Fenwick tree (Binary indexed tree)
線段樹可以動態的在 O(log n) 時間內詢問一個區間內的元素總合，以及修改其中 一個元素的值。然而線段樹這個資料結構有點大，且遞迴時也有些複雜，有沒有另外 的資料結構可以處理這種問題呢？我們發現，「區間 [a, b] 的總合」可以轉成「區間 [1, b] 的總合」減掉「區間 [1, a− 1] 的總合」，因此我們可以把問題簡化成：如何快速 的求得一個陣列的前綴和，以及更改其中一個元素的值？
Fenwick tree 是一個處理前綴時很有效率的資料結構，他也被稱為 Binary indexed tree，或簡稱 BIT，在中國被稱做樹狀數组。以下我們都簡稱它為 BIT。和線段樹相 同，對於一個長度為 n 的陣列，BIT 可以在 O(n) 的時間初始化，在 O(log n) 時間詢 問一個前綴的訊息 (例如前綴和)，以及在 O(log n) 的時間修改其中一個值。雖然複雜 度和線段樹相同，但 BIT 的時間常數比線段樹小得多 (時間複雜度會把常數拿掉，但 實際上還是有影響的)，空間也比較小 (只需要多開一個大小恰好為 n 的陣列即可)，
程式碼也非常精簡 (初始化 + 修改 + 詢問，全部約 20 行)。一般來說，如果問題的性 質可以使用 BIT，效率會和使用線段樹有明顯的差別。當然，BIT 的缺點就是有些問 題無法轉為前綴之間的運算，例如區間 [a, b] 的最大值就無法由區間 [1, b] 和 [1, a− 1]
的最大值算出，這時候就無法使用它了。以下將詳細介紹 BIT 的操作。
首先，我們先介紹一個函數：lowbit(x)，表示 x 在二進位表示時，最接近 LSB(Least Significant Bit)，也就是最靠右邊的 1 所對應的值。例如十進位下的數字 6(10)，在二 進位的寫法是 110(2)，其中的兩個 1 分別表示 22 和 21，因此 lowbit(6) = 21 = 2。同 理，20(10) = 10100(2)，所以 lowbit(20) = 22 = 4。lowbit 函數可以用位元運算在 O(1) 時間內得到，在作業中會再多做說明。
和線段樹一樣，BIT 先記錄了一些區間的訊息，並由這些預先處理過的區間拼出 真正詢問的區間，而在單點修改時，也要另外修改包含該點的區間。假設原始陣列長 度為 n，且索引值為 1 至 n(1-based)，線段樹會記錄大約 2n 至 4n 個區間 (這也和實 作方法有關)，而 BIT 只需記錄恰好 n 個區間。BIT 的這 n 個區間的右界即是 1 到 n，若一個區間的右界為 x，其左界就是 x− lowbit(x) + 1。意即，BIT 的區間集合為
{ [x − lowbit(x) + 1, x] | 1 ≤ x ≤ n }
畫成圖之後可以發現，BIT 其實是棵刪除掉一些區間的線段樹，如下圖所示：
因為每個範圍的右界都不同，我們可以只使用右界來表示這些區間，並以 range(x) 表示，也就是
range(x) = [x− lowbit(x) + 1, x]
以下我們用前綴和當例子：已知一個長度為 n 的陣列 arr，我們希望建立一顆 BIT 的陣列 bit，並滿足 bit[x] 為 arr 陣列中相對應範圍的元素和，即：
bit[x] = ∑
i∈range(x)
arr[i] =
∑x i=x−lowbit(x)+1
arr[i]
定義完 range(x) 和 bit[x] 之後，我們討論三種操作：詢問，單點修改，以及初始 化時，如何快速的得到答案或完成操作。
1. 詢問前綴和
詢問 [1, x] 的區間和很容易，因為該區間可以拆成 [1, x−lowbit(x)] 和 [x−lowbit(x)+
1, x] 兩個區間和的加總。區間 [x− lowbit(x) + 1, x] 的和就是 bit[x]，另外一個區 間則遞迴處理。由於 x− lowbit(x) 在二進位表示法中會比 x 少一個 1，因此最多遞 迴⌈log2x⌉ 次之後就會終止，詢問的複雜度也就是 O(log n)。(雖然概念上另外一個 區間是遞迴處理，實作時只要使用迴圈就可以了，這也是 BIT 常數比較小的原因 之一。)
1 int query(int x) { 2 int sum = 0;
3 for(int i = x; i > 0; i -= lowbit (i))
4 sum += bit[i];
5 return sum;
6 }
2. 單點修改
將 arr[x] 的值增加 val 之後，bit 陣列中所有對應區間包含 x 的值都要改變。由 BIT 的結構圖可以觀察到，需要更新的區間為 range(x), range(x + lowbit(x)),· · · 。 因為每往上遞迴一次，對應區間大小就會變為原本的 2 倍，因此最多遞迴 ⌈log2n⌉ 次之後就會終止，單點修改的複雜度也就是 O(log n)。
除了 arr[x] 這項以外，區間內其餘元素的和可以用前面已經算好的 bit 較快的得 到答案，如 bit[8] = arr[8] + bit[7] + bit[6] + bit[4]。此做法雖然看起來計算單一 個 bit[x] 的時間複雜度不是 O(1)，但是總時間複雜度計算之後是 O(n)。演算法程 式碼如下：
1 void init(int n) {
2 for(int x = 1; x <= n; ++x) {
3 bit[x] = arr[x];
4 int y = x - lowbit (x);
5 for(int i = x -1; i > y; i -= lowbit (i))
6 bit[x] += bit[i];
7 }
8 }
另一個做法則是計算完 bit[x] 之後，「主動」往上更新上一層的值。該做法和上一 個做法原理完全一樣，由程式碼就可以輕易看出這是個 O(n) 的演算法：
1 void init2(int n) {
2 for(int x=1; x<=n; ++x)
3 bit[x] = 0;
4 for(int x=1; x<=n; ++x) { 5 bit[x] += arr[x];
6 int y = x + lowbit (x);
7 if(y <= n) arr[y] += arr[x];
8 }
9 }
習題
1. (10 pts) 請證明在二補數系統下 (即 −x ≡ ~x + 1)，lowbit(x) = x&(−x)。(假設 x > 0)。
2. 有一個初始化 BIT 的方法是一開始先把 bit 陣列歸零，並對於 arr 陣列中的每個 元素都呼叫一次 update(x, arr[x])，如以下程式碼所示：
1 void init3(int n) {
2 for(int x=1; x<=n; ++x)
3 bit[x] = 0;
4 for(int x=1; x<=n; ++x) 5 update (x, arr[x]);
6 }
這個演算法的時間複雜度顯然是 O(n log n)，然而這只是一個上界，實際上也許並 不會那麼差，因為更新時不一定會改到滿滿的 log n 個區間，也許均攤後也是 O(n) 呢！對此我們需要更細的計算一下，以下將證明該做法的複雜度是 Ω(n log n)，也 就是均攤之後還是比較差。
為了方便起見，先假設 n = 2m，其中 m 為非負整數。令 f (m) 表示當 arr 長度為 2m 時，用這個初始化做法需要更新幾次區間，也就是操作次數。由 BIT 的結構可 以發現，大小為 2m 的 BIT 最上層一定是區間 [1, 2m]，且不論更改哪個位置的值，
這個區間一定會被更改到。將最上層的區間拿走之後，下面剩下的剛好是大小為 2m−1, 2m−2,· · · , 21, 20 的 BIT，於是就得到
f (m) = 2m+
m∑−1 k=0
f (k), f (0) = 1
(a) (10 pts) 請證明：∑n
i=0
i· 2i−1 = (n− 1) · 2n+ 1。
(b) (20 pts) 請證明：f (m) ≥ m · 2m−1 , for m ≥ 0。(即：f(m) ≥ n2 · log2n , for n = 2m, m≥ 0)
(a) (10 pts) 請給出一組會讓時間複雜度超過 O(log n) 的詢問。
(b) (15 pts) 請問該做法中，詢問的時間複雜度為何？
4. 給定原始陣列 arr，我們定義一個差分陣列 dif，滿足
dif[x] =
{arr[1] , if x = 1 arr[x]− arr[x − 1] , if x ̸= 1 接著再定義另外一個陣列 dif2，滿足
dif2[x] = dif[x]× x
並且定義以下函式，時間複雜度皆為 O(log n)，可以想像內部就是用 BIT 實作的：
• query(dif, x)：回傳 ∑x
i=1
dif[i] 的值
• query(dif2, x)：回傳 ∑x
i=1
dif2[i] 的值
• update(dif, x, val)：將 dif[x] 的值加上 val
• update(dif2, x, val)：將 dif2[x] 的值加上 val 請回答以下問題：
(a) (10 pts) 請問如何使用給定的函式，在 O(log n) 時間內得到 arr[x] 的值？
(b) (15 pts) 現在將 arr 陣列中的一段區間 [a, b] 內的數都加上 val，請問如何在 O(log n) 時間內，使用給定的函式改變 dif 和 dif2 陣列以滿足定義？
(c) (15 pts) 請以 dif 陣列表示 arr 陣列的前綴和，也就是 ∑x
i=1
arr[i]。(答案中可 以有很多項 dif[i]，甚至包含 ∑
，只要能表示就可以了。) (d) (15 pts) 請使用給定的函式，在 O(log n) 時間內得到 ∑x
i=1
arr[i]。
