含裂紋之功能梯度複合材料受熱載重之邊界元素法分析(II)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

含裂紋之功能梯度複合材料受熱載重之邊界元素法分析 (II)

計畫類別： 個別型計畫

計畫編號： NSC93-2212-E-011-034-

執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學營建工程系

計畫主持人： 張燕玲

報告類型： 精簡報告

處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 94 年 9 月 6 日

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

含裂紋之功能梯度複合材料受熱載重之邊界元素法分析(II) Boundary Element analysis of the Thermal Stressed Cracks in a Composite with

Functionally Graded Materials 計畫編號：NSC 93-2212-E-011-034

執行期限：2004 年 8 月 1 日至 2005 年 7 月 31 日 主持人：張燕玲 國立台灣科技大學 營建系教授

計畫參與人員：甘益萍，陳俊宇 國立台灣科技大學營建系研究生

一、中文摘要

本研究延續第一年之計劃，使用邊界 元素法探討兩種 FGM 所組成之複合材料 受溫度變化後，其界面裂縫之熱應力強度 因子、裂縫長度、及材料常數三者之間的 關係。

對於功能梯度材料承受溫度變化之問 題，其全解分為特解與齊次解兩部份；特 解部份為

α −

FGM 受溫度變化所產生，由 Fourier 級數展開求得，由特解可推知齊次 解之邊界條件，再由

α −

^{FGM 之多區域邊} 界元素法求得齊次解。

利用第一年計劃之成果，進一步探討

α −

FGM 含邊界裂縫受溫度變化時，其 TSIF 與材料常數及裂縫長度間的關係。

關鍵詞：邊界元素法、熱應力強度因子、

功能梯度材料 Abstract

This thesis is the continuity of the first year plan. It applies the method of boundary element method to analyze the functionally graded material(FGM) subjected to constant temperature loadings.

For the problem of α − FGM subjected to constant temperature loadings, the problem can be separated into homogeneous and particular problems. The particular solution is obtained by expanding the first order derivative of thermal expansion coefficient into Fourier series. Then by the inserting the obtained particular solution, the boundary conditions of homogeneous problem can be specified. Then the homogeneous solution is evaluated by the

α − FGM multi-region boundary element method.

By the result of the first year, the proposed program is applied to the various one-layer

α − FGM containing edge-crack subjected to constant temperature loadings and the relations of TSIF with the crack lengths are obtained.

Keywords:

Boundary element method, Thermal stress intensity factor, Functionally graded material

二、緣由與目的

複合材料在工業上已被廣為使用，然而 複合材料在交界處由於相鄰材料之差異 性，容易出現應力不連續和應力集中之現 象，而造成材料之破壞。若能降低相鄰材 料間的差異性，將可減少材料之破壞，遂 有 功 能 梯 度 材 料 (Functionally Graded Material，簡稱 FGM)產生。

使用 FGM 的目的在降低複合材料相鄰 兩材料間之差異，以降低熱殘留應力，使 其有效發揮材料之特性。但 FGM 或複合材 料之製造，或使用過程，往往需承受巨大 的溫度變化，而產生很高之熱殘留應力，

因此材料內可能產生裂縫，故使用 FGM 時，評估其損傷或破壞程度是很重要的。

本文探討兩種 FGM 所組成之複合材料 受溫度變化後，其界面裂縫之熱應力強度 因子、裂縫長度、及材料常數三者之間的 關係，以增加 FGM 之了解，並增進 FGM 之經濟效益。

一般功能梯度材料之彈性係數、熱膨 脹係數及熱傳導係數均呈連續之函數曲線 分佈，但亦有楊模數為常數的 FGM，如 Zirconia/nickel FGM【1】 其楊氏模數在 FGM 內幾乎不變，此乃因為鎳合金(nickel alloy)及鋅(Zirconia)有相似之楊氏模數。此 類 FGM 尚有

MoSi / Al O

_{2 2 3} FGM, TiC/SiC

FGM, Zirconia/Steel FGM 等。因此本文欲 考慮：楊氏模數為常數但熱膨脹係數為一 連 續 函 數 之 功 能 梯 度 材 料 ( 簡 稱

α −

FGM)，受到熱載重之龜裂行為。

三、研究方法與成果

圖 1

本研究延續第一年度所求得之全解，

考慮圖 1 中由兩種

α −

^{FGM 組成之彈性} 體。上層

α −

^{FGM 之楊氏係數為}

E

1，波森 比 為 _υ1 ， 熱 膨 脹 係 數 為

1 1

1

( x ) g ( x ) α

_m

( 1 g ( x )) α

_c

α = + −

；而下層

α −

FGM 之 楊 氏 係 數 為

E

₂ ， 波 森 比 為

υ

2 ^{， 熱 膨 脹 係 數 為}

2 2

2(

x

)

g

(

x

)

α

_m (1

g

(

x

))

α

_c

α = + −

，

g (x )

為體

積分數，設為

^g ( ^x ) = ( ^{x w} )

ⁿ。假設彈性體 含 邊 緣 裂 縫 ， 受 常 溫 作 用 。 雙 材 料 (bi-material)之彈性常數有

E

₁、

E

₂、

υ

₁^、

υ

2

其關係可用 Dundurs 參數

α

^*、

β

^{*表示之：}

2 1

2

* 1

E E

E E

+

= −

α

( ) ( ) (

2

)

2

(

1

)

1

1 2 2

* 1

1 2 1

2

2 1 2

1

υ µ υ

µ υ µ υ

β µ

− +

−

−

−

= −

式中Ei =Ei

(

¹−²υi²

)

，

µ

_i^{為剪力模數，}

Suga【1】指出大部分複合材料，其

β

^*值 介於

β

^*

= 0 . 0

^至

β

^*

= α

^*

⁴

^{之間，故本文取}

0 .

*

= 0

β

^和

β

^*

= α

^*

⁴

^{兩種情況分析之。}

以 下 討 論 在

β

^*

= 0 . 0

^與

β

^*

= α

^*

⁴

時，上下兩層具不同

E

，

υ

^{常數之複合}

α −

FGM ，若其熱膨脹係數函數分別為

( ) x

1

α

與

α ( ) x

2 ，受定溫載重時的力學行為。

一、雙材料，相同熱膨脹函數

α

₁

( x ) = α

₂

( x ) (A) α

₁

(

x

)

=

α

₂

(

x

)

，n=1，改變 Dundurs 常數：

考 慮 圖 1 之 問 題 ， 上 下 兩 層 之

α −

^{FGM，其彈力常數}

^E

^，

υ

^{不同，但熱} 膨 脹 係 數 函 數 相 同 之 線 性 函 數 ， 即

) ( )

(

₂

1 x

α

x

α

= =

⁽

x w

⁾ α

_m +

^{( 1}

−x w

⁾ α

_c，輸入

oC

c

10

5

0 . 1

× ⁻

α

= ， α_m =1.38×10^{−5 o}C ，

cm

w = 10

， T =

1

^oC ， 分 析

β

^* =

0 . 0

及

*

4

*

α

β =

複合材料之整體

TSIF

，其中

α

^* 分別取

0.0

、

0.2

、

0.4

、

0.6

、

0.8

。將無因次 整體

TSIF

，_K0^*_{=K0 [E1αcT πw/(1−2υ1)]} ， 與

a w

之關係繪於圖

2

與圖

3

。

圖 2 雙線性

α −

^{FGM 複合材料(}β^* =^0，

)

( )

(

₂

1 x

α

x

α

= ，n=1)，在不同 Dundurs 參數

α

^*下

之無因次整體 TSIF

圖 3 雙線性

α −

^{FGM 複合材料(}β^*=^{1/ 4}，

)

( )

(

₂

1 x

α

x

α

= ，n=1)，在不同 Dundurs 參數

α

^*下

之無因次整體 TSIF

圖

2

與圖

3

中，

α

^* =

0 . 0

代表上下兩層

α − ^FGM

^為相同之

^FGM

^，亦即K₀=K_Ι；圖

2

與圖

3

中

α

^*

= 0 . 0

之曲線在

a w ≈ 0 . 7

處

TSIF

趨近於零，但

K

₀

₌ K

_Ι²

₊ K

_ΙΙ² 其值恆為 正，故在

a w > 0 . 7

，

K

₀之值。

(B) α

₁

( x ) = α

₂

( x )

為線性函數，改變

α

_c與

α

m差值之分析

本節研究改變

α

_c^與

α

m^{之差值後，對複} )

( , , 1 1

1 x

E υ α

1 1

1() ( )ⁿ _m (1 ( )ⁿ)_c w x w

x x α α

α = + −

2 2

2() ( )ⁿ _m (1 ( )ⁿ)_c

w x w

x x α α

α = + −

C T=1^o w

w 2 y

a x

,

) ( , , _{2 2}

2 x

E υ α

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Dimensionless Crack Length:a/w 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Dimensionless Overall TSIF:K0*

α^∗=0.8 0.6

0.4

0.2 0.0 C

C x x n

o m

o c

5 5 2 1

10 38 . 1

10 0 . 1

) ( ) (

1

−

−

×

=

×

=

=

=

α α

α α

) 2 1 (

0

* 0

υ α σ

π σ

−

=

= T E

w K K

c T

T w

w 2 y

a x ) ( , ,_{1 1}

1 x

Eυ α

C T=1^o

) ( , ,_{2 2}

2 x

E υ α

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Dimensionless Crack Length:a/w 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Dimensionless Overall TSIF:K0*

α^∗=0.0

0.2 0.4

0.6

0.8

C C x x n

o m

o c

5 5 2 1

10 38 . 1

10 0 . 1

) ( ) (

1

−

−

×

=

×

=

=

=

α α

α α

) 2 1 (

0

* 0

υ α σ

π σ

−

=

= T E

w K K

c T

T

w

w 2 y

a x ) ( , ,1 1

1 x

Eυ α

C T=1^o

) ( , ,_{2 2}

2 x

Eυ α

合

α − ^FGM

^之

^TSIF

^{的影響。輸入}

oC

c

10

5

0 . 1

× ⁻

α

=

, α

_m

= 1 . 7 × 10

^{−5 o}

C

；取

0

.

*

= 0

β

與

β

^*

= α

^*

/ 4

，其中

α

^*分別為

^0.0, 0.2,0.4,0.6,0.8

，以常溫變化

T = 1

^o

C

分析，

將無因次

TSIF

K₀^*=K₀ [E₁α_cT₀ πw/(1−2υ₁)]， 與a w之關係繪於圖

4

與圖

5

。

圖 4 雙線性

α −

^{FGM 複合材料(}

β

^* =

⁰

^，

)

( )

(

₂

1 x

α

x

α

= ^{，n=1)，改變}

α

c^與

α

m^{差值下，不}

同 Dundurs 參數

α

^*對 TSIF 之影響

圖 5 雙線性

α −

^{FGM 複合材料(}

β

^*=

^{1/ 4}

^，

)

( )

(

₂

1 x

α

x

α

= ^{，n=1)，改變}

α

c^與

α

m^{差值下，不}

同 Dundurs 參數

α

^*對 TSIF 之影響

因為 α

_c^與

α

m的差值增大會使徹體力 作用之合力大小增大，故整體

TSIF

增強，

但其徹體力分佈曲線在

x

軸之重心相同，

故只有K_Ι與K _ΙΙ 的值增加而已，K_Ι與K_ΙΙ 分配的比例沒有改變。

(C) α

₁(

x

)

= α

₂(

x

)，

n=2

，固定

α

_c

, α

_m之差值 令 α₁(x)=α₂(x)=(x w)ⁿα_m+(1−(x w)ⁿ)α_c ，

cm

w=

10

， 其 中

α

_c

= 1 . 0 × 10

^{−5 o}

C

、

o

C

m

10

5

38 .

1 ×

⁻

α =

，但設n=

2

並將其結果 與 (A) 之 分 析 做 比 較 ； 取

β

^*=

0 . 0

與

4

*

/

*

α

β =

，_α^*分別為

0.0,0.2,0.4,0.6,0.8,

以

溫 度 變 化T=1^oC 分 析 之 ， 將 無 因 次 整 體

TSIF

，

K

₀^*

= K

₀ [

E

₁

α

_c

T

₀

π w

/(1

−

2

υ

₁)]，與

w

a

之關係繪於圖

6

與圖

7

；

圖 6

α −

^{FGM 複合材料(}

^β

^{* =}

⁰

^，α1⁽x⁾=α2⁽x⁾⁾ 在 n=2 時，不同 Dundurs 參數

α

^*對 TSIF 之影響

圖 7

α −

^{FGM 複合材料(}

^β

^*=

^{1/ 4}

^，α1⁽x⁾=α2⁽x⁾⁾ 在 n=2 時，不同 Dundurs 參數

α

^{*對 TSIF 之影響}

當

α

_c與

α

_m的差值固定，而

n

次方增加 時，其徹體力作用之合力是相同的，但不 同

n

值之徹體力曲線的重心位置不同，

n

值增加會使徹體力分佈重心右移，故在圖

6

與圖

7

中的整體

TSIF

分佈曲線並沒有變 化，但在其相角，則有些微變化；也就是 說在

n

改變下，其整體

TSIF

的值不會改 變，但沿裂縫延伸其

K

_Ι與

K

_ΙΙ 值分配的比 例會有微小改變。

二、雙材料，熱膨脹函數不同

α

₁(

x

)

≠ α

₂(

x

)

(A) 熱 膨 脹 係 數 為 線 性 函 數 (n=1)

， 固 定

)

1

( x

α

與

α

₂

( x )

如圖

1

，上層之

α − ^FGM

^{熱膨脹係數函} 數為

α

₁

(

x

)

=

(

x w

)

ⁿ

α

_m1+

( 1

−

(

x w

)

ⁿ

) α

_c1，下層 為 α₂(x)=(x w)ⁿα_m2+(1−(x w)ⁿ)α_c2 ； 其 中

oC

c

5 1=1.0×10⁻

α ，α_m1=1.38×10^{−5 o}C ， 而

oC

c

5 2 =

1 . 0

×

10

⁻

α

，

α

_m2 =

1 . 7

×

10

^{−5 o}C。取

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Dimensionless Crack Length:a/w 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Dimensionless Overall TSIF:K0*

α^∗=0.0

0.2 0.4 0.6

0.8

C C x x n

o m

o c

5 5 2 1

10 7 . 1

10 0 . 1

) ( ) (

1

−

−

×

=

×

=

=

=

α α

α α

) 2 1 (

0

* 0

υ α σ

π σ

−

=

= T E

w K K

c T

T

w

w 2 y

a x ) ( , ,_{1 1}

1 x

Eυα

C T=1^o

) ( , ,_{2 2}

2 x

Eυα

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Dimensionless Crack Length:a/w 0

0.4 0.8 1.2 1.6 2

Dimensionless Overall TSIF:K0*

α^∗=0.8 0.6

0.4

0.2 0.0 C C x x n

o m

o c

5 5 2 1

10 38 . 1

10 0 . 1

) ( ) (

2

−

−

×

=

×

=

=

=

α α

α α

) 2 1 (

0

* 0

υ α σ

π σ

−

=

= T E

w K K

c T

T w

w 2 y

a x ) ( , ,_{1 1}

1 x

Eυα

C T=1^o

) ( , ,_{2 2}

2 x

Eυα

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Dimensionless Crack Length:a/w 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Dimensionless Overall TSIF:K0*

α^∗=0.0 0.2

0.4 0.6

0.8

C C x x n

o m

o c

5 5 2 1

10 38 . 1

10 0 . 1

) ( ) (

2

−

−

×

=

×

=

=

=

α α

α α

) 2 1 (

0

* 0

υ α σ

π σ

−

=

= T E

w K K

c T

T

w

w 2 y

a x ) ( , ,_{1 1}

1 x

Eυα

C T=1^o

) ( , ,_{2 2}

2 x

Eυα 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Dimensionless Crack Length:a/w 0

0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6

Dimensionless Overall TSIF:K0*

α^∗=0.8 0.6

0.4

0.2 0.0 C

C x x n

o m

o c

5 5 2 1

10 7 . 1

10 0 . 1

) ( ) (

1

−

−

×

=

×

=

=

=

α α

α α

) 2 1 (

0

* 0

υ α σ

π σ

−

=

= T E

w K K

c T

T w

w 2 y

a x ) ( , ,1 1

1 x

Eυα

C T=1^o

) ( , ,_{2 2}

2 x

E υα

cm

w

=

10

，

n =

1，

Dundurs

參數

β

^*

= 0 . 0

與

4

*

/

*

α

β =

，其中

α

^*為

0.0,0.2,0.4,0.6,0.8,

以 溫度變化

T = 1

^o

C

分析之，將無因次整體

TSIF

，

K

₀^*

= K

₀

[ E

₁

α

_c

T

₀

π w /( 1 − 2 υ

₁

)]

，與

w

a

之關係繪於圖

8

與圖

9

。

圖 8

α −

^{FGM 複合材料(}β^* =^0，

α

1

(

x

)

≠

α

2

(

x

)

^， n=1)，在不同 Dundurs 參數

α

^{*下之整體 TSIF}

圖 9

α −

^{FGM 複合材料(}β^*=^{1/ 4}，

α

1

(

x

)

≠

α

2

(

x

)

^， n=1)，在不同 Dundurs 參數

α

^{*下之整體 TSIF} 當

β

^*

=

0^{時，比較圖}

⁸

^與圖

²

^及圖

⁴

可知，在裂縫長度很短

( a / w ≈ 0 . 1 )

時，圖

8

中

K

₀之值介於圖

2

與圖

4

之間，但在裂縫 長度很長時

(

a

/

w≈

0 . 9 )

，圖

8

中

K

₀之值卻 幾乎與圖

4

中K₀之值一樣大，這表示圖

8

中的

K

_ΙΙ值比較大。

(B) n=1

，增大

α

₁

(

x

)

與α₂(x)差異之分析 如圖

1

，同樣將上下兩層之

α − ^FGM

其熱膨脹係數均設為線性函數分佈，增加

)

1

( x

α

與

α

₂

(

x

)

之 差 異 ， 並 將 分 析 結 果 和

6.2.3

節之

(A)

分析比較之。同

(A)

分析條 件；但改變下層材料之

α

_c2 =

1 . 0

×

10

^{−5 o}C，

oC

m

5 2 =

2 . 1

×

10

⁻

α

。將無因次整體

TSIF

，與

w

a

之關係繪於圖

10

與圖

11

。

圖 10

α −

^{FGM (}β^* =^0，

α

₁

(

x

)

≠

α

₂

(

x

)

^，n=1)，

增加

α

_c^與

α

m^差異下， α^*對整體 TSIF 之影響

圖 11

α −

^{FGM (β*=1/ 4，}

α

1

⁽

x

⁾

≠

α

2

⁽

x

⁾

^，n=1)，

增加

α

_c^與

α

m^差異下， α^*對整體 TSIF 之影響

因為圖

10

與圖

8

中之

α

₁

( x )

相同，但 圖

10

其

α

₂(

x

)^之

α

_m2

= 2 . 1 × 10

^{−5 o}

C

較圖

8

中

α

₂

( x )

^之

α

_m2 =

1 . 7

×

10

^{−5 o}C大，故受溫度 變化後，圖

10

之下層體積膨脹較圖

8

多，

在邊界條件的限制下，圖

10

之模型其裂縫 尖端所產生之拉力效應較圖

8

大，故其介 面裂縫型

Ι

^之

^TSIF

^{較大；而增加}

α

1

⁽ x ⁾

與

)

2

( x

α

的差異，亦使上下兩層材料隨裂縫增 長時材料差異增加，介面裂縫型

ΙΙ

^之

^TSIF

不但增大，且隨裂縫增長有增加之趨勢。

(C) 固定

α₁(x)與

α

₂

(

x

)

，增加

n

值之分析 如圖

1

，設熱膨脹係數為冪次方函數，

(n=2)

，但令

α

_c1^與

α

m1及

α

_c2與

α

_m2和

(A)

之分析相同。取

Dundurs

參數

β

^*

=

0.0與

4

*

/

*

α

β =

，

α

^*為

0.0,0.2,0.4,0.6,0.8

，以溫 度變化T =

1

^oC分析之，將無因次整體

TSIF

)]

2 1 /(

[

_{1 0 1}

0

*

0 =K E

α

T

π

w −

υ

K _c 與 _{a w} 之 關

係繪於圖

12

與圖

13

。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Dimensionless Crack Length:a/w 0

0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

Dimensionless Overall TSIF:K0*

α=0.8 0.6

0.4

0.2

0.0 αc1=1.0 10^-5/^oC

αm1=1.38 10^-5/^oC

αc2=1.0 10^-5/^oC αm2=1.7 10^-5/^oC

) ( ) (

1

2

1x x

n α

α ≠

=

) 2 1

1 (

0

* 0

υ α σ

π σ

−

=

= T E

w K K

c T

T w

w 2 y

a x ) ( , ,_{1 1}

1 x

Eυ α

C T=1^o

) ( , ,_{2 2}

2 x

Eυ α

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Dimensionless Crack Length:a/w 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

Dimensionless Overall TSIF:K0*

αc1=1.0 10^-5/^oC αm1=1.38 10^-5/^oC

αc2=1.0 10^-5/^oC αm2=1.7 10^-5/^oC

α^∗=0.0

0.2 0.4 0.6 0.8

) ( ) (

1

2

1x x

n α

α ≠

=

) 2 1

1 (

0

* 0

υ α σ

π σ

−

=

= T E

w K K

c T

T

w

w 2 y

a x ) ( , ,1 1

1 x

Eυα

C T=1^o

) ( , ,_{2 2}

2 x

E υα

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Dimensionless Crack Length:a/w 0

1 2 3 4 5 6

Dimensionless Overall STIF:K0*

α^∗=0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 αc1=1.0 10^-5/^oC

αm1=1.38 10^-5/^oC

αc2=1.0 10^-5/^oC αm2=2.1 10^-5/^oC

) ( ) (

1

2

1x x

n α

α ≠

=

) 2 1

1 (

0

* 0

υ α σ

π σ

−

=

= T E

w K K

c T

T w

w 2 y

a x ) ( , ,1 1

1 x

Eυα

C T=1^o

) ( , ,_{2 2}

2 x

Eυ α

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Dimensionless Crack Length:a/w 0

0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2

Dimensionless Overall STIF:K0*

α^∗=0.0

0.2

0.4 0.6 0.8

αc1=1.0 10^-5/^oC αm1=1.38 10^-5/^oC

αc2=1.0 10^-5/^oC αm2=2.1 10^-5/^oC )

( ) (

1

2

1x x

n α

α ≠

=

) 2 1

1 (

0

* 0

υ α σ

π σ

−

=

= T E

w K K

c T

T

w

w 2 y

a x ) ( , ,_{1 1}

1 x

Eυα

C T=1^o

) ( , ,_{2 2}

2 x

E υα

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Dimensionless Crack Length:a/w 0

0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6

Dimensionless Overall TSIF:K0*

α^∗=0.8 0.6

0.4

0.2

0.0 αc1=1.0×10^-5/^oC

αm1=1.38×10^-5/^oC

αc2=1.0×10^-5/^oC αm2=1.7×10^-5/^oC

) ( ) (

2

2

1x x

n α

α ≠

=

) 2 1

1 (

0

* 0

υ α σ

π σ

−

=

= T E

w K K

c T

T w

w 2 y

a x ) ( , ,_{1 1}

1 x

Eυα

C T=1^o

) ( , ,_{2 2}

2 x

E υα

圖 12

α −

^{FGM (β*=0，}

α

1

⁽

x

⁾

≠

α

2

⁽

x

⁾

^{)在 n=2，}

不同 Dundurs 參數

α

^*對整體 TSIF 之影響

圖 13

α −

^{FGM (}β^*=α^{* 4，}

α

₁

(

x

)

≠

α

₂

(

x

)

^)在 n=2，不同 Dundurs 參數

α

^*對整體 TSIF 之影響

由前面之分析可知，改變材料熱膨脹 係數函數之

n

值，不會改變徹體力作用之 合力大小，但會改變徹體力在

x

軸方向之 重心位置，故改變

n

值對

TSIF

圖形不會有 影響，但會使相角產生些微變化；而

n

值 增加會使徹體力分佈重心右移，故相角圖 中其型

Ι

^之

^TSIF

^{為零之點會向左移。}

四、結果與討論

(1)

對各種不同複合

α − FGM

而言，若兩 材料之波松比與熱膨脹函數差異性越 大，則裂縫尖端型

ΙΙ

之

TSIF

愈大，若有 一層其楊氏模數下降，則會使裂縫尖端 之型

Ι

之

TSIF

減弱。

(2)

對參數

β

^*

=

0^之複合

α − ^FGM

^，在裂 縫長度較短時，其裂縫尖端之

TSIF

主要 由

K

I所控制；但隨著裂縫長度增加，

K

I

會減小，KII會增大，故裂縫尖端之

TSIF

逐 漸 轉 由

KII 所 控 制 。 但 對 於 參 數

*

4

*

α

β =

之複合

α − FGM

，其

KII值始終 很小，而且只要上下兩層之熱膨脹係數

函數一樣，

KII值不會隨裂縫增長而增加。

(3)

對於複合

α − ^FGM

^{，若上下兩層之熱} 膨脹係數函數差異性增加，其

K

II不但增 大，且有隨裂縫增長而增加較快之趨勢。

五、參考文獻

[1] Suga, T., Elssner, G. and Schmauder, S.,

“Composite Parameters and Mechanical Compatibility of Material Joints,” Journal of Composite Materials, Vol. 22, pp. 917~934 (1988)。

[2] Miyamoto, Y., “Application of FGMs in Japan,” Ceramic Transactions, 76:

Functionally Graded Materials (ed. A. Ghosh, Y. Miyamoto, I. Reimanis and J. J. Lannutti), pp. 171-189, American Ceramic Society, Westerville, Ohio (1997).

[3] 宋見春，譚建國，蕭任智，涂聰明，「裂縫

受徹體力作用之邊界元素法解析,」

中國土

木水利工程學刊

， Vol. 2, No. 2, June (1991)。

[4] Tang, W., Transformation Domain into Boundary Integrals in BEM , Spring-Verlag, New York (1988).

[5] Cherepanov, G. P., Mechanics of Brittle, McGraw-Hill, New York (1979).

[6] 張傳煜，「界面裂縫熱應力強度因子之多區

域邊界元素法分 析」，台灣科技大學營建 工 程 技 術 研 究 所 碩 士 學 位 論 文 ， May (1998)。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Dimensionless Crack Length:a/w 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Dimensionless Overall TSIF:K0*

α^∗=0.0

0.2 0.4

0.6 0.8

αc1=1.0 10^-5/^oC αm1=1.38 10^-5/^oC

αc2=1.0 10^-5/^oC αm2=1.7 10^-5/^oC )

( ) (

2

2

1x x

n α

α ≠

=

) 2 1

1 (

0

* 0

υ α σ

π σ

−

=

= T E

w K K

c T

T

w

w 2 y

a x ) ( , ,_{1 1}

1 x

Eυα

C T=1^o

) ( , ,_{2 2}

2 x

Eυα

6