高中數學(4)教師手冊 2-3 三元一次聯立方程式 4
習題 習題
習題習題 2-3 詳解詳解詳解詳解
一一
一一、、、、基本題基本題基本題基本題
1. 設函數 f（x）＝ax2＋bx＋c 通過（0，1）， 5 1,2
， 1 1, 2
− −
三點，試求 a，b，c 之值。
解解解解 將三點代入 f（x）＝ax2＋bx＋c 得 1
5 2
1 2 c
a b c
a b c
=
= + +
− = − +
a＝0，b＝3
2，c＝1。
2. 解
2 1
2 1
3 2 4 3
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − =
+ + =
。 解解
解解 〔解法一〕
直接用加減消去法 2 1
3 3
2
2 4 1 x
x y z
y z
x y z
− − = + + = + + =
由 ＋ ， ×2＋ 得
2 2
7 5
3
x z
x z
+
=
= +
解得 x＝1，z＝－1，代入 得 y＝2。
故方程組恰有一組解 x＝1，y＝2，z＝－1。
〔解法二〕
因為∆＝
1 1 2
2 1 1
3 2 4
− − ＝1 0，
所以方程組恰有一組解，
而且
1 1 2
1 1 1 1
3 2 4
x= − − = ，
1 1 2 2 1 1 2 3 3 4
y= − = ，
1 1 1
2 1 1 1
3 2 3
z= − = − ，
因此，利用克拉瑪公式可得 x＝ x ＝1，y＝ y ＝2，z＝ z ＝－1，
故方程組恰有一組解 x＝1，y＝2，z＝－1。
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◎3. 解方程組 2 2 1 5
2
6 6 4
3
x y z
x
x y z
y z
− + =
− +
− + =
=
，並判斷其所代表的三平面之間的關係。
解 解 解 解
3 7 2 x
y t
z t
= −
= − +
=
，t 為實數，
三平面互異且相交於一直線，如下圖所示。
4. 已知一圓過三點（－1，7），（3，5），（4，2），試求此圓的方程式。
解解解解 設圓的方程式為 x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0，
將（－1，7），（3，5），（4，2）代入方程式，
得
1 49 7 0
9 25 3 5 0
16 4 4 2 0
d e f
d e f
d e f
+ − + + =
+ + + + =
+ + + + =
d＝2，e＝－4，f＝－20，
故圓的方程式為 x2＋y2＋2x－4y－20＝0。
二 二 二
二、、、、進階題進階題進階題進階題
◎5. 判斷三平面 E1：x－2y＋z＝3，E2：3x－y＋2z＝1，E3：7x－4y＋5z＝4 的幾何關係及 其解。
解 解 解
解 三平面兩兩交於一直線，
三直線互相平行，
如下圖所示，故方程組無解。
◎6. 給定坐標空間中四個向量 av
＝（1，0，1），bv
＝（1，0，－1）， cv
＝（0，1，0）與 dv
＝（2，3，4），試問 dv 是 否可表成 x av
＋y bv
＋z cv
的線性組合？若可以，請求出（x，y，z）的所有可能的解。
解 解 解 解
1 0 1 1 0 1 0 1 0
− 0，所以 dv可表成 x av
＋y bv
＋z cv
的線性組合，
解
2 3
4 x y z x y
+ =
=
− =
，得 x＝3，y＝－1，z＝3，故（x，y，z）＝（3，－1，3）。
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7. 小芬利用暑假到日本的京都、大阪、神戶三地自助旅遊，每天的食、住、交通費用如下表。
食 住 交通
京都 3000 4000 2000 大阪 2500 4000 2500 神戶 2000 3000 2000 （單位：日圓）
已知她在這三個地方總共的食、住、交通費用分別為 29000 日圓、43000 日圓、26000 日 圓。試求小芬在京都、大阪、神戶分別待幾天？
解解
解解 設小芬在京都、大阪、神戶分別待 x、y、z 天，依題意列式如下，
3000 2500 2000 29000 4000 4000 3000 43000 2000 2500 2000 26000
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
化簡得
6 5 4 58 4 4 3 43 4 5 4 52
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
由 － 及 ×3－ ×4 得 2 6
2 2
x x y
=
− =
由 得 x＝3，代入 得 y＝4，
再將 x＝3，y＝4 代入 得 z＝5。故小芬在京都、大阪、神戶分別待 3、4、5 天。
◎8. 若方程組
2 1
2 2
2 3
x y z
x y z
x y z a
+ − =
− + =
− + =
有解，試求 a 值及其解。
解 解
解解 因為∆＝
1 1 2
2 1 1 1 2 3
−
−
−
＝0，故此方程組為無解或無限多組解，
因此，若方程組有解，
則由 2 1
2 2
x y z
x y z + − =
− + =
解得 5 5
3 3 x t
y t
z t
=
= − +
= − +
，t 為實數。
代入 x－2y＋3z＝a 中，得 a＝1，同時方程組的解為 5 5 3 3 x t
y t
z t
=
= − +
= − +
，t 為實數。
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三三
三三、、、、挑戰題挑戰題挑戰題挑戰題
9. 今有賣牛二、羊五，以買十三豕，有餘錢一千。賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足。賣羊 六、豕八，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何？
解解
解解 假設牛價 x，羊價 y，豕價 z，
依題意得三元一次聯立方程式
2 5 13 1000 3 9 3 0 5 6 8 600
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
− + + = −
，
解得 x＝1200，y＝500，z＝300，
即牛價 1200，羊價 500，豕價 300。
