10.2. Algebraic Closure

(1)

李華介

國立台灣師範大學數學系

(2)

Chapter 10 中級 Field 的性質

在這一章中我們要更進一步探討 algebraic element 以及 algebraic extension 的性質. 另外我們也會利用所得的性質來探討一些有關 finite field 的基本性質.

10.1. Algebraic Elements

假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension. 要知道 F 中的一個元素 a 是 否 algebraic over F , 依定義就必須驗證是否存在一個不為 0 的 f (x) ∈ F [x] 使得 f (a) = 0. 一般來說用這種方法來驗證一個元素是否是 algebraic over F , 技術上是 相當困難的. 這一節中我們將討論幾種和原先 algebraic element 的定義等價的性質, 這樣以後我們要驗證一個元素是否是 algebraic over F 就有多一點的方法來處理.

首先注意當 a ∈ L 是 algebraic over F 時, 事實上滿足 f (x) ∈ F [x] 且 f (a) = 0 的多項式有無窮多個. 不過這其中有一個相當特別. 我們首先可以考慮滿足 f (a) = 0 的 f (x) ∈ F [x] 中 degree 最小的 polynomials. 這樣的 polynomials 有以下兩個重 要的性質.

Lemma 10.1.1. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension. 若 a ∈ L 是 algebraic over F 且 f (x) ∈ F [x] 是 F [x] 中滿足 f (a) = 0 的非 0 多項式中 degree 最小的一個 polynomial, 則 f (x) 有以下兩個性質:

(1) 若 g(x) ∈ F [x] 且 g(a) = 0, 則存在 h(x) ∈ F [x] 滿足 g(x) = f (x) · h(x).

(2) f (x) 是 F [x] 中的 irreducible element.

Proof. (1) 由於 F 是一個 field, 利用 Euclid’s Algorithm (Theorem 7.2.4) 知存在 h(x), r(x) ∈ F [x] 使得

g(x) = f (x) · h(x) + r(x) (10.1) 其中 r(x) = 0 或 deg(r(x)) < deg(f (x)). 將 a 代入式子 (10.1) 得

g(a) = f (a) · h(a) + r(a).

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(3)

由於 f (a) = g(a) = 0, 我們得 r(a) = 0. 如果 r(x) 6= 0, 則得到 r(x) ∈ F [x] 滿足 deg(r(x)) < deg(f (x)) 且 r(a) = 0. 這和 f (x) 當初的選取相矛盾, 故知 r(x) = 0.

也就是說 g(x) = f (x) · h(x).

(2) 假設 f (x) 在 F [x] 中不是 irreducible, 即存在 h(x), l(x) ∈ F [x] 滿足 deg(h(x)) < deg(f (x)), deg(l(x)) < deg(f (x)) 且 f (x) = h(x) · l(x). 將 a 代入 上式, 由 f (a) = 0 知 h(a) · l(a) = 0. 由於 h(x), l(x) ∈ F [x] 且 a ∈ L, 我們知 h(a), l(a) ∈ L. 故由 L 是 integral domain (Lemma 9.1.1) 得 h(a) = 0 或 l(a) = 0.

這再次和 f (x) 的選取相矛盾, 故知 f (x) 是 F [x] 中的 irreducible element. ¤ 若 f (x) ∈ F [x] 是 F [x] 中符合 f (a) = 0 degree 最小的 polynomial 且 g(x) ∈ F [x]

滿足 g(a) = 0, 則由 Lemma 10.1.1 (1) 知 g(x) ∈¡ f (x)¢

. 現在如果 g(x) 也是 F [x]

中符合 g(a) = 0 degree 最小的 polynomial, 則可得 ¡ f (x)¢

=¡ g(x)¢

. 由於 F [x] 中 的 unit 都是 F 中的非 0 元素 (Proposition 7.2.3) 利用 Lemma 8.1.3 知存在 c ∈ F 使得 f (x) = c · g(x). 所以如果我們將這些次數最低而滿足 f (a) = 0 的 polynomial 除以它們的最高次項係數所得的 monic polynomial 就唯一了. 因此我們有以下之定義.

Definition 10.1.2. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field 且 a ∈ L 是 algebraic over F . 若 p(x) ∈ F [x] 是 F [x] 的非 0 polynomial 中滿足 p(a) = 0 degree 最小的 monic polynomial, 則稱 p(x) 是 a over F 的 minimal polynomial. 又 如果 deg(p(x)) = n, 則稱 a 是 algebraic over F of degree n.

我們知道當 [L : F ] 是有限的時候, L 中的元素都是 algebraic over F . 若 [L : F ] = n 且 a ∈ L, 則由於 1, a, . . . , aⁿ 一定 linearly independent over F , 故 知存在 f (x) ∈ F [x] 且 deg(f (x)) ≤ n 使得 f (a) = 0 (詳見 Theorem 9.3.7 的証 明) 故由 minimal polynomial 的定義知: 若 p(x) 是 a 的 minimal polynomial, 則 deg(p(x)) ≤ deg(f (x)) ≤ n. 換言之我們得 a 的 degree 小於或等於 [L : F ]. 我們將 這個結果寫成以下之 Lemma.

Lemma 10.1.3. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 finite extension, 則 L 中任 意的元素都是 algebraic over F 且其 degree 小於或等於 [L : F ].

當 L 不是 finite extension over F 時, L 中當然有可能存在元素是 algebraic over F . 如果 a ∈ L 是 algebraic over F , 我們想知道 F 和 L 之間是否可以找到一個 field K 是 F 的一個 finite extension 滿足 a ∈ K?

Definition 10.1.4. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field. 若 K 是 L 的一個 extension field 且 F ⊆ K ⊆ L, 則稱 K 是 L over F 的一個 subextension 或是 intermediate field.

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10.1. Algebraic Elements 181

Proposition 10.1.5. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field. 若 a ∈ L 是 algebraic over F 且其 degree 為 n, 則存在 L over F 的一個 subextension K 滿 足 a ∈ K 且 [K : F ] = n.

Proof. 考慮 φ : F [x] → L 其中對任意的 f (x) ∈ F [x], φ(f (x)) = f (a). 由於 a ∈ L, 所以自然有 φ(f (x)) = f (a) ∈ L, 因此 φ 確實是一個從 F [x] 映射到 L 的函數. 很 容易驗證 φ 是一個 ring homomorphism.

什麼是 ker(φ) 呢? 由於 F [x] 是一個 principle ideal domain 且 ker(φ) 是 F [x]

的一個 ideal, 我們知存在 p(x) ∈ f [x] 使得 ker(φ) = ¡ p(x)¢

. 事實上我們可以有 ker(φ) =¡

p(x)¢

其中 p(x) 是 a 的 minimal polynomial. 這是因為若 f (x) ∈ ker(φ), 則知 φ(f (x)) = f (a) = 0. 故由 Lemma 10.1.1 知 f (x) ∈ ¡

p(x)¢

. 反之, 對任 意 f (x) ∈ ¡

p(x)¢

, 存在 h(x) ∈ F [x] 使得 f (x) = p(x) · h(x), 因此由 p(a) = 0 得 f (a) = p(a) · h(a) = 0. 故得證 ker(φ) = ¡

p(x)¢

, 其中 p(x) 是 a 的 minimal polynomial.

現由 First Isomorphism Theorem (6.4.2) 知 F [x]/¡

p(x)¢

' im(φ).

然而 p(x) 是 F [x] 的一個 irreducible element (Lemma 10.1.1), 故由¡ p(x)¢

是 F [x] 的 一個 maximal ideal (Lemma 8.3.2), 得知 F [x]/¡

p(x)¢

是一個 field (Theorem 6.5.11).

換言之 im(φ) 是一個 field.

至於什麼是 im(φ) 呢? 由定義知

im(φ) = {f (a) | f (x) ∈ F [x]}.

換言之, im(φ) 裡的元素都是由某個 F [x] 裡的 polynomial 代入 a 所得. 所以若 c ∈ F , 我們自然有 φ(c) = c ∈ im(φ), 故得 F ⊆ im(φ) ⊆ L. 另一方面將 a 代入 x 這 一個 polynomial 得到 a: 也就是說 φ 將 x 送到 a (即 φ(x) = a), 故知 a ∈ im(φ). 所 以若令 K = im(φ), 則知 K 是 L over F 的一個 subextension 且 a ∈ K. 最後由假設 a over F 的 degree 是 n, 也就是說 a 的 minimal polynomial p(x) 的 degree 是 n, 因 此由 Lemma 9.3.6 知 dim_F(F [x]/¡

p(x)¢

) = deg(p(x)) = n. 故由 K ' F [x]/¡ p(x)¢

知 [K : F ] = n. ¤

若僅由定義來看 Proposition 10.1.5 中的 im(φ) = {f (a) | f (x) ∈ F [x]} 只是 一個 ring, 那為何它會是 field 呢? 若你記得 Theorem 9.3.7 這就一點都不奇怪 了. 因為 im(φ) ⊆ L 自然是 integral domain, 而由 Proposition 10.1.5 的證明也知 dim_F(im(φ)) = n.

我們也很容易檢查 {f (a) | f (x) ∈ F [x]} 會是 L 中包含 F 以及 a 最小的 ring, 這 是因為若 R 是一個 ring 且包含 F 以及 a, 則對任意的 f (x) ∈ F [x], 由於 f (a) 僅牽 涉到 a 和 F 中的元素間的加法以及乘法, 別忘了這些都是 R 中元素的運算所以當然

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得 f (a) ∈ R. 換言之我們得 {f (a) | f (x) ∈ F [x]} ⊆ R, 再加上 {f (a) | f (x) ∈ F [x]}

本身是一個 ring 所以它自然是包含 F 以及 a 最小的 ring 了!

為了方便我們定以下之符號, 在一般的代數書上這個定義是標準的且常被使用的定義.

Definition 10.1.6. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field 且 a ∈ L.

我們令 F [a] 表示 L 中包含 F 以及 a 最小的 ring; 我們也令 F (a) 表示 L 中包含 F 以及 a 最小的 field.

前面已知 F [a] 就是 im(φ) = {f (a) | f (x) ∈ F [x]}. 那麼 F (a) 中的元素又是怎 樣呢? 利用 quotient field 的性質 (Proposition 7.4.2) 很容易驗證

F (a) = {f (a)/g(a) | f (x), g(x) ∈ F [x] 且 g(a) 6= 0}.

由這裡可看出: 一般來說 F [a] 和 F (a) 是不相同的; 不過前面提過若 a 是 algebraic over F , 則 F [a] 會是一個 field, 所以 F [a] 自然是包含 F 以及 a 最小的 field. 換句 話說當 a 是 algebraic over F 時, 我們有 F [a] = F (a). 因此 F (a) 就是 Proposition 10.1.5 中所要找的 K, 所以我們將 Proposition 10.1.5 重整以後可以得:

Corollary 10.1.7. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field. 若 a ∈ L 是 algebraic over F 且 p(x) ∈ F [x] 為 a over F 的 minimal polynomial, 則

F (a) ' F [x]/¡ p(x)¢

and [F (a) : F ] = deg(p(x)).

Remark 10.1.8. 同學或許會奇怪 F [a] 裡的元素長的是 f (a) 其中 f (x) ∈ F [x] 這 種樣子, 而 F (a) 裡的元素長的是 f (a)/g(a) 其中 f (x), g(x) ∈ F [x] 這種樣子: 兩個 樣子差這麼多, 怎麼可能會 F [a] = F (a) 呢? 這是因為當 a 是 algebraic over F 時, F [a] (或 F (a)) 裡的元素其表示法是不唯一的. 例如若 p(x) ∈ F [x] 是 a 的 minimal polynomial, 如果令 g(x) = f (x) + p(x), 則 g(a) = f (a). 所以當然有可能用不同的 形式寫下來的元素它們的值是相同的.

接下來我們就來看和 a 是 algebraic over F 等價的條件是什麼?

Theorem 10.1.9. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field 且 a ∈ L, 則下面有關於 a 的敘述是等價的.

(1) a 是 algebraic over F .

(2) 存在 K 是 L over F 的 subextension 滿足 a ∈ K 且 [K : F ] 是有限的.

(3) F [a] = F (a).

Proof. 由前面 Proposition 10.1.5 可知 (1) ⇒ (2), 所以我們僅要驗證 (2) ⇒ (3) 以 及 (3) ⇒ (1).

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10.2. Algebraic Closure 183

(2) ⇒ (3): 若 K 是 L over F 的 subextension (即 F ⊆ K ⊆ L), 則由假設 a ∈ K 知 F [a] ⊆ K. 再由假設 K 是 F 的一個 finite extension, 套用 Proposition 9.4.3 可 得 F [a] 是一個 field. 故知 F [a] = F (a).

(3) ⇒ (1): 假設 F [a] = F (a), 也就是說 F [a] 是一個 field. 如果 a = 0 ∈ F , 那 當然 a 是 algebraic over F (注意 F 中的元素當然是 algebraic over F ). 如果 a 6= 0, 則由 a ∈ F [a] 且 F [a] 是一個 field 知 a⁻¹ ∈ F [a]. 別忘了 F [a] 裡的元素都是 f (a), 其中 f (x) ∈ F [x] 這種形式, 所以我們有 a⁻¹ = f (a), 其中

f (x) = c_nxⁿ+ · · · + c₁x + c₀, c_i ∈ F.

故由

a⁻¹= c_n· aⁿ+ · · · + c₁· a + c₀ 得

1 = c_n· aⁿ⁺¹+ · · · + c₁· a²+ c₀· a.

因此若令

g(x) = c_nxⁿ⁺¹+ · · · + c₁x²+ c₀x − 1,

則 g(a) = 0. 由於 g(x) ∈ F [x] 且 g(x) 6= 0, 故知 a 是 algebraic over F . ¤ Theorem 10.1.9 給了我們一個很好的方法來驗證 a 是否是 algebraic over F . 也 就是說今後要檢查 a 是 algebraic over F 我們可以不必真的去找一個 f (x) ∈ F [x] 使 得 f (a) = 0. 當然了要用什們方法會因問題而有所差別. 比方說若 a² ∈ L 且我們知 a² 是 algebraic over F , 如果 f (x) ∈ F [x] 滿足 f (a²) = 0, 則令 g(x) = f (x²), 我們 可得 g(a) = f (a²) = 0. 因此知 a 也是 algebraic over F . 也就是當 a² 是 algebraic over F 時, a 也會是 algebraic over F . 但是反過來, 如果已知 a 是 algebraic over F , 我們就無法利用滿足 a 的 polynomial 來製造一個滿足 a² 的 polynomial 了. 同 學或許會想若 f (a) = 0, 我們可以令 g(x) = f (x^1/2), 則 g(a²) = f (a) = 0 呀! 這是 不對的, 因為 f (x) 若有奇數次項, 則 g(x) = f (x^1/2) 就不再是一個 polynomial 了.

所以在這種狀況下就不可能利用找 polynomial 的方法來證明 a² 是 algebraic over F . 其實當 a 是 algebraic over F 時利用 Theorem 10.1.9 知存在一個 field K 是 F 的 finite extension 且 a ∈ K. 然而 K 是一個 field 且 a ∈ K, 所以當然 a²∈ K, 所 以再用一次 Theorem 10.1.9 (或是利用 Lemma 10.1.3) 我們得證 a² 也是 algebraic over F . 以後我們常會用類似的方法來處理相關的問題.

10.2. Algebraic Closure

當 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension 時, 我們可以將 L 中的元素分成 algebraic over F 和不是 algebraic over F 的兩種. 在這一節中我們將探討 L 中所有 algebraic over F 的元素所成之集合.

Definition 10.2.1. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension. 我們令 L_F = {a ∈ L | a 是 algebraic over F },

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稱之為 F 在 L 的 algebraic closure.

F 中的元素當然是 algebraic over F , 所以由定義知 F ⊆ L_F ⊆ L. 另外如果 L 是 F 的一個 finite extension, 則由 Lemma 9.4.5 知 L 中的元素都 algebraic over F , 所以在這個假設之下 L_F = L.

接下來我們要證明 L_F 的一個重要性質, 即 L_F 是一個 field. 換言之, 我們要證 明若 a, b ∈ L_F, 其中 b 6= 0, 則 a − b 以及 a · b⁻¹ 皆在 L_F 中 (Lemma 9.1.4). 要如 何證明這些元素都是 algebraic over F 呢? 當然不可能用找 polynomial 的方法, 我 們必須藉助 Theorem 10.1.9. 在這之前我們先推廣一下 Definition 10.1.6.

Definition 10.2.2. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension. 若 a₁, . . . , a_n∈ L, 則定 F (a₁, . . . , a_n) 表示為 L 中包含 F 以及 a₁, . . . , a_n 最小的 field.

Lemma 10.2.3. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension. 若 a₁, . . . , a_n∈ L 皆為 algebraic over F , 則 F (a₁, . . . , a_n) 是 F 的一個 finite extension. 事實上, 如 果已知 a₁, . . . , a_n over F 的 degree 分別為 m₁, . . . , m_n, 則

[F (a₁, . . . , a_n) : F ] ≤ m₁· · · m_n. Proof. 為了方便, 我們令

K₁ = F (a₁), K₂= K₁(a₂) = F (a₁, a₂), . . . , K_n= K_n−1(a_n) = F (a₁, . . . , a_n).

對任意的 i, 我們有 [K_i : K_i−1] = [K_i−1(a_i) : K_i] ≤ m_i. 這裡 [K_i−1(a_i) : K_i−1] 會小於或等於 m_i 的原因是: 由 Corollary 10.1.7 知 [K_i−1(a_i) : K_i−1] 的值剛 好是 a_i over K_i−1 的 minimal polynomial q_i(x) ∈ K_i−1[x] 的 degree. 然而由 假設 a_i over F 的 minimal polynomial p_i(x) ∈ F [x] 的 degree 為 m_i. 由於 p_i(x) ∈ F [x] ⊆ K_i−1[x] 且 p_i(a_i) = 0, 故由 q_i(x) 是 a_i over K_i−1 的 minimal polynomial 的假設知 deg(q_i(x)) ≤ deg(p_i(x)) = m_i. 故知

[K_i: K_i−1] = [K_i−1(a_i) : K_i−1] = deg(q_i(x)) ≤ m_i.

現在由於每一段 [K_i : K_i−1] 都是有限的, 所以我們可以連續套用 Theorem 9.4.6 得:

[F (a₁, . . . , a_n) : F ] = [K_n: K_n−1][K_n−1: F ]

= [K_n: K_n−1][K_n−1: K_n−2][K_n−2: F ] ...

= [K_n: K_n−1] · · · [K₁ : F ] ≤ m_n· · · m₁.

故得證 F (a₁, . . . , a_n) 是 F 的一個 finite extension. ¤ 利用 Lemma 10.2.3 我們馬上可得知 L_F 是一個 field.

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10.2. Algebraic Closure 185

Theorem 10.2.4. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension. 若 a, b ∈ L, 其中 b 6= 0, 皆為 algebraic over F , 則 a + b, a − b, a · b 以及 a · b⁻¹ 皆為 algebraic over F . 由此我們可得 L_F 是一個 field.

Proof. 由 Lemma 10.2.3 我們知 F (a, b) 是 F 的一個 finite extension. 由於 a, b ∈ F (a, b), b 6= 0 且 F (a, b) 是一個 field, 我們自然有 a + b, a − b, a · b 以及 a · b⁻¹ 皆為 F (a, b) 的元素. 故由 Theorem 10.1.9 (或 Lemma 10.1.3) 知這四個元素皆為 algebraic over F .

今若 a, b ∈ L_F, 其中 b 6= 0, 則由定義知 a, b 皆為 algebraic over F . 故由前知 a + b, a − b, a · b 以及 a · b⁻¹ 皆為 algebraic over F . 故知這四個元素皆在 L_F 中,

因此得證 L_F 是一個 field. ¤

假設 L 是 F 的一個 extension, 且 K 是 L over F 的 subextension (即 F ⊆ K ⊆ L).

L 中是 algebraic over K 的元素未必是 algebraic over F . 不過 L 中是 algebraic over F 的元素就一定是 algebraic over K. 這是因為若 a ∈ L_F (即 a ∈ L 是 algebraic over F ), 表示在 F [x] 中存在 f (x) 6= 0 使得 f (a) = 0. 由於 f (x) ∈ F [x] ⊆ K[x], 我 們自然得 a 也是 algebraic over K. 故得 a ∈ L_K, 換句話說我們總是有

L_F ⊆ L_K.

我們有興趣知道什麼時候 L_F 會等於 L_K. 以下是一個例子.

Lemma 10.2.5. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension, 且 K 是 L over F 的 subextension. 若 K 是 F 的一個 finite extension, 則 L_F = L_K

Proof. 我們已知 L_F ⊆ L_K, 所以只要證明 L_K ⊆ L_F. 也就是要證明: 若 a ∈ L 是 algebraic over K, 則 a 是 algebraic over F . 我們考慮 K(a) 這一個 field. 由假設 a 是 algebraic over K, 故利用 Corollary 10.1.7 知 K(a) 是 K 的一個 finite extension.

再加上 K 是 F 的一個 finite extension, 套用 Theorem 9.4.6 可得 [K(a) : F ] = [K(a) : K][K : F ],

因此 K(a) 是 F 的一個 finite extension. 故利用 a ∈ K(a) 以及 Theorem 10.1.9 (或 Lemma 10.1.3) 知 a 是 algebraic over F . ¤ 我們可以將 Lemma 10.2.5 推廣到更一般的狀況. 回顧一下若 K 是 F 的一個 algebraic extension 表示 K 中的元素皆為 algebraic over F . 在 Lemma 10.2.5 中的 假設 K 是 F 的 finite extension, 所以自然是 F 的一個 algebraic extension. 我們 要將 Lemma 10.2.5 推廣到 K 是 F 的 algebraic extension 這個狀況.

Theorem 10.2.6. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension, 且 K 是 L over F 的 subextension. 若 K 是 F 的一個 algebraic extension, 則 L_F = L_K

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Proof. 和 Lemma 10.2.5 相同的情形, 我們只要證明: 若 a ∈ L 是 algebraic over K, 則 a 是 algebraic over F . 不過這裡碰到的狀況是 K 可能不是 finite extension over F , 所以我們不能直接套用 Lemma 10.2.5. 要克服這個困難, 我們必須想辦法找 到一個 F 的 finite extension K⁰ 且滿足 a 是 algebraic over K⁰. 如此再套用 Lemma 10.2.5 得證 a 是 algebraic over F .

由假設 a 是 algebraic over K, 知存在 f (x) 6= 0 且 f (x) ∈ K[x] 使得 f (a) = 0.

假設 f (x) = a_nxⁿ+ · · · + a₀. 由於 a_n, . . . , a₀ ∈ K 且 K 是 F 的一個 algebraic extension, 故知 a_n, . . . , a₀ 皆為 algebraic over F . 令 K⁰ = F (a_n, . . . , a₀), 由 Lemma 10.2.3 知 K⁰ 是 F 的一個 finite extension. 故利用 Lemma 10.2.5 知 L_K⁰ = L_F. 另 外由於 a_n, . . . , a₀ ∈ F (a_n, . . . , a₀) = K⁰, 我們知 f (x) ∈ K⁰[x]. 故由 f (a) = 0 知 a 是 algebraic over K⁰. 換言之, 我們有 a ∈ L_K⁰, 故由 L_K⁰ = L_F 得知 a ∈ L_F. 因此

得證 a 是 algebraic over F . ¤

我們已知 L_F 是一個 filed (Theorem 10.2.4) 且 F ⊆ L_F ⊆ L. 如果我們再收集 L 中是 algebraic over L_F 的元素會不會得到更大的 field 的呢? 換句話來說, 我們 想知道 L_L

F (不要被這符號嚇著了) 是什麼? 事實上所謂的 algebraic closure 就是 說 L 中 algebraic over L_F 的元素所成的集合就是 L_F 自己.

Corollary 10.2.7. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension, 若 a ∈ L 且 a 是 algebraic over L_F, 則 a 是 algebraic over F . 也就是說, 我們有

L_L

F = L_F.

Proof. 首先注意由定義 L_F 中的元素都是 algebraic over F , 故知 L_F 是 F 的一個 algebraic extension. 因此若令 K = L_F, 則 K 符合 Theorem 10.2.6 的條件, 故知 L_K = L_F. 也因此若 a ∈ L 是 algebraic over L_F = K, 表示 a ∈ L_K. 故由 L_K = L_F 得知 a ∈ L_F, 也就是說 a 是 algebraic over F . ¤

10.3. Roots of Polynomials

這一節中我們將討論一個 polynomial 在一個 field 中它的根的性質.

首先我們還是來看大家最熟悉的餘式定理.

Lemma 10.3.1. 假設 F 是一個 field. 若 f (x) ∈ F [x], 其中 deg(f (x)) = n, 且 a ∈ F 滿足 f (a) = 0, 則存在 h(x) ∈ F [x], 其中 deg(h(x)) = n − 1, 使得 f (x) = (x − a) · h(x).

Proof. 由於 F 是一個 field, 考慮 f (x) ∈ F [x] 以及 (x − a) ∈ F [x], 利用 Euclid’s Algorithm (Theorem 7.2.4) 知存在 h(x), r(x) ∈ F [x] 滿足 f (x) = (x−a)·h(x)+r(x), 其中 r(x) = 0 或 deg(r(x)) < deg(x − a) = 1. 如果 r(x) 6= 0 由 deg(r(x)) < 1 知 r(x) = c ∈ F 是一個常數. 但由於 f (a) = 0 故將 a 代入 f (x) = (x − a) · h(x) + c

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10.3. Roots of Polynomials 187

得 c = 0, 此和 r(x) 6= 0 相矛盾故知 r(x) = 0. 也就是 f (x) = (x − a) · h(x). 至於 deg(h(x)) = n − 1, 可由 Lemma 7.2.2 直接得知. ¤ 由於 deg(x − a) = 1, 我們知道 x − a 是 F [x] 中的 irreducible element. 因此 Lemma 10.3.1 告訴我們若 f (a) = 0, 則 x − a 會是 f (x) 的一個 irreducible divisor.

利用 F [x] 是 unique factorization domain (Theorem 7.2.14), 我們知存在 k ∈ N 以 及 q(x) ∈ F [x] 使得 f (x) = (x − a)^k· q(x), 其中 q(a) 6= 0 (即 x − a 不是 q(x) 的 divisor). 我們依此來定義 a 在 f (x) 的重根數.

Definition 10.3.2. 假設 F 是一個 field. 若 f (x) ∈ F [x] 且 a ∈ F 滿足 f (a) = 0, 則稱 a 是一個 root of f (x). 又如果 f (x) = (x − a)^k· q(x), 其中 q(a) 6= 0, 則稱 a 是一個 root of multiplicity k of f (x).

接下來也是大家熟悉的定理: 一個 n 次多項式在一個 field 中計算重根在內至 多有 n 個根. 這裡指的計算重根在內是說如果 a 是 k 重根, 則要算成是 k 個根.

Theorem 10.3.3. 假設 F 是一個 field. 若 f (x) ∈ F [x] 且 deg(f (x)) = n ≥ 1, 則 在 F 中將 multiplicity 計算在內, f (x) 至多有 n 個 roots.

Proof. 我們利用 induction. 如果 deg(f (x)) = 1, 則 f (x) 當然僅有 1 個根. 假設 degree 小於 n 的 polynomial 定理皆成立. 現考慮 f (x) ∈ F [x] 且 deg(f (x)) = n 的情形. 如果 f (x) 在 F 中沒有 root, 則定理當然成立. 如果 a ∈ F 是 f (x) 的一 個 root of multiplicity k, 即表示存在 q(x) ∈ F [x] 使得 f (x) = (x − a)^k· q(x), 其中 q(a) 6= 0. 利用 degree 的性質 (Lemma 7.2.2) 我們有 deg(q(x)) = n − k < n, 故利 用 induction 的假設知在 F 中將 multiplicity 計算在內, q(x) 至多有 n − k 個 roots.

然而若 b ∈ F 是 f (x) 的一個 root, 我們有

0 = f (b) = (b − a)^k· q(b).

利用 F 是 integral domain, 我們知 f (x) 的 roots 要不是 a 就是 q(x) 的 roots.

因此在 F 中 f (x) roots 的個數就是 k 加上 q(x) 的 roots 的個數, 所以至多有

k + (n − k) = n 個. ¤

我們要看一個元素 a 是否是 f (x) 的一個根, 大家直覺的想法就是將 a 代入 f (x) 看是否為 0. 事實上這是不對的, 要將 a 代入 f (x) 牽扯上 a 和 f (x) 的係數間的加法 和乘法. 換言之如果 a 座落在一個包含 F 和 a 的 field L (至少要是 ring) 中, 這樣 我們才可以將 a 和 f (x) 的係數考慮成是 L 的元素而加以運算. 這樣 f (a) (看成是 L 的元素) 才有意義. 這就是為甚麼我們前面的討論都會先給 F 的一個 extension L, 然後再談論 a ∈ L 與 F [x] 中的 polynomials 的關係. 所以我們自然會問: 給定 任一非常數的 f (x) ∈ F [x] 是否可以找到 F 的一個 extension L 使得 f (x) 在 L 中有根? 答案是肯定的. 以下的定理就是回答這個問題. 我們將會建構一個 F 的 extension field 然後說明在其中可找到一個根. 這個定理的證明同學或許會覺得“虛

(11)

虛”的, 因為好像沒有真的在找根的感覺. 不過這就是數學在談存在性所關心的重點, 我們只要知道東西存在而不必真正告訴你東西是什麼.

Theorem 10.3.4. 假設 F 是一個 field 且 p(x) ∈ F [x] 是 F [x] 中的 irreducible element, 則存在一個 field L 是 F 的 finite extension, 其中 [L : F ] = deg(p(x)) 且 L 中存在 a ∈ L 滿足 p(a) = 0.

Proof. 令 L = F [x]/¡ p(x)¢

. 由於 p(x) 是 irreducible, 我們知¡ p(x)¢

是 F [x] 中的 maximal ideal, 故知 L 是一個 field.

首先我們要驗證 L 中存在一個 subfield 和 F 是 isomorphic 的, 因此我們可以將 L 看成是 F 的一個 extension. 事實上考慮 π : F → F [x]/¡

p(x)¢

, 定義成 π(c) = c, 很容易驗證 π 是一個 ring homomorphism. 也很容易驗證 π 是一對一的: 這是因 為如果 c ∈ ker(π), 表示 c = 0, 即 c ∈¡

p(x)¢

. 但是 ¡ p(x)¢

中除了 0 以外沒有其他 的常數, 故得 c = 0 (也可套用 Proposition 9.1.5 (2) 得到 π 是一對一). 因此得證 im(π) 是 L 的 subfield 且和 F 是 isomorphic 的.

現在要證明 L 中存在一元素是 p(x) 的根. 考慮 a = x ∈ L, 我們要說明 p(x) = 0 (注意 0 是 L = F [x]/¡

p(x)¢

的 0). 假設 p(x) = a_nxⁿ+ · · · + a₁x + a₀, 其中 a_i∈ F . 那麼 p(a) 會是什麼呢? 別忘了我們提過這裡代入 a 必須用到的是 L 中的運算, 而 在 L 中 c ∈ F 是需經過 π 送到 L 的, 換句話說我們必須考慮的是 c. 因此有

p(a) = p(x)

= a_n· xⁿ+ · · · + a₁· x + a₀

= a_n· xⁿ+ · · · + a₁· x + a₀ (依 L 的運算定義)

= a_nxⁿ+ · · · + a₁x + a₀

= p(x) = 0

所以 L 中真的存在一個元素代入 p(x) 等於 L 中的 0.

最後由 Lemma 9.3.6 知 [L : F ] = dim_F(L) = dim_F(F [x]/¡ p(x)¢

) = deg(p(x)).

¤ 由 Theorem 10.3.4 我們很容易得到以下一般的狀況.

Corollary 10.3.5. 假設 F 是一個 field 且 f (x) ∈ F [x], 其中 deg(f (x)) = n ≥ 1, 則存在一個 field L 是 F 的 finite extension, 其中 [L : F ] ≤ n 且 L 中存在 a ∈ L 滿足 f (a) = 0.

Proof. 由於 f (x) ∈ F [x] 而且 deg(f (x)) ≥ 1, 所以 f (x) 不是 F [x] 中的 unit. 利 用 F [x] 是 unique factorization domain, 我們知存在 p(x) ∈ F [x] 是 F [x] 中的 irreducible element 滿足 p(x) | f (x). 注意如果 p(a) = 0, 則當然得 f (a) = 0. 因此 由 Theorem 10.3.4 知存在 L, 其中 [L : F ] = deg(p(x)) ≤ deg(f (x)) 且 a ∈ L, 滿足

f (a) = p(a) = 0. ¤

(12)

10.4. Finite Fields 189

我們可以一直套用 Corollary 10.3.5 找到一個 F 的 finite extension L⁰ 使得 f (x) 在 L⁰中可以完全分解. 這裡所謂的 f (x) 在 L⁰ 完全分解就是說: 如果 deg(f (x)) = n, 則 f (x) 在 L⁰[x] 中可以寫成 f (x) = c · (x − a₁) · · · (x − a_n), 其中 a_i∈ L⁰. 此時我們 通常稱 f (x) splits into linear factors in L⁰.

Theorem 10.3.6. 假設 F 是一個 field 且 f (x) ∈ F [x], 其中 deg(f (x)) = n ≥ 1, 則存在一個 field L⁰ 是 F 的 finite extension, 其中 [L⁰ : F ] ≤ n!, 使得 f (x) splits into linear factors in L⁰.

Proof. 利用 Corollary 10.3.5 知存在 L₁ 是 F 的一個 extension 滿足 [L₁: F ] ≤ n 且 a₁∈ L₁ 使得 f (a₁) = 0. 故由 Lemma 10.3.1 知存在 f₁(x) ∈ L₁[x] 且 deg(f₁(x)) = n − 1 使得 f (x) = (x − a₁) · f₁(x). 對 f₁(x) 再套用一次 Corollary 10.3.5 知存在 L₂ 是 L₁ 的一個 extension 滿足 [L₂ : L₁] ≤ n − 1 且 a₂∈ L₂ 使得 f₁(a₂) = 0. 注意此時

[L₂ : F ] = [L₂: L₁][L₁ : F ] ≤ n(n − 1), 且存在 f₂(x) ∈ L₂[x] 使得

f (x) = (x − a₁) · (x − a₂) · f₂(x).

所以這樣一直作下去 (或是對 degree 作 induction) 我們得證本定理. ¤ 最後我們強調一下 Theorem 10.3.6 裡的 L⁰ 當然會因 f (x) 不同而不同, 不過事 實上我們可以找到一個 F 的 extension ˜F 使得 F [x] 中的所有 polynomial 在 ˜F 中 都可以 splits into linear factors (當然此時 ˜F 有可能不是 F 的 finite extension). 不 過由於這個定理的證明需用到所謂的 Zorn’s Lemma, 我們就略去不證了.

10.4. Finite Fields

在這個講義的最後一節, 我們要簡單的介紹 finite field 的一些簡單的性質.

回顧一下所謂 F 是一個 finite field 就是說 F 是一個 field 且 F 的元素個數 (通 常我們用 |F | 來表示) 是有限多個. 由這個定義我們馬上知若 F 是 finite field, 則 F 的 characteristic 一定是一個質數 p (Lemma 9.2.3). 當初我們定 characteristic 是利用一個 ring homomorphism φ : Z → F , 其中對任意 n ∈ N 我們定 φ(n) = n1, 而 φ(−n) = n(−1). F 的 characteristic 是 p 表示 ker(φ) =¡

p¢

. 因此由 ring 的 1st Isomorphism Theorem 我們知 Z/¡

p¢

' im(φ) ⊆ F . 別忘了 p 是質數, 故知 ¡ p¢

會 是 Z 的一個 maximal ideal, 因此 Z/¡

p¢

是一個 field. 又因 ¯

¯Z/¡ p¢¯

¯ = p, 我們得 F 中存在一個 subfield 和 Z/¡

p¢

這個 p 個元素的 finite field 是 isomorphic 的. 為了 方便我們將這個 p 個元素的 finite field 記為: F_p.

既然 F 是 F_p 的一個 extension, 我們當然就可以把 F 看成是一個 vector space over F_p. 那麼 F 會不會是 finite dimensional over F_p 呢? 大家可能都會猜想會, 但 是怎麼證呢? 一般來說我們要證明一個 vector space V 是 finite dimensional over 一

(13)

個 field K, 我們只要證明 V 中可以找到有限多個元素 span V over K. 現在由於 F 是 finite field, 就假設 |F | = n 吧, 那麼 F 中所有的元素當然 span F over F_p 了 (因 為每個 a ∈ F 都可以看成是 a = 1 · a). 所以由 Lemma 9.3.4 (1) 知 dim_F_p(F ) ≤ n.

當然我們這個估計的 dimension 是非常粗略, 不過我們目前的目的只是要知道 F 是 F_p 的一個 finite extension. 綜合以上的結果我們可以得到以下 finite field 第一個重要的性質.

Theorem 10.4.1. 假設 F 是一個 finite field 且 char(F ) = p, 則 F 中存在一個 subfield F_p, 其中 |F_p| = p 且和 Z/¡

p¢

isomorphic, 而且 F 是 F_p 的一個 finite extension. 若 [F : F_p] = k, 則 |F | = p^k.

Proof. 我們前面已知 F 中存在一個 subfield F_p 滿足 F_p ' Z/¡ p¢

, 而且 F 是 F_p 的 finite extension. 所以我們僅剩下要證: 若 [F : F_p] = k, 則 |F | = p^k.

這完全是一個線性代數的問題. 由 dim_F_p(F ) = [F : F_p] = k 的假設知存在 a₁, . . . , a_k ∈ F 是一組 F over F_p 的 basis. 由 basis 的定義知對任意的 α ∈ F , 存 在一組唯一的 c₁, . . . , c_k ∈ F_p 使得 α = c₁· a₁+ · · · + c_k· a_k. (這裡的存在是因為 a₁, . . . , a_k span F over F_p, 而唯一是因為 a₁, . . . , a_k 是 linearly independent over F_p.) 注意這裡的 a₁, . . . , a_k 是固定的一組 basis, 而 c₁, . . . , c_k ∈ F_p 會隨著 α ∈ F 的改變而改變. 換言之 F 中的任一個元素都由唯一的一組 c₁, · · · , c_k 所決定. 但由 於這些 c_i 皆在 F_p 中而 |F_p| = p, 因此對每個 i ∈ {1, . . . , k}, c_i 都有 p 個選擇, 故 知這些 c₁, . . . , c_k 共有 p^k 個選擇. 也就是說 F 中共有 p^k 個元素. ¤ Theorem 10.4.1 簡單來說就是告訴我們每一個 finite field 其元素的個數應該是 p^k 個這種形式. 所以不可能有 finite field 有 6 個元素; 不過 Theorem 10.4.1 也沒有告訴我們到底有沒有 finite field 有 9 個元素或 16 個元素等等. 馬上我們就要回答這個問題, 不過在此之前我們先談談 finite field 的乘法結構.

假設 F 是一個 finite field, 因為 F 是 field, 由 Corollary 9.1.2 知 F^∗ = F \ {0}

在乘法之下是一個 abelian group. 又因為 F 只有有限個元素, 所以我們知道 F^∗ 是 一個 finite abelian group. 既然 F^∗ 是一個 finite group, 利用 Lagrange’s Theorem 我們有以下之結果.

Proposition 10.4.2. 假設 F 是一個 finite field 且 |F | = p^k. 令 f (x) = x^p^k− x, 則對任意 a ∈ F 皆符合 f (a) = 0 且 f (x) splits linear factors in F . 事實上我們有

x^p^k− x = Y

a∈F

(x − a).

Proof. 首先我們考慮 F^∗ 這個 order 為 p^k− 1 的 finite group. 利用 Lagrange’s Theorem (Corollary 2.3.4), 我們知對任意 a ∈ F^∗, 皆有 a^p^k⁻¹ = 1 (注意 1 是 F^∗ 的 identity). 等式兩邊乘上 a 得 a^p^k = a, 故知 f (a) = 0. 另外當 a = 0 時自然有 f (a) = 0, 所以我們得到對任意的 a ∈ F 皆符合 f (a) = 0. 然而由 Theorem 10.3.3

(14)

我們知道 f (x) 在 F 中最多只能有 deg(f (x)) = p^k 個根. 所以 F 中的元素剛好就 是 f (x) 所有的根. 因此 f (x) 可以完全分解成

f (x) = Y

a∈F

(x − a),

也就是說 f (x) splits linear factors in F . ¤ 要注意 Lagrange’s Theorem 是對一般的 finite group 都對的, 所以 Proposition 10.4.2 並沒有用到 F^∗ 是 abelian 的性質. 接下來我們要用到 finite abelian group 的重要性質來證明事實上 F^∗ 是一個 cyclic group. 回顧一下 finite abelian group 的 fundamental theorem (Theorem 3.3.11) 是說任意的 finite abelian group 都可寫 成一些 cyclic groups 的 direct product. 另外要注意的是若 C_n 表示是一個 cyclic group of order n, 則 C_n× C_m 不見得會 isomorphic to C_nm, 除非 n 和 m 是互質的 (Proposition 3.2.2).

Theorem 10.4.3. 假設 F 是一個 finite field, 則 F^∗= F \ {0} 看成是一個乘法的 group 時是一個 cyclic group.

Proof. 由 Theorem 3.3.11 知存在 n₁, . . . , n_r∈ N 使得 F^∗ ' C_n₁ × · · · × C_n_r,

其中 C_n_i 是一個 cyclic group of order n_i. 若我們能證明這些 n_i 都是兩兩互質的, 則重複運用 Proposition 3.2.2 可得

C_n₁ × · · · × C_n_r ' C_n₁_···n_r, 換言之 F^∗ 是 cyclic group.

我們利用反證法, 為了方便就假設 n₁ 和 n₂ 不互質好了 (其他的狀況都是用相 同的證明). 這表示存在一質數 q 是 n₁ 和 n₂ 的公因數. 因為 q | n₁ 且 q 是質 數, Cauchy’s 定理 (Theorem 3.3.2 或 Theorem 4.2.1) 告訴我們存在 a ∈ C_n₁ 滿足 ord(a) = q. 也就是說 a, a², . . . , a^q−1, a^q= e₁ 是 C_n₁ 中 q 個相異的元素 (這裡我們 用 e_i 來表示 C_n_i 的 identity). 同理我們知在 C_n₂ 中存在 b ∈ C_n₂ 滿足 ord(b) = q.

現考慮

α = (a, e₂, . . . , e_r), β = (e₁, b, . . . , e_r) ∈ C_n₁ × C_n₂× · · · × C_n_r. 當 i, j ∈ {1, . . . , q} 且 i 6= j 時, 我們知

αⁱ= (aⁱ, e₂, . . . , e_r) and α^j = (a^j, e₂, . . . , e_r),

故由於 aⁱ6= a^j, 我們知 αⁱ6= α^j. 同理 βⁱ 6= β^j. 另外對任意的 i, j ∈ {1, . . . , q − 1}, 由於 aⁱ 6= e₁ 且 b^j 6= e₂, 我們也知

αⁱ = (aⁱ, e₂, . . . , e_r) 6= (e₁, b^j, . . . , e_r) = β^j. 換句話說

α, α², . . . , α^q−1, β, β², . . . , β^q−1

(15)

以及

α^q= β^q = (e₁, e₂, . . . , e_r)

是 C_n₁× · · · × C_n_r 中相異的 2q − 1 個元素. 由於 a^q = e₁ 且 b^q= e₂, 這 2q − 1 個 元素 αⁱ 以及 β^j 都符合

(αⁱ)^q= (β^j)^q= (e₁, e₂, . . . , e_r). (10.2) 別忘了 (e₁, . . . , e_r) 是 C_n₁ × · · · × C_n_r 中的 identity, 所以 C_n₁ × · · · × C_n_r 和 F^∗ 間的 isomorphism 會將 (e₁, . . . , e_r) 送到 F^∗ 的 identity 1. 而且這個 isomorphism (因為是一對一) 也會將 αⁱ 和 β^j 這 2q − 1 個相異的元素送到 F^∗ 中 2q − 1 個相異 的元素. 由式子 (10.2) 我們知這 2q − 1 個 F^∗ 中的元素都符合 x^q− 1 = 0. 但是 Theorem 10.3.3 告訴我們 x^q− 1 在 F 中至多只能有 q 個根, 因此得到矛盾. 也就 是說 F^∗ ' C_n₁ × · · · × C_n_r 中的 n₁, . . . , n_r 都兩兩互質, 故得證 F^∗ 是一個 cyclic

group. ¤

F^∗ 是 cyclic 表示存在 a ∈ F^∗ 使得所有 F^∗ 中的元素都是 aⁱ 這種形式, 所以我們有以下這個重要的性質.

Corollary 10.4.4. 假設 F 是一個 finite field 且 |F | = p^k, 則存在 a ∈ F 滿足 F_p(a) = F 且 a over F_p 的 degree 為 k.

Proof. 令 a ∈ F^∗ ⊆ F 產生 F^∗ 這一個 cyclic group. 回顧一下 F_p(a) 是 F 中包含 a 和 F_p 最小的 filed, 因此我們自然有 F_p(a) ⊆ F . 另一方面任取 b ∈ F , 如果 b = 0, 則自然 b ∈ F_p(a); 如果 b 6= 0, 表示 b ∈ F^∗, 故存在 i ∈ N 使得 b = aⁱ. 由於 F_p(a) 是一個 field, 故此時 b = aⁱ ∈ F_p(a). 因此證得 F ⊆ F_p(a), 故知 F = F_p(a).

由於已知 |F | = p^k, 故利用 Theorem 10.4.1 知 [F_p(a) : F_p] = [F : F_p] = k. 因此 由 Corollary 10.1.7 知 a over F_p 的 minimal polynomial 的 degree 為 k, 故由定義

知 a over F_p 的 degree 為 k. ¤

接下來我們要證 finite field 的存在性, 即給定任一質數 p 以及 k ∈ N, 我們要找 到一個 finite field F 其元素個數剛好是 p^k. 首先注意當 k = 1 時 Z/¡

p¢

就是一個元 素個數為 p 的 finite filed, 為了方便我們將此 filed 記為 F_p. Theorem 10.4.1 告訴我 們一個元素個數為 p^k 的 finite filed F 若存在, 則 F 一定會是 F_p 的一個 extension.

另外 Proposition 10.4.2 告訴我們在此情形 x^p^k − x 在 F 中必定 splits into linear factors. 因此要尋找 F 必須從這兩個觀點出發.

Theorem 10.4.5. 給定任一質數 p 以及 k ∈ N, 一定存在一個 finite field F 滿足

|F | = p^k.

Proof. 考慮 x^p^k − x ∈ F_p[x], Theorem 10.3.6 告訴我們存在一個 filed L 是 F_p 的 一個 finite extension 使得 x^p^k− x 在 L 中 splits into linear factors. 現在考慮

F = {a ∈ L | a^p^k = a},

(16)

也就是說 F 是 L 中 x^p^k− x 所有的根所成的集合.

我們首先證明 F 是一個 filed. 利用 Lemma 9.1.4, 我們只要檢查對任意 a, b ∈ F 且 b 6= 0 皆有 a − b ∈ F 以及 a/b ∈ F 即可. a − b 以及 a/b 當然都是 L 的元素, 再 加上由 Lemma 9.2.5 我們有

(a − b)^p^k = a^p^k− b^p^k and (a/b)^p^k = a^p^k/b^p^k,

故因 a, b ∈ F (即 a^p^k = a 且 b^p^k = b) 得知 (a − b)^p^k = a − b 以及 (a/b)^p^k = a/b. 也 就是說 a − b 以及 a/b 都是 F 的元素.

接下來要證明 |F | = p^k. 要注意由假設 x^p^k − x splits into linear factors in L, 我們只能知 F 的元素個數至多有 p^k 個, 除非能證得 x^p^k − x 沒有重根. 要證明 x^p^k− x 沒有重根, 我們先任取 a ∈ L 是 x^p^k− x 的一個根, 由 Lemma 10.3.1 知存在 h(x) ∈ L[x] 使得 x^p^k− x = (x − a) · h(x). 若得 h(a) 6= 0, 則知 a 不是重根. 然而利 用 Lemma 9.2.6, 我們知道 (x − a)^p^k− (x − a) = x^p^k − a^p^k − x + a. 由於 a^p^k = a (因假設 a 是 x^p^k− x 的一個根), 故得

x^p^k− x = (x − a)^p^k− (x − a) = (x − a) · h(x),

其中 h(x) = (x − a)^p^k⁻¹− 1. 因為 h(a) = −1 6= 0, 故知任意 x^p^k− x 的根都不是重

根. 因此得證 F 是一個有 p^k 個元素的 finite field. ¤

利用 finite field 的存在性以及Corollary 10.4.4, 我們馬上有以下的應用.

Corollary 10.4.6. 假設 F_p 是一個有 p 個元素的 finite field, 則對任意 k ∈ N, 皆 存在 g(x) ∈ F_p[x] 在 F_p[x] 中是 irreducible 且 deg(g(x)) = k.

Proof. 利用 Theorem 10.4.5 知存在一個 finite field F 滿足 [F : F_p] = k. 故由 Corollary 10.4.4 知存在 a ∈ F 使得 F = F_p(a), 且由於 [F_p(a) : F_p] = k 知 a over F_p 的 minimal polynomial 的 degree 為 k. 由於 minimal polynomial 一定是 irreducible

(Lemma 10.1.1), 故得證本定理. ¤

接下來我們來看在 F_p[x] 中的 irreducible element 的特性.

Lemma 10.4.7. 假設 F_p 是一個有 p 個元素的 finite field 且 g(x) ∈ F_p[x] 在 F_p[x]

中是 irreducible. 若 deg(g(x)) = k, 則在 F_p[x] 中 g(x) | x^p^k− x.

Proof. 由於 deg(g(x)) = k, 利用 Theorem 10.3.4 知存在一個 F_p 的 extension L 滿 足 [L : F_p] = k 且 a ∈ L 滿足 g(a) = 0. 換言之, L 是一個 finite field 且 |L| = p^k. 然而 Proposition 10.4.2 告訴我們 L 中的元素都會是 f (x) = x^p^k − x 的根, 因此由 a ∈ L 知 f (a) = 0. 要注意事實上 g(x) 會和 a over F_p 的 minimal polynomial h(x) associates. 這是因為 g(a) = 0 故利用 Lemma 10.1.1 (1) 知 h(x) | g(x), 但 g(x) 又 假設是 irreducible, 故得 h(x) 和 g(x) associates (注意 h(x) 不可能是 unit). 又由於 f (a) = 0, 再利用一次 Lemma 10.1.1 (1) 知 h(x) | f (x) (即 f (x) ∈¡

h(x)¢

). 故由 g(x) 和 h(x) associates 知 ¡

g(x)¢

=¡ h(x)¢

, 因此得證 f (x) ∈¡ g(x)¢

即 g(x) | f (x). ¤

(17)

最後我們來看有關 finite field 的唯一性. 我們將證明若 K 和 L 都是 finite field 且 |K| = |L| 則 K ' L. 首先要強調的是這裡的 isomorphic 指的是 ring 的 isomorphism. 大家或許還記得在線性代數中兩個 vector space 若 dimension 相同, 則它們之間是 isomorphic. 不過這裡的 isomorphic 是指 vector space 間的 isomorphism, 要求的函數是 linear transformation, 僅保持加法的結構. 另外 K^∗ 和 L^∗ 是元素個數相同的 cyclic group, 從 Theorem 3.1.1 知 K^∗ 和 L^∗ 也是 isomorphic.

不過這裡的 isomorphic 指的是 group 的 isomorphism, 僅保持乘法的結構. 這兩種 isomorphic 都不能保證 K 和 L 間存在著 ring isomorphism. 我們的證明不是真的 找到 K 的 L 的 ring isomorphism. 而是想找到一個 field F 滿足 K ' F 且 F ' L, 則利用 isomorphism 的 transitivity 性質得證 K ' L.

Theorem 10.4.8. 假設 K 和 L 都是 finite field 且 |K| = |L|, 則 K 和 L 之間存 在一個 ring isomorphism. 也就是說 K ' L as rings.

Proof. 首先觀察當 |K| = |L| = p 時, 由 Theorem 10.4.1 知 K 存在一個 subfield 和 Z/¡

p¢

isomorphic. 不過由於 |K| = ¯

¯Z/¡ p¢¯

¯ = p, 故得知 K ' Z/¡ p¢

. 同理得 L ' Z/¡

p¢

, 故知 K ' L.

現在看一般 |K| = |L| = p^k 的情形. 由於所有元素個數為 p 的 finite field 皆 isomorphic, 所以我們可以假設 K 和 L 都是 F_p 的 extension, 其中 F_p 就是元素 個數為 p 的 finite field. 由於 |K| = p^k, 利用 Corollary 10.4.4 知存在 a ∈ K 使 得 F_p(a) = K 且 a over F_p 的 minimal polynomial g(x) 的 degree 是 k. 因此由 Corollary 10.1.7 得

K = F_p(a) ' F_p[x]/¡ g(x)¢

. 或許同學們會想對 L 如法泡製得到 L ' F_p[x]/¡

g(x)¢

. 事實上這是不行的, 因 為雖然 Corollary 10.4.4 告訴我們存在 a⁰ ∈ L 使得 L = F_p(a⁰), 不過 a⁰ over F_p 的 minimal polynomial 不見得就是 g(x). 要克服這個困難我們得利用 Lemma 10.4.7.

首先, 由於 |L| = p^k, Proposition 10.4.2 告訴我們 x^p^k− x splits into linear factors in L. 不過由於 g(x) 在 F_p[x] 中是 irreducible (Lemma 10.1.1), 因此由 Lemma 10.4.7 得知 g(x) | x^p^k − x. 所以 g(x) 也 splits into linear factors in L. 換言之在 L 中存 在 b ∈ L 滿足 g(b) = 0. 當然了 g(x) 是 b over F_p 的 minimal polynomial. 原因 是 b over F_p 的 minimal polynomial 一定是 g(x) 的 divisor (Lemma 10.1.1) 但 g(x) 是 irreducible 且兩者皆為 monic polynomial, 故得證 g(x) 是 b over F_p 的 minimal polynomial. 因此由 Corollary 10.1.7 知

F_p[x]/¡ g(x)¢

' F_p(b).

不過由於 F_p(b) ⊆ L 且 [L : F_p] = [F_p(b) : F_p] = k, 我們得證 L = F_p(b). 故知 L ' F_p[x]/¡

g(x)¢ ' K.

¤

(18)

關於大學基礎代數中 field 的性質, 我們就介紹至此. 我們並沒有觸及所謂的 Galois Theory, 不過已有足夠的預備知識. 若同學們對本講義中的 field 理論很清楚了, 應該可以更進一步的去了解 Galois Theory.