反函數與對數

1 函數(functions)與

模型(models)

1.6 ^{反函數與對數函數}

反函數與對數

下表一記錄了一百隻細菌在營養介質中培養，每小時過後的 族群數量。

細菌的族群數量 N 為時間的函數 我們記作 N = f(t) 。

假設現在反過來看，有一位生物學 家想關心到達某個數量 N 時的時間 點 t 。換句話說，可以想像成 t 是 數量 N 的函數。

反函數與對數

這個反過來視 t 為 N 的函數，我們稱為 f 的反函數 (inverse function) ，我們記作 f^–1 讀作 “f inverse” 。

因此這個函數 t = f^–1(N) 就是指族群數量到達 N 時所需要的 時間。

反查表一或者重新表列如右表二，

我們可以得到相關數目所對應到的

f

例如 f^–1(550) = 6，因為 f(6) = 550

反函數與對數

考慮下圖一的 f, g 函數的箭圖。

注意到 f 的對應不會打到同一個值 兩次，也就是所有在 A 中經由 f 對 應到的值都是不同的。

也就是

f(x

而 g 則有 2, 3 都對應到 4 的情況。

用符號寫下來是

g(2) = g(3) = 4 。

反函數與對數

具有如前所述 f 性質的函數，我們稱為一對一函數 (one-to- one function) 。我們重新整理定義如下：

[定義] 我們稱 f 為一對一函數 (one-to-one, 1-1 function) 表示 對任意定義域中的 x₁ ≠ x₂ ，有

f(x

反函數與對數

如右圖，一水平線與 f 的函數圖形相 交超過一點，例如 x₁ 及 x₂ 所對應的 函數值相等 f(x₁) = f(x₂) 。

因此 f 並非一對一函數。

如同以前驗證一圖形為函數圖形的方法，

我們可利用水平線從函數圖形來驗證函數是否為一對一。

此函數並非一對一，

由於 f(x₁) = f(x₂).

圖二

[水平線檢驗法] 一個函數為一對一函數，若且唯若，其函數圖

範例一

試判斷函數 f(x) = x³ 是否為一對一？

解一:

給定兩數 x₁ ≠ x₂ ，若 x₁³ = x₂³，則利用立方差因式分解可得 (x₁ – x₂)(x₁² + x₁

x

後者恆正，因此可推得 x₁ = x₂ ，矛盾。因此 x₁³ ≠ x₂³ 。 解二:

觀察右圖，我們知道 f(x) = x³ 的函 數圖形恆為遞增，因此給定任意水 平線，將與此函數圖形僅相交於一

反函數與對數

一對一函數的重要性，在於一對一的特性使這些函數具有反 函數，反函數的實際定義如下

這個定義的意思是說如果 f 將 x 對應至 y ，則 f^-1 會將 y 對 應回 x 。

由於 f 為一對一函數，因此這個對應關係是唯一的。

[定義] 給定 f 為一對一函數，其定義域為 A ，值域為 B ，則 f 的反函數定義為

f^-1(y) = x ，若 f(x) = y 。 其定義域為 B ，值域為 A 。

反函數與對數函數

f 與 f^-1 相對應的關係我們以下面的箭圖表示：

另外注意到，f 與 f^-1 的定義域與值域恰恰相反：

圖五

反函數與對數

舉例說明， f(x) = x³ 的反函數即取三次方根 f^-1(x) = x^1/3 ， 這是因為：

若 y = x³ ，則 f^-1(y) = f^-1(x) = (x³)^1/3 = x 。

注意：

反函數的符號 f^-1 的 -1 常常與指數相混淆，因此在這裡我們 特別定義 f^-1 的意義即為反函數。

而 f(x) 的倒數，即 f(x) 取指數為 -1 時，我們寫作 [f(x)]^–1 。

範例三

給定函數 f ，在特定幾個數代入其值為 f(1) = 5 ， f(3) = 7，

f(8) = –10 ，試求 f

從上面的定義，我們只要將對應關係倒過來即可：

f

f(3) = 7

f

f

f(8) = –10

範例三 / 解

下面的箭圖解釋了此題中 f 與其反函數的對應關係。

cont’d

反函數的作用將輸入與輸出對調。

圖六

反函數與對數

一般來說，我們將 x 這個符號用作為獨立變數，但當我們關 注在反函數本身 f^–1 的時候，我們便將獨立變數 x 跟應變數 y 的角色互換：

而利用原函數關係 y = f(x) 代換，我們會得到如下兩個的消 去式 (cancellation equation)

反函數與對數

第一個消去式表示，我們從 x 開始，經過 f 送至 f(x) ，再經 過 f^-1 則會回到 x ，如下圖

因此 f^–1 的作用就是抵消 f 的作用。

第二個消去式則是剛好相反， f 的作用抵銷了一開始 f^-1 的作 用。

圖七

反函數與對數

舉例說明，若 f(x) = x³ 則 f^–1(x) = x^1/3 ，此時兩個消去式分 別為：

f

f(f

簡單來說，這個的意思就是，取三次方與開三次方根的作用 剛好會互相抵銷。

反函數與對數

那麼，對一般的函數我們要怎麼計算其反函數？

假設今天有函數 y = f(x) ，若我們能夠反解 y = f(x) 這個方程 式，將 x 用 y 來表示，則根據定義，這個表示式即為我們所 要求的反函數 x = f^–1(y) 。

如果我們仍希望用 x 來作為獨立變數，則我們會交換 x, y 的 位至，改寫為 y = f^–1(x) 。

反函數與對數

將獨立變數與應變數 x, y 相互對調，給了我們一個刻劃反函 數圖形的方法。

考慮到若 f(a) = b 則表示 f^–1(b) = a ，因此若 (a, b) 在 f 的函 數圖形上，則 (b, a) 便會在 f^–1 的函數圖形上。

這是一種 x, y 座標互換的對稱性，

我們可藉由對直線 y = x 作 (a, b) 點的反射得到 (b, a) 。見右圖。

反函數與對數

最後藉由瞄點，對一個 f 的函數圖形，我們可以藉由反射得 到其反函數之圖形如下：

圖九

藉由對 y=x 的反射，我們可以從 y = f(x) 的函數圖

對數函數

對數函數

給定 a > 0 ， 且 a ≠ 1 ，之前我們介紹了這樣的指數函數：

f(x) = a

因此由水平線檢驗法可知， f 存在反函數。

此時的 f^–1 ，我們稱為以 a 為底的對數函數，符號記作

f

使用函數與反函數的記號：

f

f(y) = x

對數函數

因此，若給定 x > 0 ， 則 log_a

x 即為以 a 為底，取指數值得

例如， log₁₀ 0.001 = –3 由於 10^–3 = 0.001 。

前述的消去式一樣可以利用在指數與對數函數上：

給定 f(x) = a^x 與 f^–1(x) = log_a

x ，有

對數函數

從反函數的角度來看，對數函數 log_a 其定義域為 (0, ) 而 值域為 。其圖形恰好就是 y = a^x 的圖形對直線 y = x 作反 射後的圖形。

右圖為當 a > 1 時的對數圖形。

同時我們可以觀察到 y = a^x 在

x > 0 的部分遞增非常快，

因此在對稱後得到的 y = log_a

x ，

對數函數

下圖十二刻畫了幾個不同底數 a > 1 ，所對映到的對數函數

y = log

x 的圖形。

因為 log_a 1 = 0 ，所有對數函數的圖形均會通過 (1, 0) 。

對數函數

由指數函數的指數律，我們可以得到相對應的對數函數性質 如下：

[對數律 law of logarithm] 給定 x, y 為正數，則 1. log_a(xy) = log_ax + log_ay

2. log_a(x/y) = log_ax – log_ay

3. log_a(x^r) = r log_ax, 對任意實數 r

範例六

利用對數律計算 log₂ 80 – log₂ 5 之值。

解:

由前述第二條對數律：

log₂ 80 – log₂ 5 = log₂

= log₂ 16

= 4

自然對數

自然對數

在對數函數所有可能選擇的底數 a 之中，我們有一個很方便 利用的選擇：自然底數 e 。

以 e 為底的對數函數我們稱為自然對數 (natural logarithm)，

記作如下符號

此時以 e 為底的指數，與其反函數自然對數則分別寫為：

自然對數

其函數與反函數的消去式：

特別的，當 x = 1 時，有這樣的關係：

範例七

試求 x 使 ln x = 5 。 解一:

由定義我們知道

ln x = 5 

e

（如果對 ln 符號的運算不習慣的話，可以先使用 log_e ，此 時有 log_e

x = 5 ，因此從定義可知 e

範例七 / 解

解二:

從方程式出發

ln x = 5 兩邊同時取自然指數，可以得到

e

利用指對數的相消可以得到 e^{ln x} = x 。 最後得到 x = e⁵ 。

cont’d

自然對數

對數的換底公式提供了我們把任意底數之對數轉變為自然對 數的方法：

[換底公式]

對任意正數 a ， a ≠ 1 ，我們有 log_ax = ln x / ln a 。

範例十

計算 log₈ 5 之值，其精確度至小數點後六位。

解:

由換底公式：

log₈ 5 =

≈ 0.773976

轉換成自然對數以後，通常自然指數、對數的函數值可以藉 由查表估計而得。

自然對數的圖形與成長

自然對數的圖形與成長

我們再重新複習一下指對數函數的圖形，右下為自然指數 y

= e^x 與對數 y = ln x 的圖形。

由於 y = e^x 經過 y 軸時之切線 斜率為 1 。因此我們可以知道，

通過反射後得到的 y = ln x 之函 數圖形，其經過 x 軸的切線斜 率為 1 的倒數，剛好也是 1 。

自然對數的圖形與成長

與其他底數 a > 1 的對數函數相同，自然對數為遞增函數，

其定義域為 (0, ) ，而在 0 的附近， y 軸為其圖形的漸進 線。

這裡以 y 軸為漸進線的意思是指，當 x 越靠近 0 ， ln x 值負 的越多。

範例十一

試刻畫 y = ln (x – 2) – 1 的函數圖形 解:

我們從 y = ln x 的圖形開始，

像右平移兩單位可得到 y = ln (x – 2) 的圖形，再往下平移一 單位，則可以得到 y = ln (x – 2) – 1 。

結果如下：

自然對數的圖形與成長

雖然 f(x) = ln x 是一個遞增函數，然而在 x 越大時，其成長 的速度越慢。

事實上我們之後會知道， ln x 的成長速度會比 x 的任意正數 次方都要慢。為此我們可以比較這兩個函數 y = ln x 與 y =

x

自然對數的圖形與成長

我們將這兩種函數放在兩種不同尺度的座標圖上比較：

可以發現在一開始 x < 1 時，兩個函數 y = and y = ln x

圖十五 圖十六