Alon 的組合零點定理
張鎮華
1. 從 Hilbert 的零點定理談起
本文主要在介紹 Noga Alon (以色列數學家, 1956 年 2 月 17 日生) 利用多項式解決組 合問題的工作。 這要從 David Hilbert (德國數學家, 1862 年 2 月 23 日 ∼ 1943 年 2 月 14 日) 的零點定理 (Nullstellensatz) 說起, 它是代數幾何的一個基礎, 請參見 van der Waerden 的書 [29]。
考慮以某個體 (field) F 為係數的所有 n 個變數的多項式 f = f (x1, x2, . . . , xn) 所 成的集合, 其元素可做加、 減、 乘、 除 (除法會產生商式和餘式), 是一個環 (ring), 稱之為多 項式環 F[x1, x2, . . . , xn]。 當 c 6= 0 的時候, f 的某一項 cxd11xd22 . . . xdnn 的度數 (degree) deg(cxd11xd22. . . xdnn) 定義成 d1+ d2+· · ·+dn, 而 f 的度數則定義成 f 當中度數最高的項的 度數。 舉例來說, 在兩個變數的實係數多項式環 R[x, y] 中, x4+2x2y3+3y2及其各項的度數為 deg(x4) = 4、 deg(2x2y3) = 5、 deg(3y2) = 2、 deg(x4+2x2y3+3y2) = max{4, 5, 2} = 5。
一個體 F 稱為代數封閉 (algebraically closed) 的意思是說, F 中的任意不是常數的多 項式一定有 F 中的根。 舉例來說, R 就不是代數封閉, 因為多項式 x2 + 1 沒有實數根。 但是 C 就是代數封閉, 因為根據代數基本定理, 任意不是常數的複係數多項式一定有一個複數根。
以下就是 Hilbert 的零點定理。
定理 1.1 (零點定理). 假設 F 是一個代數封閉體, f, g1, g2, . . . , gm 是多項式環 F[x1, x2, . . ., xn] 中的一些多項式。 如果 g1, g2, . . . , gm 的共同根也是 f 的根, 則存在一個正整數 k 及 F[x1, x2, . . . , xn] 中的一些多項式 h1, h2, . . . , hm, 使得 fk= h1g1 + h2g2+· · · + hmgm。
對於 m = n 而且各個 gi 是單變數多項式 Q
ai∈Si(xi − ai) 的特殊情況 (其中 Si 是 F 的有限非空子集), 有下面這個更強的定理。 值得注意的是, 這一次並不需要假設 F 有代數封閉 的條件。
定理 1.2. 假設 F 是一個體, f = (x1, x2, . . . , xn) 是 F[x1, x2, . . . , xn] 中的一個多項式。 如 果 S1, S2, . . . , Sn 是 F 的有限非空子集, 定義 gi(xi) = Q
ai∈Si(xi− ai)。 如果 g1, g2, . . . , gm
21
的共同根也是 f 的根 (即對所有 a1 ∈ S1、a2 ∈ S2、. . .、an∈ Sn都有 f (a1, a2, . . . , an) = 0), 則存在滿足 deg(hi)≤ deg(f) − deg(gi) 的多項式 h1, h2, . . . , hn 使得 f = h1g1+ h2g2+
· · · + hngn。 更進一步來說, 當 R 是 F 的子環, 而且 f, g1, g2, . . . , gn 都在 R[x1, x2, . . . , xn] 時, 前述的 hi 也都在 R[x1, x2, . . . , xn] 內。
Alon [1] 利用定理 1.2 發展出來的組合零點定理 (Combinatorial Nullstellensatz), 提 供了一個靈活的技巧, 可以廣泛地應用在各種組合學的問題上, 尤其在圖論方面的各種應用更 是最近幾年的熱門主題之一。
定理1.3 (組合零點定理). 假設某個體 F 中有 n 個子集 S1, S2, . . . , Sn, 每一個都滿足|Si| >
di; 而且 f 是 F[x1, x2, . . . , xn] 中的一個多項式。 如果 f 的度數為 d1+d2+· · ·+dn, 而且它有 某個非零項 cxd11xd22· · · xdnn, 則存在 a1∈S1、a2∈S2、. . .、an∈Sn 使得 f (a1, a2, . . . , an)6=0。
對於組合零點定理的證明, Alon [1] 用了一個比較迂迴的論述。 他先證明了一個比較弱的 性質 (姑且稱之為弱組合零點定理), 也就是將組合零點定理中的假設
(C1) f 的度數為 d1+ d2+· · · + dn, 而且它有某個非零項 cxd11xd22. . . xdnn, 換成一個比較強的假設
(C0) f 6≡ 0, 而且它的任意非零項 cxd1′1xd2′2 . . . xdn′n 均滿足 d′1 ≤ d1, d′2 ≤ d2, . . . , d′n ≤ dn。 Alon 先證明了弱組合零點定理, 用它來證明定理 1.2, 然後再用定理 1.2 來證明組合零點 定理。 Tao 和 Vu [26] 給了一個直接的數學歸納法證明組合零點定理, 不過他們的證明分成兩 步, 還是有點複雜。 Michalek [22] 給了一個更直接的證明。 亦請參見本文著者 [13, 14] 的證 明。 後來 Laso´n [21] 證明了一個比較強的性質 (姑且稱之為強組合零點定理), 也就是將組合 零點定理中的假設 (C1) 換成一個比較弱的假設
(C2) f 有某個非零項 cxd11xd22. . . xdnn, 且對 f 中任意非零項 c′xd1′1xd2′2. . . xdn′n, 若所有 d′i ≥ di 則所有 d′i = di。
顯然 (C0) 可推得 (C1), 而 (C1) 可以推得 (C2), 但是反過來都不成立。 例如, 當 d1 = 2、d2 = 3、d3 = 4 時, x21x32x43+ x21x22x53 滿足 (C1) 但不滿足 (C0), x21x32x43 + x21x22x63 滿足 (C2) 但不滿足 (C1)。
證明強組合零點定理: 對 d := d1 + d2 +· · · + dn 做數學歸納法證明。 當 d = 0 的時候 d1 = d2 = . . . = dn = 0, f 為非零常數多項式, 定理顯然成立。 假設 d ≥ 1, 不妨假設 d1≥ 1。 選取 a ∈ S1, 利用多項式的長除法, 將 f 除以 x1− a 可得
f (x1, x2, . . . , xn) = q(x1, x2, . . . , xn)(x1− a) + r(x2, x3, . . . , xn),
由於 f 滿足條件 (C2), 可知 q(x1, x2, . . . , xn) 有一項 cxd11−1xd22. . . xdnn 滿足條件 (C2) (但其中的 d1 換成 d1 − 1)、 r(x2, x3, . . . , xn) 是一個有 n − 1 個變數的多項式。 根據已 知條件, F 的子集 S1\{a}, S2, . . . , Sn 除了 |S1\{a}| > d1 − 1 外都有 |Si| > di ; 由 歸納法假設, 存在a1 ∈ S1\{a} 、a2 ∈ S2、. . .、an ∈ Sn 使得 q(a1, a2, . . . , an) 6= 0。 如 果 r(a2, a3, . . . , an) = 0, 則 f (a1, a2, . . . , an) = q(a1, a2, . . . , an)(a1 − a) 6= 0; 如果 r(a2, a3, . . . , an)6= 0, 則 f(a, a2, . . . , an) = r(a2, a3, , . . . , an)6= 0。 定理得證。 接下來我們要利用組合零點定理來解決一些組合問題, 其用法就是設法造出一個多項式 f (x1, x2, . . . , xn) 來模擬想要證明命題的特性, 使得如果這個多項式存在一個特定的點 (a1, a2, . . . , an) 滿足 f (a1, a2, . . . , an)6= 0 的話, (a1, a2, . . . , an) 就會對應於想要的東西, 然後 再用組合零點定理來證明這樣的 (a1, a2, . . . , an) 的確存在。 這些及更多的內容請參見 Alon 的文章 [1]。
2. Cauchy-Davenport 定理 — 加性數論
在數論中, 加性數論 (additive number theory) 在研究整數的子集合, 以及其在加法下 的特性。 更抽象來說, 加性數論的研究包括對於有加法運算的交換群 (abelian group) 以及交 換半群 (commutative semigroup)。 其中主要研究的二個對象分別是交換群或半交換群 G 中 二個子集 A 及 B 的和集 (sumset)
A + B ={a + b : a ∈ A, b ∈ B}, 以及 A 的 k-重和集 (k-fold sumset)
kA = A + A +· · · + A
| {z }
k
。
在這方面的研究, 有一個方向是直接問題, 也就是由 A 的結構來判斷 kA 的結構。 例如, 假設 A 是一個固定的子集, 判斷哪些元集可以表示為 kA 中的和元素 (參見 [23])。 這方面有 二個經典的問題, 一個是 Goldbach 猜想, 也就是, 當 P 是所有質數所成的集合時, 猜想 2P 包括了所有大於 2 的偶數; 另一個是 Waring 問題, 也就是, 當
An ={0n, 1n, 2n, 3n, . . .} 時, k 要多大才能確保 kAn 包括所有正整數。
許多這一類的研究常使用 Hardy-Littlewood 圓法 (circle method) 及篩法 (sieve meth- ods) 當工具。 例如 Vinogradov 證明了, 每一個夠大的奇數都可以表示為三個質數的和, 以及 所有夠大的偶數都可以表示為四個質數的和。 Hilbert 證明了, 對於每一個正整數 n, 每一個非
負整數都是某一個固定數目 k 的 n 次方數的和, 也就是 kAn 包含了所有正整數; 例如 n = 2 時, 每一個非負整數都是 4 個 2 次方數的和, 也就是 4A2 包含了所有正整數。
一般來說, 對於某個非負整數的子集 A, 若可以讓 kA 包括所有的正整數, A 就稱為 k 階 的基底 (basis of order k); 若 kA 包括所有夠大的整數, A 就稱為 k 階漸近基底 (asymptotic basis of order k)。 最近有許多研究是關於有限階漸近基底的一般特性, 例如, 若集合 A 是 k 階漸近基底, 但集合 A 的真子集都不是 k 階漸近基底, 則集合 A 稱為 k 階的最小漸近基底 (minimal asymptotic basis of order k)。 目前已經證明了, 對於任意 k, 總是存在 k 階的 最小漸近基底, 但是也存在不包含k 階的最小漸近基底的k 階漸近基底。 另一個問題是, 一個 n 最少可以表示成某個最小漸進基底中多少個元素的和。 著名的 Erd˝os-Tur´an 猜想也是有關漸 近基底的問題。
另一個方向關注的是反問題 (最近此研究方向常稱為加性組合學), 假設已經知道和集 A+
B 的資訊, 目的是要找到個別集合 A 和 B 的資訊 (參見 [24])。 和上述有關基底的問題不同, 這個方向處理的多半是有限子集而不是無限子集。 典型的問題是 |A + B| 相對於 |A| 和 |B|
很小時, 這兩個子集有什麼樣的結構。 在整數的例子中, 經典的 Freiman 問題用多維算術級數 提供了有力的部分答案。 另一個典型的問題是要以 |A| 和 |B| 來表示 |A + B| 的下限。 這類問 題的例子有 Cauchy-Davenport 定理及限制和集 (restricted sumset) 的 Erd˝os-Heilbronn 猜想。 用來解決這類問題的方式來自各數學領域, 例如組合學、 遍歷理論、 分析、 圖論、 群論、 線 性代數及多項式法。
下面來介紹 Cauchy-Davenport 定理。 先介紹一些更基礎的內容。
假設 A 和 B 是兩個正整數的有限非空子集, 令 |A| = n 而 |B| = m。 第一個問題是,
|A + B| 可能會多大?
當 A = {1, 2, . . . , n} 而 B = {n, 2n, . . . , mn} 時, A + B = {n + 1, n + 2, . . . , n + mn}, 此時 |A + B| = mn = |A||B|, 相對比較大。 事實上, 這已經是最大可能了, 因為容易 看出來, 一般來說都有
|A + B| ≤ |A||B|。
另一方面, 當 A ={1, 2, . . . , n} 而 B = {1, 2, . . . , m} 時, A+B = {2, 3, . . . , n+m}, 此時 |A + B| = n + m − 1 = |A| + |B| − 1, 相對比較小。 事實上, 這是最小可能了, 一般來 說, 假設
A ={a1 < a2 <· · · < an}、 B = {b1 < b2 <· · · < bm}, 則下面這個遞增數列包含了 A + B 中的 n + m− 1 個數,
a1+b1< a1+b2< a1+b3<· · ·<a1+bm−1< a1+bm< a2+bm<· · ·<an−1+bm< an+bm。 反過來, 我們可以問, 如果 |A + B| = |A| + |B| − 1, 那麼 A 和 B 會長成甚麼樣子? 當 A 或 B 只有一個元素時, 不管另一個集合長相如何, 顯然會有 |A + B| = |A| + |B| − 1。 所
以假設|A| = n ≥ 2 且 |B| = m ≥ 2。 當 |A + B| = n + m − 1 時, 再考慮下面這個遞增數 列, 它也包含了 A + B 中的 n + m− 1 個數,
a1+b1< a2+b1< a2+b2<· · ·<a2+bm−2< a2+bm−1< a3+bm−1<· · ·<an+bm−1< an+bm。 因為 |A + B| = n + m − 1, 前述的兩個數列, A + B 的所有元素恰好都出現在數列中一次, 所以這兩個數列的各對應項相等, 而有
a1+ bj = a2 + bj−1 (2≤ j ≤ m)、ai+ bm = ai+1+ bm−1 (1≤ i ≤ n − 1), 也就是
a2− a1 = bj− bj−1 (2≤ j ≤ m)、ai+1− ai = bm− bm−1 (1≤ i ≤ n − 1), 因此, A 和 B 是兩個有共同非零公差 d 的等差級數所成的集合。 當然, 具有這樣性質的 A 和 B 也會有 |A + B| = |A| + |B| − 1。
綜合來說, 有如下的性質。
命題 2.4. 若 A 和 B 是 Z 的有限非空子集, 則 |A + B| ≥ |A| + |B| − 1。 更進一步來說,
|A + B| = |A| + |B| − 1 若且唯若 |A| = 1 或 |B| = 1, 或是存在某個 d > 0 使得
A ={a, a + d, a + 2d, . . . , a + (|A| − 1)d}、B = {b, b + d, b + 2d, . . . , b + (|B| − 1)d}。
性質 2.4 的證明主要用到整數可以比較大小, 所以將其中的整數集 Z 換成實數集 R, 性 質還會成立。 但是如果將整數集 Z 換成複數集 C, 情況會是如何呢? 一般常說, 複數集是 「不 能定義」 大小關係的; 這樣的說法其實不夠精確, 更精確來說, 應該是, 如果在複數集定義大小 關係, 則不能滿足一般大小關係習慣有的一些性質, 例如
(P1) 三個關係 a < b、 a = b、 b < a 恰有一個成立;
(P2) 關係 0 < a 等價於 −a < 0;
(P3) 若 a < b 且 b < c, 則 a < c;
(P4) 若 a < b, 則 a + c < b + c;
(P5) 若 a < b 且 0 < c, 則 ac < bc。
如果複數中可以定義滿足前述五個性質的大小關係, 則會產生矛盾, 說明如下。
先來看 √
−1。 因為 0 6=√
−1, 則由 (P1) 可知 0 <√
−1 或√
−1 < 0。 當 0 <√
−1 時, 由 (P5) 就會得到 0√
−1 < √
−1√
−1, 也就是 0 < −1。 當 √
−1 < 0 時, 由 (P2) 就 有 0 < −√
−1, 再由 (P5) 就會得到 0(−√
−1) < (−√
−1)(−√
−1), 也就是 0 < −1。 所 以總是有 0 < −1, 再一次利用 (P5) 得到 0(−1) < (−1)(−1), 也就是 0 < 1, 再由 (P2) 就 有 −1 < 0, 這和 0 < −1 違反 (P1) 而產生矛盾。
不過, 複數中卻可以定義大小關係為
「對於實數 a, b, a′, b′, 若 a < a′、 或者 a = a′ 但是 b < b′, 則稱 a + b√
−1 < a′+ b′√
−1。」
此時雖然性質 (P5) 不成立, 但是 (P1)、(P2)、(P3)、(P4) 都成立。 前面證明性質 2.4 時, 其實 並不會用到乘法, 只需有性質 (P1)、(P2)、(P3)、(P4) 就夠了。 所以性質 2.4 中的 Z 換成 C 後 還是成立。
這樣來說, 是不是對任何加法系統都會有|A + B| ≥ |A| + |B| − 1 的不等式? 答案是不 會。
考慮模環 Zr, 也就是 Zr = {0, 1, 2, . . . , r − 1}, 其中的加法、 乘法是整數的加法、 乘法 後取 mod r。 例如, 在 Z9 中, 3 + 3 = 6、6 + 6 = (12 mod 9) = 3、2× 2 = 4、4 × 4 = (16 mod 9) = 7。
要注意的是, 為了討論性質 2.4 並不需要考慮乘法。 其次, Zr 中並無法定義大小關係使得 性質 (P1)、(P3)、(P4) 都成立, 說明如下。 如果 0 < 1, 則連續使用 (P4) 就會得到 1 < 2、2 <
3、. . .、n− 1 < (n − 1) + 1 = 0, 再連續使用 (P3) 就會得到 0 < 0, 和 (P1) 矛盾; 如果 1 < 0, 則連續使用 (P4) 就會得到 2 < 1、3 < 2、. . .、0 = (n− 1) + 1 < n − 1, 再連續使用 (P3) 就會得到 0 < 0, 和 (P1) 矛盾。
事實上, 考慮 Z9 的部分集合 A = B = {0, 3, 6} 時, A + B = {0, 3, 6}, 所以
|A + B| = |A| = |B| = 3, 此時 |A + B| ≥ |A| + |B| − 1 並不成立。
不過在特殊情況, 當 r 是質數時, 只要 |A + B| 不超過 r, 確實會有 |A + B| ≥ |A| +
|B| − 1, 這就是著名的 Cauchy-Davenport 定理。
定理 2.5 (Cauchy-Davenport 定理). 若 p 為質數, A 和 B 為 Zp 的兩個非空子集 , 則
|A + B| ≥ min{p, |A| + |B| − 1}。
Augustin-Louis Cauchy (法國數學家, 1789 年 8 月 21 日 ∼ 1857 年 5 月 23 日) 在 1813 年證明了這個定理, 利用它重新證明了 Joseph-Louis Lagrange (義大利數學家, 1736 年 2 月 25 日 ∼ 1813 年 4 月 10 日) 在 1770 年得到的結果, 任意正整數是 4 個平方數的 和。 後來 Davenport 將此定理敘述為 Khintchine 的一個關於兩個整數列和的 Schnirelman 密度的猜想 (後來被 H. Mann 證明了) 的離散相似版本, 這個結果有若干推廣, 例如可參見 [24]。 Cauchy 和 Davenport 對於定理 2.5 的證明用了相同的組合概念, 都是在|B| 上做數學 歸納法。 [9, 10] 最近提供了不同的代數證法, 其優點是可以輕易地推廣到若干相關結果。 Alon [1] 利用組合零點定理提供 Cauchy-Davenport 定理的如下的簡單證明, 其中, 當 p 是質數時, Zp 是一個體。
證明 Cauchy-Davenport 定理: 如果 |A + B| ≥ p, 定理顯然成立, 所以只需考慮 |A + B| ≤ p − 1 的情況。 假設定理不成立, 也就是 |A + B| ≤ |A| + |B| − 2。 令 S1 = A 且
S2 = B, 則可選取非負整數 d1 和 d2 使得|A + B| = d1+ d2、|S1| > d1、|S2| > d2。 考慮 Zp[x, y] 中的多項式
f (x, y) = Y
c∈A+B
(x + y− c), 其度數為|A+B| = d1+ d2, 而且它有一個項 d1d+d2
1
xd1yd2。 因為 d1+ d2 < p, 所以 d1d+d2
1
當作整數不是 p 的倍數, 當作 Zp 的元素不為 0, 所以根據組合零點定理, 存在 a ∈ A、b ∈ B 使得 f (a, b) 6= 0。 因為 a + b ∈ A + B, 由 f(x, y) 的定義得知 f(a, b) = 0, 矛盾。
一些涉及限制和集的類似結果如下所述。
定理 2.6 (Dias da Silva-Hamidoune [15]). 若 p 為質數, A 為 Zp 的一個非空子集 , 則 |{a + a′ : a, a′ ∈ A, a 6= a′}| ≥ min{p, 2|A| − 3}。
定理 2.7 (Alon-Nathanson-Ruzsa [9]). 若 p 為質數, A 和 B 為 Zp 的兩個非空子集 , 則 |{a + b : a ∈ A, b ∈ B, ab 6= 1}| ≥ min{p, |A| + |B| − 3}。
3. 利用組合零點定理證明圖論中的三個定理
圖論這門學問有將近三百年的歷史, 經由各方學者的研究, 已經有很完整的發展, 不但在 數學上有其深度, 在其他領域上也有很多應用。 很少有一個數學的分支可以說是哪一年誕生的, 而現在大家公認, Euler 在 1736 年解決 K¨onigsberg 七橋問題的文章 [18] 是圖論的起源。
從 1736 年到 1936 年這整整兩百年, 可以說是圖論的春秋戰國時代, 不同領域的人們 在他們各自的崗位上, 用不同的名稱、 不同的內容, 探索和 Euler 發現的圖一樣的概念 (參見 Biggs、 Lloyd 和 Wilson 的書 [11])。 一直到 1936 年, K˝onig 寫出圖論的第一本著作 《有限 和無限圖的理論》[20], 正式宣告圖論這門學問誕生。 這以後的八十多年來, 各式各樣的圖論書 籍, 呈幾何級數的速度產生。
這一節利用組合零點定理來證明一些圖論上的定理。 我們討論的圖都是簡單圖 (simple graph), 也就是, 只有有限多個點、 沒有重邊 (multiple edges)、 沒有迴邊 (loops); 如果要 討論有有限多個點、 允許重邊、 沒有迴邊的圖, 會稱之為重圖 (multi-graph) 以便區別。
正則子圖的存在性
Berge 和 Sauer 曾猜想任何 4-正則圖都一定包含一個 3-正則子圖 (參見 Bondy 和 Murty 的書 [12] 第 246 頁), 這個猜想後來被 Ta´skinov [27] 證明。 不過很容易看出這個猜想 對於重圖是不會成立的 (考慮 C3 把每條邊複製成兩條重邊就是一個反例)。 但是可以證明, 一 個 4-正則重圖只要再加入一條邊, 就會保證裡面有 3-正則子重圖。 而這個結果是下面這個定理 的特例, Alon [1] 利用組合零點定理證明如下。
定理 3.1 (Alon-Friedland-Kalai [3, 4]). 如果 p 是質數1, 而且 G 是一個最大度數
∆(G) = 2p− 1 且平均度數大於 2p − 2 的重圖, 則 G 包含一個 p-正則子重圖。
證明: 假設 G 有 n 點及 m 邊。 每一條邊 e 定義一個變數 xe, 然後考慮在有限體 Zp 上的多 項式
f (~x) = Y
v∈V (G)
1− X
e∋v
xe
p−1
− Y
e∈E(G)
(1− xe) 。
這個多項式第一個乘積是把 n 個度數是 p − 1 的多項式乘起來, 而因為 G 的平均度數大於 2p− 2, 知道有 n(p − 1) < m; 又因為它的第二個乘積的度數是 m, 於是知道 f(~x) 的度數 是 m, 其中 Q
e∈E(G)xe 這項的係數是 (−1)m+1, 所以不等於 0。 對於這項來說每個 de 都是 1, 所以若對所有 e ∈ E 都取 Se = {0, 1}, 則根據組合零點定理, 存在某個 ~a = (ae : e ∈ E(G)) ∈Q
e∈E(G)Se 使得 f (~a)6= 0。
這時候, 根據各個 ae 是 0 或 1, 可以決定出 G 的一個子重圖 H, 其中 e ∈ E(H) 若且 唯若 ae = 1。 這個子重圖 H 至少有一條邊, 因為 f (~0) = 0。 既然 H 有邊, 那麼在 f (~a) 的定 義當中第二個乘積就會是 0。 這時候, 如果對於某個 v 來說 P
e∋vae 在 Zp 當中不是 0, 那麼 根據 Fermat 小定理就有
1− X
e∋v
ae
p−1
≡ 0 (mod p),
所以 f (~a) 的定義當中的第一個乘積也是 0, 這跟 f (~a) 6= 0 矛盾; 這就表示對於每個點 v 來 說都要有 degH(v) = P
e∋vae ≡ 0 (mod p), 但問題是 ∆(G) = 2p − 1, 所以 degH(v) 若 不是 0 就是恰好等於 p, 所以 H 去掉那些孤立點以後就是 G 的一個 p-正則子重圖。 和 d-點團集相交的集合的數目
下面是組合零點定理的另一個應用, 其內容看起來有一點不自然, 但展示了組合零點定理 的多功能性。
定理 3.2. 如果 p 是質數, 而 G = (V, E) 的點數 |V | > d(p − 1), 則存在一個非空的點集 U ⊆ V , 使得和 U 相交的 d-點團的數目是 p 的倍數。
證明: 每一個點 v 定義一個變數 xv, 然後考慮在有限體 Zp 上的多項式 f (~x) = Y
v∈V
(1− xv)− 1 + g(~x)p−1, 其中 g(~x) = X
∅6=I⊆V
(−1)|I|+1K(I)Y
v∈I
xv,
1 其實他們證明了這個結論對於 p 是質數次方的情況也是對的, 但這裡只證明比較簡單的, 當 p 是質數的情況。 另外, 這個定理是不是 對於任何自然數 p 都成立, 是一個還沒有被解決的問題。
K(I) 表示包含 I 的 d-點團的數目。 因為只有在 |I| ≤ d 的時候 K(I) 6= 0, 所以 g(~x) 的 次數最多是 d; 又因為 |V | > d(p − 1), 所以 f(~x) 的次數是 |V |, 其中 Q
v∈V xv 這項的係 數是 (−1)|V |, 所以不等於 0。 對於這項來說每個 dv 都是 1, 所以如果對所有 v ∈ V 都取 Sv ={0, 1}, 則根據組合零點定理, 存在某個 ~a = (av : v ∈ V ) ∈Q
v∈V Sv 使得 f (~a)6= 0。
令 U = {v ∈ V : av = 1}, 因為 f(~0) = 0, 所以 U 6= ∅。 既然 U 6= ∅, 那麼 在 f (~a) 的定義當中第一個乘積就會是 0。 這時候, g(~a)p−1 6= 1, 那麼根據 Fermat 小定理 就有 g(~a) = 0 ∈ Zp, 因為 Q
v∈Iav 只有在 I ⊆ U 的時候不是 0, 其實等於 1, 所以 g(~a) =P
∅6=I⊆U(−1)|I|+1K(I), 根據排容原理, 這就是和 U 相交的 d-點團的個數, 在 Zp 是
0, 當作整數是 p 的倍數。
上面這個結果也可以推廣到 p 是某個質數的次方的情況, 一些相關的結果請參見 [2, 8]。
圖著色問題
圖的著色問題可追溯到 1850 年英國有一位學生 Francis Guthrie 提出來的四色問題。 這 個問題經過一百多年, 最後才在 1976 年, 由 Appel, Haken 與 Koch [6, 7] 藉著電腦的幫助, 透過放電論證法 (discharging method), 證明成為四色定理, 他們的證明後來被 Robertson, Sanders, Seymour 與 Thomas [25] 簡化, 不過還是不能避免利用到電腦來證明。
四色問題可以說是圖論當中, 除了七橋問題以外最有名的問題, 其所衍生出來的許多著色 問題, 引發了許多精彩的理論。 著色問題除了歷史性的挑戰以外, 在現今的許多實際應用問題 如: 排時、 排序、 時間表、 頻道分配、 資源分配、 實驗設計等議題上都十分有用。 圖著色與圖論 的其他部分、 數學的其他分支, 甚至其他科學也有很深而不可分離的關係。 一百多年來的發展, 已經產生了許多深刻的結果與工具, 並且造就了許多具挑戰性的未解問題。
一個圖 G 的 k-著色 (k-coloring) 是指一個函數 f : V (G) → {1, 2, . . . , k}, 而一個正 常 k-著色 (proper k-coloring) 則是指使得 f (x) 6= f(y) 對相鄰兩點 x 和 y 都成立的 k-著 色。 圖 G 的著色數 (chromatic number)χ(G) 是指使得 G 存在正常 k-著色的最小 k。 如果 χ(G) ≤ k, 也會說 G 可以被 k-著色 (k-colorable)。 在這個定義之下, 四色定理的內容就是
「任意平面圖 G 都可以被四著色」。
列表著色是點著色的一種推廣, 在這種著色方式當中仍舊是要給每一點著上一種顏色, 不 過每個點各自可以使用的顏色集合可能各不相同, 有別於先前的著色模式中每個點可用的顏色 集合都是 {1, 2, . . . , k}。 這種著色概念由 Vizing [28] 及 Erd˝os、Rubin 與 Taylor [17] 獨立 介紹出來。
對於圖 G 中的每一點 v, 令 L(v) 是可供 v 選擇的顏色集。 一個正常列表著色 (proper list coloring)f 是使得每一點 v 都有 f (v) ∈ L(v) 的正常著色。 如果無論 L(v) 如何給定, 只要 |L(v)| ≥ k 的話 G 都有正常列表著色, 就說 G 可被列表 k-著色 (list k-colorable) 或
k-可選擇的 (k-choosable), 而 G 的列表著色數 (list chromatic number 或 choice number 或 choosability) χℓ(G) 就是使 G 可被列表 k-著色的最小 k。
Alon [1] 利用組合零點定理證明 Alon 和 Tarsi [5] 的一個結果。
對於有 n 個點的圖 G = (V, E), 不妨假設 V ={1, 2, . . . , n}, 點 i 對應到變數 xi, 考 慮 n 個變數的 |E| 次多項式
fG(x1, x2, . . . , xn) =Y
{(xi− xj) : i < j,{i, j} ∈ E}。
說一個有向圖 D 是一個循環 (circulation), 如果 deg+D(v) = deg−D(v) 對於每個點 v 都 成立的話。 一個循環的奇偶性是根據它邊數的奇偶性來界定的。 用 CE(D) 和 CO(D) 分別表 示, 有向圖 D 的子圖是偶循環和奇循環的集合。
定理 3.3 (Alon-Tarsi [5]). 令 D = (V, E) 是點集 V ={1, 2, . . . , n} 的圖 G 的一個定 向, 它滿足|CE(D)| 6= |CO(D)|。 如果 g : V → Z 定義成 g(i) = di+1, 其中 di = deg+D(i), 則 G 是 g-可選擇的。
證明: 對 1≤ i ≤ n, 令 Si ⊆ Z 含 di+ 1 個整數, 要由 Si 中取一個顏色 ai 著點 i 構成 G 的著色, 等同於要滿足 fG(a1, a2, . . . , an)6= 0。 因為 fG(x1, x2, . . . , xn) 的度數是 Pn
i=1di, 由組合零點定理, 只要驗證 Qn
i=1xdii 在 fG 的係數不是 0 就可以。
把 fG(x1, x2, . . . , xn) 的 |E| 個相乘項 xi − xj 展開, 得到 2|E| 項 (−1)rQn i=1xdi′i, 這種單項多項式對應到 G 的一個定向 D′: 從 |E| − r 項 xi − xj 中取 xi 相乘、 這對應 到有向邊 ij, 從 r 項 xi − xj 中取 −xj 相乘, 這對應到有向邊 ji。 這時候, 對所有 i 會有 d′i = deg+D′(i)。 用 DE(d′1, d′2, . . . , d′n) 和 DO(d′1, d′2, . . . , d′n) 分別表示 G 的定向 D′ 出度 序列是 d′1, d′2, . . . , d′n 而 r (也就是 j > i 的邊 ji 的個數) 是偶數和奇數的集合, 則
fG(x1, x2, . . . , xn) = X
d′1,d′2,...,d′n≥0
(|DE(d′1, d′2, . . . , d′n)| − |DO(d′1, d′2, . . . , d′n)|) Yn
i=1
xdi′i。 對給定的 D, 它的度序列是 d1, d2, . . . , dn。 對任意 D′ ∈ DE(d1, d2, . . . , dn)∪ DO(d1, d2, . . . , dn), 考慮 D 中在 D′ 中是反向的所有邊的集合所構成的有向圖 D′′。 因為 D 和 D′ 有 相同的出度序列, 所以 D′′ 是 D 的循環子圖。 對應 D′ −→ D′′ 顯然是 DE(d1, d2, . . . , dn)∪ DO(d1, d2, . . . , dn) 到 CE(D)∪ CO(D) 的 1-1 映成函數, 而且當 D ∈ DE(d1, d2, . . . , dn) 的時候 D′ ∈ DE(d1, d2, . . . , dn) 若且唯若 D′′ ∈ CE(D), 當 D ∈ DO(d1, d2, . . . , dn) 的時 候 D′ ∈ DE(d1, d2, . . . , dn) 若且唯若 D′′ ∈ CO(D), 所以
||DE(d1, d2, . . . , dn)| − |DO(d1, d2, . . . , dn)|| = ||CE(D)| − |CO(D)|| ,
由於 |CE(D)| 6= |CO(D)|, 得知 |DE(d1, d2, . . . , dn)| − |DO(d1, d2, . . . , dn)| 6= 0, 也就是 Qn
i=1xdii 在 fG 的係數不是 0。
最後來討論這個定理的一個有趣的應用。 堵丁柱、 許得標、 黃光明 [16] 曾考慮下面的問 題, 一個有 3n 點的圖 G 有 Hamilton 圈, 它的點任意分成 n 組, 每組 3 點、 連成一個三角 形。 這是一個 4-正則圖, 滿足
3n/χ(G)≤ α(G) ≤ θ(G) = n 以及 3 = ω(G) ≤ χ(G)。
堵-許-黃 猜想 α(G) = n, Erd˝os 把它加強猜想 χ(G) = 3。 利用前面的定理, Fleischner 和 Stiebitz [19] 證明 G 是 3-可選擇的。
其他一些相關結果亦請參見 [1]。
參考文獻
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—本文作者任台灣大學數學系, 名譽教授—
