有限相連排列

(1)

1

有限相連排列

新北市立中和高級中學張宏彬指導老師趙志益

摘要

本研究是處理關於有相連個數限制的直線、特殊環狀與環狀排列問題。首先，利用樹狀圖尋找各個文字之間的關係，再利用這些關係求得直線排列的遞迴式；接著，利用遞迴式和生成函數求出直線排列的一般式。

對於特殊環狀排列則先以直線排列的想法計算，再扣除頭尾相連的情形，得到直線排列與特殊環狀排列之間的關係式，以及特殊環狀排列的一般式。

環狀排列時則利用特殊環狀排列的結果，引入Burnside's lemma計算，得到特殊環狀排列與環狀

排列之間的關係式和一般式。

1 簡介

1.1 研究動機

我在同學帶回來的題目中看到非常有趣的一題：「對每一個正整數 n，設^

 

ⁿ ^{表所有由文字 A}

或 B 所形成的長度為 n (即 n 個文字排列)的序列，每一個序列不能有超過 3 個 A 連在一起，也不能 有超過 3 個 B 連在一起，試問^



²⁰¹⁵



除以 12 的餘數為何?」。

舉例：n  時，有5 5A,4A1B,3A2B,2A3B,1A4B,5B六種情形。其中，5A,5B不合，4A1B,1A4B,部分不合，所以

 

⁵ ²⁵⁵^A⁵^BBAAAA AAAAB BBBBAABBBB²⁶。

我們觀察發現，在此特例下排列數有以下關係式：^

 

ⁿ ^^



ⁿ^¹



^^



ⁿ^²



^^



ⁿ^³





^{n }⁴



^。

所以我們考慮更一般的情形，給定p種相異的文字A A₁, ₂,,A_p ，我們主要是研究三種不同的排列方法的排列數：^

 

ⁿ 為 n 個文字的直線排列數、f n 為 n 個文字的位置有編號的環狀排列

 

數、c n 為 n 個文字的特殊環狀排列數。而對於相連限制數又分為兩種：

 

p種文字皆最多

m

個相連、p種文字中的A 最多₁ q個相連。所以總共會有 6 種情形。

而原來的問題在以上的設定下，就是在探討當p 2、m 3且p種文字皆最多

m

個相連限制下



2015 mod 12



 的值。

1.2 名詞定義

1.2.1 文字種類以及限制推廣

(1) (p值) 將文字種類數由二種文字推向p種文字A A₁, ₂,,A_p 。 (2) (

m

值) 將相連限制數由皆最多三個相連推向皆最多

m

個相連。

(3) (q 值) 將相連限制改為只有一種文字有限制，並將相連限制數推向最多q個相連。

(4) (特殊環狀排列) 為位置有編號的環狀排列，即旋轉視為不同排列方法，也可以看成直線排列多考慮頭尾相連的情形。例如：當A₁ A且A₂ B時， AAAB 有以下四種特殊環狀排列方法。

A A

BA B

A A

A B

A

A A A

A B

A

(2)

2

1.2.2 定義符號

(1)^

 

ⁿ ^為

ⁿ

個文字的直線排列數。

(2) ^{f n 為}

  ⁿ

個文字的特殊環狀排列數。

(3)^{c n 為}

  n

個文字的環狀排列數。

(4)A 為連續 k 個以上的_i^k A 的直線連串中(由左至右)的第 k 個_i A 。例如：當_i A₁  A且A₂ B時，

ABAAAA(其中AAAA那一串的的第二個A表示為A²)，則整個直線排列為A B A A A A 。 ¹ ¹ ¹ ² ³ ⁴ (5)Ai^k

 

y 為

n

個文字排列時



^其中^y^ⁿ



^{，樹狀圖第}

^y

^層為A 的總個數。 i^k

例如：當p 2、m 2、A₁  A且A₂ B時，^A¹

 

⁴ ^{為樹狀圖第 4 層為}^A¹^{的總個數，即下圖}

中的三個A¹，也就是說^A¹

 

⁴  ，而這三種情形分別是³ AABA、ABBA及BABA。

(6)A y 為i

  n

個文字排列時



^其中^y^ⁿ



^{，樹狀圖第}

^y

^層為A 的總個數，i i

 

i^k

 

k

A y 



A y ^。

1.3 研究架構

利用生成函數

找文字間的關係導出直線排列數的遞迴式

扣除頭尾相連後新產生的不合限制情形數導出直線排列數的一般式

導出特殊環狀排列數和

直線排列數的關係式引用

導出環狀排列數和特殊環狀排列數的關係式

引用歐拉函數

簡化環狀排列數和特殊環狀排列數的關係式畫樹狀圖

(3)

3

1.4 研究目的

1.4.1 探討 p種文字皆最多

m

個相連時，^

 

ⁿ ^{的遞迴式和一般式。}

1.4.2 探討 p種文字中的一種文字A 最多₁ q個相連時，^

 

ⁿ ^{的遞迴式和一般式。}

m

個相連時， ^{f n 和}

 

^

 

ⁿ ^{的關係式。}

1.4.4 探討 p種文字中的一種文字A 最多₁ q個相連時， ^{f n 和}

 

^

 

ⁿ ^{的關係式。}

m

個相連時，^{c n 和}

 

^{f n 的關係式。}

 

1.4.6 探討 p種文字中的一種文字A 最多₁ q個相連時，^{c n 和}

 

^{f n 的關係式。}

 

2 研究過程

2.1 直線排列

在求直線排列數的遞迴式之前，先探討文字之間的關係。

定理 1. 若p種文字為A A₁, ₂,,A_p ，則

     

1 1

p p

k

i i

i i k

y A y A y

 







 

 。

證明. 任何一種符合限制的直線排列，其排列方法可以用最後一個文字為A A₁, ₂,,A_p 來做分類即

   

1 p

i i

A y y





 ，又因為 i

 

i^k

 

k

A y 



A y ^，故

^{ } ^{ }

1 p

k i

i k

A y y



 

 。



定理 2. 若A_j為p種文字的其中一種文字，且A_j沒有相連限制，則A yj

 





y¹



。

證明. 在樹狀圖第y 1層的每個文字皆有一個A_j的分枝，故A yj

 





y¹



。



定理 3. 若A_j為p種文字的其中一種文字，且A_j有相連限制，則 ¹j

  

¹



^kj



¹



k

y

A y ^  



A y ^。 證明. 在樹狀圖第y 1層的所有文字中，除了A 沒有_j A 的分枝以外，其餘的文字皆有一個¹_j A 的分¹_j 枝，則A¹j

 

y 



y ¹



A yj



¹



，又因 j

 

^kj

 

k

A y 



A y ^，故 ¹^j

^{ } ^

¹

^

^k^j

^

¹

^

k

y

A y ^  



A y ^。



定理 4. 若A 為_i p種文字的其中一種文字，則Ai^k

 

y A y ki¹



 ¹



。

證明. 因為A 為連續 k 個以上的_i^k A 連串中(由左至右)的第 k 個_i A，所以在樹狀圖第_i y k 1層的每個

1

Ai皆有一個連續k  個1 A 所組成的分枝，故_i Ai^k

 

y A y ki¹



 ¹



。



2.1.1 探討

p

種文字皆最多 m 個相連時，

^   ⁿ

^{的遞迴式和一般式}^。

定理 5. p種文字皆最多

m

個相連時，^

 

ⁿ ^{的遞迴式為}

 

     

1

1 1

n

m

k

p n m

n

p n k n m



  

 

   





 

，

。 證明. 當1 n m  時，直線排列不會受到相連限制影響，則

n

個文字皆有p種選擇，即^

 

ⁿ ^ ^pⁿ^。

當nm 時，以下提供兩種做法； 1

<法一>：由定理 1 可知

   

1 p

k i

i k

A n n



 

 ，又因為任意一種滿足條件的直線排列中的任意一條連

串皆不會有一條連串由超過

m

個文字相連而成，所以對於任意A ，其上標 k 不會超過_i^k

m

，即

   

1 1

p m

k i

i k

A n n

 



 

 ，

(4)

4

接著因為定理 4 可知Ai^k

 

y  A y k¹i



  ，所以¹

      

¹

 

1 1 1 1 1 1

1

p p

p m m m

k k

i i i

i k k i k i

A n A n A n

n k

     













 



，然後因為定理 3 可知 ¹j

  

¹



^kj



¹



k

y

A y ^  



A y ^，即 ¹

^{ } ^ ^ ^ ^

1

1 1

m k

i i

k

A y y A y





^ 



^，所以

     

^'

   

^'

 

1 1 1

1 1 ' 1 1 1 1 ' 1

= =

1

p p p

m m m m

k k

i i

k i k

m p i

k i k i i k

A n k

n n k A n k n k A n k

  

 

   

 

       

 

   



 

 

     

   ，

最後又因為定理 1 可知

   

1 p

k i

i k

A n n



 

 ，即

 

^'

 

1 ' 1

p m

i k

A n k n k

 

 



 

 ，所以

   

^'

         

1 1 1 ' 1 1 1

1

p p

m m

k i

m m

k k

k i i k

p n k n k p

A n k n k

n n k

     

         

 

  

 

 

     

     。

<法二>：取k  使得前 k 個文字都相同、且第1 k  個文字和它們都不同。此時，由相連限制可知1 1 k m。除了前 k 個文字以外，剩下的 n k 個文字的直線排列數為^



^{n k}^



^{。任意一個由 n k}^{ 個}

文字組成的直線排列，假如這個直線排列是A 開頭，那前 k 個文字只能選擇除了_i A 的另外_i p 1種

文字。即

     

1

m

k

p n k

n



 





  。故

 

     

1

1 1

n

m

k

p n m

n

p n k n m



  

 

   





 



，

。例如：當p 2、m 2、A₁ A且A₂ B時，可以從下圖看出^

 

ⁿ ^^



ⁿ^¹



^^



ⁿ^²



^。

定理 6. p種文字皆最多

m

個相連時，^

 

ⁿ ^{的一般式為}

     

^ ^

1 1 1

0

1 1 1

n

m t t n m t

t

n mt n mt

n p p p

t t

 

 

 

  



      

      

   

 





。

證明. 由於已知遞迴式，所以利用生成函數，設

   

1

n n

F z n z







^ ^，則

                 

           

1 1 2 3 1

1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 2 1

1 1

m

k n n n n

k n n n n m

m n m

n n

n k n m k

p z F z n z p n z p n z p n m z

n p n k z n p n k z

   

     

 

    

 

            

 

 

   

           

   

    

   

    

   

由定理 5 可知

 

     

1

1 1

n

m

k

p n m

n p n k n m



  

 

   





 

，

，所以

       

1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

m m n m n

k n n k n n k n

k n k n k

p z F z p p p z p p p z

 



    

     

       

     





















 ^。

(5)

5

由於

 

1

n

k n

k

p p p p









  ^，所以

^ ^ ^{ }

1 1

m m

k n

p z F z pz

 

 

  

 









^，即

^{ }

 

1

1 1

m n n

m k k

p z F z

p z



 



。

令

1 m

n n

z u





 ^，則^{F z}

^{ }

^₁_

_

_p^pu_₁

_

_u^，當

^

^p^¹

^

^u ^¹^{時，此式可以改為}

       

¹

0 1

1 1

k k i i

k i

F z pu pu p u p p u

p u

 



 

    

 

 

^，

其中 ¹

  ^ ^

1

1 1

1

i m i

m i i

i n i m

n

z z

u z z z z

z







  

 

      





    ^，當 z  ，由二項式定理和負二項式定理可得 ¹

  ^ ^ ^{ } ^{ }

0 0 0 0

1 1

1 1 1 1

i i

i i t t

i i m i mt j mt i j

t j j t

i i j i i j

u z z z z z z z

t j t j

 

  

   

               

                 

       





 







^。

設mt i jn，則

 

1 0

1 1

i t

i n

n t

i n mt

u z

t n mt i



 

 

   

     

 

   



^，所以

       

   

1 1

1 1 1 0

1

1 1 0

1 1 1 1

= 1 1 1

i i i i t n

i i n t

i i t n

n i t

i n mt

F z p p u p p z

t n mt i i n mt

p p z

t n mt i

  

 

   

 



  

 

   

        

 

   

 

   

     

 

   

  



又因

   

1

n n

F z n z







^ ^，可得

^{ } ^ ^{  }

¹

1 0

1 1 1

i i t

i t

i n mt

n p p

t n mt i

 

 

 

   

      

 

   





。

由於 ¹

2

n 0 n

 

 

 

(n 為非負整數，₁ n 為正整數)，所以₂

n mt i

  0，即 i n mt，又因 t i ，所以 t n mt，得

1 t n

 m

 ，由於 t 為正整數，所以

1 t n

m

 

   ，故 i 、 t 的範圍為 t  i n mt，0

1 t n

m

 

    ，

又因為 n mt i  為非負整數，所以

n mt

 1為非負整數，因此 1 1 1 n mt n mt n mt i i

   

   

  

  

   

，所以

     

1 1

0

1 1 1

1

n

m n mt

i t

t i t

i n mt

n p p

t i

 

  

 



 

 

   

      

    



 

。

其中^{p }

 

¹ ^t為和 i 無關的部分，故

     

1 1

0

1 1 1

1

n

m n mt

t i

t i t

i n mt

n p p

t i

 

  

 



 

 

   

      

    

 

 ，以下我將利用二項

式定理以及微分來簡化



¹



¹ ¹

1

n mt i

i t

i n mt

p t i

 



 

   

    

    



^。

考慮

 

1 1 1

0 1

1 1

n mt n mt

n mt k i

k i

n mt n mt

z z z

k i

  

 

   

   

      

    

 

^{，將此式微分}

^{t }

¹^次得

 

   

^ ^

 

1 1

1 ! 1 !

1 ! 1

1 !

n m t n mt i t

i t

n mt

n mt i

z z

i n m t i t

   



         

 

     

         

 



^，

再將左右同乘以z^t之後再微分一次，得

 

   

^ ^

 

   

^ ^

 

1 1 1 1 1 1

1 ! 1 ! !

1 1

1

1 1 ! 1 ! !

n m t t n m t t n mt i

i t

n mt

n mt n mt i

z z t z z z

i

n m t n m t i t

       



            

   

       

               

   



^，

(6)

6

左右同除以

t

!，且令z p ，則 1

 ¹ ¹



¹



¹ ¹



¹



¹ ¹



¹



¹

1 1

t n mt i

n m t

i t

n mt n mt i n mt

p p p p p

t t t i

  

  



             

       



      ^，

整理得



¹



¹ ^ ¹^ ¹ ¹



¹



¹ ¹

1

t n m t n mt i

i t

n mt n mt i n mt

p p p p

t t t i

     



           

    



     ^，

故

     

^ ^

1 1 1

0

1 1 1

n

m t t n m t

t

n mt n mt

n p p p

t t

 

 

 

  



      

      

   

 





。



2.1.2 探討 p 種文字中的一種文字

A

₁最多 q 個相連時，

^   ⁿ

^{的遞迴式和一般式。}

定理 7. p 種文字中的一種文字A 最多 q 個相連時，₁ ^

 

ⁿ ^{的遞迴式為}

 

     

1

-1 1

1 2

n n

q

k

p q n

p n q

n

p n k n q





 

  

 

    







，

。

證明. 當1 n q  時，直線排列不會受到相連限制影響，則

n

個文字皆有 p 種選擇，即^

 

ⁿ ^ ^pⁿ^。

當

n q

 1時，扣掉q  個文字都是1 A 的情形，所以此時₁ ^

 

ⁿ ^ ^p^q^¹^¹^。

當

n q

 2時，以下提供兩種做法；

<法一>：由定理 1 可知

   

1 p

i i

A n n





 ，又因為任意一種滿足條件的直線排列中的任意一條連串皆

不會有一條A 連串由超過₁

q

個文字A 相連而成，所以對於任意₁ A₁^k，其上標

k

不會超過

q

，即

   

1 1

1 q

k k

A n A n





^{，所以直線排列數}^

^{ }

ⁿ ^{可以改寫為}

^{ }

¹

^{ } ^{ }

1 2

q p

k

i

k i

n A n A n

 









 ，

接著因為定理 4 可知A1^k

 

y  A1¹



y k 1



，所以

         

2 1 2

1 1 1

1

q p p

k

i i

k i k i

q

A n A n A n k A n

n

   













  



 ，

然後因為定理 3 可知 ¹

     

1

1 1 1 1

q k k

A y y A y





^ 



^，即

^{ }

2 1

1 ( 1)

p i i

A y A y





 ^，所以

 

¹

     

2 2

1 1 2 0

1

2

1 ( ) ( )

q p q p p q p

i i i i

i i

k k i k i

A n k A n A

n n k A n A n k

 

    





  







 









 ，

再來因為定理 2 可知Ai

 

y  



y ¹



⁽i²^{, 3,}^,p⁾，所以

         

1 1

0 2 0 2

( ) ( 1) 1 1

p q p q q

i

k k

k i k i

q

A n k n k p n k p k

n n

 

 

   





 



  



   





    。

<法二>：取

k 

1使得前

k 

1個文字都為A、且第₁

k

個文字不是A。此時，由相連限制可知₁ 1  

k q

1。除了前

k

個文字以外，剩下的

n k

 個文字的直線排列數為^



^{n k}^



^{、且因為前}

^{k }

¹^{個文字都為}A ，1

所以第

k

個文字有p  種選擇。即1

     

1

q

k

n p n k





 





  。故

 

     

1

-1 1

1 2

n n

q

k

p q n

p n q

n

p n k n q





 

  

 

    









，

。

(7)

7

例如：當p  、2 q  、2 A₁ A且A₂ B時，可以從下圖看出^

 

ⁿ ^^



ⁿ^¹



^^



ⁿ^²



^^



ⁿ^³



^。

定理 8. p 種文字中的一種文字A 最多 q 個相連時，₁ ^

 

ⁿ ^{的一般式為}

     

^ ^

   

1 2

0

1 1 1

1 1

n q

t t n q t

t

n q t n q t

n p p p

t t

  

  

 

  



        

      

   

 





。

證明. 由於已知遞迴式，所以利用生成函數，設

   

1

n n

F z n z







^ ^，則

               

1

1 1 2 3 2

1 1 1 1 2 1 1

q

k n n n n

k n n n n q

p z F z n z p n z n z p n m z

    

     

 

            

 









^



^



^ ^



^

           

1 1 1

1 1 2 1

1 1

q n q

n n

n k n q k

n p n k z n p n k z

   

    

 

           

   



^



^



^



^ ^，

由定理 7 可知

 

     

1

-1 1

1 2

n n

q

k

p q n

p n q

n

p n k n q





 

  

 

    







，

，所以

       

 

1 1

1 1 1

1 1 1 1

1 1

1

1 1

1 1 1 1 1

1

q q n q

k n n k n q q k q

k n k k

q n

n k n q

n k

p z F z p p p z p p p z

p p p z z

 

    

   

 



 

     

        

     

 

   

 

     

 

   

 

^，

由於

 

1

n

k n

k

p p p p









  ^，所以

^ ^ ^{ }

+1 1

1

1 1

q q

k n q

k n

p y F z pz z



 

 

   

 









^，即

^{ }

 

1

1 1

1

1 1

q

k q

k

q k k

p z z F z

p z













 



，

令

1

1 q

k k

z u







 ^，則

^{ } _ _

1

1 1

pu zq

F z p u

 

   ，當



^p^¹



^u ^¹^{時，此式可以改為}

   

¹



¹

 ^ ^ ^ ^

¹ ¹

^ ^

0 1 1

1 1 1 1

1 1

q

i i i

q i i q i

i i i

pu z

F z pu z p u p p u z p u

p u

   

  

  

  

          

 

 





^，

其中 ¹ ²



¹

 ^ ^

1

1 1

1

i

i q

q i i

i k i q

k

z z

u z z z z

z



  



 

  

      





    ^，當 ^{z }¹，由二項式定理和負二項式定理可得



¹

 ^ ^ ^{ }

^ ¹^

^{ }

^ ¹^

0 0 0 0

1 1

1 1 1 1

i i

i i t q t t q t i j

i i q i j

t j j t

i i j i i j

u z z z z z z z

t j t j

 

    



   

             

               

      













^，

設



^q^¹



^t^{ }ⁱ ^j^ⁿ^，則

   

 

1 0

1 1

i t

i n

n t

n q t

u i z

n q t i t



 

  

 

     

  

   

 

^，

有限相連排列