw R x l l D

+

− + + −

+

− + +

− +

+ +

+

=

2 ) ) ( (

) (

) ) ( )

( ( 2 )

( ) (

) , ,

1(

端 點 Ｂ 加 入 共 享 緩 衝 器 後 的 延 遲 時 間 計 算 公 式 如 下 所 示 ：

b B B

B B

B

A A

b b b

S B

A B

T w C

x l c w

x l C r

w x l c

C w x l c R cxw C

w C rx cxw R x l l D

+

− + + −

+

− +

+

− +

+ +

+

=

) ) ( (

) ) (

) (

) ( ( ) (

) (

) , , (

2

1 2

決 定 是 否 該 加 入 共 享 的 緩 衝 器 的 條 件 即 為 兩 個 端 點 在 加 入 共 享 緩 衝 器 後 的 延 遲 時 間 要 小 於 或 等 於 兩 端 點 加 入 緩 衝 器 前 的 延 遲 時 間 ， 以 公 式 的 方 式 示 意 如 下 ：

) , ( )

, ,

( ₀

1 A B

A B

A

A l l x D l l

D ≤ and D₁^B(l_A,l_B,x)≤D₀^B(l_A,l_B)

有 了 時 間 限 制 而 成 的 不 等 式 之 後 ， 依 照 不 等 式 的 內 容 來 求 出 兩 端 點 的 合 併 線 段 ｘ 的 解 ， 計 算 過 程 如 下 ：

端 點 Ａ 的 時 間 限 制 方 程 式 ： D₁^A(l_A,l_B,x)≤D₀^A(l_A,l_B) 由 以 上 的 方 程 式 列 出 詳 細 的 方 程 式 內 容 ：

A A A B B A A S b A A

A

B B

A A

b b b

S

w C cl w C rl w cl C w cl R T w C

x l c w

x l r

C w x l c C w x l c R cxw C

w C rx cxw R

+ +

+ + +

≤ +

− + + −

+

− + +

− +

+ +

+

2 2

2

( ) (

) ) ( (

) (

) ) ( )

( ( ) (

) (

將 ｘ 平 方 和 一 次 項 的 係 數 與 常 數 歸 納 為 一 項 之 後 ， 求 得 的 方 程 式 如 下 ：

) 0 )(

( ) )(

( )

( ) 2

2 ( ≤

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + − +

+ + + −

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ − −

− +

+ rc

T r

R R l l w rc

C C R R rc

C x R cw l

C C r

w R

x R^{S b b A} _A ^{S b b S A B A B b S b}

以 上 此 方 程 式 即 為 一 元 二 次 不 等 式 ， 為 了 求 出 ｘ 的 解 ， 將 不 等 式 中 的 x²係 數 除 以 x 係 數 和 常 數 項 歸 納 成 兩 個 變 數 可 以 解 出 x 的 範

圍 ：

2 4 2

4 ²

2

A A

A A

A

A P P Q

Q x P

P − + −

≤

− ≤

−

−

而 _A ^{S b b A} l_A

cw C C r

w R

P R − −

− +

=( 2 ) ( )

和

rc T r

R R l l w rc

C C R R rc

C

Q_A R^{S b b S A B A} + ^{B b} − ^S + ^b

+ + + −

= ( )( ) ( )( )

接 下 來 計 算 端 點 Ｂ 的 時 間 限 制 方 程 式 ： D₁^B(l_A,l_B,x)≤D₀^B(l_A,l_B) 由 以 上 的 方 程 式 列 出 詳 細 的 方 程 式 內 容 ：

B B

B B B

A A S b B B

B

B B

A A

b b b

S

w C cl w C rl

w cl C w cl R T w C

x l c w

x l r

C w x l c C w x l c R cxw C

w C rx cxw R

+ +

+ +

+

≤ +

− + + −

+

− + +

− +

+ +

+

2 2

2

( )

( ) )

( ( ) (

) )

( )

( ( ) (

) (

將 ｘ 平 方 和 一 次 項 的 係 數 與 常 數 歸 納 為 一 項 之 後 ， 求 得 的 方 程 式 如 下 ：

) 0 )(

( ) )(

( )

( ) 2

2 ( ⎥⎦⎤≤

⎢⎣⎡ + − +

+ + + −

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ − −

− +

+ rc

T r

R R l l w rc

C C R R rc

C x R cw l

C C r

w R

x R^{S b b B} _B ^{S b b S A B A B b S b}

以 上 此 方 程 式 即 為 一 元 二 次 不 等 式 ， 為 了 求 出 ｘ 的 解 ， 將 不 等 式 中 的 係 數 與 常 數 項 歸 納 成 兩 個 變 數 可 以 解 出 x 的 解 範 圍 ：

2 4 2

4 ²

2

B B

B B

B

B P P Q

Q x P

P − + −

≤

− ≤

−

−

B B b b

B S l

cw C C r

w R

P = (R − 2 ) + ( − ) − 和

rc T r

R R l l w rc

C C R R rc

C

Q_B R^{S b b S A B A}+ ^{B b} − ^S + ^b + +

+ −

= ( )( ) ( )( )

以 時 間 限 制 方 程 式 求 出 的 ｘ 解 範 圍 ， 還 會 受 到 Ａ 、 Ｂ 兩 端 點 各 自 的 繞 線 區 域 長 度 所 限 制 ， 而 且 ｘ 單 位 是 長 度 ， 也 必 須 是 一 個 大 於 零 的 值 ， 所 以 除 了 方 程 式 所 求 出 的 解 範 圍 ， 再 加 上 受 限 於 大 於 零 和 必 須 小 於 Ａ 、 Ｂ 兩 端 點 各 自 的 繞 線 區 域 長 度 。

如 果 兩 端 點 求 出 的 ｘ 範 圍 值 在 數 線 上 有 重 疊 的 區 域 ， 因 為 ｘ 代 表 兩 端 點 合 併 線 段 的 值 ， 也 就 是 從 這 個 分 支 點 中 離 來 源 點 最 近 的 點 到 共 享 緩 衝 器 最 後 繞 線 結 果 的 長 度 值 ， 代 表 在 各 自 端 點 的 有 效 插 入 共 享 緩 衝 器 的 範 圍 是 有 重 疊 的 ， 在 這 個 重 疊 的 區 域 中 ， 插 入 共 享 緩 衝 器 是 可 以 符 合 兩 端 點 的 延 遲 時 間 都 會 下 降 的 條 件 ， 因 此 可 以 求 出 可 插 入 共 享 緩 衝 器 的 範 圍 。

3.4.2 插 入 共 享 緩 衝 器 位 置 的 彈 性

在 求 出 兩 端 點 可 以 符 合 插 入 共 享 緩 衝 器 限 制 的 解 之 後 ， 在 解 的 範 圍 內 的 值 ， 都 算 是 插 入 共 享 緩 衝 器 的 適 合 位 置 ， 這 個 範 圍 就 算 是 能 夠 因 為 插 入 共 享 緩 衝 器 而 降 低 延 遲 時 間 的 彈 性 ， 而 主 要 以 此 分 支 行 連 線 的 兩 分 支 線 段 相 對 關 係 ， 可 以 經 過 分 析 後 ， 然 後 定 義 為 兩 個 種 類 ：

Case I. 兩 線 段 在 相 鄰 象 限

A

B

圖 3.8 兩 線 段 位 於 相 鄰 象 限 之 可 能 合 併 區 域

當 分 支 型 態 連 線 的 兩 線 段 位 於 相 鄰 象 限 時 ， 可 能 合 併 的 區 域 類 型 為 一 直 線 ， 也 就 是 上 圖 中 綠 色 的 長 方 圖 形 ， 可 以 合 併 的 長 度 解 危 必 須 符 合 兩 端 點 計 算 出 來 的 合 併 長 度 的 解 範 圍 ， 示 意 圖 如 下 ：

λ

delay

segment A

segment B

ffeeaassiibbllee mmeerrggiinngg rreeggiioonn

圖 3.9 線 段 位 於 相 鄰 象 限 的 解 重 疊 區 域

藍 色 的 區 域 即 為 分 支 型 態 連 線 其 一 之 分 支 線 段 的 合 併 線 段 解 範 圍 ， 綠 色 的 區 域 則 為 另 一 線 段 之 合 併 線 段 解 範 圍 ， 所 以 為 了 要 求 能 符 合 兩 個 時 序 限 制 的 合 併 長 度 解 ， 就 取 兩 個 解 所 圍 成 的 區 域 重 疊 的 部 份 ， 稱 為 有 效 的 合 併 區 域 ， 也 就 是 說 在 這 個 區 域 上 的 每 個 點 都 能 符 合 兩 個 端 點 的 時 序 限 制 。

Case II. 兩 線 段 在 相 同 象 限

S

A B

S

A B

S

A B

S

A B

圖 3.10 兩 線 段 位 於 相 同 象 限 之 可 能 合 併 區 域

以 上 兩 個 圖 代 表 了 分 支 型 態 連 線 的 兩 線 段 位 於 相 同 象 限 時 的 可 能 合 併 線 段 區 域 關 係 ， 此 兩 種 型 態 不 同 的 地 方 在 於 ， 左 邊 的 圖 代 表 者 其 中 一 個 線 段 的 繞 線 區 域 能 夠 完 全 包 含 另 一 線 段 的 繞 線 區 域 ， 而 右 邊 的 圖 代 表 者 此 位 於 相 同 象 限 的 線 段 之 各 自 的 繞 線 區 域 是 完 全 互 不 包 含 的 。

而 在 此 兩 種 型 態 的 可 能 合 併 區 域 是 帶 狀 的 ， 受 到 兩 線 段 各 自 的 可 能 合 併 區 域 所 限 制 ， 示 意 圖 如 下 ：

λ

delay

segment A

segment B

f fe ea as si ib bl le e m me er rg gi in ng g r

re eg gi io on n

圖 3.11 線 段 位 於 相 同 象 限 的 解 重 疊 區 域

對 於 相 同 象 限 的 兩 線 段 來 說 ， 也 是 取 各 自 可 以 合 併 的 區 域 做 集 合 ， 此 集 合 就 稱 為 有 效 的 合 併 區 域 ， 在 此 區 域 中 的 每 一 點 都 可 以 因 為 加 入 共 享 的 緩 衝 器 而 降 低 兩 線 段 的 延 遲 時 間 。

在 兩 端 點 各 自 有 效 插 入 共 享 緩 衝 器 的 區 域 重 疊 中 ， 所 有 的 位 置 都 是 可 以 符 合 基 本 加 入 的 條 件 ， 但 在 這 個 重 疊 區 域 中 ， 因 為 所 有 的 位 置 都 符 合 ， 但 是 每 個 位 置 所 能 影 響 兩 個 端 點 的 效 果 不 同 ， 如 何 在 此 區 域 中 找 到 一 個 最 佳 的 位 置 或 是 因 應 相 關 的 需 求 而 如 何 在 此 彈 性 中 找 到 適 當 卻 可 能 不 是 最 佳 的 位 置 ， 將 在 下 一 小 段 中 討 論 。

3.4.3 插 入 共 享 緩 衝 器 位 置 的 策 略

當 算 出 兩 端 點 可 以 插 入 有 效 的 共 享 緩 衝 器 位 置 後 ， 也 確 定 了 有 效 位 置 區 域 ， 如 何 在 此 彈 性 區 域 中 找 到 一 個 適 合 的 位 置 ， 分 為 延 遲 時 間 最 佳 化 位 置 與 考 慮 區 塊 擺 置 的 適 當 位 置 兩 個 方 向 ， 此 兩 種 選 擇 插 入 位 置 的 策 略 ， 如 下 ：

Case I. 延 遲 時 間 最 佳 化 的 插 入 位 置 ：

在 不 考 慮 區 塊 擺 置 下，於 是 可 以 將 共 享 緩 衝 器 放 在 可 以 讓 延 遲 時 間 最 佳 化 的 位 置 ， 也 就 是 以 效 能 表 現 為 唯 一 考 量 的 導 向 ， 將 兩 端 點 合 併 ｘ 線 段 長 度 ， 共 享 緩 衝 器 放 置 在 合 併 線 段 的 終 點 該 位 置 ， 示 意 圖 如 下 ：

λ

延遲時間

最佳最佳延延遲遲時時間間（（距距離離分分支支中中延延遲遲時時 間

間較較長長的的線線段段曲曲線線最最近近的的點點））

延遲時間較大的路徑

圖 3.12 有 效 合 併 區 域 中 找 最 佳 延 遲 時 間 的 點 與 延 遲 時 間 曲 線 圖

在 以 延 遲 時 間 最 佳 化 的 目 標 下 ， 會 以 效 能 為 導 向 ， 來 選 擇 在 有 效 的 合 併 區 域 中 找 出 放 置 共 享 緩 衝 器 的 位 置 ， 以 上 圖 表 示 ， 就 是 在 有 效 的 合 併 區 域 中 ， 找 出 一 個 距 離 延 遲 時 間 較 大 路 徑 的 線 段 曲 線 能 有 最 小 延 遲 時 間 最 近 的 點 ， 這 樣 就 能 符 合 以 最 佳 化 延 遲 時 間 為 導 向 的 位 置 取 向 方 法 。

Case II. 考 慮 區 塊 擺 置 的 插 入 位 置 ：

如 要 在 選 擇 插 入 共 享 緩 衝 器 位 置 時，將 不 增 加 額 外 的 面 積 成 本 為 考 量 ， 就 要 在 有 效 插 入 共 享 緩 衝 器 的 彈 性 區 域 中 ， 尋 找 是 否 有 版 面 規 劃 中 的 空 白 空 間 ， 因 為 在 版 面 規 劃 中 ， 如 果 要 插 入 緩 衝 器 ， 放 在 空 白 空 間 中 是 不 需 要 額 外 撐 開 版 面 規 劃 ， 而 如 果 在 有 效 插 入 共 享 緩 衝 器 的 彈 性 區 域 中 沒 有 符 合 空 白 空 間 的 解 ， 就 必 須 撐 開 原 有 的 版 面 規 劃 ， 也 會 增 加 面 積 的 上 的 成 本 負 擔 ， 示 意 圖 如 下 ：

延遲時間 較大的路徑 延遲時間

在此彈性區域中尋找版面 規劃中的空白空間

λ

圖 3.13 考 慮 面 積 成 本 選 擇 插 入 位 置 彈 性 與 延 遲 時 間 曲 線 圖

在 以 考 慮 區 塊 擺 置 的 考 量 下 ， 為 了 不 要 因 為 加 入 緩 衝 器 而 增 加 額 外 的 面 積 成 本 ， 所 以 在 有 效 的 合 併 區 域 中 尋 找 是 否 有 符 合 在 區 塊