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# (1) 數列為數有次序的排列。

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(1)

### (i)

an = a1，　a2，　a3，...，. ak

### (ii)

an = a1，　a2，　a3，...

k

k

n

n a a a a

a = + + + +

=

...

3 2 1 1

1 2 3 ...

1

+ + +

=

=

a a a a

k

n

n

=

= + + + +

k =

n

kc c c

c c c

1

...

c

=

=

=

k

n n k

n

n c a

a c

1 1

c

=

=

=

±

=

± k

n n k

n n k

n

n

n b a b

a

1 1

1

n

an =a1 +(n−1)d

a

b

2 b

A= a+

n

### 項和：

a n d n a n

Sn = a + n ⋅ = + − ⋅ 2

) 1 ( 2 2

1

1

n

an =a1rn1

(2)

a

b

Gab

G2 =ab

ab

a

b

a≥0

b≥0

a b ab + ≥

2

n

1 ) 1 ( 1

) 1

( 1

1

= −

= −

r r a r

r S a

n n

n (r ≠1)

a1 (r =1)

r ≥1

=

1

1 1 n

rn

a

r <1

=

1

1 1 n

rn

a

r S a

= − 1

1

)

(

r <1

an ×am =an+n

m n m

n

a a

a

=

(an)m =anm

(a×b)n =an ×bn

n a n a

=

1

n

m

n m

a a =

n ma =nma

a0 =1 , a≠0

(3)

f(x)=ax

0<a<1⇒ f(x)為遞減函數

a>1⇒ f(x)為遞增函數

### (1)

loga(b×c)=logab+loga c

b c

c b

a a

a log log

log = −

b

n bm m a

an log

log =

### (4)

loga a=1 , loga1=0

a

b b

c c

a log

log = log 換底公式：

b a

b

a log

log = 1

f(x)=loga x

0<a<1⇒ f(x)為遞減函數

a>1⇒ f(x)為遞減函數

alogab =b

(4)

(n≥m>0)

pnm

！ ) m n (

n

Pnn =n！

1

2

2

1 m

m n

(5)

m

### (1)

Cnm =Cnnm

！ ) m n ( m

n 1

2 3 ) 1 m ( m

) 1 m n ( ) 2 n )(

1 n ( n

= −

×

×

+

= −

Cnn =Cn0 =1

C1n =n

Cnx =Cny

### ，則 x = y 或 x + y = n (4) 巴斯卡定理：

Cnm =Cn 1m 1 +Cn 1m

(n≥m)

Cnm

Cnmrr

(6)

Cnmr

Cn2

n

C3

Cn2−n

Hnm(())

Hnm((不同))

nmm 1 n

m C

H = +

Hnm

Hnm

Hnmn

Hnm

1

2

n

Hnmn

1

2

n

(7)

n

1

k

1

2

3

k

### 重點三、二項式定理

(x+y)n = n nr n r r n0 n 1n n 1 nn n r 0

C x y C x C x y C y (n N)

= = + + + ∈



n

n

Cnrxnryr

### 3.

(x+1)n =Cn0xn +C1nxn1+Cn2xn2 ++Cnn (n∈N)

### 註：

Cn0 +C1n +Cn2 ++Cnn =2n

### 

C0n −C1n +Cn2 −C3n +=0

### 

C1n +Cn3 +C5n +=Cn0 +Cn2 +Cn4 +=2n1

### 

C1n +2Cn2 +3C3n ++nCnn =n×2n1

(8)

A⊂S

) S ( n

) A ( ) n A (

P =

A⊂S

P(A′)=1−P(A)

### 。 (2) 機率的加法性：若 A、B 為 S 的二事件，則

) B A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A (

P  = + − 

P(AB)

### ：

) A B ( P ) A ( P ) B A (

P  = ⋅ ｜

P(AB)=P(A)⋅P(B)

B′

A′

A′

B′

CnrPr(1−P)nr

1−(1−P)n

n nk k n k

k r

C P (1 P)

=

k

k

k

k

(9)

### 則期望值

= ⋅P m1 1+ ⋅P m2 2++ ⋅Pk mk +

1. 統計的意義

2. 母群體、樣本與抽樣

1. 次數分配表的編製

(10)

)：

)=最大數值−最小數值。

(11)

1. 常用的統計圖

### k

3 3

(x ,f )、…、 (xk, fk)等

1. 累積次數分配表

(12)

L2U2

LkUk

f1

f2

fk

f1

1 2

f + f

1 2 k

f + + +ff

1 2 k

f + + +ff

2 k

f + + f

fk

### 5.相對累積次數分配表與相對累積次數分配曲線圖

1. 相對次數是為了讓我們進一步了解百分比分配狀況，所以相對次數分配 是指各組次數占總次數的比例 。相對次數 =各組次數×100%

2. 相對次數分配表：分組整理後，算出各組的相對次數而製成的表稱之為 相對次數分配表。

3. 相對累積次數分配表：將相對次數依「以上累積」或「以下累積」，可 得「以上累積相對次數分配表」及「以下累積相對次數分配表」。

4. 相對 次 數 分配 曲 線 圖 ： 將 各 組 相對 次 數 與 各組 中 點 所對 應 的 點 依序描 點，再依序連接各點後所得的圖形。

5. 相對累積次數分配曲線圖：將各組的相對累積次數點到該組上限或下限所對 應的點，再依序連接各點所得到的圖形則稱之以上（以下）相對累積次數分配曲 線圖。

n

f1

f1+f2 f1+ +f2 f3

......

(13)

( ) 1. 一粒公正的骰子丟二次，二次的點數和不大於 5 的機率為 (A) 1

36 (B) 5 36 (C) 5

18 (D)5

9 (E)1 3。

( ) 2. 設a=2，則a1a0+a2= (A)3

2 (B)5

2 (C)7

2 (D)9

2 (E)11 2 。

( ) 3. 等比數列 an 中，若a7=5，a10=135，則公比= (A)5 (B) 5± (C) 3± (D)3 (E)9。

( ) 4. 1

log987的首數= (A)3 (B) 3− (C) 2 (D) 2− (E)4。

( ) 5. 若a=log0.59，b=log0.510，c=log0.511，則其大小順序為 (A) a b c> >

(B) b a c> > (C) c b a> > (D) a c b> > (E) c a b> > 。

( ) 6. 設A=

2 | 0x ≤ ≤x 10x

B=

3 | 0x ≤ ≤x 10x

，則n A

B

### )

=

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (E)50。

( ) 7. 下列何者有意義？ (A)log24 (B)log2

### ( )

−4 (C)log 31 (D)log 13

(E)log2

−8 。

( ) 8. 若

### ( )

0.2 x >0.008，則 x 之範圍為 (A)x>1 (B)x>3 (C)x<1 (D)x<3

(E)x< −3。

( ) 9. 從4 本不同的書b 、1 b 、2 b 、3 b 中任取二本，若 A 為包含有4 b 的事件，則1 n A

### ( )

=

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)6。

( )10. 等比級數的首項 48，公比 2− ，和為 1008− ，則此級數的項數 n= (A)5 (B)6

## 綜合評量

(14)

(C)7 (D)8 (E)9。

( )11.

2332

2+ 2332

### )

0= (A) 0 (B) 1− (C)1 (D)2 (E) 2− 。

( )12. 擲一均勻的硬幣二次，每出現一次正面得 5 元，一個反面賠 2 元，則所得 總額的期望值為 (A)3 (B)7

2 (C)4 (D)9

2 (E)5 元。

( )13. 設A=

2 | 0x ≤ ≤x 10x

B=

3 | 0x ≤ ≤x 10x

n A

B

### )

= (A)7

(B)20 (C)21 (D)24 (E)31。

( )14. 一粒公正的骰子丟二次，二次的點數和恰為 10 的機率為 (A) 1

36 (B) 1 12 (C)1

9 (D)1

6 (E)1 4。

( )15. 一粒公正的骰子丟二次，若事件 A 的元素為二次均為偶數點，則n A

### ( )

=

( )16. 化簡log 549 +log 69 −2 log 29 = (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4。

( )17. 設A=

x,1 B=

### { }

y, 4 ，若 A B= ，則 x+ =y (A)3 (B)4 (C)5 (D)9 (E)17。

( )18. 若 2 2 8= x，則 x= (A)1

9 (B)1

6 (C)1

3 (D)1

2 (E)2 3。

( )19. 若a=log 2，b=log 3，以 a 、 b 表示 log150 為 (A) a b+ (B)b a− (C)a+ −b 1 (D) 2 a b− + (E) 2 a b+ − 。

( )20. 袋中有大小相同的 3 紅球、5 白球，任意取 2 球，2 球均為白球的機率為 (A) 5

14 (B) 5

21 (C) 7

56 (D) 9

56 (E)11 72。

( )21. 八人圍圓桌而坐，其中甲、乙二人相鄰的機率為 (A)1 8 (B)1

7 (C)1 6 (D)2

7 (E)1 5。

(15)

( )22.

1

2 3 5

k k

k k

=

+ =

### ∑

(A)1325 (B)1325 (C)1 (D)136 (E)136

( )23. 若 log 2 0.3010= ，則2 乘開後為幾位數？50 (A)15 (B)16 (C)17 (D)18 (E)19。

( )24. 8

1

81 3k

### ∑

k= 的和= (A)304081 (B)403081 (C)303081 (D)402740 (E)404081

( )25. log 1 log 0.1 log 100.1 + 10 + 0.1 = (A)0 (B) 2− (C)2 (D)3 (E) 3− 。

( )26. 解方程式

2 3 1 2

3 2

x x

  = 

   

    ，得 x= (A) 3− (B)3 (C) 1

−3 (D)1

3 (E)1。

( )27. 10 個燈泡中有 4 個是壞的，今從這 10 個燈泡中任意取出 2 個，則含有壞燈 泡的機率是 (A) 2

15 (B)2

3 (C)3

4 (D)4

5 (E)5 6。

( )28. 袋中有大小相同的紅球 4 個，黑球 5 個，白球 3 個，自袋中一次取一球，

11 (B) 8

11 (C) 8

33 (D)17 66 (E)19

66。

( )29. log8

7+ 3

+log8

7 3

## )

= (A)0 (B)16 (C)14 (D)23 (E)32

( )30. 等差級數30 26 22 18+ + + + 到第 n 項的和開始為負的，則 n= (A)16 (B)17 (C)18 (D)19 (E)20。

( )31. 設 A 、 B 為二事件，若機率

1

P A =2，

' 2

P B =3，

1

P AB =4，則

### ( )

P AB = (A)1

3 (B) 7

12 (C)5

6 (D)11

12 (E)13 12。

( )32. 5 2 2+ 與 2− 2的等差中項為 (A) 2 2 2+ (B) 2 2 (C)2 (D) 4 2 4+ (E) 2 2+ 。

(16)

( )33. 甲、乙二人平時能解出數學題之機率分別為3 4，2

3。今二人合作解48 題且 互不影響，則可預期他們能解出幾題？ (A)40 (B)42 (C)44 (D)46 (E)47。

( )34. 袋中有大小相同的球 8 個，其中有白球 3 個，今由袋中任取 3 球，取得白 球個數的期望值是 (A)15

56 (B)20

56 (C)21 56 (D)9

8 (E)15 個。

( )35. 已知a= 2log 42

1

82

b= ，c=log 102 ，則此三數的大小關係為何？

(A)a> >b c (B)a> >c b (C)c> >a b (D)c> >b a

( )36. 設A=

### { }

0,1 ，則下列何者錯誤？ (A)∅ ∈A (B) 0 A (C)∅ ⊂ A

(D)

0 A (E)

### { }

0,1 A

( )37. 若 loga= −1.0282，則 log a 之首數為何？ (A)1 (B)0 (C) 1− (D) 2− 。

( )38. 試求( 1 27)

3×812=？ (A)1

3 (B)1 (C)3 (D)9。

( )39. 設 1 3 9

y

x = ，則下列何者正確？ (A)2x=y (B)x=2y (C)2x= –y (D)x= –2y。

( )40. 已知 ( ) 3f x = x，若 ( ) 2f a = 且 ( ) 4f b = ，則 (f a+ =b) ？ (A)2 (B)4 (C)6 (D)8。

( )41. 設「．」表示四則運算中的乘號，若 22x+1+23x=5．2x+4，試求x=？ (A)0 (B)1 ( )42. 下列何者為方程式(24x x) =16之實數解？ (A)2 (B)3 (C)4 (D)5。

( )43. 試求 log103+log1050+log107–log10105=？ (A)1 (B)3 (C)5 (D)15。

( )44. 設 a=log102，b=log103，若以 a、b 表示 log1015，則 log1015=？ (A)a–b–1 (B)a+b–1 (C) –a+b+1 (D)a+b+1。

( )45. 某公司要進用一名職員，若甲被錄取之機率為1

3，乙被錄取之機率為1 4，甲、

12 (B)1

6 (C) 5 12

(17)

(D)1

2 (E) 7 12。

( )46. 設 log10x=1

3，則log10(10x)= (A) 1

30 (B)1 (C) 4 3 (D)

10 3

( )47. 設a>0且a≠1，若 log 3 log 7 3a + a = ，則 a= (A)321 (B) 21 (C)3 (D)7。

( )48. 設 A、B 為二獨立事件，

1

P A =2，

2

P AB =3，則P B

### ( )

= (A)1

4 (B)1 3 (C)2

3 (D)1

5 (E)1 6。

( )49. 甲、乙二人各擲一公正的骰子且互不影響，甲、乙二人中恰有一人得么點的 機率為 (A) 1

36 (B) 1

18 (C)1

6 (D) 5

18 (E) 7 18。

( )50. 判斷下列何者有意義？ (A)log0.15 (B)log 101 (C)log39 (D)log2

### ( )

−8 。

( )51. 當 繪 製 以 上累 積 次 數 分 配曲 線 圖 時 ， 各 組 的 橫 坐標 應 為 該組 之 (A) 組中點 (B) 組距 (C) 上限 (D) 下限

( )52 .設一組數值資料x1x2x3x4的算術平均數為k，則數值資料20x1−5 20x2−520x3−520x4−5的算術平均數為 (A) k (B) 20k−5 (C)

5

k(D) 20k

( )53. 設隨機抽樣5 上巿公司，某日其股巿收盤價分別為 88、26、65、75、16 元，

( )54. 有15 數值資料如右：12、15、18、12、18、12、13、10、18、17、10、

12、19、20、19，若算術平均數為a，中位數為b，眾數為c，則a b c+ + = (A) 39 (B) 40 (C) 41 (D) 42

( )55. 已知一筆資料如下：1、2、2、3、4、5、5、6、xy，而且此筆資料的 算術平均數是4，則x+ =y (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 14

( )56. 已知一組母群體資料為20、25、26、25、26，試求母群體的平均數為 (A) 24 (B) 24.2 (C) 24.4 (D) 24.6。

( )57. 設有六個數如右：1、3、2、4、3、5，則其算術平均數為 (A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 3.5。

(18)

( )58. 若基於經濟原則，欲調查小學生患近視的情形，其適當的抽樣方法為 (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 部落抽樣 (D) 分層隨機抽樣。

( )59. 某高一新生編班採常態分班，今想要了解一年級新生入學時的數學能力，

( )60. 已知有10 個數據為：10 , 40 , 40 , 50 , 65 , 75 , 100 , 90 , 80 及 x。若它們的 中位數為60，則x=？ (A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65。

### 解答

1 C 2 C 3 D 4 B 5 A

6 B 7 D 8 D 9 C 10 B

11 D 12 A 13 A 14 B 15 D 16 C 17 C 18 D 19 D 20 A 21 D 22 E 23 B 24 E 25 B 26 E 27 B 28 E 29 D 30 B 31 B 32 A 33 C 34 D 35 B 36 A 37 D 38 A 39 D 40 D 41 D 42 A 43 A 44 C 45 C 46 C 47 A 48 B 49 D 50 A 51 D 52 B 53 A 54 D 55 C 56 C 57 C 58 A 59 D 60 B

Cauchy 積分理論是複變函數論中三個主要組成部分之一, 有了 Cauchy 積分理論, 複變 函 數論才形成一門獨立的學科, 並且導出一系列在微積分中得不到的結果。 我們先從 Cauchy