虛功原理及歐拉

虛功原理及歐拉 _- 拉格朗日方程式

張海潮

虛功原理 (Principle of virtual work) 又稱 D’Alembert’s principle, 是法國數學/力 學/天文學家達朗貝爾 (1717∼1783) 針對有約束力 (constraint) 的力學系統所提出的運動原 理。 從這個原理出發, 可以得出歐拉 - 拉格朗日方程式 (Euler-Lagrange equation, 簡稱 E-L 方程), E-L 方程其實和虛功原理等價, 但是計算時更加方便。 本文嘗試說明此二者的關聯, 並 舉一些具體的例子。(註一)

以下的討論分為三節, 第一節是以單擺的例子來說明虛功原理。 第二節說明 E-L 方程和 虛功原理等價。 第三節以單擺說明 E-L 方程的應用並略作評論。

一、 虛功原理

牛頓第二運動定律說力與加速度成正比。 設有質量為 m 的單一質點, 其在空間中的位置 向量為 X, 速度向量 dX

dt = ˙X (“·”代表對時間 t 的微分), 加速度向量 d²X

dt² = ¨X, 則第二定 律宣稱

F = m ¨X;

此處 F 代表質點所受的總力。 一般而言 F 可以分解為施力 (applied force) Fa 和約束力 (constraint force) f , 亦即

m ¨X = F = F^a+ f, 或 m ¨X− F^a= f 。

如圖1, 單擺以 P 為固定點, 擺桿長 l, 擺桿不計質量。 擺端有質量 m, 因重力而擺動。

圖 1

11

圖中重力垂直地面, 並令 x 軸也垂直地面。

圖 2

如圖 2, 以 P 為原點, 則 m 的位置向量是 X = (l cos θ, l sin θ)。 重力即此系統所受的施 力 Fa, 垂直向下, 大小為 mg, g 是重力加速度。 另外在 m 處有約束力 f , f 沿擺桿拉住 m。

約束流形 (constraint manifold) 即是以 P 為圓心, 半徑為 l 的圓弧, 限制 m 必須在此圓弧 上運動。

從 m 的位置向量

X = l cos θ(t), l sin θ(t)
, 可得速度向量

X˙ = (−l sin θ, l cos θ) ˙θ, 及加速度向量

X¨ = (−l cos θ, −l sin θ) ˙θ²+ (−l sin θ, l cos θ)¨θ;

= A⁰ + A¹;

式中 A0 = (−l cos θ, −l sin θ) ˙θ² 與位置 X 反向, 稱為向心加速度, A1 = (−l sin θ, l cos θ)¨θ 與位置 X 垂直, 稱為切線加速度。

圖 3 表示 ˙θ < 0, ¨θ <0 的情形:

圖 3

同樣的, 施力 Fa (大小為 mg) 亦有沿 X 方向與 X 垂直方向的分解 F^a = F^a0 + F^a1, 如圖 4:

圖 4

其與擺桿垂直的部份 F^a1 的大小是 mg sin θ, 提供切線加速度, 因此有沿擺桿垂直方向的運動 方程

md²(lθ)

dt² = ml ¨θ = −mg sin θ, 或 Fa₁ = mA1.

另有向心力 F^a0 + f = mA0, 即讓質點 m 作圓弧運動的向心力來自 F^a0 + f , F^a0 由重力提 供, f 是約束力, 由擺桿提供。

綜上所述, 我們有

Fa1 + F^a0 + f = mA¹+ mA⁰, 或

Fa+ f = m ¨X, 或

f = m ¨X − F^a; 式中 f 與約束流形 (即半徑為 l 的圓弧) 垂直。

所謂虛功原理, 它的原型即是 m ¨X − F^a = f , 但是注意到我們無法事先理解 f 的大小, 以單擺而言, 在不同的位置, 因為加速度的不同, f 有不同的大小, 因此我們重新敘述虛功原理 如下:

對一個在約束流形 M 上運動的質點, 若以 X, ˙X, ¨X 表其位置、 速度和加速度向量, 以 Fa 表外界對質點的施力, 則有內積

(m ¨X− F^a, δX) = 0; (1) 式中 δX 表運動質點所在位置 M 的任意切向量。

簡言之, 即約束力 f 與約束流形 M 垂直。(註二)

二、 E-L 方程式和虛功原理等價

假設約束流形是 R³ 中的一個 (局部的) 曲面 C, 局部坐標是 u, v。 質量為 m 的質點被 限制在 C 上運動, 施力 F^a (applied force) 由一個位能函數 V (x, y, z) 提供 (註三)

−∇V = F^a; 式中 ∇V 的定義是 ∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

。

質點 m 的運動軌跡是 X u(t), v(t)
, 其位置、 速度和加速度向量分別是 X = X(u, v), X 和 ¨˙ X, 如圖, X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v)

t → (u, v)→^X ⊂ R³ = {(x, y, z)}

則 ˙X = X^u˙u + X^v˙v, 式中 X^u, X^v 分別是 X 對 u, v 的偏導。 而 ¨X = X^uu˙u²+ 2X^uv˙u ˙v + Xvv˙v²+ X^uu¨+ X^v¨v; 式中 X^uu 代表 X 對 u 的二次偏導, X^uu = ∂²X

∂u² , X^uv = ∂²X

∂u∂v, . . .。

定義: 一個質點 m 的拉格朗日 (Lagrangian) L = T −V 。 式中 T 是質點的動能 1

2m( ˙X, ˙X), V 是質點的位能。

說明: 此處位能 V 是位置 (x, y, z) 的函數 V (x, y, z), −∇V 即 F^a (同見註三)。

動能 T =1

2m( ˙X, ˙X) = 1

2m(X^u˙u + X^v˙v, X^u˙u + X^v˙v)

=1

2m[(X^u, Xu) ˙u²+ 2(X^u, Xv) ˙u ˙v + (X^v, Xv) ˙v²], 注意到 T 是 u, v, ˙u, ˙v 四個 「獨立變數」 的函數。(註四)

則 E-L 方程是說:

沿著 m 運動的軌跡, 我們有 d dt

∂L

∂˙u



−∂L

∂u = 0, (2)

d dt

∂L

∂˙v

−∂L

∂v = 0. (3)

回顧第一節的虛功原理, 由於 δX 是 Xu 和 Xv 的線性組合, 因此 虛功原理 (式 (1)) 可以寫 成 :

沿著 m 運動的軌跡, 我們有

(m ¨X− F^a, Xu) = 0, (2)^′ (m ¨X− F^a, Xv) = 0. (3)^′

本節 主要的定理是 : E-L 方程 (2), (3) 和虛功原理 (2)^′, (3)^′ 等價。 首先, 整理 (2) 式:

d dt

∂T

∂˙u

− d dt

∂V

∂˙v

−∂T

∂u + ∂V

∂v = 0 因為 V 與 ˙u 無關, 並且

∂V

∂u =∂V

∂x

∂x

∂u +∂V

∂y

∂y

∂u +∂V

∂z

∂z

∂u

= ∇V · (x^u, yu, zu)

= ∇V · X^u

= − F^a· X^u, 因此 (2) 式變成

d dt

∂T

∂˙u



−∂T

∂u − (F^a· X^u) = 0.

與 (2)^′ 比較, 希望證明 (4) d dt

∂T

∂˙u

− ∂T

∂u = (m ¨X· X^u). (4) 由於 T = 1

2m( ˙X, ˙X), 所以 ∂T

∂˙u = m∂ ˙X

∂˙u, ˙X 及 ∂T

∂u = m∂ ˙X

∂u, ˙X

。 注意到 ˙X = X^u˙u + X^v˙v, 因此

∂T

∂˙u = m∂ ˙X

∂˙u, ˙X

= m(X^u, ˙X), (5) 及

∂T

∂u = m(X^uu˙u + X^vu˙v, ˙X). (6) 將 (4) 式左邊以 (5), (6) 帶入, 得

d

dt m(X^u, ˙X)
− m(X^uu˙u + X^vu˙v, ˙X)

= md

dtXu, ˙X

+ m(X^u, ¨X) − m(X^uu˙u + X^vu˙v, ˙X)

= m(X^uu˙u + X^uv˙v, ˙X) + m(X^u, ¨X) − m(X^uu˙u + X^vu˙v, ˙X)

= m(X^u, ¨X)

= (4) 式右邊。

因此得到 E-L 方程 (2) 和虛功原理 (2)^′, (3) 和 (3)^′ 等價。 定理證畢。(註五)

三、 E-L 方程之於單擺及簡評

我們將利用 E-L 方程來寫下單擺的運動方程, 如圖 5

圖 5

約束流形 (即半徑為 l 的圓弧) 上的坐標為 θ, 位置向量 X = (l cos θ, l sin θ), 速度向量 X˙ = (−l sin θ, l cos θ) ˙θ, 動能函數 T = 1

2m( ˙X, ˙X) = 1

2ml²˙θ²。若以 P 為高度 0, 則重力 位能 V = −mg(l cos θ), 拉格朗日 L = T − V = 1

2ml²˙θ²+ mg l cos θ。

E-L方程:

d dt

∂L

∂ ˙θ

− ∂L

∂θ = 0, d

dt(ml²˙θ) + mg l sin θ = 0, 或

ml²θ¨+ mg l sin θ = 0.

消去 ml, 得運動方程 l¨θ+ g sin θ = 0 (參見本文第一節)。

讀者不難發現, E-L 方程在計算上非常方便。 特別是, 可以在約束流形上任意選擇方便的 坐標, (u, v), (以 2 維的約束流形為例) E-L 方程總是

d dt

∂L

∂˙u

−∂L

∂u = 0, d

dt

∂L

∂˙v

−∂L

∂v = 0.

這也說明了 E-L 方程展現了運動路徑的本質, 與坐標的選取無關。

最後, 應該解釋虛功兩字因何所指? 原理中說 (m ¨X − F^a, δX) = 0, 這是一個力與距離 的內積, 單位是功的單位, δX 是約束流形的切向量, 可以解釋成一個虛擬的位移, 虛功原理即 指 m ¨X− F^a 沿虛位移 δX 所作之功為 0。 幾何意義不過是說約束力 f = m ¨X − F^a 與約束 流形垂直。

我們在第一節先從牛頓的 F = m ¨X 出發, 然後 D’Alembert 將約束力考慮進來, 精益求 精, 終於得到 E-L 方程, 這是數學物理史上一個重要的里程碑。

本文在證明中, 雖假設約束流形是二維的, 但在 n 個質點時約束流形 M 是 R³× R³× R³ (n 次) 的子流形, 相關的結果也同樣成立。 請見參考資料 [1], p.91, D’Alembert’s principle。

註一: E-L 方程又和最小作用原理等價, 請見參考資料 [1]。 值得注意的是歐拉 (1707∼1783), 達朗貝爾 (1717∼1783) 及拉格朗日 (1736∼1813) 均互相熟識, 拉格朗日並在 1766 接替歐 拉擔任柏林科學院物理數學所所長。

註二: 本文中的約束流形均為三度空間 R³ 中的曲線或曲面。 例如單擺, 質點在一圓弧上運動, 或質點在球形的碗壁上滑動, 此時約束力 f 均與約束流形垂直, 平行於約束流形的法向量。

註三: 此處簡化施力 F^a 的形式, 例如 F^a 是重力, V 是重力位能, F^a= −∇V , 如此比較容易 看出虛功原理和 E-L 方程的關聯。

註四: T 是運動質點的動能, 但是作為一個約束流形上的 「函數」, 必須納入切向量的坐標 ˙u, ˙v, 並且將 1

2m(X^u˙u + X^v˙v, X^u˙u + X^v˙v) 視為 u, v, ˙u, ˙v 四個獨立變數的函數, 當 u, v, ˙u, ˙v 分別 以質點的運動軌跡 u(t), v(t), ˙u(t), ˙v(t) 代入 T 時, 即得沿運動軌跡的動能。 把 u, v, ˙u, ˙v 當成 四個獨立變數的看法, 一般稱為切叢 (Tangent bundle), 因此可以說 T 是切叢上的函數。 請 見參考資料 [2], p.439。

註五: 最終, 我們事實上證明了 (m ¨X− F^a, Xu) = d dt

∂L

∂˙u − ∂L

∂u。

參考資料

1. V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Graduate Texts in Math- ematics; 60, 1978.

2. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc., 1976.

3. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley series in Advanced Physics, 1962.

—本文作者為台大數學系退休教授_—