排列組合 04

第 章

04

排列組合

4-1 排列

重點一 計數原理(一) 1. 窮舉法：

窮舉法是將所有可能情形一一列出，再計算總數。可搭配系統的討論或用表格加以輔 助，避免遺漏或重複計算。

2. 樹狀圖：

將事件發生的所有可能情形逐層分類討論，使複雜情形明朗化。由於表現出的形式像樹 枝結構，故稱為樹狀圖。

用10 元、5 元、1 元硬幣湊出 23 元，共有幾 種方式？

將情形一一列出，並以表格方式表示：

硬幣 個數

10 元 2 1 1 1 0 0 0 0 0 5 元 0 2 1 0 4 3 2 1 0 1 元 3 3 8 13 3 8 13 18 23 共有9 種方式。

投擲一顆骰子兩次，則兩次點數和為 8，共 有幾種情形？

以數對( , )a b 表示擲兩次骰子所出現的點 數，點數和為8 有(2,6)、_(3,5)、_{(4, 4)}、

(5,3)、_(6,2)共5 種情形。

類題 1

投擲一枚公正硬幣3 次並依次記錄正、反面出現的情形，則共有幾種情形？

8 種 窮舉法

教師演示 1 基 礎 題 學生練習 1

甲、乙兩人比賽籃球，每場必有勝負。約定 甲先贏三場或乙先贏兩場者獲勝，則比賽過 程中有幾種情形？

可畫出樹狀圖如下：

共有10 種情形。

從A 或C開始，使用一筆畫 的 方 式 （ 每 個 邊 恰 經 過 一 次，每個點可重複經過）畫 出右圖，共有幾種畫法？

利用樹狀圖如下：

共有12 種畫法。

類題 2

在數線原點有一隻青蛙，每次往正向或負向跳動1 單位，若到達 、 22  或經過原點外任一點 第2 次時，即停止跳動，則此隻青蛙有幾種跳動方法？

10 種

重點二 計數原理(二)

加法原理：

完成一件事的方法有_n種類別的方式，每種類別間方法不重疊，第一類有_m1種方法，第二 類有_m2種方法，…，第_n類有_mn種方法，則完成這件事共有_{m1m2mn}種方法。

樹狀圖

教師演示 2 基 礎 題 學生練習 2

設書架上有 6 本不同的漫畫、5 本不同的小 說，小樺從書架上任拿 1 本閱讀，共有幾種 選擇方法？

從漫畫、小說中擇一即可，

由加法原理知，共有6 4 10  種選擇。

從 5 張不同的華語唱片、3 張不同的日韓唱 片、4 張不同的西洋唱片中，任選一張播放，

共有幾種選法？

從華語、日韓、西洋唱片中擇一即可，

由加法原理知，共有5 3 4 12   種選法。

類題 3

阿信從A 地欲前往 B 地，查詢到該時段合適的客運班次有 3 班、鐵路有 4 班、高鐵有 2 班，

則阿信有幾種選擇？

9 種

投擲一顆骰子兩次，則兩次點數和大於 9 的 情形共有幾種？

方法：分類討論，使用加法原理。

以數對 ( , )a b 表示兩次出現的點數 點數和大於9 可分為：

①點數和為10：有 (4,6) 、(5,5) 、(6,4) ， 共 3 種。

②點數和為11：有 (5,6)、(6,5)，共 2 種。

③點數和為12：有 (6,6) ，共 1 種。

由 加 法 原 理 知 ， 點 數 和 大 於 9 共 有 3 2 1 6   種情形。

投擲一顆骰子兩次，則兩次點數和小於或等 於6 的情形共有幾種？

以數對 ( , )a b 表示兩次出現的點數 點數和小於或等於6 可分為：

①點數和為6：有 (1,5) 、 (2,4) 、 (3,3) 、 (4,2) 、 (5,1) ，共 5 種。

②點數和為5：有 (1,4) 、 (2,3) 、 (3,2) 、 (4,1) ，共 4 種。

③點數和為4：有 (1,3) 、 (2,2) 、 (3,1) ， 共3 種。

④點數和為3：有 (1,2) 、 (2,1) ，共 2 種。

⑤點數和為2：有 (1,1) ，共 1 種。

由加法原理知，共有5 4 3 2 1 15     種 情形。

加法原理 加法原理

教師演示 3 基 礎 題 學生練習 3

教師演示 4 基 礎 題 學生練習 4

類題 4

投擲一顆骰子兩次，則兩次點數和為5 的倍數之情形共有幾種？

7 種

由A 地到 B 地的街道為棋盤型街道，如圖。今 由A 地以走捷徑方式前往 B 地，共有幾種走 法？

由 A 往 B 走捷徑，則只准向右→、向上↑

行走，從A 往棋盤格中每個交點，其捷徑 走法必為從左向右、從下向上相加，可由 加法原理得

故由A 到 B 以走捷徑方式共有 35 種走法。

在棋盤型街道中，如圖，從A 到 B 以捷徑方 式行走，且陰影區域不得通行，請問共有幾 種走法？

捷徑走法為從左向右，從上向下相加，由 加法原理：

共有38 種走法。

加法原理的應用

教師演示 5 進 階 題 學生練習 5

類題 5

如圖，從A 到 B 走最短路徑，共有幾種走法？

38 種

重點三 計數原理(三)

乘法原理：

完成一件事有_n個步驟，第一步驟有_m1種不同方法，第二步驟有_m2種不同方法，…，第_n 步驟有_mn種不同方法，且這_n個步驟互不影響，則完成此件事共有_{m1m2  mn}種不同 方法。

麥當當有10 種主餐選擇，並可任意搭配 4 種 副餐模式升級套餐，則麥當當共有幾種套餐組 合？

由乘法原理知，共有10 4 40  種套餐組 合。

小玲有 3 件不同的上衣，可搭配 4 件不同的 裙子，再挑選 2 雙不同的鞋子。她外出時選 擇上衣 1 件、裙子 1 件、鞋子 1 雙，則共有 幾種搭配方式？

由乘法原理知，共有3 4 2 24   種搭配 方式。

類題 6

某人從A 地經 B 地轉機到 C 地，在預定時間內， A 地到 B 地有 3 個航班可選擇， B 地到 C 地 有5 個航班可選擇，則他共有幾種航班規劃？

15 種 乘法原理

教師演示 6 基 礎 題 學生練習 6

學生練習 7

將(a b c m n x y z  )(  )(   展開，則 )

(1)相異項共有幾項？ (2)含有 y 的項共有幾項？

(1)

第一個步驟：由a、b、_c中選一個填入第一個框中，共有3 種方法。

第二個步驟：由m、_n中選一個填入第二個框中，共有2 種方法。

第三個步驟：由x、y、_z中選一個填入第三個框中，共有3 種方法。

由乘法原理知，共有3 2 3 18   項相異項。

(2)

含有y的項可以想成：

第一個步驟：填入第一個框中有a、b、_c共3 種方法。

第二個步驟：填入第二個框中有m、_n共2 種方法。

第三個步驟：填入第三個框中只有1 種方法（只能填y）。 共有3 2 1 6   項。

將(a b c x y z  )(   展開，試問共有幾個相異項？ ) 由乘法原理知，共有3 3 9  項。

類題 7

將(a b c x y z  )(   展開，則展開式中不含有 z 的項共有幾項？ )

6 項 乘法原理

教師演示 7 基 礎 題

從家裡到學校共有 4 條不同路線，若當天上 下學選擇不同路線，共有幾種走法？

由乘法原理知，共有4 3 12  種走法。

高鐵共有10 個車站，則共有幾種起訖站的不 同車票？

由乘法原理知，共有10 9 90  種。

類題 8

甲、乙、丙3 人在編號 1∼5 的賽道上賽跑，若 3 人可自行挑選賽道，則共有幾種起跑位置安 排？

60 種

600 的正因數個數有多少個？

方法：對數字作質因數分解。

3 2

600 2   ， 3 5

則600 的正因數必型如2^3^  ， 5^ 其中 0、1、2 或 3，

  或 1， 0   、1 或 2， 0

故 有 4 種選擇，^有 2 種選擇， ^有 3 種選擇。

由乘法原理知，600 共有4 2 3 24   個正 因數。

180 的正因數個數有多少個？

2 2

180 2   ， 3 5

則180 的正因數必型如2^3^ ， 5^ 其中 ₀、1 或 2，

  、1 或 2， 0   或 1， 0

故180 共有3 3 2 18   個正因數。

乘法原理的應用 乘法原理

教師演示 8 基 礎 題 學生練習 8

教師演示 9 進 階 題 學生練習 9

類題 9

540 的正因數中，6 的倍數有多少個？

12 個

用5 種不同顏色塗右圖各區域，顏 色可重複使用，且每區一色但相鄰 區域不同色，則共有幾種塗法？

決定塗色順序為A→_B→_C→_D。 可知_A有5 種顏色可選；當A選定後，_B 有4 種顏色可選；B選定後，_C有4 種顏 色可選，但_C可能與_A同色（1 種）也可 能與_A不同色（3 種），此兩種情形會使_D 的塗法數不同，故需分類計數。

①若_A、_C同色，則順序_A→_B→_C→_D 的塗法有5 4 1 4 80    種。

②若_A、_C異色，則順序_A→_B→_C→_D 的塗法有5 4 3 3 180    種。

故共有_{80 180 260 } 種塗法。

用5 種不同顏色，顏色 可 重 複 使 用 塗 右 圖 各 區域，每區一色且相鄰 區域不同色，則共有幾 種塗法？

決定塗色順序為A→_B→_C→_D→_E。

①若_A、_B同色，

則有5 1 4 3 3 180     種。

②若_A、_B異色，

則有5 4 3 2 2 240     種。

故共有180 240 420  種塗法。

類題 10

用4 種不同顏色塗右圖各區域，顏色可重複，每區一色且相鄰區域不同 色，則共有幾種塗法？

72 種 著色問題；加法原理與乘法原理的混合應用

教師演示 10 基 礎 題 學生練習 10

A、B 兩地間有 4 條不同的雙向道路，今甲、

乙兩人從A 地到 B 地再回 A 地，求下列各小 題的方法數：

(1)甲、乙分別從不同路到 B 地，再分別從不 同路回A 地。

(2)甲、乙分別從不同路到 B 地，再分別從不 同路回A 地，且自己不走同一條路來回。

(1)步驟一：甲、乙到B 地有4 3 12  種方法 步驟二：甲、乙回 A 地有4 3 12  種方法 故有12 12 144  種方法。

(2)①若乙回 A 地與甲去 B 地同一條路：

有4 3 1 3 36    種。

②若乙回 A 地與甲去 B 地不同一條路：

有4 3 2 2 48    種。

共有36 48 84  種方法。

＜另解＞

可視為用 4 種不同顏色（顏色可重複）

塗下圖，相鄰區域 不同色的方法數：

①若(一)、(四)同色：

有4 1 3 3 36    種。

②若(一)、(四)異色：

有4 3 2 2 48    種。

共有_{36 48 84 } 種方法。

一個家庭中有 5 人，每人都會煮飯和洗碗，

且約定當餐煮飯的人不洗碗，中餐和晚餐不 由同一人煮飯，中餐和晚餐的洗碗工作也不 由同一人負責，則星期日中餐和晚餐煮飯洗 碗的分配法有幾種？

可視為用 5 種不同顏色（顏色可重複）塗 下圖，且相鄰區域不同色的方法數：

由教師演示10：

有260 種方法。

類題 11

小明星期六、日兩天的中餐和晚餐都到同一間餐廳用餐，每次都點①、②、③號餐其中之一，

若當天中餐和晚餐不吃同一種，兩天的中餐不吃同一種，兩天的晚餐也不吃同一種。則共有 幾種可能的點餐情形？

18 種 加法原理與乘法原理的混合應用

教師演示 11 進 階 題 學生練習 11

重點四 計數原理(四)

排容原理（取捨原理）： A、_B為兩種情形，

( )

n A 、_{n B( )}為滿足A、B兩種情形的方法數，

則n A( 或B)n A( )n B( )n A( 且B)。

A、_B、_C為三種情形

則n A( 或B或C)n A( )n B( )n C( )n A( 且B)n B( 且C) n A( 且C)n A( 且B且C)。

正整數 1 到 300 中，是 2 的倍數或 5 的倍數 有多少個？

正整數 1 至 300 中，2 的倍數有 150 個；

5 的倍數有 60 個；其中是 2 的倍數且是 5 的倍數者，即為10 的倍數有 30 個。

故由排容原理，得 2 或 5 的倍數個數

 (2 的倍數個數) (5 的倍數個數)  (10 的倍數個數)

150 60 30 180

    個。

1 到 120 的正整數中，是 4 或 6 的倍數有多少 個？

4 或 6 的倍數個數

 (4 的倍數個數) (6 的倍數個數)  (12 的倍數個數)

30 20 10 40

    個。

類題 12

1 到 500 的正整數中，是 2 或 3 的倍數有多少個？

333 個 排容原理

教師演示 12 基 礎 題 學生練習 12

全班 40 名同學中，喜歡華語音樂有 26 人，

喜歡西洋音樂有 27 人，兩者都喜歡的有 15 人，試問兩者都不喜歡的有多少人？

方法：利用排容原理及文氏圖。

用 A 表示喜歡華語音樂的人；

用B 表示喜歡西洋音樂的人，

則至少喜歡一種的同學為

( ) ( ) ( ) ( )

n A或B n A n B n A且B 26 27 15 38   人，

故兩者都不喜歡有_{40 38 2 } 人。

已知某班同學每人都有手機或平板，其中有 20 人有手機、17 人有平板，手機和平板都有 的有5 人，試問該班有多少名同學？

有手機或平板的人數

 (有手機的人數) (有平板的人數)  (有手機且有平板的人數)

20 17 5 32

    人，

故全班共有32 人。

類題 13

某班有40 名學生，第一次段考成績中，國文及格的有 30 人、英文及格的有 29 人、數學及格 的有31 人、國文及英文都及格的有 24 人、英文及數學都及格的有 23 人、國文及數學都及格 的有25 人，三科都及格的有 20 人，請問至少一個科目及格的同學有多少人？

38 人

重點五 n 階乘

n階乘：

1. n!的定義：_n表自然數，_{n! n (n 1) (n    2)  3 2 1}，讀作_n階乘。

2. n!的計算性質：(1) ! ( 1)! ^{( 1)!}

1 n n n n

n

    

 。 (2)規定0! 1 。

排容原理

教師演示 13 基 礎 題 學生練習 13

求4! 2! 0!  之值。

4! 2! 0! 4 3 2 1 2 1 1         24 2 1 

27。

求5! 3! 1!  之值。

5! 3! 1! 120 6 1     127 。

類題 14

求7! 6! 之值。

4320

求下列各小題中的未知數，且未知數皆為正 整數：

(1)4! 5! 6!   m 4!。 (2)10 9 8 ^!

! x

   y 。

(1) 4! 5! 6! 4! 5 4! 6 5 4!          (1 5 30) 4! 36 4!   ， 得m36。

(2) 10 9 8 7 6 1 10!

10 9 8

7 6 1 7!

     

   

  



 ，

得x10、y 。 7

求下列各小題中的未知數：

(1)7! 6! 5!   m 5!。 (2)20 19 18 17 ^!

! x

    y 。

(1) 7! 6! 5! 7 6 5! 6 5! 5!       

(42 6 1) 5! 37 5!      ， 故m37。

(2) 20!

20 19 18 17

   16!， 故x20、y16。

類題 15

求下列各小題中的未知數： (1)90 8! k! (2)17!

( 1) ( ) 10!     n n  n m 。

(1)k 10 (2)n17、_m6

!

n 的計算

!

n 的計算

教師演示 14 基 礎 題 學生練習 14

教師演示 15 基 礎 題 學生練習 15

重點六 完全相異物的直線排列 1. 排列：

(1)「排列」即是從n件物品中，任意選取_m件，按照次序排定；每一種不同的次序，稱 為一個排列法。

(2)不同的排列法可以組成一個排列總數，簡稱為排列數。

2. 完全相異物的直線排列

以符號_Pⁿ_m表示由n個完全相異物中，任取m個（_m0，m n ）的排列總數。

(1) ( 1) ( 2) [ ( 1)] ^! ( )!

n m

P n n n n m n

        n m

  。

(2)當m n 時，即_Pⁿ_n表_n個相異物全取的排列總數。

( 1) ( 2) [ ( 1)] ( 1)( 2) 1 !

n

Pn    n n n  n n n n n  n 。

計算下列各小題的值：

(1)P⁵₃ (2)P¹⁰₂ (3)P⁴₄。 (1)P⁵₃   5 4 3 60。

(2)P¹⁰₂ 10 9 90  。

(3)P⁴₄    4 3 2 1 4! 24 。

計算下列各小題的值：

(1)P¹¹₃ (2)P¹⁵₂ (3)P⁵₄。 (1)P¹¹₃   11 10 9 990。

(2)P¹⁵₂15 14 210  。 (3)P⁵₄    5 4 3 2 120。

類題 16

計算下列各小題的值：(1)P⁶₃ (2)P⁷₆ (3)P⁷₇。

(1)120 (2)5040 (3)5040

nm

P 的計算

教師演示 16 基 礎 題 學生練習 16

設_P4^n1_{ 18 P2}ⁿ，求自然數_n。

方法：_Pⁿ_m        _{n n( 1) (n 2)}  _{(n m 1)}。 由P₄^n1知，_{n 1 4}n3，

1

4 18 2

n n

P ^ P

(n         1) n n( 1) (n 2) 18 n n( 1)

(n1)(n 2) 18

（因n3，故_n0；_{n 1 0}）

n²  n 20 0

(n5)(n 4) 0

n5或_4（不合）

得_n5。

設_P4ⁿ_{ 20 P2}ⁿ，求正整數_n。 由P₄ⁿ，得_n4，

4 20 2

n n

P  P

n n         ( 1) (n 2) (n 3) 20 n n( 1)

(n2)(n 3) 20

（因n4，故_n0；_{n 1 0}）

n²  5n 14 0

(n7)(n 2) 0

n7或_2（不合）

得_n7。

類題 17

設_5P3^n2_{ 14 P3}ⁿ，求自然數_n。

6

求自然數_n，使得_P⁹_{n 7 P}⁹_n1。

方法： ^!

( )!

n m

P n

 n m

 。

9 9

7 1

n n

P  P _

 ^9! 7 ^9!

(9 n)! [9 (n 1)]!

  

 ^9! 7 ^9!

(9 n)! (10 n)!

 

(10n)! 7 (9  n)!

(10  n) (9 n)! 7 (9  n)!

10 n 7n3。

設_P¹⁰_{n2 30 P}¹⁰_n ，求正整數_n。 由P¹⁰_n2，得_{10 n 2}n8，

10 10

2 30

n n

P _ P

 ^10! 30 ^10!

[10 (n 2)]! (10 n)!

  

 (10n)! 30 (8  n)!

(10n)(9n)(8n)! 30 (8  n)!

(10n)(9 n) 30

n²19n60 0

(n4)(n15) 0

n4或15（不合），故得n4。

nm

P 的計算

nm

P 的計算

教師演示 17 進 階 題 學生練習 17

教師演示 18 進 階 題 學生練習 18

類題 18

若_P⁸_n132P⁷_n1，求正整數_n。

4

(1)10 名同學排成一列，共有幾種排法？

(2)從 10 名同學中選 3 人排成一列，共有幾種 排法？

(1)有P¹⁰₁₀10! 3628800 種排法。

(2)有P¹⁰₃   10 9 8 720種排法。

(1)將A、_B、_C、_D、_E、_F等6 個字母任意 排成一列，共有幾種排法？

(2)從A、_B、_C、_D、_E、_F等6 個字母中，

取相異3 個字母排成一列，有幾種排法？

(1)有P⁶₆ 6! 720種排法。

(2)有P⁶₃   6 5 4 120種排法。

類題 19

(1)將甲、乙、丙、丁、戊 5 人，排成 的形式，共有幾種排法？

(2)從甲、乙、丙、丁、戊 5 人中，選出 3 人排成 的形式，共有幾種排法？

(1)120 種 (2)60 種

從甲、乙、丙、丁、戊 5 人中，選 3 人坐在 編號_A、_B、_C的3 張椅子上，共有幾種方法？

可視為從甲∼戊中，選 3 人在 A 、 B 、C 前作直線排列，共有_P⁵_{3   5 4 3 60}種方 法。

甲、乙、丙 3 人入坐 5 張不同的椅子，共有 幾種坐法？

可視為從 5 張不同椅子中選 3 張在甲、

乙、丙前作直線排列，共有_P⁵_{3   5 4 3 60} 種方法。

完全相異物的直線排列 完全相異物的直線排列

教師演示 19 基 礎 題 學生練習 19

教師演示 20 基 礎 題 學生練習 20

類題 20

歌唱比賽決賽共有6 名選手，則公布第 1 名、第 2 名、第 3 名的結果共有幾種可能？

120 種

甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排成一列，求 下列各排法的方法數：

(1)任意排。

(2)甲、乙、丙 3 人相鄰。

(3)甲、乙、丙 3 人完全不相鄰。

(1)有P⁶₆ 6! 720種排法。

(2)步驟一：將甲、乙、丙視為一單位和丁、

戊、己排列，有 4!種排法。

步驟二：甲、乙、丙三人可互換位置，

有 3!種排法。

共有4 3！ ！   24 6 144種排法。

(3)步驟一：先排丁、戊、己，有 3!種 排法。

步驟二：將甲、乙、丙排入步驟一產生 的 4 個空位，

例：

有P⁴₃種排法。

共有3！   P⁴₃ 6 24 144種排法。

甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列，試求下 列各小題的排法數。

(1)任意排 (2)甲、乙相鄰 (3)甲、乙不相鄰。

(1)共有P⁵₅ 5! 120種排法。

(2)步驟一：將甲、乙視為一單位和丙、丁、

戊排列，有 4 ! 種排法。

步驟二：甲、乙 2 人可互換位置，有 2 ! 種排法。

例：

共有4! 2! 24 2 48    種排法。

(3)步驟一：先排甲、乙之外的丙、丁、戊，

有 3 ! 種排法。

步驟二：將甲、乙排入步驟一產生的四 個空隙，有P⁴₂種排法。

例：

共有3!   P⁴₂ 6 12 72種排法。

類題 21

將甲、乙、丙、丁、戊、己6 人排成一列，其中甲、乙相鄰；丙、丁不相鄰，共有幾種排法？

144 種 完全相異物的直線排列

教師演示 21 進 階 題 學生練習 21

甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列，試求下 列各小題的排法數：

(1)任意排 (2)甲排首位 (3)甲不排首位 (4)甲不排首位且乙不排末位。

方法：反面解法：所求方法數_全部方法數_ 不合方法數。

(1)共有P⁵₅ 5! 120種排法。

(2)步驟一：甲排首位，有 1 種排法。

步驟二：剩下的四人任意排第二位至末 位。

共有1 4! 24  種排法。

(3)〈解一〉

步驟一：甲排第二位至末位，有4 種選 擇。

步驟二：剩下的四人任意排剩下的四個 位置。

共有4 4! 4 24 96    種。

〈解二〉

將全部排法數減去甲排首位的排法數，

即為甲不排首位的排法數。

由(1)(2)小題，得120 24 96  種排法。

(4)全部排法(甲排首位或乙排末位) 全部排法_(甲排首位乙排末位_ 甲排首位且乙排末位)

 5! (4! 4! 3!) 5! 2 4! 3!      120 2 24 6 78    種排法。

將1、2、3、4 四個相異數字排成四位數，求 下列各小題的方法數：

(1)千位數為 1 (2)千位數不為 1 (3)千位數不為 1 且百位數不為 2。

(1)步驟一：千位數排 1，有 1 種排法。

步驟二：2、3、4 任意排百、十、

個位數，有 3! 種排法。

故有1 3! 6  種排法。

(2)所求排法全部排法_(千位數為 1)    4! 1 3! 24 6 18  種排法。

(3)所求排法全部排法_(千位數為 1 或 百位數為 2)

全部排法_(千位數為 1百位數為2 千位數為 1 且百位數為 2)

 4! (3! 3! 2!) 4! 2 3! 2!      24 2 6 2 14    種排法。

類題 22

甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列，試求下列各小題的排法數：

(1)甲排首位 (2)甲排首位且乙排末位 (3)甲不排首位且乙不排末位。

(1)120 種 (2)24 種 (3)504 種 完全相異物的直線排列

教師演示 22 進 階 題 學生練習 22

從 0、1、2、3、4 中任取相異 3 數排成三位 數，求下列各小題的方法數：

(1)可排出幾個三位數？

(2)其中有幾個偶數？

(3)4 的倍數有幾個？

(4)小於 321 的數有幾個？

(1) 有4    P⁴₂ 4 (4 3) 48個。

(2)①個位數為 0

有P⁴₂  4 3 12個。

②個位數為2 或 4

有2 3 3 18   個。

故共有12 18 30  個。

(3)4 的倍數→末兩位為 4 的倍數 ①

有3 3 9  個。

②

有3 2 6  個。

故共有9 6 15  個。

(4)① ^百位數為1 或 2

有2   P⁴₂ 2 12 24個。

② ^百位數為3；十位數為 0 或 1

有1 2     P₁³ 1 2 3 6個。

③ 百位數為3；十位數為 2

有1 個。

故共有24 6 1 31   個。

從0、1、2、3、4、5 中任取相異 4 個，排成 四位數，求下列各小題的方法數：

(1)共有幾個四位數？

(2)其中 5 的倍數有幾個？

(3)其中大於 2100 的數有幾個？

(1)

有5     P⁵₃ 5 (5 4 3) 300個。

(2)① ^個位數為0

有P⁵₃   5 4 3 60個。

② 個位數為5

有4    P⁴₂ 4 4 3 48個。

故共有60 48 108  個。

(3)① ^千位數為2

有4    P⁴₂ 4 (4 3) 48個。

② ^千位數為3、4 或 5

有3     P⁵₃ 3 (5 4 3) 180個。

故共有48 180 228  個。

完全相異物的直線排列；數字問題

教師演示 23 進 階 題 學生練習 23

類題 23

從6、7、8、9、0 中任取相異 4 數排成四位數，試求下列各小題的方法數：

(1)共有幾個數？ (2)其中有幾個奇數？ (3)其中有幾個偶數？

(1)96 個 (2)36 個 (3)60 個

重點七 不完全相異物的排列公式（有相同物的排列公式）

不完全相異物的排列公式（有相同物的排列公式）

設在_n個物件中，共有_k類，其中第一類有_m1個相同，第二類有_m2個相同，…，第_k類有_mk 個相同，且_{m m1 2 } _{mk n}，則將此_n個物件排成一列，其方法數為

1 2

!

! ! _k! n

m m m 。

將英文字母aaabbcccc 排成一列，共有幾種排 法？

a 有 3 個、b 有 2 個、c 有 4 個，

共有 ^9! ₁₂₆₀ 3! 2! 4!

  種排法。

將8 位數 22557777 中各位數字任意排列，共 可得幾個不同的8 位數？

共有 ^8! 420 2! 2! 4!

  個。

類題 24

將3 顆相同的紅球，2 顆相同的白球排成一列，共有幾種排法？

10 種 不完全相異物的直線排列

教師演示 24 基 礎 題 學生練習 24

將2 隻相同的藍筆、3 隻相同的紅筆、4 隻相 同的黑筆分給 9 位小朋友，每人各得 1 隻，

共有幾種分法？

方法：視為相同的筆在小朋友前排列。

有 ^9! 1260 2! 3! 4!

  種分法。

將相同的3 瓶可樂、相同的 2 瓶沙士、1 瓶果 汁分給 6 名小朋友，每人各得 1 瓶，共有幾 種分法？

有 ^6! 60 3! 2! 1!

  種分法。

類題 25

將2 顆相同的蘋果、3 顆相同的梨子分給 7 個小朋友，每人最多得 1 顆，則共有幾種方法？

210 種

用 0、0、1、1、1、2、2 排成 7 位數，共有 幾種排法？

有 ^{5 6!} ₁₅₀ 2! 3! 2!

 

  種。

將210210 各數字任意重排成 6 位數，則共有 幾種排法（含原數）？

首位不可排 0，有 4 個選擇，

共有 ^{4 5!} ₆₀ 2! 2! 2!

 

  種排法。

類題 26

用0、0、1、1、2、2、3 排成 7 位數，共有幾個不同的數？

450 個 不完全相異物的直線排列

不完全相異物的直線排列

教師演示 25 基 礎 題 學生練習 25

教師演示 26 進 階 題 學生練習 26

將「庭院深深深幾許」7 個字排列，求下列各 小題的排法數：

(1)任意排。

(2)3 個「深」字全相鄰。

(3)3 個「深」字全分開。

(4)3 個「深」字恰 2 個相鄰。

(1)有^7! 840

3! 種排法。

(2)深深深庭院幾許，共 5 個單元排列，

有_5! ^3! ₁₂₀

 3! 種排法。

3 個「深」互換位置：3!；同物排列除以 3!

(3)先排「庭、院、幾、許」；3 個「深」

排空隙，

有

5

4! 3 24 10 240 3!

P    種排法。

(4) 3 個「深」分成深深、深：有 1 種分法 先排「庭、院、幾、許」；再將「深深、

深」排空隙，

有4!   P⁵₂ 24 20 480種排法。

將「一閃一閃亮晶晶」7 個字排列，求下列各 小題的排法數：

(1)「晶」排第一個。

(2)「閃閃」相鄰。

(3)「一一」分開。

(1)將 1 個「晶」排第一個，其餘任意排，

有1 ^6! 180 2! 2!

 

 種排法。

(2)閃閃和「一、一、亮、晶、晶」排列，

有 ^6! 180 2! 2!

 種排法。

(3)先排「閃、閃、亮、晶、晶」，再將「一、

一」排空隙，

有

6

5! 2

30 15 450 2! 2! 2!

P   

 種排法。

類題 27

將2 面相同的紅旗、3 面相同的黃旗、3 面相同的白旗，全掛在旗桿上形成旗號，求下列各小 題的掛法數：(1)第 1 面是黃旗 (2)紅旗相鄰 (3)白旗全分開。

(1)210 種 (2)140 種 (3)200 種 不完全相異物的直線排列

教師演示 27 進 階 題 學生練習 27

將甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人排成一 列，求下列各小題的排法數：

(1)甲在乙的左側（不一定相鄰）。

(2)甲在乙、丙的左側（不一定相鄰）。

(1)將甲、乙視為□□，將□□和丙、丁、

戊、己、庚排列，再把甲、乙依順序填 入□中。

例：

有^7! 1 1 2520

2!   種排法。

(2)將甲、乙、丙視為□□□和其他 4 人排 列，再依題意在□中填入甲、乙、丙。

例：

有^7! 1 2! 1680

3!   種排法。

將A、B、C、D、E、F 排成一列，求下列各 小題的排法數：

(1) A 在 B 的左側、B 在 C 的左側。

(2) A、B 在 C、D 左側。

(1)將 A、B、C 視為□□□和 D、E、F 排 列，再將A、B、C 依序填入□中。

例：

有^6! 1 120

3!  種排法

(2)將 A、B、C、D 視為□□□□和 E、F 排列，再將A、B 填入前 2 個□；C、D 填入後2 個□。

例：

有^6! 2! 2! 120

4!   種排法。

類題 28

將spiderman 共 9 個字母任意排列，其中母音 i、e、a 順序不變，子音 s、p、d、r、m、n 順 序不變，有幾種排法？

84 種 不完全相異物的直線排列；順序問題

教師演示 28 進 階 題 學生練習 28

一棋盤型街道如圖，規定只能往上或往右 走，則下列各走法的捷徑數各有多少？

(1) A 到 B。

(2) A 經過 C 到 B。

(3) A 到 B 且不經過 C。

(1)每個捷徑走法由 5 個「→」和 4 個「↑」

構成：共有 ^9! =126

5! 4! 條捷徑。

(2)由 A 到 C，再由 C 到 B：

共有 ^{5! 4!} 10 6 60 3! 2! 2! 2!   

  條捷徑。

(3)不經過 C 的捷徑數

全部捷徑數_經過C 的捷徑數 126 60 66  條。

如圖，由A 到 B 走捷徑，求下列小題各有幾 種走法？

(1) A 到 B。

(2) A 經過 C 到 B。

(3) A 到 B 且不經過 C。

(1)有 ^8! =70 4! 4! 種。

(2) A→C→B：

有 ^{5! 3!} 10 3 30 2! 3! 2! 1!   

  種。

(3) (A→B)(A→C→B)  70 30 40種。

類題 29

如圖，由A 到 B 走捷徑，求下列各小題的走法數：

(1) A 經過 C，再經過 D 到 B。

(2) A 到 B，不經過 C 且不經過 D。

(1)36 種 (2)32 種 不完全相異物的直線排列；捷徑問題

教師演示 29 進 階 題 學生練習 29

小信走一個6 階的樓梯，每次走 1 階或 2 階，

共有幾種走法？

設 1 階走 x 次，2 階走 y 次，

則_x2y6，非負整數解情形如下表 x 6 4 2 0

y 0 1 2 3

共有 ^{6! 5! 4! 3!}

6! 0! 4! 1! 2! 2! 0! 3!  

   

    1 5 6 1 13種走法。

小樺每次走2 階或 3 階，走上一個 9 階樓梯，

請問共有幾種走法？

設 2 階走 x 次，3 階走 y 次，

則_2x3y9，非負整數解情形如下表 x 0 3

y 3 1

共有 ^{3! 4!} _{1 4 5} 0! 3! 3! 1!   

  種走法。

類題 30

設信號器長鳴一次為2 秒，短鳴一次為 1 秒，間隔時間為 1 秒，則時間長度為 15 秒的信號有 幾種？

37 種

重點八 重複排列公式 重複排列公式

自_n種相異物中（每種至少有_m個），任取_m個排成一列，若可以重複選取，則其排列方法 數為_n^m。

不完全相異物的直線排列；捷徑問題

教師演示 30 進 階 題 學生練習 30

將5 封不同的信，任意投入 3 個不同的郵筒，

共有幾種投法？

^信1 信₂ 信₃ 信₄ 信₅ 選

郵筒₁、郵筒₂、郵筒₃

每封信都有3 個郵筒可選擇，

共有3 3 3 3 3 3     ⁵ 243種投法。

3 種不同的酒，倒入 4 個不同的杯子，每個杯 子中只有1 種酒，共有幾種倒法？

每個杯子都有 3 種酒可選，

共有_{3 3 3 3 3    }⁴ ₈₁種倒法。

類題 31

4 個人分別上網在相同的 5 間飯店中訂房（空房數皆足夠），則共有幾種預訂情形？（僅考慮 入住飯店，不考慮房型）。

625 種 重複排列

教師演示 31 基 礎 題 學生練習 31

用0、1、2、3、4、5 六種數字排成三位數，

每種數字可重複選取，求下列各小題：

(1)共有幾個三位數？

(2)共有幾個偶數？

(3)承(1)，所有三位數的總和？

(1)

百位數不可排0，

共有5 6 6 180   個。

(2)

百位數不可排0；個位數排 0、2 或 4 共有5 6 3 90   個。

(3)將數字百、十、個位拆開，例如：

234 200 30 4   ；105 100 00 5   則180 個數中，100、200、300、400、

500 各有 36 個；00、10、20、30、40、50 各有30 個；0、1、2、3、4、5 各有 30 個，

總和(100 200   500) 36 (00 10 20    50) 30      (0 1 2  5) 30 58950。

用 0、1、2、3、4 五種數排成四位數，數字 可重複，求：

(1)共有幾個四位數？

(2)其中共有幾個奇數？

(3)其中共有幾個為 4 的倍數？

(1)

千位數不可排 0，

共有4 5 5 5 500    個。

(2)

千位數不可排 0，個位數排 1、3，

共有4 5 5 2 200    個。

(3)

千位數不可排 0；末兩位為 4 的倍數 00、04、12、20、24、32、40、44 共有4 5 8 160   個。

類題 32

用1、2、3、4、5 五種數排成三位數，數字可重複，求：

(1)共有幾個三位數 (2)承(1)，其總和為何？

(1)125 個 (2)41625 重複排列；數字問題

教師演示 32 基 礎 題 學生練習 32

三輛不同的計程車，每輛車可合法搭載4 人，

求：

(1) 4 人搭乘時，分配車輛的方法數。

(2) 5 人搭乘時，分配車輛的方法數。

(1)每個人有 3 個選擇，有3⁴81種方法。

(2)任意分有3⁵243種方法，

其中不合法的情形為 5 人同一車，有 3 種，

故有3 3 240⁵  種方法。

公園划船區有 4 艘小船，每艘小船可安全乘 載3 人，求：

(1) 3 人乘載的分配方法數。

(2) 4 人乘載的分配方法數。

(1)每個人有 4 個選擇，有4³64種。

(2)任意分有4⁴種方法，

其中不安全的方法為4 人同船，有 4 種，

故有4⁴ 4 252種。

類題 33

將不同的文具分給甲、乙二人，每人最多可得4 件，求：

(1) 3 件文具的分法 (2) 4 件文具的分法 (3) 5 件文具的分法。

(1)8 種 (2)16 種 (3)30 種

將5 件不同的禮物，任意全分給甲、乙、丙、

丁4 名學生，求下列各小題的分法數：

(1)任意分的分法數 (2)甲恰得 1 件的分法數 (3)甲至少得 1 件的分法數。

(1)每件禮物有 4 個選擇，

有4⁵1024種分法。

(2)甲先挑 1 件，再將剩下 4 件禮物全分給 乙、丙、丁，有5 3 ⁴ 405種分法。

(3)甲至少得 1 件(全部分法)(甲得 0 件)

^{全分給乙、丙、丁}   4⁵ 3 1024 243 781⁵   種分法。

將 4 件不同的玩具分給甲、乙、丙 3 人，每 人可兼得或不得，求：

(1)任意分的分法數。

(2)丙恰得 1 件的分法數。

(3)丙至少得 1 件的分法數。

(1)每件玩具有 3 個選擇，

有3⁴81種分法。

(2)丙先挑 1 件，再將剩下 3 件全分給甲、

乙，有4 2 ³ 32種分法，

(3)全部分法丙得0 件 3⁴ 2⁴ 81 16 65

   種分法。

重複排列 重複排列

教師演示 33 基 礎 題 學生練習 33

教師演示 34 基 礎 題 學生練習 34

類題 34

將4 顆不同的球，放入 A、B、C 三個不同的箱子，

(1)若 A 箱至少有 1 顆球，有幾種方法？

(2)若 A 箱至少有 2 顆球，有幾種方法？

(1)65 種 (2)33 種

自我 評量 _評量

自我

1. 設正整數a、b、c為△ABC的三邊長，已知周長a b c  15，且a b c  ，則滿足條件 的不全等三角形共有 7 個。

2. 勇者隊和火龍隊進行 7 戰 4 勝制的籃球比賽，今比賽 3 場後，勇者隊以 2 勝 1 敗領先，接 下來比賽的情形共有 10 種可能情形。

3. 小信有 2 件不同的襯衫、3 件不同的 T-shirt，今挑選上衣搭配褲子出門，有 5 種方法。

4. 小七商店有 8 種飯糰，可搭配 6 種飲料特價促銷，則共有 48 種促銷組合。

5. 如右圖，求 A 到 B 的走法數：

(1)只可走「→」、「↑」有 42 種。

(2)可走「→」、「↑」、「↓」有 120 種。

6. 設甲地到乙地共有 3 條單行道；乙地到甲地有 2 條單行道；兩地間有 4 條雙向道，則經不 同路從甲地到乙地，再回甲地有 38 種走法。

7. 將 (a b c d x y z   )(   展開，展開式中有) x或y 的項，共有 8 個。

8. (1)1800 共有 36 個正因數。

(2)承(1)，其中為 15 的倍數者，有 16 個。

9. 利用 4 種顏色塗下列圖形，其中顏色可重複使用，相鄰區域不可同色，各有幾種塗法？

(1) ：有 216 種。 (2) ：有 84 種。

10. 教室有 4 個出入口，甲、乙 2 人進出教室：

(1)甲、乙分別由不同出入口進入，又分別從不同出入口出來，有 144 種方法。

(2)甲、乙分別由不同出入口進入，又分別從不同出入口出來，且自己不從同一出入口進入，

有 84 種方法。

11. 全班 30 名同學，每人皆至少喜歡喝紅茶或綠茶其中之一，喜歡紅茶的有 17 人，喜歡綠茶 的有19 人，則兩種都喜歡有 6 人。

自我 評量

12. 求下列各小題中的n：

(1)若P ：₂ⁿ P₂^n2  ：5，則2 n 4 。 (2) 若P_n⁷ 21P⁶_n2，則_n 5 。

13. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人排成一列，求：

(1)任意排，有 5040 種排法。

(2)甲、乙、丙、丁 4 人相鄰，有 576 種排法。

(3)甲、乙 2 人不相鄰，有 3600 種排法。

(4)甲排首位，有 720 種排法。

(5)甲不排首位，有 4320 種排法。

(6)甲不排首位且乙不排末位，有 3720 種排法。

14. 將 3 顆相同的軟糖、2 根相同的棒棒糖分給小朋友，每人至多一個，

(1)分給 5 人，有 10 種分法。

(2)分給 7 人，有 210 種分法。

15. 將「好山好水好美麗」7 個字排列，求：

(1)任意排，有 840 種排法。

(2) 3 個「好」完全相鄰，有 120 種排法。

(3) 3 個「好」恰 2 個相鄰，有 480 種排法。

16. 如圖，一棋盤型道路，由 A 走捷徑到 B ，求：

(1)任意走，有 70 種走法。

(2)經過C且經過D ，有 18 種走法。

(3)不經過C且不經過D ，有 22 種走法。

17. 將「superman」8 個字母重排，其中母音「u、e、a」順序不變，有 6720 種排法。

18. 將 5 件不同的禮物全分給甲、乙、丙 3 人，每人可不得或兼得，求：

(1)任意分，有 243 種分法。

(2)甲恰得 1 件，有 80 種分法。

(3)甲至少得 1 件，有 211 種分法。

自我 評量 _評量

自我

19. 用 0、1、2、3、4 排成四位數，求：

(1)若數字不可重複，可組成 96 個不同的數。

(2)若數字可重複，可組成 500 個不同的數。

(3)若數字不可重複，可組成 30 個4 的倍數。

(4)若數字可重複，可組成 299 個大於2300 的的數。

20. 自來水公司施作更換水管工程，未來 10 天有 3 天停止供水，避免影響民眾生活，不可連續 2 天停水，則有 56 種安排法。

4-2 組合

重點一 完全相異物的組合 1. 組合：

自_n個相異物件中，任意選取_m個（_{0 m n}）不同物件形成一組，若不考慮此_m個物 件的次序，稱此過程為_n中取_m的相異物組合。所有可能的組合方法數稱為組合數，以 符號_Cⁿ_m表示。

※組合與排列的差別：組合僅考慮其選擇的方法，不計較其次序，而排列則是要考慮物 件放置的左右（或前後）次序。

2. 組合數Cⁿ_m：

自_n個相異物中，任取_m個不同物件（_{0 m n}）的組合數為

! ( 1) ( 2) ( 1)

! ( )! ! ( 1) ( 2) 2 1

n

n m

m

P n n n n n m

C m n m m m m m

       

  

       



 可得_C0ⁿ_1；_Cⁿ_n1

計算下列各小題的值：

(1)C⁶₃ (2)C¹¹₉ (3)C¹⁰⁰₀ 。 (1) ⁶₃ ^{6 5 4} 20

3 2 1 C    

  。

(2) ¹¹₉ ^11! 55 9 ! 2 !

C  

 。

(3)C¹⁰⁰₀ 1。

計算下列各小題的值：

(1)C¹⁰₄ (2)C₁₇²⁰ (3)C⁵⁰₅₀。 (1) ¹⁰₄ ^{10 9 8 7} 210

4 3 2 1 C     

   。

(2) ₁₇^{20 20 !} 1140 17 ! 3!

C  

 。

(3)C⁵⁰₅₀1。

類題 1

求下列各值：(1)C⁹₃ (2)C⁴⁹₄₈ (3)C⁷⁵₀ 。

(1)84 (2)49 (3)1

nm

C 的計算

教師演示 1 基 礎 題 學生練習 1

設_{3  C3}ⁿ _{10 C2}^n2，求正整數_n。

2

3 2

3  Cⁿ 10 C^n

3 n n ^{( 1) (}n²⁾

 ( 2)

3 2 1 10

n

   

( 3) 2 1

n



n n  ( 1) 10(n3)

n²11n 30 0

(n5)(n 6) 0

n5或6。

設_P3ⁿ_{ 14 C2}^n1，求正整數_n。

1

3 14 2

n n

P  C ^

 ( 1) ( 2) 14 ^{( 1)( 2)} 2 1 n n n n     n  



n7。

類題 2

設_Pⁿ_k132；_Cⁿ_k66，求正整數_n、_k。

2

k 、_n12

從10 名籃球隊員中挑選 5 人上場比賽，求下 列各情形的選法數：(1)任意選 (2)甲、乙 2 名後衛一定上場 (3)丙受傷無法上場。

(1)有 ¹⁰₅ ^{10 !} 252 5! 5!

C  

 種選法。

(2)相當於從剩下 8 人中選 3 人，

有 ⁸₃ ^{8 !} 56 5! 3!

C  

 種選法。

(3)相當於從其他 9 人中選 5 人，

有 ⁹₅ ^{9 !} 126 5! 4 !

C  

 種選法。

某次數學考試方式為從 12 題中選出 10 題作 答，求下列各小題的方法數：(1)任意選 (2)前 4 題必選 (3)甲生第 4 題不會，故不挑 選。

(1)有 ¹²₁₀ ^{12 !} 66 10 ! 2 !

C  

 種選法。

(2)相當於從剩下 8 題中選 6 題，

有 ⁸₆ ^{8 !} 28 6 ! 2 !

C  

 種選法。

(3)相當於從其他 11 題中選 10 題，

有 ¹¹₁₀ ^11! 11 10 ! 1!

C  

 種選法。

組合數

Cm的計算

教師演示 2 進 階 題 學生練習 2

教師演示 3 基 礎 題 學生練習 3

類題 3

從8 本不同的書，挑選 4 本借閱，求下列各情形的方法數：(1)任意選 (2)A、_B兩本必選 (3)A、_B兩本必不選。

(1) 70 (2) 15 (3) 15

從3 名男生、5 名女生的啦啦隊員中選出 4 人 參加比賽，求下列各情形的選法數：

(1)任意選 (2)恰有 2 名男生 (3)至少 2 名男 生 (4)至少一名男生。

(1) ⁸₄ ^{8 !} 70 4 ! 4 !

C  

 種選法。

(2)2 男 2 女有C³₂ C⁵₂30種選法。

(3)① 2 男 2 女有C³₂C⁵₂30種選法。

② 3 男 1 女有C³₃C₁⁵5種選法。

共有30 5 35  種選法。

(4)至少一名男生

全部方法沒有男生的方法

8 5

4 4 70 5 65 C C

     種選法。

從小組成員 7 人中選 4 人上台報告，求下列 各情形的方法數：(1)任意選 (2)甲、乙、丙 中恰有2 人 (3)甲、乙、丙中至少 2 人 (4)甲、乙、丙中至少 1 人。

(1)有C⁷₄35種選法。

(2)甲、乙、丙中選 2 人，再從其他 4 人 選2 人，有C³₂ C⁴₂  3 6 18種。

(3)①甲、乙、丙中選 2 人，從其他 4 人 選2 人： C³₂ C⁴₂18種。

②甲、乙、丙中選 3 人，從其他 4 人 選1 人： C³₃C₁⁴4種。

共有18 4 22  種。

(4)全部方法^(甲、乙、丙都不選)

7 4

4 4 35 1 34 C C

     種。

類題 4

從1 到 9 的正整數中，選取相異 4 數，求下列各情形的方法數：(1)任意選 (2)2 個奇數、2 個偶數 (3)4 數和為奇數。

(1)126 (2)60 (3)60 組合數

教師演示 4 基 礎 題 學生練習 4

從 5 雙不同的鞋子中任取 4 隻，求下列各小 題的方法數：

(1)任意取 (2)恰成 2 雙 (3)恰成 1 雙，另 2 隻不成雙。

(1)即從 10 隻鞋子中，任取 4 隻，

有C¹⁰₄ 210種。

(2)即從 5 雙中，任取 2 雙，有C⁵₂ 10種。

(3)(C₁⁵C²₂) ( C₂⁴ C₁²C₁²)

5 雙取 1 雙

該雙取 2 隻

     (5 1) (6 2 2) 120種。

從 6 組不同的對錶中任取 4 隻，求下列各小 題的方法數：

(1)任意取 (2)恰成 2 組 (3)恰成 1 組，另 2 隻不成一組。

(1)即從 12 隻錶中，任取 4 隻，

有C¹²₄ 495種。

(2)即從 6 組中，任取 2 組，有C⁶₂ 15種。

(3)(C₁⁶C²₂) ( C₂⁵ C₁²C₁² )

6 組取 1 組

該組取 2 隻

  (6 1) (10 2 2)  240種。

類題 5

承教師演示5，任取 4 隻皆不成雙有幾種方法？

80 種

平面上有相異 8 個點，其中任意三點皆不共 線，則此 8 點 (1)共可作成多少條相異的直 線？ (2)可作多少個不同的三角形？

(1)任二點可作成一直線 ⁸₂ ^{8 7} 28

C  2 1 

 。

(2)不共線的任三點可作成一個三角形 ⁸₃ ^{8 7 6} 56

3 2 1 C    

  。

平面上有相異11 個點，其中任意三點皆不共 線，則此11 點 (1)共可作成多少條相異的直 線？ (2)可作多少個不同的三角形？

(1)任二點可作成一直線 ¹¹₂ ^{11 10} 55

C  2 1 

 。

(2)不共線的任三點可作成一個三角形 ¹¹₃ ^{11 10 9} 165

3 2 1 C    

  。

組合的應用

組合的應用

教師演示 6 基 礎 題 學生練習 6

教師演示 5 進 階 題 學生練習 5

剩下5 組

取2 組 此2 組中 各取1 隻 剩下4 雙

取2 雙 此2 雙中 各取1 隻