台北市

台北市 101 學年度

高級中學數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試(一)【參考解答】

【問題一】設r   s t u 0且滿足5r4s 3t 6u2012。試求r  s t u的最 大值與最小值。

(12 分)

解：

【參考解答】：令

u a t, (1)

u  a b s, (2)

u   a b c r, (3)

其中a, b, c 為非負實數.

4 3 2

r   t s u u a b c . (4) 將(1), (2), (3)代入

5r4s 3t 6u2012 (5)

可得18u12a9b5c2012  (2u b c  ) 4(r   s t u) 2012.

顯然要使得r  s t u的值最大, 等價於使得2u b c的值最小, 所以可考慮 0

u  b c , 此 時 4 (r  s t u) 2 0 1 2, 即 r  s t u 的 最 大 值 為 503

( 503

r   s t 3 , u0時, 有最大值 503).

現在考慮r  s t u的最小值. 由於18u12a9b5c2012, 我們可得 5(r   s t u) (2u3a b ) 2012.

顯然要使得r  s t u的值最小, 等價於要使得2u3a b 的值最小, 所以可取 0

u  a b , 此時可得 5(r  s t u)2012, 即r  s t u的最小值為 2012 5 或 402.4 ( 2012

r   s t 15 , u0時, 有最小值 2012

5 或 402.4).

【問題二】(1) 設

 

。 (6 分) (2) 設

 

，上式恆成立。試證:

 

1 2 2 3 1 1

1 1 1 1

n n n

n a a a a a_a a a

    

(1) 依題意可設a_k   a₁ (k 1) ,d k 2,3,...,n,所以有

故得證。

(2) 我們將利用數學歸納法證明此部分。

當 時， ，

所以 成等差數列。

假設當 時， 成等差數列且公差為d。

當 時，我們有

(6) (7) 將(6) (7)得到

化簡上式可知

故 成等差數列。

【問題三】假設某公司連續 個月的營收都是正成長，其月增率分別為 ，

這 個月的平均月增率為 ，而算術

平均數 與幾何平均數 分別為 。

1 2 2 3 1

1 1 1

n n

a a a a  a _a

1 2 2 3 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

n n

d a a d a a d a _ a

   

 

          

     

1

1 1 1 d a an

 

   

 

1

( 1 )

n n

a a d a a

 



1

1

n

n a a

 

3 n

1 2 2 3 1 3

1 1 2

a a a a a a  a₁a₃ 2a₂

1, , 2 3

a a a

nk a a₁, , ₂ a_k 1

n k

1 2 2 3 1 1 1

1 1 1

k k k

k a a a a  a a _ a a _

1 2 2 3 1 1

1 1 1 1

k k k

k a a a a a _a a a

    



1

1 1 1 1 1 1

( 1)

1 1 _{k k}

k k k k k k

ka k a

k k

a a a a a a a a a



  

 

   

1 _k ( 1) _k 1

a ka  k a _

 (k1)a_k1ka_k a1 k a





 a_k1  a₁ kd

1, , 2 , , _{k k} 1

a a a a _

n a a₁, ,₂ ,a_n

n P  ⁿ(1 a₁)(1 a₂) (1  a_n) 1

A G _{1 2}

1

1 ,

n

n

k n

k

A a G a a a

n _





試證： 。 (12 分) 解：

(1)

其中

。

(2) ，其中

。

若令 ，則

，

例如 :

。

因此， ，於是，

。

【問題四】如圖，設圓 P 與圓 Q 相交於兩點 X 與Y ，過點 X 作一對垂直線。若其中 一直線與連心線 PQ 、圓 P 、圓 Q 分別交於點 A 、 B 、C，另一直線與連 心線 PQ 、圓 P 、圓 Q 分別交於點 D 、 E 、 F 且點 A、B、C、D、E、F、

X、Y 均相異。

A  P  G

1 2

1 ⁿ(1 )(1 ) (1 _n) A  P  A    a  a  a

1 1

1 1

1 1 (1 )

n n

k k

k k

A a a

n _ n _

 





1 2

1

1 (1 ) (1 )(1 ) (1 )

n

n

k n

k

a a a a

n _





1 2

1 1 1 1

( )( ) ( _n) ( )ⁿ P  G   a  a  a   G

1 2 1 2

1

1 1 1 1

( )( ) ( )

n

n i i j i j k n

i i j i j k

a a a a a a a a a a a a

   

    







0 1 2 3 1 2

1

1, , , , ,

n

i i j i j k n n

i i j i j k

S S a S a a S a a a S a a a

   

 







1 2

1 2

k k

i i i

i i i k

k

n n

k k

a a a

S G

C C

  





0 1 2

(k  , , , , )n

1

1 1 1 2

1 2 1 3 1

2 2

1 2

2 2 1

2

( )

( )

i j n n

i j n n n n n

n n n

a a a a a a a a

S a a a G

C C n n

        

   





3 1 2 3 1 2 4 2 1

3 3 1 2

6

( )( )

i j k

i j k n n n

n n

a a a

S a a a a a a a a a

n n n

C C

      

 

 



1 2 1 2 1 2 1 2

6 2 2 2 3

1 2

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

n n n n n n n n n

a a an G

       

 

n k

k k

S  C G (k  0 1 2, , , , )n

0 1 2

0 1 _n 0ⁿ 1ⁿ 2ⁿ _n^{n n} (1 )ⁿ

S  S   S  C  G  C G  C G   C G   G

試證:

。 (12 分)

解：

證 1：因為直線ABC 與直線 DEF 垂直，所以， 通過圓心P 且 通過圓心Q。

若直線BF 與連心線 PQ 平行，則在△BCF 中，因為點 Q 是 的中點而點A 是連 心線PQ 與直線 BC 的交點，所以，點 A 是 的中點，即 。另一方面，在△

BEF 中，因為點 P 是 的中點而點D 是連心線 PQ 與直線 EF 的交點，所以，點 D 是

的中點，即 。

設直線BF 與連心線 PQ 交於一點 R。

設過點C 而與連心線 PQ 平行的直線交直線 BF 於點 G。在△FCG 中，因為 與 平行而點Q 是 的中點，所以，點 R 是 的中點，亦即： 。其次，在△

BAR 中，因為 與 平行，所以，可知 。將前一等式代入後一

等式，即得

。

設過點B 而與連心線 PQ 平行的直線交直線 EF 於點 H。在△EBH 中，因為 與 平行而點P 是 的中點，所以，點D 是 的中點，亦即： 。其次，在△

FBH 中，因為 與 平行，所以，可知 。將前一等式代入後一

等式，即得

。 綜合上述兩結果，即得

DF DE AC AB 

Y C

F E

A D X

P

B

Q

BE CF

CF

BC AB AC

BE EF

DF DE

QR CG

CF FG FRGR

CG AR AB:AC BR:GR

FR BR AC AB 

PD BH

BE EH DEDH

DR BH DH:DF BR:FR

FR BR DF DE 

。∥

證 2：因為直線ABC 與直線 DEF 垂直，所以， 通過圓心P 且 通過圓心Q。

若直線BF 與連心線 PQ 平行，則在△BCF 中，因為點 Q 是 的中點而點A 是連 心線PQ 與直線 BC 的交點，所以，點 A 是 的中點，即 。另一方面，在△

BEF 中，因為點 P 是 的中點而點D 是連心線 PQ 與直線 EF 的交點，所以，點 D 是

的中點，即 。

設直線BF 與連心線 PQ 交於一點 R。

在△BCF 中，因為共線的三點 A、Q、R 分別是直線 BC、CF、FB 上的 menelaus 點，

所以，依 Menelaus 定理，可得

， ， 。

在△BEF 中，因為共線的三點 P、D、R 分別是直線 BE、FE、FB 上的 menelaus 點，

所以，依 Menelaus 定理，可得

， ， 。

綜合上述兩結果，即得 。∥

DF DE AC AB 

Y

C R

F E

A D X

P

B

Q

BE CF

CF

BC AB AC

BE EF

DF DE

1









 





RB FR QF CQ AC

BA  1

RB FR AC BA

FR BR AC AB 

1













 RB

FR DF ED PE

BP  1

RB FR DF ED

FR BR DF DE 

DF DE AC AB 