+ 11x + 10 與 g (x) = x

臺灣警察專科學校專科警員班三十期（正期學生組）新生入學考試甲組數學科試題

壹、單選題：（一）三十題，題號自第 1 題至第 30 題，每題二分，計六十分。

（二）未作答者不給分，答錯者不倒扣。

（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。

1. 設 f (x) = x³

+ 5x

²

+ 11x + 10 與 g (x) = x

⁴

+ 3x

³

+ 6x

² + ax + 5 之最高公因式為二次式，則實數 a 的值為？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。

2. 下列何者是 3 的倍數？

(A) 7231 × 251 (B) 216³ + 712³ (C) 124³ − 214³ (D) 3¹⁹⁹⁹ + 1 。 3. 不等式

2 3 2

− +

x

x

≥ 1 的解集合為？

(A) {x | x ≥ 2 或 x ≤ − 5} (B) {x | x ≥ − 5 且 x ≠ 2}

(C) {x | − 5 < x < 2} (D) {x | x > 2 或 x ≤ − 5} 。 4. 已知 a 為整數，且 x⁴ + 4x³ + ax² − 8x + 6 = 0 有兩個根的和為 0，則 a 的值為？

(A) 5 (B) − 5 (C) 3 (D) − 3 。

5. 設

α

，

β

為

x

²

+ 6x + 4 = 0 之二根，則( α + β )

²之值為？

(A) − 4 (B) − 6 (C) − 8 (D) − 10 。 6. 已知 logx 的尾數與 log0.12345 相同，logx 的首數與 log67890 的首數相同，則 x 為？

(A) 67890.12345 (B) 67890 (C) 12345 (D) 12345.67890 。 7. 在△ABC 中，已知 tanA．tanB = 1，則下列何者恆正確？

(A)AB=AC (B) ∠C = 90° (C) ∠A = 45° (D)AB=BC 。 8. 若 sin 2 = a，則下列何者正確？

(A) 2

3< a < 1 (B)

2 2 2

3 < <−

− a (C)

2 2 2

1 < a< (D)

2 3 2

2 < a< 。

9. 在△ABC 中，∠A,∠B,∠C 之三對邊長分別為 a,b,c，若滿足 3(a − b + c) = 14(sinA − sinB + sinC)，則此三角 形的外接圓半徑

R 為？

(A) 3

14 (B)

3

7 (C)

14

3 (D)

7 3 。 10. 方程式 2πsinx = x 的實根個數為？

(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 5 個。

11. 以下各平面中，哪一個與球面 x²

+ y

²

+ z

²

− 2x + 4y + 2z − 19 = 0 相交所形成的圓面積最小？

(A) x + y + z = 0 (B) z = − 1 (C) y = 1 (D) x = 2y 。 12. 空間中一點 A(1﹐2﹐3)，關於平面 x − 2y + 3z = 4 的對稱點坐標為？

(A) ( 7 5﹐

7 18﹐

7

15) (B) (

7 15﹐

7 18﹐

7

5) (C) ( 7 15﹐

7 5﹐

7

18) (D) ( 7

5﹐ 7 15﹐

7

18) 。 13. 設A﹐B﹐C三點不共線，點P與A﹐B﹐C三點在同一平面上，且AP

v v v

=3AB+4AC，令AP與BC之交點為M，

若AM

v

=x ⋅AB y AC

v v

+ ⋅ _，x,^y∈ R，則x 為？

(A)³

8 (B)³

7 (C)¹

2 (D)³

5 。

第 1 頁（請接背面）

14. 設點 P 在球面 S：x² + y² + z² = 9 上移動，點 Q 在平面 E：2x − y − 2z = 15 上移動，則PQ的最小值為？

(A) 2 (B) 5 (C) 8 (D) 13 。

15. 在空間中，直線 L：

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

−

= +

= 3

5 2

3 1

z

t y

t x

，t∈R，下列何者為真？

(A) L 與 5x + 3y + z = 1 垂直 (B)

L 與 z 軸垂直

(C) L 與 xy 平面平行 (D) L 與 xy 平面垂直 。

16. 平面上有一個橢圓，已知其長軸平行於x軸，短軸的一端點為( − 4﹐0)，且其中一焦點為(0﹐4)，則此橢 圓長軸的長度為？

(A)

2 2

(B) 6 (C)

6 2

(D)

8 2

。 17. 自 1～10⁵之自然數中，任取一數，取到數字之和為11 的自然數的機率為？

(A) 0.01300 (B) 0.01340 (C) 0.01355 (D) 0.01365 。 18. 若點P a b( , )是橢圓

Γ

：

1

9 16

2

2

+

y

=

x 和拋物線

Γ

′：y²

= − 4

x的一個交點，則下列何者也是

Γ

和Γ 的交點？

'

(A)^{(−a b, )} (B)^{( ,a −b)} (C)^{( , )b a} (D)^{( ,b −a)} 。

19. 數列〈 〉an 滿足a₁=1，a_{n 1} ^{n 1}a_n

+ n

= + （n=1﹐2﹐3﹐…），則a₃₀為？

(A) 10 (B) 90 (C) 60 (D) 30 。 20. 在 y ≤ 2，2x − y ≥ 0，x + y ≥ 0 及 5x − y ≤ 18 的條件下，則函數 x − 2y 的最大值為？

(A) − 3 (B) 3 (C) 6 (D) 9 。

21. 矩陣

3 5

1 2 2

3 1 2

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

− −

⎢ ⎥

⎣ ⎦

經列運算化簡成為 ^{1 0}

0 1 a b

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦，則？

(A)a>0﹐b>0 (B)a>0﹐b<0 (C)a<0﹐b<0 (D)a<0﹐b>0 。 22. 有學生 10 人，（甲、乙、…、癸），其期考數學成績與該學期數學課缺課數，如下表所表示。

學生 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸

缺課數 1 2 3 3 4 3 5 6 3 0

成績 100 90 90 80 70 70 60 60 80 100

設兩者的相關係數

r，則？

(A) − 1 ≤ r ≤ − 0.6 (B) − 0.6 < r < − 0.2 (C) 0.2 < r < 0.6 (D) 0.6 ≤ r ≤ 1 。

23. 某種疾病的檢驗方法不是百分之百正確：依過去之經驗知道，患有此疾病的人，檢驗能正確判斷的可能性 為0.9，不患有此疾病的人，則檢驗做了錯誤判斷的可能性為 0.05。假設一群人中已知 20％患有此疾病，

而從這一群人之中，任取一人加以檢驗，則檢驗判定患有此疾病的機率為？

(A) 0.032 (B) 0.22 (C) 0.784 (D) 0.92 。 24. 方程組

1

8 3 6 1

4 3 1

x ky z x y z x y z

+ − =

⎧⎪ + − =

⎨⎪ + − = −

⎩

之解恰有一組，其中x=2，則

k 為？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。

25. 設 m 為實數，若二次式 mx² + (m − 1)x + (m − 1) > 0 對任何實數 x 恆成立，則下列何者正確？

(A) m < −1 (B) m >1 (C)

m >

¹

3 (D)

m< −

¹

3 。

第 2 頁（請接下一頁）

26. 設A﹐B﹐C為獨立事件，且 ( ) ¹

P A =3， ( | ) ³

P B A′ =4， ( ) ¹

P B C∩ =5，試求P A(( ∪B)∩C)之值為？

(A)¹

9 (B)²

9 (C)¹

3 (D)⁴

9 。 27. 若y x= ⁴−4x+8，在0≤ ≤x 2的條件下，則^y之最大值是？

(A) 6 (B) 8 (C) 16 (D) 22 。

28. 有關方程式x³−3x²−4x+ =6 0，下列敘述何者正確？

(A)恰有兩個虛根 (B)恰有一個實根 (C)恰有兩個實根 (D)恰有三個不等實根 。 29. 若函數 f x( )=x³−3x+2，則下列敘述何者正確？

(A)x=0時， f x( )有極大值2 (B)x=1時， f x( )有極大值0 (C)x= −1時， ^{f x( )}有極大值4 (D)x=2時， ^{f x( )}有極大值4 。 30. 若 f x( )=x³+3x²+ px−4沒有極值，則p的範圍為？

(A)^p>⁰ (B)^p≥³ (C)^p≤⁰ (D)^p≤³ 。 貳、多重選擇題：（一）十題，題號自第 31 題至第 40 題，每題四分，計四十分。

（二） 每題五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，每題皆不倒扣，五個選項全 部答對得該題全部分數，只錯一個選項可得一半分數，錯兩個或兩個以上選項不給分。

（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。

31. 下列敘述哪些正確？

(A)若 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝n²＋2n＋3，則＜an＞為等差數列 (B)若＜ak＞為等比數列，則＜ak2＞為等比數列

(C)若 ak＝5k＋3，則＜3ak＋2＞為等差數列 (D)若 2a_k＋1＝ak＋a_k＋2，則＜ak＞為等差數列

(E)若＜ak＞、＜bk＞為等比數列，則＜ak＋bk＞為等比數列 。

32. 設 f (x)＝a^x，其中

a＞0，a≠1，x 為實數，若 α,β 為實數，則下列哪些正確？

(A) f (α＋β)＝f (α)＋f (β) (B)若 f (α)＜f (β)，則 α＜β (C) y＝f (x)之圖形必通過( 1 , 0 ) (D) 1

2 ［f (α)＋f (β)］>– f ( α＋β

2 ) (E) y＝f (x)＝a^x的圖形以

x 軸為漸近線 。

33. 若 a cos A＋b cos B＝c cos C，其中 a，b，c 為△ABC 之三邊，則下列哪些正確？

(A)△ABC 為直角三角形 (B)△ABC 為等腰三角形 (C)可能∠A＝90° (D)可能∠B＝90°

(E)可能∠C＝90° 。

34. 空間中三點，A ( 3 , 3 , 0 )，B ( 1 , 2 , 2 )，C ( 4 , 2 , 2 )，平面 E：2x＋3y－6z＝1，下列敘述哪些為真？

(A) A 點到平面 E 的距離為 3

(B) A 點對於平面 E 的正射影點為 ( 17 7 ,

15 7 ,

12

7 ) (C) A 點對於平面 E 的對稱點為 ( 13

7 , 9 7 ,

24 7 ) (D) △ABC 在平面 E 上的正射影面積為 15

(E)過 A、B、C 三點之平面與平面 E 的夾角為 θ，則 sinθ＝1 。

第 3 頁（請接背面）

35. 有 5 個不同禮品，全部分給甲、乙、丙三人，下列分法哪些正確？

(A)任意分，有 343 種 (B)甲恰得 1 件，有 120 種 (C)乙恰得一件，有 80 種 (D)甲至少得一件，有 211 種 (E)每人至少得一件，有 150 種 。

36. 在重複丟一個公正硬幣 10 次的試驗中，下列敘述哪些是正確的？

(A)不可能出現 10 次反面 (B)出現正面次數的期望值為 5 次 (C)恰出現 5 次正面的機率為

1

2

(D)出現 6 次正面的機率等於出現 4 次正面的機率 (E)第 10 次出現正面的機率為

1

2

^。

37. 下列有關 x、y、z 的一次方程組的增廣矩陣，哪些所表示的方程組恰有一組解？

(A)

⎣ ⎢ ⎡

⎦ ⎥

⎤

1 3 －2 6

0 －1 0 2 (B)

_⎣ ^{⎢ ⎡}

4 1 3 0

_⎦ ^{⎥ ⎤}

8 2 6 4

(C)

⎣ ⎢

⎢ ⎡

⎦ ⎥

⎥ ⎤

－2 1 0 －5 0 2 3 1

0 4 6 4 (D)

⎣ ⎢

⎢ ⎡

⎦ ⎥

⎥ ⎤

1 0 2 4 0 －3 1 2 0 1 0 3

(E)

⎣ ⎢ ⎡

⎦ ⎥

⎤

1 1 0 5 0 2 2 －6

3 0 3 －6 。

38. 下列各函數，哪些在 x＝0 處不可微分？

(A) f ( x )＝| x | (B) f ( x )＝[ x ] (C)

f ( x )＝x | x |

(D) f ( x )＝ x (E) f ( x )＝

x

²

x + 1 。

39. 下圖為 f (x)＝ax³＋bx²＋cx＋d 的大略圖形，則下列選項哪些正確？

(A) a＞0 (B) b＞0 (C) c＞0 (D) d＞0 (E)

b

²－3ac＞0 。 40. 設函數 f (x)＝x²＋x

⌡ ⌠

²

0 f (t)dt＋1，則下列哪些是正確的？

(A)

⌡ ⎮ ⌠

²

0 f (t)dt＝ 14

3 (B)

⌡ ⌠

²

0 f (t)dt＝－ 14 3 (C) f (x)以 x－3 除之餘式為－4 (D)

f (－1 )＝

8

3 (E) f (x)＝0 有相異的兩實根 。

第 4 頁