無限多片的拼圖遊戲

無限多片的拼圖遊戲

沈淵源

摘要: 透過數學運算大師 Mathematica所提供的 ζ(s) =

^P

^∞_n=1n^1s 之值, 我們一起 來探討這個無窮級數之和的公式。 當 s = 2m 為正偶數之時, Mathematica 告訴我 們 ζ(2m) 為 π^2m 的有理數倍。 在數學運算大師 Mathematica 的協助之下, 我們將 帶領你由這些個別的函數值 ζ(2m) 來拼裝出整個公式的形式圖樣。 至於 s 為正奇數之時, Mathematica 卻不作任何的表態。 事實上, 連最簡單的 ζ(3) 到目前為止還是沒有一個 公式如 ζ(2m) 者存在。 這有待您來繼續努力, 無限的機會就擺在你面前, 不是嗎?

1. 引言

談完自然數的正冪次方和 [13] 之後, 很自然的希望看看負冪次方和的情況。 前者當然是發 散級數, 因此所謂的和指的是部分和, 這已在前文 [13] 探討過了並得到一個很漂亮的公式:

1ⁿ+ 2ⁿ+ 3ⁿ+ · · · + (k − 1)ⁿ= 1 n + 1

n

X

i=0

n + 1 i

!

Bi kⁿ⁺¹⁻ⁱ,

此處 Bi 為 Bernoulli 數 (B₀ = 1, B1 = −1/2, B2 = 1/6, B3 = B5 = · · · = 0, B4 = −1/30, B6 = 1/42, B8 = −1/30, B10 = 5/66, B12 = −691/2730, B14 = 7/6, B16 = −3617/510, B18= 43867/798, B20= −174611/330)。

至於後者, 那更是眾所皆知; 只要是學過微積分的人都知道 p 級數收歛的充分而且必要條件為 p > 1, 亦即

∞

X

n=1

1

n^p 是收歛的 ⇐⇒ p > 1.

所以我們可以用這個無窮級數來定義一個在區間 (1, ∞) 上的函數且可將其定義域推廣至複數 平面中實部大於 1的那個半平面, 通常稱之為 Riemann¹ zeta 函數。

1黎曼Bernhard Riemann(1826–1866)德國數學家。 他是十九世紀數學的主要人物。 在許多方面,他可以說是高斯(Carl Friedrich Gauss1777–1855)的傳人。 冠上他名字的有Cauchy-Riemann方程式、Riemann曲面、_Riemann幾何、_Riemann 微分方程式、 Riemann積分、Riemann zeta函數以及Riemann假設。 而這些正是他在數學上主要的工作。 他1845年有名的演 講 「論幾何學之基礎假說」_[12],呈現出他在幾何學上基本的理念_,由此發展出一套 「非歐幾何學」。 進而成為日後愛因斯坦 (Albert Einstein1879–1955)拿來當成他描述我們這個宇宙的工具以及發展成為二十世紀的流形理論(the theory of manifolds)。

12

傳統上, 我們用符號 ζ(s) 來表示這個無窮級數的和, 亦即 ζ(s) =

∞

X

n=1

1

n^s, s ∈

^C

, ℜ(s) > 1.

經解析延拓 (continued analytically) 之後, 此函數是一個半純函數 (meromorphic func- tion)。 現在先將此 s 限制在大於 1 的整數上, 讓我們一起來探討這個級數的和是多少?

一般而言, 求和的第一步就是先求其部分和 ζN(s) =

^P

^N_{n=1 n}^1s 的公式, 然後再經由此公 式求其極限值 lim_N→∞ζN(s), 此即 ζ(s)。 在此我們逆向行駛, 利用數學運算大師 Mathe- matica 所提供的 ζ(s) 之值來探討此級數之和的公式。

當 s 為一正偶數 2m 之時, Mathematica 告訴我們 ζ(2m) 為 π^2m 的有理數倍。 怎 麼樣從這些個別的函數值 ζ(2m), m ∈

^N

來拼裝出原先整個公式的形式圖樣呢? 這好比是在 玩一盤具有無限多片的拼圖遊戲。 每一個函數值 ζ(2m), m ∈

^N

的本身都代表一片圖片, 而將 這些無限多的一片片拼成一幅圖畫, 就相當於找出 ζ(2m) 的公式。 這不僅僅需要有源源不絕的 靈感, 更需要有活潑充沛的聯想力與豐富無比的想像力。 在數學運算大師 Mathematica 的 協助之下, 我們將帶領您透過這些個別的函數值 ζ(2m), m ∈

^N

來拼裝出整個公式的形式圖 樣。 至於 s 為正奇數之時, Mathematica 卻不作任何的表態。 事實上, 連最簡單的 ζ(3) 到 目前為止, 還是沒有一個公式如 ζ(2m) 者存在。 這有待您繼續的努力與殷勤的探索, 並可藉此 來開闢一片新天地。 無限的機會就擺在你面前, 不是嗎?

2. 一瞥 ζ(s) 之值—Mathematica 管用嗎?

在 Mathematica 中, 盡可能的它會給你確定 (exact) 值。 譬如在下面的例子當中, 你 輸入計算函數值 ζ(3) 的指令 Zeta[3], 而輸出呢也同樣是 ζ(3); 此乃因為 ζ(s) 為其內建的 函數, 而 ζ(3) 又沒有其他的表示法, 所以 Mathematica 認為只有 ζ(3) 能表達其確定值。

若是要得到估計值, 你只能用指令 N[Zeta[3],30] 來達成你的願望。

(a) 同時列出 ζ(s), s = 2, 3, 4, . . . 20 的確定值與近似值。

In[1]:= m={Table[Zeta[s],{s,2,20}],N[Table[Zeta[s], {s,2,20}],30]};Transpose[m]//MatrixForm (b) 請問你有何發現? 你能看出一般 ζ(s) 的公式嗎? 困難何在?

(c) 試試圖形又如何? 你能看出一般 ζ(s) 的公式嗎? 困難何在?

In[2]:= pic1=Plot[Zeta[s],{s,-22,22},PlotStyle->

RGBColor[1,0,0]];pic2=Plot[Zeta[s],{s,1,22}, PlotStyle->RGBColor[0,0,1]];

Show[GraphicsArray[{{pic1},{pic2}}]]

5 10 15 20

1 2 3 4 5 6 7

-20 -10 10 20

-3 -2 -1 1 2 3

圖1. 函數 ζ(s) 在區間 [−22, 22] 與區間 [1, 22] 的圖形。

(d) 感覺上, 圖形 (見圖 1) 似乎是不會有任何的幫助, 所以只好專注在 (a) 部份之列表。 用矩 陣形式顯示如下:















































































































π²

6 1.64493406684822643647241516665 Zeta[3] 1.20205690315959428539973816151

π⁴

90 1.08232323371113819151600369654 Zeta[5] 1.03692775514336992633136548646

π⁶

945 1.01734306198444913971451792979 Zeta[7] 1.00834927738192282683979754985

π⁸

9450 1.00407735619794433937868523851 Zeta[9] 1.00200839282608221441785276923

π¹⁰

93555 1.00099457512781808533714595890 Zeta[11] 1.00049418860411946455870228253

691π¹²

638512875 1.00024608655330804829863799805 Zeta[13] 1.00012271334757848914675183653

2π¹⁴

18243225 1.00006124813505870482925854511 Zeta[15] 1.00003058823630702049355172851

3617π¹⁶

325641566250 1.00001528225940865187173257149 Zeta[17] 1.00000763719763789976227360029

43867π¹⁸

38979295480125 1.00000381729326499983985646164 Zeta[19] 1.00000190821271655393892565696

174611π²⁰

1531329465290625 1.00000095396203387279611315204















































































































一眼即可看出, 我們有下面的結論:

• ζ(s) 為一遞減的函數且函數值永遠比 1 大。

• 當 s 為一正奇數時 Mathematica 不做任何的回應。

• 當 s 為一正偶數時則出現了一些有趣的東西。 令 s = 2m, 我們有 ζ(2m) = rmπ^2m, 此處 rm 為一有理數, 亦即 ζ(2m) 與 π^2m 之間的比例為 一有理數。

試探討此一數列 {rm} 的公式。

In[3]:= r[m_]:= Zeta[2m]/Pi^(2m);

Table[Print["r[",m,"] =",r[m]],{m,15}];

(e) 或許你可以列出更多項來觀察, 如前三十項

rm= ζ(2m)/π^2m, m = 1, 2, 3, . . . , 30,

看看能否歸納出什麼東西來!

3. 愈看愈有趣 — 展現你那豐富的想像力

上述 (d) 的輸出結果如下:

r[1] = 1 6 r[2] = 1

90 r[3] = 1 945 r[4] = 1

9450 r[5] = 1

93555 r[6] = 691

638512875 r[7] = 2

18243225 r[8] = 3617

325641566250 r[9] = 43867

38979295480125 r[10] = 174611

1531329465290625 r[11] = 155366

13447856940643125 r[12] = 236364091

201919571963756521875 r[13] = 1315862

11094481976030578125 r[14] = 6785560294

564653660170076273671875 r[15] = 6892673020804

5660878804669082674070015625

如果你已經理出一個頭緒來了, 那麼恭喜你囉! 否則的話也不用氣餒, 展現你那豐富想像 力的時刻終於到臨。 數列 {rm} 給人的第一個感覺是每一項的分母都比分子大而且大很多, 所 以就讓我們先把注意力放在分子上。 一路看來如下所示:

1, 1, 1, 1, 1, 691, 2, 3617, 43867, . . . .

首先映入眼簾的是 691 這個數, 好熟悉又好陌生。 不管如何, 先看看 691 是否為質數? 有 Mathematica 侍候在旁, 這可是簡單之至。

In[4]:= PrimeQ[691]

Out[4]= True

答案是肯定的。 691這個數雖然不大, 但一個三位數的質數對我們來說, 可是非比尋常。 再 仔細想一想, 原來這個質數出現在引言中所提到的 Bernoulli 數的分子中 B12= −₂₇₃₀⁶⁹¹。 這就 有意思了! 再往下看 B₁₆= −³⁶¹⁷₅₁₀, B18 = ⁴³⁸⁶⁷₇₉₈ 。 這下子就更有意思了! 不僅僅是愈看愈有趣 而且很直覺地, 我們有如下的

臆測: rm當中包含有 B_2m, 此 B2m 就是第 2m 個 Bernoulli 數。

且看下面的實驗來確認此臆測。

4. 果真如此? 又見 Bernoulli 數

一般而言, 我們可用比較法來解決上述的問題。

• 首先對 Bernoulli 數作多一點的了解。 其實, 在 Mathematica 中 Bernoulli 數 列為內建的數列。 其指令為 BernoulliB[n] 指的就是 Bn。 那麼現在就請你列出前一百 個 Bernoulli 數, 並觀察其分子與分母的大小。

In[5]:= Table[Print["B[",m,"] = ",

BernoulliB[m]],{m,2,100,2}];

• 為了確認上面的臆測, 我們可將 rm 及 B2m 的分子分解成質因數的乘積, 然後並列比較 其異同, 如此一來就一目了然。

In[6]:= r[m_]:= Zeta[2m]/Pi^(2m);

Table[{FactorInteger[Numerator[r[m]]],2m, FactorInteger[Numerator[(-1)^(m+1) BernoulliB[2m]]]},{m,20}]//MatrixForm 其輸出結果如下:

{} 2 {}

{} 4 {}

{} 6 {}

{} 8 {}

{} 10 {{5, 1}}

{{691, 1}} 12 {{691, 1}}

{{2, 1}} 14 {{7, 1}}

{{3617, 1}} 16 {{3617, 1}}

{{43867, 1}} 18 {{43867, 1}}

{{283, 1}, {617, 1}} 20 {{283, 1}, {617, 1}}

{{2, 1}, {131, 1}, {593, 1}} 22 {{11, 1}, {131, 1}, {593, 1}}

{{103, 1}, {2294797, 1}} 24 {{103, 1}, {2294797, 1}}

{{2, 1}, {657931, 1}} 26 {{13, 1}, {657931, 1}}

{{2, 1}, {9349, 1}, {362903, 1}} 28 {{7, 1}, {9349, 1}, {362903,1}}

{{2, 2}, {1721, 1}, {1001259881, 1}} 30 {{5, 1}, {1721, 1}, {1001259881, 1}}

{{37, 1}, {683, 1}, {305065927, 1}} 32 {{37, 1}, {683, 1}, {305065927, 1}}

{{151628697551, 1}} 34 {{17, 1}, {151628697551, 1}}

{{26315271553053477373, 1}} 36 {{26315271553053477373, 1}}

{{2, 1}, {154210205991661, 1}} 38 {{19, 1}, {154210205991661, 1}}

{{137616929, 1}, {1897170067619, 1}} 40 {{137616929, 1},{1897170067619, 1}}

所以現在我們可以很放心的接受上述的臆測; 雖然無法去證明, 但計算上強烈的提示我們這臆 測的真實性。

5. 得寸進尺及初步分析

接著下來, 我們有一股很大的衝動想要觀察 rm 除掉 B2m 之後的那個有理數。 這個有理 數應該是比 rm 簡單許多, 而其樣式應該是比 rm 更凸顯更容易看出。 首先令 sm = rm/B2m

亦即

sm= ζ(2m) π^2mB_2m.

再請 Mathematica 幫你列出此有理數列的前十六項並探討其公式。

In[7]:= r[m_]:= Zeta[2m]/Pi^(2m);

s[m_]:= Zeta[2m]/(Pi^(2m)*BernoulliB[2m]);

Table[Print["s[",m,"] = ", s[m]],{m,1,16}];

其輸出結果如下:

s[1] = 1 s[2] = −1

3 s[3] = 2

45 s[4] = − 1

315 s[5] = 2

14175

s[6] = − 2 467775 s[7] = 4

42567525 s[8] = − 1

638512875 s[9] = 2

97692469875 s[10] = − 2

9280784638125 s[11] = 4

2143861251406875 s[12] = − 2

147926426347074375

s[13] = 4

48076088562799171875 s[14] = − 4

9086380738369043484375

s[15] = 8

3952575621190533915703125

s[16] = − 1

122529844256906551386796875

至此, 我們可能會感覺到用實驗的方式要去臆測 ζ(2m) 的公式, 其難度是挺高的。 所以公 式越複雜, Mathematica 能效勞的地方就越有限了, 這需要有更豐富的靈感與更活潑的想 像力。

不管如何, 從上面的資料當中, 我們至少可以得到底下幾個結論:

• 第一個觀察到的是其符號有正負交錯的規則, 所以 ζ(2m) 的公式中應包含 (−1)^m+1。

• 第二個觀察到的是 sm 的分子都是 2的次方, 但似乎是沒有什麼規則可言。

• 若有更多的數據讓我們來觀察歸納, 會有幫助嗎?

• 也許更可行的是將其分子與分母分別列出來觀察, 分析其質因子的結構, 說不定可以得到 更多的訊息。

6. 細部觀察與分析

現在我們就根據上面所得到的結論, 將有理數 (−1)^m+1sm 當中的分子與分母作細部分 解, 藉著觀察其內之質因子的結構, 看看能否理出一個頭緒, 因而得到更多相關的訊息。

(a) 首先觀察 (−1)^m+1sm 的分子中 2的次冪有無規則可尋。

In[8]:= r[m_]:= Zeta[2m]/Pi^(2m);

s[m_]:= Zeta[2m]/(Pi^(2m)*BernoulliB[2m]);

Table[{m,FactorInteger[Numerator[(-1)^(m+1)*s[m]]]}, {m,1,128}]//ColumnForm

輸出 Out[8] 的部分結果如下:

{ 1, {} } { 2, {} } { 3,{{2, 1}}}

{ 4, {} } { 5,{{2, 1}}}

{ 6,{{2, 1}}}

{ 7,{{2, 2}}}

{ 8, {} } { 9,{{2, 1}}}

{10,{{2, 1}}}

{11,{{2, 2}}}

{12,{{2, 1}}}

{13,{{2, 2}}}

{14,{{2, 2}}}

{15,{{2, 3}}}

{16, {} }

(b) 我們發現當 m 為 2 的次冪時, (−1)^m+1sm 的分子反而沒有任何 2的次冪存在。 且看多一 些的例子來確認此事:

In[9]:= r[m_]:= Zeta[2m]/Pi^(2m);

s[m_]:= Zeta[2m]/(Pi^(2m)*BernoulliB[2m]);

Table[{2^k,FactorInteger[Numerator[(-1)^(2^k+1)*s[2^k]]]}, {k,1,10}]//ColumnForm

輸出 Out[9] 的結果如下:

{ 2, {}}

{ 4 {}}

{ 8, {}}

{ 16, {}}

{ 32, {}}

{ 64, {}}

{ 128, {}}

{ 256, {}}

{ 512, {}}

{1024, {}}

我們有如下的結論:

• 分子非常單純! 放眼望去空白處點點, 原來就是那些 m 為 2 的次冪的故鄉。 到底是怎 麼一回事呢? 說也說不上來。

• 分子雖然單純, 看起來也似乎是有一點規則可循; 但就是抓不住真正的規則性在那裏?

唉! 真是 『剪不斷, 理還亂!』 抑是 『看似平常最奇絕, 成如容易卻艱難。』

(c) 其次觀察 (−1)^m+1sm 分母的質因子, 是否跟 m 或 2m 有關係?

In[10]:= r[m_]:= Zeta[2m]/Pi^(2m);

s[m_]:= Zeta[2m]/(Pi^(2m)*BernoulliB[2m]);

d[m_]:= Denominator[(-1)^(m+1)*s[m]];

Table[{m,FactorInteger[d[m]]},{m,1,18}]//ColumnForm 輸出 Out[10] 的結果如下:

{ 1,{}}

{ 2,{{3, 1}}}

{ 3,{{3, 2},{5,1}}}

{ 4,{{3, 2},{5,1},{7,1}}}

{ 5,{{3, 4},{5,2},{7,1}}}

{ 6,{{3, 5},{5,2},{7,1},{11,1}}}

{ 7,{{3, 5},{5,2},{7,2},{11,1},{13,1}}}

{ 8,{{3, 6},{5,3},{7,2},{11,1},{13,1}}}

{ 9,{{3, 8},{5,3},{7,2},{11,1},{13,1},{17,1}}}

{10,{{3, 8},{5,4},{7,2},{11,1},{13,1},{17,1},{19,1}}}

{11,{{3, 9},{5,4},{7,3},{11,2},{13,1},{17,1},{19,1}}}

{12,{{3,10},{5,4},{7,3},{11,2},{13,1},{17,1},{19,1},{23,1}}}

{13,{{3,10},{5,6},{7,3},{11,2},{13,2},{17,1},{19,1},{23,1}}}

{14,{{3,13},{5,6},{7,4},{11,2},{13,2},{17,1},{19,1},{23,1}}}

{15,{{3,14},{5,7},{7,4},{11,2},{13,2},{17,1},{19,1},{23,1},{29,1}}}

{16,{{3,14},{5,7},{7,4},{11,2},{13,2},{17,1},{19,1},{23,1},{29,1},{31,1}}}

{17,{{3,15},{5,7},{7,4},{11,3},{13,2},{17,2},{19,1},{23,1},{29,1},{31,1}}}

{18,{{3,17},{5,8},{7,5},{11,3},{13,2},{17,2},{19,1},{23,1},{29,1},{31,1}}}

(d) 這樣的觀察有沒有幫助呢?

由上面的結果得知, 分母在表面上看起來似乎是有點複雜, 規則性卻是有的。 怎麼說呢? 且 看下面的分析:

• 當你好好觀察相鄰兩個 m 所對應的分母時, 即知其差異不大。

• 不僅此也, 其實前一項包含在後一項裡面, 如 −s18 的分母比 s₁₇ 的分母多出 3²× 5 × 7, 而這些都出現在 35 × 36 = 2²× 3²× 5 × 7 當中。

• 所以當務之急應該是去觀察觀察後一項與前一項之比, 看看是否有特別的形式顯現出來?

且看:

In[11]:= r[m_]:= Zeta[2m]/Pi^(2m);

s[m_]:= Zeta[2m]/(Pi^(2m)*BernoulliB[2m]);

d[m_]:= Denominator[(-1)^(m+1)*s[m]];

Table[Print["m=",m,", 2m+1=",2m+1,", 2m+2=",2m+2,

", ", FactorInteger[d[m+1]/d[m]]], {m,1,28}]//ColumnForm;

其輸出結果如下:

m=1, 2m+1=3, 2m+2=4, {{3,1}}

m=2, 2m+1=5, 2m+2=6, {{3,1},{5,1}}

m=3, 2m+1=7, 2m+2=8, {{7,1}}

m=4, 2m+1=9, 2m+2=10, {{3,2},{5,1}}

m=5, 2m+1=11, 2m+2=12, {{3,1},{11,1}}

m=6, 2m+1=13, 2m+2=14, {{7,1},{13,1}}

m=7, 2m+1=15, 2m+2=16, {{3,1},{5,1}}

m=8, 2m+1=17, 2m+2=18, {{3,2},{17,1}}

m=9, 2m+1=19, 2m+2=20, {{5,1},{19,1}}

m=10, 2m+1=21, 2m+2=22, {{3,1},{7,1},{11,1}}

m=11, 2m+1=23, 2m+2=24, {{3,1},{23,1}}

m=12, 2m+1=25, 2m+2=26, {{5,2},{13,1}}

m=13, 2m+1=27, 2m+2=28, {{3,3},{7,1}}

m=14, 2m+1=29, 2m+2=30, {{3,1},{5,1},{29,1}}

• 2 的次方非常特別, 有可能被分子消掉了, 而這說不定就是分子之所以不容易被看出其規 則的原因。

• 現在終於可以看出: 分母很有可能就是 (2m) !

所以接下來我們有一股非常強烈的慾望, 要好好的觀察一下將 (2m)! 乘上 (−1)^m+1sm

之後的結果。

7. 水落石出 — 美妙無比的公式重現

令 tm 為 (2m)! 與 (−1)^m+1sm 的乘積, 亦即

tm = (−1)^m+1sm· (2m) ! = (−1)^m+1(2m) ! ζ(2m) π^2mB2m

我們就勞駕數學運算大師 Mathematica 列個表吧。

In[12]:= r[m_]:= Zeta[2m]/Pi^(2m);

s[m_]:= Zeta[2m]/(Pi^(2m)*BernoulliB[2m]);

t[m_]:= (-1)^(m+1)*s[m]*(2m)!;

Table[{m,FactorInteger[t[m]]},{m,22}]//ColumnForm 其輸出結果如下:

{ 1,{{2, 1}}}

{ 2,{{2, 3}}}

{ 3,{{2, 5}}}

{ 4,{{2, 7}}}

{ 5,{{2, 9}}}

{ 6,{{2, 11}}}

{ 7,{{2, 13}}}

{ 8,{{2, 15}}}

{ 9,{{2, 17}}}

{10,{{2, 19}}}

{11,{{2, 21}}}

{12,{{2, 23}}}

{13,{{2, 25}}}

{14,{{2, 27}}}

{15,{{2, 29}}}

{16,{{2, 31}}}

{17,{{2, 33}}}

{18,{{2, 35}}}

{19,{{2, 37}}}

{20,{{2, 39}}}

{21,{{2, 41}}}

{22,{{2, 43}}}

在幾秒鐘之間, 出現在我們眼前的是 tm = 2^2m−1

實在是令人興奮無比! 值得一提的是, 在上面的細部觀察, 分母中 2 的次冪消失得無影無 蹤; 但分子中卻只有 2 的次冪, 而且似乎是沒有什麼規則可言。 現在終於水落石出, 原來這是因 為分子中的 2的次冪與分母的 (2m)! 中的 2的次冪抵消掉之後所呈現的結果。 最後回到原先的 ζ(2m), 我們有

(−1)^m+1(2m)! ζ(2m) π^2mB2m

= 2^2m−1. 整理一下, 這美妙無比的公式終於原形畢露

ζ(2m) = (−1)^{m+1 (2π)}_2(2m)!^2mB2m

8. 更上一層樓– ζ(3) 有公式嗎?

結束了無限多片的拼圖遊戲, 總覺得意猶未盡, 好像有什麼事情還沒有完成似的。 我們深 知 ζ(2m) 與 π^2m 是有關係的, 且其比例為一特別的有理數, 其公式如上。 其實, 此等關係非比 尋常。 怎麼說呢? 這個公式的左邊是 Zeta 函數在偶數點上的值, 為一收斂級數之和, 而其中的 每一項都是分子為 1的有理數。 但公式的右邊卻有 π 的出現, 眾所周知 π 是一個無理數。 簡單 說, 無窮多個有理數的和變成一個無理數。 此種量變產生質變的的現象在其它地方也看過, 如交 錯調和級數 1 −¹₂ +¹₃ −¹₄ + − · · · 收斂於 log 2。 實際上, 這 π 不僅僅是一個無理數, 乃是一 超越數。 π 的出身來自圓周長, 這表示圓和 Zeta 函數是有關係的。 我們可以感覺出來, 這個公 式背後所隱藏的豐盛是一言難盡的。

另一方面, Zeta 函數在奇數點上的值, 感覺上應該也會有一個如 ζ(2m) 一樣美的公式存 在才是。 然而 Mathematica 卻悶聲不響, 不作任何的表示。 事實上, 這的確是一個相當困難 的問題。 不用說別的, 就連第一個最簡單的 ζ(3) 到目前為止還是沒有一個公式如 ζ(2m) 者存 在。 我們先針對此等怪現象來思考與探索。

(a) 你認為可能的原因是什麼呢?

(b) 你認為如何來探討 ζ(2m + 1) 的公式才比較會有結果出來呢?

(c) 可以確定的是 B2m+1 不會在場, 因為根本沒有東西在 B2m+1。

(d) 是不是跟 π 仍然有關或跟其他的常數有關呢? 事實上, 有許多數學家曾經問過 [15]:

ζ(2m + 1) 與 π^2m+1 之間的比例是否為一有理數呢?

(e) 請就 ζ(3) 來作實驗, 或許圖形這次可幫得上忙, 或許下面的式子給你一些啟發:

ζ(3) =

Z

₁

0

Z

₁

0

Z

₁

0

1

1 − xyzdzdydx

(f) 目前唯一知道的事是 1978 年法國數學家 Roger Ap´ery² 證明出 ζ(3) 為一無理數。

他之所以有辦法得到這個推論是因他有 ζ(3) 的另一個級數表示法 ζ(3) = 5

2

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n³ 2n

n

!

此級數收斂的速度比原先的級數快很多。 試著由此級數來探討一下 ζ(3) 的究竟。

2

Roger Ap´ ery (1916–1994)

法國數學家。 他在

₁₉₇₈

年所證明的定理為

_:

存在一正數

ǫ

及一個正整 數數列

_{q

n

}

使得對所有的

n ≥ 1

我們有

_{0 < kq}

n

ζ (3)k < e

^−ǫn。 請見

Ast´erisque 61(1979), 11-13

。 由此 可以推論得到

ζ (3)

為一無理數。

9. 你我仍須努力!

其實 ζ(2m) 的公式早在 Riemann 之前一百年就被 Euler 所發現, 但 ζ(2m + 1) 的 公式不僅 Euler 不知道, 直到今天我們仍然幾乎什麼都不知道。 連 ζ(5) 是不是有理數都還 不知道, 其他更不用說了。 一個較保守的猜測是 ζ(2m + 1) 可能跟 π^2m+1 一樣是超越數, 但 其間的比例不是一個有理數。

參考文獻

1. Abell, Martha L. and Braselton, James P.: Mathematica by Example, 2nd Edition, Academic Press, San Diego, 1997.

2. Apostol, T.: Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Math., Springer-Verlag, New York, 1986 (Third Printing).

3. Bressoud, David M.: A Radical Approach to Real Analysis, MAA, Washington D.C., 1994.

4. Clapham, Christopher: A Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Oxford Univer- sity Press, Oxford/New York, 1990.

5. Daintith, John/Nelson, R. D.: The Penguin Dictionary of Mathematics, Penguin Books Ltd., 1989.

6. 余文卿, 級數求和法, 數學傳播第十五卷第四期 (60), 80 年 12 月。

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_15_4_14/index.html

7. 余文卿, 一些發散級數的求和法, 數學傳播第二十二卷第四期 (88), 87 年 12 月, 第 43-49 頁。

http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/vol.phtml?voln=224

8. Itˆo, Kiyosi (Editor): Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., by the Math- ematical Society of Japan, The MIT Press, Cambridge, Massachusettes, and London, England 1987.

9. Gaylord, Richard J./Kamin, Samuel N./Wellin, Paul R.: Introduction to Programming with Mathematica, 1st Edition, Springer-Verlag New York, Inc., 1993.

10. 洪維恩, 「數學運算大師Mathematica4」, 峰資訊股份有限公司, 2001 年 5 月。

11. Ireland, K. and Rosen, M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Grad- uate Texts in Math., Springer-Verlag, New York, 1982.

12. Riemann (譯者張海潮、 李文肇), Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (論幾何學之基礎假說), 1845, 數學傳播第十四卷第三期, 79 年 9 月。

13. 沈淵源, 登阿里山— 搭小火車或是直昇機? , 數學傳播第二十五卷第二期 (98), 90 年 6 月, 第 78–87 頁。http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/vol.phtml?voln=252

14. Washington, L.: Introduction to Cyclotomic Fields, 2nd ed., Graduate Texts in Math., Springer-Verlag, New York, 1997.

15. 于靖, Zeta 函數與超越不變量, 數學傳播第二十四卷第一期 (93), 89 年 3 月, 第 9-16 頁。

http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/vol.phtml?voln=241

—本文作者任教於私立東海大學數學系_—