EduMath 16 (6/2003)
有趣的投信問題及其解法
文耀光、潘建強 香港教育學院數學系 投信問題
如果將 8 封不同的信件隨機投入 4 個不相同的郵筒，而每個郵筒都至 少要投入一封，究竟有多少種不同的投法呢？這個問題看似簡單，但一不 小心，好容易會得出錯誤的答案。如果不相信的話，可隨便找幾個唸過高 中的朋友試試看！（註：答案是 40824。）
本文嘗試給出兩個不同的解法，現分述如下：
解法一 先列舉各種不同的投信組合，並計算其排列數目，然後找出它們 的總和。為了方便說明，我們會以符號 (n1 , n2 , n3 , n4 ) 來表示在不同的郵 筒中分別投入了n1、n2、n3和n4封信的組合，且不妨假設n1 ≤ n2 ≤ n3 ≤ n4。由 於郵筒內的信件排列方式有 C8n1 ×Cn82−n1 ×C8n−3n1−n2 ×Cnn44 （=
!
!
!
!
! 8
4 3 2
1 n n n
n ）
種，所以再乘以選擇郵筒的方式數，便可得出每種不同投信組合之總排列 數目。以下是不同的投信組合之詳細計算步驟：
組合是 (1 , 1 , 1 , 5) 之排列數目：
! 3
! C 4 C C
C18 × 17× 16 × 55×
= 4
! 5
8 ×! = 1344
組合是 (1 , 1 , 2 , 4) 之排列數目：
! 2
! C 4 C C
C18 × 17 × 62 × 44×
= 12
! 4
! 2
!
8 × = 10080
組合是 (1 , 1 , 3 , 3) 之排列數目：
! 2
! 2
! C 4
C C
C18 × 17 × 63 × 33×
= 6
! 3
! 3
!
8 × = 6720
組合是 (1 , 2 , 2 , 3) 之排列數目：
! 2
! C 4 C C
C18 × 72× 52 × 33×
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數學教育第十六期 (6/2003)
= 12
! 3
! 2
! 2
!
8 × = 20160
組合是 (2 , 2 , 2 , 2) 之排列數目：
! 4
! C 4 C C
C82 × 62× 42× 22×
= 2!2!2!2!
!
8 = 2520
∴ 不同的投信方式之數目 = 1344 + 10080 + 6720 + 20160 + 2520 = 40824。
解法二 此解法是採用遞歸式（recursive）的想法，先計算簡單的投信方式 數目，然後遞歸計算較複雜的情況。為了方便說明，我們會以符號 (n , k) 表 示投n封不同的信入k個郵筒，而每個郵筒都至少投入一封的投法數目，其 中 k ≤ n。
當k = 1時，明顯有 (n , 1) = 1。
當k = 2時，由於投每封信都有2個郵筒作選擇，但不容許所有信都投
入同一個郵筒之中，所以得 (n , 2) = 2n − 2 × (n , 1) = 2n − 2。
同理，當k = 3 時，由於投每封信都有3個郵筒作選擇，但不容許所有
信都投入僅一個或兩個郵筒之中，所以得：
(n , 3) = 3n − 3 × (n , 2) − 3 × (n , 1) = 3n − 3 × 2n + 3。 利用類似的分析，當k = 4 時，可得：
(n , 4) = 4n − 4 × (n , 3) − 6 × (n , 2) − 4 × (n , 1) = 4n − 4 × 3n + 6 × 2n − 4。
代入n = 8，可獲得本文討論的投信問題之解如下：
(8 , 4) = 48 − 4 × 38 + 6 × 28 − 4 = 40824。
聰明的讀者可能會注意到此解法跟二項展開式（binomial expansion） 之係數有密切的關係 (*)，而且很容易歸納出普遍情況 (n , k) 的結果，即：
(n , k) = kn −C1k(k −1)n +C2k(k −2)n −KK+(−1)k−1Ckk−1 證明從略，讀者不妨動手一試。
(*) 作者註： 坊間的教科書多以巴斯卡三角（Pascal Triangle）命名，即我國古代的楊 輝三角。
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結語
本文所介紹的兩種方法都各有特色，但以本質而論，第一種解法基本 上是採用了窮舉的策略，必須考慮不同的投信組合才可以進一步算出答 案。假使所涉及的組合之數目相當多，此種解法會變得相當繁瑣，所以不 適合應用在很多信件和信箱的情況。相反，第二種解法是採用了遞歸的策 略來找出答案，容易推廣至 (n , k) 的情況上去，因此對於有很多信件和信 箱的情況仍然適合，而且較輕易地計算出正確答案。
如果讀者有興趣進一步去探討其他方法的話，不妨參考諸如「離散數 學」或「組合數學」之類的大專用書，其中有關「生成函數」的章節，相 信必定會獲益良多呢！
參考書目
1. 黃振杰（2000）。《離散數學》。廈門：廈門大學出版社。
2. Grimaldi, Ralph P. (1994). Discrete and combinatorial mathematics: An applied introduction (3rd edition). Addison-Wesley Press.
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