地震衍生之邊坡破壞行為及防治對策研究(I)-以斷裂力學分析岩石邊坡破壞行為之研究

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告

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※ 地震衍生之邊坡破壞行為及防治對策研究(I) ※

※ 以斷裂力學分析岩石邊坡破壞行為之研究 ※

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計畫類別：□個別型計畫 ˇ整合型計畫 計畫編號：NSC 89－2218－E－006－141 執行期間：89 年 8 月 1 日至 90 年 7 月 31 日

計畫主持人：王建力

執行單位：成功大學資源工程學系

中 華 民 國 90 年 10 月 31 日

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告 地震衍生之邊坡破壞行為及防治對策研究(I)

以斷裂力學分析岩石邊坡破壞行為之研究

計畫編號：NSC 89－2218－E－006－141 執行期限：89 年 8 月 1 日至 90 年 7 月 31 日

主持人：王建力 成功大學資源工程學系

計畫參與人員：賴俊仁 葉時青 黃吉皇 陳香如 成功大學資源工程學系

一、 中文摘要

在岩石邊坡工程問題中，如何在工程設計階段預 知問題、在工程施工期間順利進行、以及在工程完 工之後確保安全、是相關從業人員最關切的主要議 題。然而，隱藏在邊坡之中的自然岩層本身即含有 許多不利因素，如斷層、裂面、解理等自然弱面以 及所引起之應力集中效應。應力集中效應常是地震 導致岩石邊坡破壞之最大潛在因子。對於岩石邊坡 工程問題，921 集集大地震帶來了新的破壞規模、

而其造成之岩石邊坡破壞亦確立了新的破壞強 度。對於地震所引起岩石邊坡破壞的問題進行探討 是必要的。

本研究擬以斷裂力學方法對岩石邊坡破壞行為 進行研究，同時並探討地震力所引起岩石邊坡破壞 的問題。

關鍵詞：岩石力學、邊坡穩定、斷裂力學 Abstract

Any attempts to successfully analyze the stability of rock slopes have to be hinged on the correct

identification of the properties of rock discontinuities such as faults, joints, and fractures et cetera. The traditional limit equilibrium approach has provided a good measure to the analysis of many rock slope problems. However, the fact that the limit equilibrium approach neglects the stress concentrations of local discontinuities makes it unsuitable to predict the rock slope instability due to local stress disturbances and violent excitations such as major earthquakes or blasting. It is hence the objective of this project to propose a fracture

mechanics approach as a remedy to predict rock slope instability mainly caused by the effect of stress concentration.

Keywords: Rock Mechanics, Slope Stability, Fracture Mechanics

二、 前言

傳統上，邊坡穩定問題之分析方式乃是假設岩體 為一巨大連續塊體，而採用極限平衡法進行分析。

若岩體為均質，則可使用簡易的圓弧法。若岩體為 異質，則可使用較複雜的切片法。對於地震力，傳 統極限平衡法乃採用擬靜力分析為之。

傳統極限平衡法之特色乃在於假設岩體為一完 整剛體，並考慮所有作用於該剛體之力平衡，以評

估潛在破壞面之穩定性。一般咸認為對於節理發達 岩體之潛在滑動破壞面，其主要控制因子為表示潛 在滑動破壞面分離程度而定義之節理持續性。

然而極限平衡分析法之主要缺憾可綜述如以下 四點：

(a)極限平衡分析法假設潛在滑動破壞面主要為平 面，未考慮到實際可能發生之階梯式滑動破壞面。

(b)極限平衡分析法卻常過度預測了剪力滑動破壞 的發生。

(c)節理持續性值之計測有其實際困難，精確之估計 並不容易。

(d)傳統之極限平衡法並未考慮自然弱面所引起之 應力集中效應。

對於遭受到地震力或爆炸等猛烈作用外力所導 致之岩石邊坡破壞問題，其主要力學因素應為自然 弱面以及所引起之應力集中效應。隱藏在邊坡之中 的自然岩層之不連續性，如斷層、裂面、節理等自 然弱面以及所引起之應力集中效應是導致岩石邊 坡破壞之最大潛在因子。對於岩石邊坡工程問題，

921 集集大地震帶來了新的破壞規模、而其造成之 岩石邊坡破壞亦確立了新的破壞強度。對於地震力 所引起岩石邊坡破壞的問題進行探討是必要的。

為將節理尖端應力集中效應列入考量可引用斷 裂力學方法。斷裂力學針對帶有裂縫之固體進行分 析。其分析手段是以連續體力學為理論基礎，並在 固體中考慮了裂縫的存在。斷裂力學假設連續的固 體中存在一個尺寸有限的宏觀裂紋，採用彈性力學 或塑性力學的分析方法進行分析裂紋尖端附近位 移場、應變場、以及應力場之分佈情形，並求出控 制裂紋尖端附近力學行為之物理參數，以代表材料 抵抗斷裂的程度。如此傳統極限平衡法無法圓滿處 理應力集中效應的問題，斷裂力學提供了一項解決 的方案。對於固體裂縫斷裂的破壞現象，斷裂力學 提供了一個具體量化的表達方式。

本研究擬以斷裂力學方法對岩石邊坡破壞行為 進行研究，同時並探討地震力所引起岩石邊坡破壞 的問題。

三、 斷裂力學分析

3-1 線彈性斷裂力學基本概念

含裂紋之均質等向線彈性體承受一般性荷重作 用下裂紋尖端附近之奇異應力場為：

( ) ( )

































































−



 

 − +

−

− − +

−

−



 

 +



 



− −



 

 −

=





























r K

r K

r K k

k

III II I

π π π

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ ν

ν ν θ ν

ν ν

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

σ σ σ σ σ σ

2 2 2

sin2 0

0

cos2 0

0

2 0 sin3 sin2 2 1 cos3 2 cos3 cos2 sin2

2 0 2 sin

1 3 cos2 2

1 3

2 0 cos3 cos2 sin2 2 sin3 sin2 2 1 cos

2 0 cos3 cos2 2 2 2 sin sin3 sin2 2 1 cos

31 23 12 33 22 11

若忽略剛體平移與旋轉，則相應之奇異位移場 為：

( ) ( )

( ) ( )

































−

−

− +

+ +

−

−

=













III II I

K K K k

k

k k

r u u u

sin2 16 0

0

2 0 cos3 cos2 2 2 3 sin3 sin2 1 2

2 0 sin3 sin2 3 2 2 cos3 cos2 1 2

8 2

3 2 1

θ θ θ θ

θ

θ θ θ

θ πµ

π

當r →0時，上式為優勢(dominant)項，其它非 奇異性之應力場均趨近於 0。K_I^、K_II^與K_III^代

表了該奇異應力場在各型荷重作用下的強度，故以 應力強度因子稱之。應力強度因子需由實際問題之 荷重形式、邊界條件以及裂紋幾何來決定。

線彈性斷裂力學的斷裂判據及分析方式可設計 如下：

(1) 測定材料的斷裂韌度

透過建議的實驗(ISRM)來測定使用材料的斷 裂韌度KC。

(2) 檢定材料的斷裂判據

針對檢定問題之作用荷重，裂紋尺寸，邊界 幾何，計算(或實驗)出該問題之應力強度因子(K)，

依此與該材料之斷裂韌度(KC)比較，以判斷該問題 裂紋之安全性：

當K＞KC時，裂紋失穩擴展。

當K＝KC時，裂紋處於臨界狀態。

當K＜KC時，裂紋不會擴展。

3-2 應力強度因子之求解

如何計算各類型問題中裂紋尖端附近的應力強 度因子是線彈性斷裂力學的主要任務，針對不同問 題應力強度因子的決定方法可歸納為：

(1)計算分析

解析法：如複變函數法、積分變換法、疊加法等。

近似法：如有限元素法、邊界元素法、邊界配置、

有限差分法等。

估計法：如模型類比法。

(2)實驗分析

光彈測定、柔度測定、音射測定。

一般來說，以實驗方式來測定應力強度因子較具 工程實用的意義，然其花費較計算分析昂貴。計算 分析法中，解析法求解雖可提供問題之正解，然而 由於其需要較高深的數學理論(如複變函數法)，且 遇複雜之邊界問題解析法並不討好。近半個世紀以 來，力學家在應力強度因子之求解工作方面投入了 大量的心力。這些成果最近均集結成冊。較著名者 有日本學者 Murakami 主編的Stress Intensity Factor Handbook (1987)以及大陸中國航空研究院出版的

「應力強度因子手冊」(1993)。

近似之數值分析法提供了解題的標準程序，不論

多複雜的邊界經過適當的網格劃分及數值計算的 程序均可求得一定精度要求下的解。數值分析法的 缺點在於網格劃分可嚴重影響解的收斂速度，而誤 差分析法估計較困難以及計算時間較耗時。

邊界元素法是所有數值近似法中最具特色者，在 許多線性問題中，透過積分方程理論，問題域中的 未知變量均可變換到邊界上。而邊界上的變數經離 散化後組合成一組線性代數方程便可求解。很明顯 地，對於斷裂力學的裂紋問題，邊界元素要較其他 需進行域內網格劃分的方法要便利且迅捷。

由於一般數值近似法解彈性力學問題主要都是 在求解位移、應變、以及應力，因此在利用這些近 似法求解應力強度因子時，仍須將所得之位移、應 變、以及應力解進行進一步的數據分析。這些數據 分析法對所有包括邊界元素法、有限元素等的數值 方法皆適用。以K_I 為例說明如下：

(a)應力外差法

由 I 型奇異力場之公式：



 

 +

= 2

sin3 sin2 2 1

cos

22 2

θ θ θ

σ π

r K_I

若取θ =0^°： r K_I σ π

22 = 2

KI^{即為下式之極限值：}

r KI limr σ₂₂ 2π

→0

=

由於當 r=0 時相應之σ₂₂^{為無限大，數位電腦無}

法處理無限大之情形。實際上，儘可能取 r 逼近於 0 時之σ₂₂^，計算出K_I：

0

22 )

(

2 _→

= _r

I r

K π σ

最後再外差求 r=0 時相對應之K_I^值。

(b)應力斜率法

與應力外差相似，但在作圖時繪製σ₂₂^與1 r

之關係曲線，而此線之斜率即為K_I 2π ^。

(c)位移外差法

由 I 型奇異位移場公式：

( ) _^

 + −

= 2

sin3 sin2

1 8 2

2

2

θ κ θ

πµ πrK_I u

若取θ =π ^， KI

u r

π µ κ

2 2

1

2

= +

則K_I為下列之極限值：

0 2

0 2 1

2 2 2

1 lim 2

→  →



= +



 





= +

r I r

r u u

K r

κ π µ π

κ µ

取 r 逼近於 0 時相應之u₂值，計算出K_I ，最後再 由外差求出 r=0 對應之K_I^值。

(d)位移斜率法

與位移外差法相同，惟作圖時繪製u₂與 r 之關

係曲線，而此線之斜率即為

µ π κ

2 2 1 K_I

+ 。

3-3 特殊邊界單元求解應力強度因子

Henshell 與 Shaw(1975)發現只要將常規的等參二 次單元(isoparametric quadratic element)中之結點位 置做適當之調整，便可滿足r^−1/2的應力奇異性。

四、邊坡穩定分析

4-1 邊坡穩定問題之斷裂力學分析

利用斷裂力學方法分析邊坡穩定問題，目前已有 以下的問題被探討：

1. 裂紋閉合現象之探討

由於岩石邊坡潛在滑動面上之岩體本身重力作 用下，致使節理層面裂紋有閉合之現象。此主要是 由於壓應力所造成。此外，節理層面之摩擦力亦有 產生阻抗之效應，阻礙了節理層面裂紋擴展。這些 因素均是有助於邊坡穩定之因素。Tharp(1984)曾利 用 Sneddon & Lowengrub(1969)之解討論了忽略以 上二因素之合理性。

2. 節理持續性效應

Tharp & Coffin(1985)對節理持續性進行敏感度 分析，並列表比較極限平衡分析法與斷裂力學分析 法所得之安全因數。

3. 邊坡幾何分析

Tharp & Coffin(1985)對邊坡幾何進行了三種簡 易的分析模式：(a)混合 I+II 型邊緣裂紋、(b)混合 I+II 型埋藏裂紋、(c)純 I 型邊緣裂紋。

4. 不均勻應力場效應

除了邊坡幾何形狀與應力作用模式之外，Singh

& Sun(1989)更考慮含水壓作用之不均勻應力場效 應，對邊坡幾何進行了四種簡易的分析模式：(a) 純 I 型邊緣裂紋、(b) 純 II 型邊緣裂紋、(c)混合 I+II 型邊緣裂紋(無水壓)、(d)混合 I+II 型邊緣裂紋(有水 壓)

5. 排狀節理之分析

Scavia(1990)考慮排狀節理之邊坡幾何進行了在 不同節理間距、傾角下平均有效應力強度因子之計 算分析。

6. 地震之動力效應

若考慮地震之動力效應，一般均利用擬靜態分析 為之。然而擬靜態分析忽略了含加速度場之慣性 項，如此將無法圓滿解釋瞬間衝擊荷重以及裂紋動 態擴展之問題，而導致嚴重之誤差。若慣性項不予 忽略，則控制方程式變成波動方程式。

Freund(1990)對動力斷裂力學之分析有詳細的討 論。雖然仍具r^−1/2之奇異性，裂紋尖端之動態奇 異應力場遠比靜態奇異應力場複雜。以 I 型模式為 例，其裂紋尖端之動態奇異應力場之動態應力強度 因子可表為：

) 1 ( 4

] ) 1 ( 4

[ 2 3

2

2 2

s

s s

ID

K A

α

α α

α µ π

+

+

= ^l−

觀察動態奇異應力場與裂紋擴展速度 v 有關，這

是與靜態奇異應力場主要不同之處。

4-2 參數研究

本研究為了探討以斷裂力學分析方法在岩石邊 坡破壞行為方面可提供的解釋機制，目前已發展出 一套邊界單元分析流程，利用此分析方法可進行簡 單岩石邊坡破壞行為之預測。本研究進行以下之參 數研究以嘗試解釋岩石邊坡破壞之斷裂力學機 制。探討的參數包括裂縫傾角、裂縫長度、裂縫與 坡頂之距離。

五、岩石斷裂韌性量測

本研究依據國際岩石力學學會(ISRM，1988)所發 表的建議方案建立岩石四點彎曲斷裂韌性量測技 術。該量測技術之試驗設備、試驗輔助器材製作、

試體規格與製作、與試驗步驟詳述於完整報告¹ 中。斷裂韌性數值之計算如完整報告。本研究選定 草嶺地區砂岩進行混合模式斷裂韌性之量測。目前 本研究已完成三組岩樣之試驗。其試驗結果之摘要 如下：

1. 該區砂岩第一級斷裂韌性為：

A 組： K_IC =0.258MPa⋅m^1/2，

2 /

0512 1

.

0 MPa m

K_IIC = ⋅ ^。

B 組： K_IC =0.175MPa⋅m^1/2，

2 /

0456 1

.

0 MPa m

K_IIC = ⋅ ^。

C 組： K_IC =0.188MPa⋅m^1/2，

2 /

0418 1

.

0 MPa m

K_IIC = ⋅ ^。

2. 本研究求出之混合模式破壞準則呈現近似線 性，其試驗結果之二次迴歸關係如下：

A 組： _1.0555 ²_{−2.0851 +1.0117}





=

IC I IC

I IIC

II

K K K

K K

K 。

B 組： 0.2453 1.2719 1.0081

2

+

 −

 

= 

IC I IC

I IIC

II

K K K

K K

K 。

C 組： 0.2132 1.1089 0.9232

2

+

 −

 

= 

IC I IC

I IIC

II

K K K

K K

K 。

六、結論

本研究對受應力集中作用下之岩石邊坡問題進 行研究，探討以斷裂力學分析方法在岩石邊坡破壞 行為方面可提供的解釋機制。本研究目前已發展出 一套邊界元素分析流程，利用此分析方法可進行簡 單岩石邊坡破壞行為之預測。本研究進行一參數研 究以嘗試解釋岩石邊坡破壞之斷裂力學機制。探討 的參數包括裂紋傾角、裂紋長度、裂紋與坡頂之距 離等。

為決定分析所需之斷裂韌性參數，本研究亦發展 出一套岩石四點彎曲混合模式斷裂韌性量測技 術。本研究依據 ISRM 建議自行規劃建立一套試驗 設備及流程，對草嶺地區之砂岩進行試驗。目前本 研究已完成三組岩樣之試驗。

七、參考文獻

1地震衍生之邊坡破壞行為及防治對策研究，八十九學年度期 末研究成果研討會論文集(Ⅱ)，國科會工程處地震工程尖端 計畫研究群。