3.2. Normal Extension

李華介

國立台灣師範大學數學系

Chapter 3

Normal Extension 和 Separable Extension

當L = K(α) 是一個 finite simple extension over K 時, 我們知道若 Gal(L/K) 的 order 要 和 L/K 的 degree 相等, 則 α over K 的 minimal polynomial f (x) 必須符合兩個要求: (1) f (x) 所有的根全部在 L 中; (2) f (x) 沒有重根. 符合 (1) 的 extension 就是所謂的 normal extension, 而符合 (2) 的 extension 就是所謂的 separable extension. 這一章中我們將探討 這兩種 extensions 的基本性質.

3.1. Splitting Field

若多項式f (x) ∈ K[x], 在 L 中可以完全分解成一次式的乘積, 即 f (x) 的根全部落在 L 中, 則我們稱 f (x) 在 L 中 splits. 當然若 L ⊆ L⁰ 則 f (x) 也在 L⁰ 中 splits, 所以為了符合「經 濟效益」我們只考慮讓f (x) splits 最小的 field, 稱之為 f (x) 的 splitting field.

Definition 3.1.1. 假設 L/K 是一個 field extension, f (x) ∈ K[x]. 如果 f (x) 在 L[x] 中可 完全分解成一次式的乘積, 即:

f (x) = c(x − α₁) · · · (x − α_n), 其中 c, α₁, . . . , α_n∈ L, 則稱 f (x) splits over L.

如果f (x) splits over L 且對任意 L/K 的 proper intermediate field F (即 F ( L), f (x) 都不 splits over F , 則稱 L 是 f (x) over K 的 splitting field.

從以上定義我們可以看出若 L 是 f (x) over K 的 splitting field 且 α₁, . . . , α_n ∈ L 是 f (x) 所有的根, 則因為 K(α₁, . . . , α_n) 是包含 K 和 α₁, . . . , α_n 最小的 field, 我們得 L = K(α₁, . . . , α_n). 要注意雖然是同一個多項式 f (x), 不過若 over 不同的 field 可能會有 不同的 splitting field. 當然了若 K ⊆ F ⊆ L, 則 L = K(α₁, . . . , α_n) = F (α₁, . . . , α_n), 所以 此時 L 仍為 f (x) over F 的 splitting field. 不過若 K ⊆ F 但 F * L, 則 F (α₁, . . . , α_n) 是 f (x) ∈ F [x] over F 的 splitting field, 但明顯的 L = K(α₁, . . . , α_n) 6= F (α₁, . . . , α_n). 事實 27

上這時候 K(α₁, . . . , α_n) 甚至不 isomorphic to F (α₁, . . . , α_n). 所以一般來說要談 splitting field 必須說明是 over 哪一個 field 的 splitting field.

其實即使 over 同樣的 field K, f (x) 的 splitting field 並不唯一. 這是由於找 f (x) 的 根的方法並不唯一. 也就是說當初我們在某一個 field L 中將 f (x) 的所有的根 α₁, . . . , α_n 找出時, 有可能在另一個 field L⁰ 找到另一組根 β₁, . . . , β_n. 如果 L 和 L⁰ 都包含於某個 更大的 field M , 那麼我們可得 {α₁, . . . , α_n} = {β₁, . . . , β_n} (否則會得到在 M 中 f (x) 根 的的個數大於 deg(f (x)) 的矛盾). 因此知 K(α₁, . . . , α_n) = K(β₁, . . . , β_n). 不過在一般的 情形就不見得這麼幸運了. 假設 f (x) 是 irreducible over K, 若找到 α 是 f (x) 的一個根, 現若在另一個 field 找到 β 也是 f (x) 的一個根, 我們僅知 F₁ = K(α) 和 F₂ = K(β) 是 isomorphic. 若要得到 f (x) over K 的 splitting field, 必須找到 f (x) 其他的根. 由於 α ∈ F₁ 是 f (x) 的根, 知存在 h(x) ∈ F₁[x] 使得 f (x) = (x − α)h(x), 同理知存在 l(x) ∈ F₂[x] 使得 f (x) = (x − β)l(x). 現在問題發生了 h(x) 和 l(x) 不只是不同的多項式, 它們的係數所在的 fields, F₁ 和 F₂ 也可能不同, 這樣一直找根下去所得的根差別也可能越來越大, 那麼這樣得 到的 splitting field 會不會也差別很大呢? 要回答這個問題, 我們必須先了解這裡的 h(x) 和 l(x) 之間的關係. 首先我們要提醒的是在剛才 f (x) 的分解中, 絕不能直接將 f (x) 分解 成 (x − α)(x − β) 乘上另一個多項式的形式. 這是因為 α 和 β 可能無法落在同一個 field 之中, 它們之間就不能運算, 在這時候 (x − α)(x − β) 是沒有意義的. 不管怎樣 F₁ 和 F₂ 之 間是 K-isomorphic 的, 亦即存在 φ : F₁ → F₂, 是 K-isomorphism, 且滿足 φ(α) = β. 現若 h(x) = a_n−1xⁿ⁻¹+ a_n−2xⁿ⁻²+ · · · + a₁x + a₀, 其中 a_i∈ F₁, 即

f (x) = (x − α)(a_n−1xⁿ⁻¹+ a_n−2xⁿ⁻²+ · · · + a₁x + a₀). (3.1) 由於 φ 將 K 中元素固定, 若將 φ 作用在 f (x) 的所有係數, 則所得的多項式仍為 f (x). 另 一方面將 φ 作用在等式 (3.1) 右邊的多項式的係數, 所得的多項式為

(x − φ(α))(φ(a_n−1)xⁿ⁻¹+ φ(a_n−2)xⁿ⁻²+ · · · + φ(a₁)x + φ(a₀)).

由於 φ(α) = β, 因此我們得

f (x) = (x − β)(φ(a_n−1)xⁿ⁻¹+ φ(a_n−2)xⁿ⁻²+ · · · + φ(a₁)x + φ(a₀)).

又因為φ 是 F₁到F₂的函數, 可知 φ(a_n−1)xⁿ⁻¹+φ(a_n−2)xⁿ⁻²+· · ·+φ(a₁)x+φ(a₀) ∈ F₂[x].

因此利用F₂[x] 的分解唯一性質知 l(x) = φ(a_n−1)xⁿ⁻¹+ φ(a_n−2)xⁿ⁻²+ · · · + φ(a₁)x + φ(a₀).

所以我們很自然的有以下的定義.

Definition 3.1.2. 假設 φ : F₁ → F₂, 是 ring isomorphism, 對任意 f (x) = a_nxⁿ+ · · · + a₁x + a₀∈ F₁[x], 我們令

f^φ(x) = φ(a_n)xⁿ+ · · · + φ(a₁)x + φ(a₀) ∈ F₂[x].

簡單來說 f^φ(x) 就是將 f (x) 這個多項式的係數用 φ 作用後所得的多項式. 由於 f (x) 的係數落在 F₁, 所以 f^φ(x) 的係數會落在 F₂. 我們很自然的得到一個從 F₁[x] 到 F₂[x] 的 函數.

3.1. Splitting Field 29

Lemma 3.1.3. ƒ' F₁ õ F₂ Î isomorphic fields, φ : F₁ → F₂ Î× isomorphism.  L Φ : F₁[x] → F₂[x], ¸ÿEŒ f (x) ∈ F₁[x] /b Φ(f (x)) = f^φ(x), J Φ Î×Í ring isomorphism.

Proof. 首先檢驗 Φ 是一個 ring isomorphism. 若 f (x), g(x) ∈ F₁[x], 依定義, 很容易驗證 f^φ(x) + g^φ(x) = (f + g)^φ(x), 所以知 Φ(f (x) + g(x)) = Φ(f (x)) + Φ(g(x)). 至於乘法, 我們 可以用 induction 來證明. 首先若 f (x) = a₀ ∈ L₁, g(x) = b_mx^m+ · · · + b₁x + b₀ ∈ L₁[x], 則 f (x) · g(x) = a₀b_mx^m+ · · · + a₀b₁x + a₀b₀. 故知

Φ(f (x) · g(x)) = φ(a₀b_m)x^m+ · · · + φ(a₀b₁)x + φ(a₀b₀)

= φ(a₀)φ(b_m)x^m+ · · · + φ(a₀)φ(b₁)x + φ(a₀)φ(b₀).

另一方面Φ(f (x)) · Φ(g(x)) = φ(a₀) · (φ(b_m)x^m+ · · · + φ(b₁)x + φ(b₀)), 故知當 deg(f (x)) = 0 時Φ(f (x))·Φ(g(x)) = Φ(f (x)·g(x)). 現假設當 deg(f (x)) < n 時對任意 g(x) = b_mx^m+· · ·+

b₁x + b₀ ∈ L₁[x] 皆有 Φ(f (x)) · Φ(g(x)) = Φ(f (x) · g(x)). 現若 f (x) = a_nxⁿ+ · · · + a₁x + a₀, 可將 f (x) 寫成 f (x) = a_nxⁿ+ f₁(x), 其中 deg(f₁(x)) < n. 因此

f (x) · g(x) = a_nb_mx^n+m+ · · · + a_nb₁xⁿ⁺¹+ a_nb₀xⁿ+ f₁(x) · g(x).

因此利用 Φ 保持加法的性質以及 induction 的假設知 Φ(f (x) · g(x))

= Φ(a_nb_mx^n+m+ · · · + a_nb₁xⁿ⁺¹+ a_nb₀xⁿ) + Φ(f₁(x) · g(x))

= φ(a_n)φ(b_m)x^n+m+ · · · + φ(a_n)φ(b₁)xⁿ⁺¹+ φ(a_n)φ(b₀)xⁿ+ Φ(f₁(x) · g(x))

= Φ(a_nxⁿ) · Φ(g(x)) + Φ(f₁(x)) · Φ(g(x))

= Φ(a_nxⁿ+ f₁(x)) · Φ(g(x)) = Φ(f (x)) · Φ(g(x)).

故由 induction 得知 Φ(f (x)) · Φ(g(x)) = Φ(f (x) · g(x)).

由於 φ : F₁ → F₂ 是 isomorphism, 我們知 φ 的 inverse, φ⁻¹ : F₂ → F₁ 存在且為 ring isomorphism. 現考慮 Ψ : F₂[x] → F₁[x], 定義為對任意 g(x) = b_mx^m+· · ·+b₁x+b₀ ∈ F₂[x], 皆有 Ψ(g(x)) = φ⁻¹(b_m)x^m+ · · · + φ⁻¹(b₁)x + φ⁻¹(b₀). 很容易驗證對任意 f (x) ∈ F₁[x], g(x) ∈ F₂[x] 皆有 Ψ(Φ(f (x))) = f (x) 且 Φ(Ψ(g(x))) = g(x), 故知 Φ 是 1-1 and onto, 得證

Φ 是一個 ring isomorphism. ¤

在一般ring 的理論中我們知若 R₁ 和 R₂ 是 rings, Φ : R₁→ R₂ 是ring homomorphism 且 I 是 R₁ 的 ideal, 則 R₁/I 和 R₂/Φ(I) 看成 rings 仍為 isomorphic. 所以我們有以下之 結果.

Corollary 3.1.4. ƒ' F₁ õ F₂ Î isomorphic fields, φ : F₁ → F₂ Î× isomorphism v p(x) ∈ F₁[x]. JD3× ring isomorphism τ : F₁[x]/(p(x)) → F₂[x]/(p^φ(x)) ”• τ (x) = x vEŒ λ ∈ F₁, τ (λ) = φ(λ).

Proof. 由 Lemma 3.1.3 我們知 Φ : F₁[x] → F₂[x] 是一個 ring isomorphism. 現考慮 π : F₂[x] → F₂[x]/(p^φ(x)) 使得對任意 g(x) ∈ F₂[x], 皆有 π(g(x)) = g(x) (modulo (p^φ(x))).

我們知 π 是 onto 的 ring homomorphism, 故 π◦Φ : F₁[x] → F₂[x]/(p^φ(x)) 是一個 onto 的 ring homomorphism. 現若 f (x) ∈ ker(π ◦Φ), 即 Φ(f (x)) = f^φ(x) ∈ (p^φ(x)), 則存在 h(x) ∈ F₂[x]

使得 f^φ(x) = p^φ(x) · h(x). 兩邊多項式的係數用 φ⁻¹ 作用可得 f (x) = p(x) · h^φ−1(x). 由 於 h^φ−1(x) ∈ F₁[x], 故知 f (x) ∈ (p(x)), 得證 ker(π ◦ Φ) = (p(x)). 因此利用 ring 的 first isomorphism 定理知 π ◦ Φ induces 一個 ring isomorphism τ : F₁[x]/(p(x)) → F₂[x]/(p^φ(x)), 其中對任意 f (x) ∈ F₁[x], τ (f (x)) = π ◦ Φ(f (x)). 又因為依定義 π ◦ Φ(x) = π(x) = x 且對 任意λ ∈ F₁, π ◦ Φ(λ) = π(φ(λ)) = φ(λ), 故得 τ (x) = x 且對任意 λ ∈ F₁, τ (λ) = φ(λ). ¤ 這裡要特別強調: 既然 Φ : F₁[x] → F₂[x] 是 ring isomorphism, 我們知若 p(x) ∈ F₁[x]

是 irreducible polynomial, 則 Φ(p(x)) = p^φ(x) 在 F₂[x] 中亦為 irreducible polynomial. 因 此我們有以下之性質.

Corollary 3.1.5. ƒ' F₁ õ F₂ Î isomorphic fields, φ : F₁ → F₂ Î× isomorphism v p(x) ∈ F₁[x] Î F₁[x] Ý irreducible polynomial. u α Î p(x) Ý×Íq, ‚ β Î p^φ(x) Ý×Íq, JD3× isomorphism ρ : F₁(α) → F₂(β) ”• ρ(α) = β vEŒ λ ∈ F₁, ρ(λ) = φ(λ).

Proof. 由於 p(x) 是 F₁[x] 中的 irreducible polynomials, 我們知存在 ring isomorphism η : F₁(α) → F₁[x]/(p(x)) 滿足 η(α) = x 以及對任意 λ ∈ F₁, η(λ) = λ. 又由於 p^φ(x) 是 F₂[x] 中的 irreducible polynomials, 我們知存在 ring isomorphism θ : F₂(β) → F₂[x]/(p^φ(x)) 滿足 θ(β) = x 以及對任意 ζ ∈ F₂, θ(ζ) = ζ. 故利用 Corollary 3.1.4, 考慮 ρ = θ⁻¹◦ τ ◦ η : F₁(α) → F₂(β). 則 ρ 是一個 ring isomorphism, 且

ρ(α) = θ⁻¹◦ τ ◦ η(α) = θ⁻¹(τ (x)) = θ⁻¹(x) = β 以及對任意 λ ∈ F₁,

ρ(λ) = θ⁻¹◦ τ ◦ η(λ) = θ⁻¹(τ (λ)) = θ⁻¹(φ(λ)) = φ(λ).

¤ 在 Corollary 3.1.5 中, 由於 ρ 若定義域限制在 F₁ 則和 φ 為同一函數 (即 ρ|_F1 = φ). 通 常我們就稱 φ : F₁→ F₂ 是extendible to ρ : F₁(α) → F₂(β).

現在我們在回到當初要探討有關splitting field 的唯一性. Corollary 3.1.5 大致上是說:

若找好相對應的根, 這樣一直 extend 上去的 fields 都會 isomorphic. 下一個定理就是要說明 這件事. 這個定理是有關 splitting field 最重要的觀念, 以後我們要探討有關 splitting field 的理論都要用上這個定理. 為了強調它的重要性, 在這裡我們特別稱之為 splitting field 的 fundamental theorem (一般書並未如此稱呼).

Theorem 3.1.6 (The Fundamental Theorem for Splitting Fields). ƒ ' F₁ õ F2 Î isomorphic fields, φ : F₁ → F₂ Î× isomorphism v f(x) ∈ F₁[x]. u L Î f (x) over F₁

3.1. Splitting Field 31

Ý splitting field, v L⁰/F₂ Î×Í field extension ¸ÿ f^φ(x) splits over L⁰, JD3×Í

×E×Ý ring homomorphism (Ç monomorphism) σ : L → L⁰ ”• σ|_F1 = φ.

Proof. 利用 Corollary 3.1.5 我們當然可以每次都用 simple extension 將 φ extends 到 L → L⁰ 的 monomorphism. 不過這樣的 argument 總是不容易說清楚, 最好的方法還是用 induction. 由於 L 是 f (x) over F₁ 的 splitting field, 所以 L/F₁ 是 finite extension. 我們 就針對 [L : F₁] = n 作 induction.

假設 [L : F₁] = 1, 此時表示 L = F₁, 所以令 σ = φ 即可. 若 [L : F₁] = n > 1, 則由 於此時 L 6= F₁, 必存在 f (x) 的一個根 α 滿足 α 6∈ F₁. 現若 p(x) ∈ F₁[x] 是 α over F₁ 的 minimal polynomial, 由 minimal polynomial 的性質知 p(x) | f (x) in F₁[x] (參見大學基 礎代數講義Lemma 10.1.1). 故將 φ 作用在多項式的係數得 p^φ(x) | f^φ(x) in F₂[x]. 現因 f^φ(x) splits over L⁰, 故可找到 β ∈ L⁰ 為 p^φ(x) 的一個根. 現利用 Corollary 3.1.5 知存在 ρ : F₁(α) → F₂(β) 是 isomorphism 且滿足 ρ|_F1 = φ. 現在我們檢查一下 induction 的假設 條件. 首先我們有一 field isomorphism ρ : F₁(α) → F₂(α). 再來由於 F₁⊆ F₁(α) ⊆ L, 故知 L 仍為 f (x) over F₁(α) 的 splitting field. 再加上 φ extends to ρ 且 f (x) ∈ F₁[x], 我們有 f^ρ(x) = f^φ(x) ∈ F₂[x] ⊆ F₂(β)[x] 且 L⁰/F₂(β) 為 field extension 滿足 f^ρ(x) splits over L⁰. 最後因 [F₁(α) : F₁] > 1, 故得 [L : F₁(α)] = [L : F₁]/[F₁(α) : F₁] < n. 所以可套用 induction 的假設知存在一 monomorphism σ : L → L⁰ 滿足 σ|_F1(α) = ρ. 但由於 F₁⊆ F₁(α), 知

σ|_F1 = (σ|_F1(α))|_F1 = ρ|_F1 = φ.

故得證本定理. ¤

這個定理主要是講如何可以把一個isomorphism 的定義域 extends 到大一點的 field. 千 萬要注意, 這個定理必需要求 L 是 f (x) over F₁ 的 splitting field. 不能僅假設 f (x) splits over F₁ (因為若僅假設 f (x) splits over F₁, 符合這樣的條件的 L 可能太大以致於無法將 φ extends to L). 另外要注意的是, 並不需要求 f (x) ∈ F₁[x] 是 irreducible. 還有僅需要求 f^φ(x) splits over L⁰, 而不需要求 L⁰ 是 f^φ(x) over F₂ 的 splitting field. 不過若 L⁰ 剛好是 f^φ(x) over F₂ 的 splitting field, 那麼 σ 就會是一個 isomorphism.

Corollary 3.1.7. ƒ' F₁ õ F₂ Î isomorphic fields, φ : F₁ → F₂ Î× isomorphism v f (x) ∈ F₁[x]. u L₁ õ L₂ 5½Î f(x) over F₁ õ f^φ(x) over F₂ Ý splitting fields, JD 3×Í isomorphism σ : L1 → L₂ ”• σ|F1 = φ.

Proof. 因 L₂是f^φ(x) over F₂ 的splitting field, 所以 f^φ(x) splits over L₂, 故套用 Theorem 3.1.6 得 σ : L₁ → L₂ 是一個 monomorphism 且滿足 σ|_F1 = φ. 令 im(σ) 為 σ 的 image, 則 得 [L₁ : F₁] = [im(σ) : F₂] ≤ [L₂ : F₂]. 另一方面將 Theorem 3.1.6 套用於 φ⁻¹ : F₂ → F₁, 可得 [L₂ : F₂] ≤ [L₁ : F₁]. 故得 [L₁ : F₁] = [im(σ) : F₂] = [L₂ : F₂], 也就是說 im(σ) = L₂,

得證 σ 是一個 isomorphism. ¤

特別當 F₁ = F₂ = K 且 φ 是 K 的 identity map (即對任意 a ∈ K 皆有 φ(a) = a).

則對任意 f (x) ∈ K[x], 由於 f^φ(x) = f (x) 故套用 Corollary 3.1.7 知: 若 L₁ 和 L₂ 都是

f (x) over K 的 splitting field, 則存在一個 isomorphism σ : L₁ → L₂ 滿足對任意 a ∈ K 皆有 σ(a) = φ(a) = a. 也就是說 σ : L₁ → L₂ 是一個 K-isomorphism, 亦即 L₁ 和 L₂ 是 isomorphic over K. 我們將這個結果寫下.

Proposition 3.1.8. ƒ' K Î×Í field v f (x) ∈ K[x]. JXb f (x) over K Ý splitting fields / isomorphic over K.

一般來說, 若 σ : L₁ → L₂是一個K-isomorphism, 則 σ 會將 L₁/K 中任意的 intermediate field F 送到 L₂/K 的 intermediate field, σ(F ). 反之 σ⁻¹ : F₂ → F₁ 會將 L₂/K 的 intermediate field 送到 L₁/K 的 intermediate field. 另一方面若 τ ∈ Gal(L₁/K), 則很容易 驗證 σ ◦ τ ◦ σ⁻¹∈ Gal(L₂/K). 因此我們可利用 σ 定出一個 Gal(L₁/K) 到 Gal(L₂/K) 的 group isomorphism. 總而言之, 當 L₁ 和 L₂ 是 isomorphic over K 時, L₁/K 和 L₂/K 的 intermediate fields 之間有一個一對一的對應關係, 而且它們的 Galois groups, Gal(L₁/K) 和 Gal(L₂/K) 是 isomorphic. 因此當我們要探討 f (x) ∈ K[x] over K 的 splitting field 其 Galois group 和 intermediate fields 的關係時, Proposition 3.1.8 告訴我們其實不必擔心是 否會因所選的 splitting filed 不同而造成不同的結論.

3.2. Normal Extension

在這一節中我們要介紹 normal extension. 我們會了解 normal extension 和 splitting field 的關係, 進而幫助我們探討其 Galois group.

在 Proposition 2.1.3 中我們知道若 L = K(α) 是一個 finite simple extension, 要達到

|Gal(L/K)| = [L : K] 就必須要求 α 的 over K minimal polynomial 的所有的根都落在 L 中. 所以我們有以下之定義:

Definition 3.2.1. 假設 L/K 是一個 finite extension. 若所有在 L 中的元素其 over K 的 minimal polynomial 皆 splits over L, 則稱 L/K 是一個 normal extension.

要注意, 一般的書中大都定義: L/K 是 normal extension, 表示若 p(x) 是 K[x] 中的 irreducible polynomial 且 p(x) 在 L 中有根, 則 p(x) 在 L 中可完全分解. 其實這樣的定義 和我們這裡的定義是一樣的. 因為不難看出 K[x] 中的 irreducible polynomial p(x) 若在 L 中有一根a, 則 a over K 的 minimal polynomial 和 p(x) 祇差個常數倍而已 (因為 minimal polynomial 需要求是 monic polynomial), 因此只要有一個可完全分解, 另一個也可完全分 解. 我們不用這種定義是因為常常有同學忘了 irreducible 的條件誤以為 L/K 是 normal extension 表示若 f (x) ∈ K[x] 在 L 有根, 則 f (x) splits over L. 也有的同學忘了要先在 L 中有根的先決條件, 而誤以為 L/K 是 normal extension 表示所有 K[x] 的 irreducible polynomial 皆 splits over K. 而我們的定義就不會有這種困擾.

要檢查一個 field extension L/K 是否為 normal extension, 依定義需要檢查所有 L 的 元素, 不過以下的結果告訴我們只要檢查有限多個就可以了.

Theorem 3.2.2. ƒ' L/K Î×Í field extension. ìB–·‰Ý.

3.2. Normal Extension 33

(1) L/K Î×Í finite normal extension.

(2) L = K(a₁, . . . , a_n) Í9° a_i over K Ý minimal polynomial / splits over L.

(3) D3 f (x) ∈ K[x] ¸ÿ L Î f (x) over K Ý splitting field.

Proof. (1) ⇒ (2): 利用 Proposition 1.3.4, 由 L/K 是 finite extension 的假設知存在 a₁, . . . , a_n∈ L 且 a_i 皆 algebraic over K 使得 L = K(a₁, . . . , a_n). 假設 p_i(x) ∈ K[x] 是 a_i over K 的 minimal polynomial, 由 L/K 是 normal extension 的假設知 p_i(x) splits over L.

(2) ⇒ (3): 假設 L = K(a₁, . . . , a_n) 其中這些 a_i over K 的 minimal polynomial p_i(x) 皆 splits over L. 現令 f (x) = p₁(x) · · · p_n(x), 我們知 f (x) splits over L. 我們要說明 L 事實上 是 f (x) over K 的 splitting field. 假設 K ⊆ F ⊆ L, 且 F 是 f (x) over K 的 splitting field.

由於對所有 i ∈ {1, . . . , n}, a_i 皆為 f (x) 的根, 故有 a_i∈ F . 因此 L = K(a₁, . . . , a_n) ⊆ F , 故得 L = F .

(3) ⇒ (1): 若 f (x) ∈ K[x] 且 L 是 f (x) over K 的 splitting field, 則我們可以直接假設 L = K(a₁, . . . , a_n), 其中 a₁, . . . , a_n ∈ L 是 f (x) 所有的根. 由 Proposition 1.3.4, 知 L/K 是 finite extension. 接著我們要證 L/K 是 normal extension. 若 α ∈ L 且其 over K 的 minimal polynomial 為 p(x), 我們要證明 p(x) 所有的根皆在 L 中. 任取 β 為 p(x) 的另 一個根. 由於 p(x) 是 K[x] 中的 irreducible polynomial 且 α, β 為其根, 我們知存在一個 K-isomorphism φ : K(α) → K(β). 由於 f (x) ∈ K[x], 故有 f (x) ∈ K(α)[x]. 再加上 φ 固 定 K 中元素, 我們得 f^φ(x) = f (x). 現在將 f (x) 考慮成 K(α)[x] 中的多項式, 我們知 K(α)(a₁, . . . , a_m) 是 f (x) over K(α) 的 splitting field. 另一方面將 f^φ(x) = f (x) 考慮成 K(β)[x] 中的多項式, 我們知 K(β)(a₁, . . . , a_m) 是 f^φ(x) over K(β) 的 splitting field. 由於 K(α)(a₁, . . . , a_m) = K(a₁, . . . , a_m)(α) = L(α) 以及 α ∈ L, 可知 K(α)(a₁, . . . , a_m) = L. 另 一方面我們有 K(β)(a₁, . . . , a_m) = K(a₁, . . . , a_m)(β) = L(β). 重新整理後的結果是: 我們 有一個 isomorphism, φ : K(α) → K(β) 以及一個 polynomial f (x) ∈ K(α)[x], 另外 L 和 L(β) 分別是 f (x) 和 f^φ(x) over K(α) 和 K(β) 的 splitting fields. 所以直接套用 Corollary 3.1.7 知存在一個 isomorphism σ : L → L(β) 滿足 σ|_K(α)= φ. 由於 φ 將 K 的元素固定, 所以σ 也將 K 的元素固定. 也就是說 σ 是 K-isomorphism, 亦即 L 和 L(β) 是 isomorphic over K. 利用 Lemma 1.2.2 知 [L : K] = [L(β) : K], 故由 [L(β) : K] = [L(β) : L][L : K] 得 [L(β) : L] = 1. 也就是說 L(β) = L, 亦即 β ∈ L. 我們證得所有 p(x) 的根必都在 L 中, 也 就是說 p(x) splits over L, 故由定義知 L/K 是一個 normal extension. ¤ 談 extension 最常關心的是: 假設 L/K 是一個 filed extension 且 F 是 L/K 的 intermediate field. 那麼 L/K 的某些性質是否 L/F 或 F/K 會保持. 例如若 L/K 是 algebraic extension, 那麼 L/F 和 F/K 也是 algebraic extension. 另外在 Lemma 1.2.3 中 我們也知finite extension 的性質也會保持. 那麼 normal extension 的性質呢? 我們有以下 的答案.

Corollary 3.2.3. ƒ' L/K Î×Í finite extension v F Î L/K Ý intermediate field.

u L/K Î×Í normal extension, J L/F ôÎ×Í normal extension.

Proof. 由 Theorem 3.2.2 ((1) ⇒ (3)) 我們知存在 f (x) ∈ K[x] 使得 L 是 f (x) over K 的 splitting field. 又因為 K ⊆ F ⊆ L, 將 f (x) 看成是 over F 的 polynomial, 知 L 仍為 f (x) over F 的 splitting field. 故再利用 Theorem 3.2.2 ((3) ⇒ (1)) 我們得 L/F 仍為一個 normal

extension. ¤

要注意由 Corollary 3.2.3 的條件我們並不保證 F/K 是 normal extension. 另一方面 Corollary 3.2.3 反過來也未必正確, 也就是說若已知 L/F 是 normal extension, 也無法保證 L/K 是 normal extension. 甚至即使已知 L/F 和 F/K 是 normal extension, 也無法保證 L/K 是 normal extension. 以下就是一些例子.

Example 3.2.4. (1) 我們考慮 x³ − 2 over Q 的 splitting field. 令 ω = (−1 +√ 3 i)/2 為 1 的 3 次方根. 則 x³ − 2 在 C 上的 3 個根分別為 √³

2, √³

2 ω 以及 √³

2 ω². 因此 L = Q(√³

2,√³ 2 ω,√³

2 ω²) = Q(√³

2, ω) 為 x³− 2 over Q 的 splitting field. 當然得 L/Q 是 normal extension. 若令 F = Q(√³

2), 由於 L = F (ω) 仍是 x³− 2 over F 的 splitting field, 所以 L/F 也是 normal extension. 然而 √³

2 ∈ F over Q 的 minimal polynomial 為 x³− 2, 但是 x³− 2 在 F 中並未完全分解, 故知 F/Q 並不是 normal extension.

(2) 若令 F = Q(√

2), 則 F 是 x² − 2 over Q 的 splitting field, 所以 F/Q 是 normal extension. 若又令 L = F (√⁴

2), 則 L 是 x² −√

2 over F = Q(√

2) 的 splitting field, 所以 L/F 是 normal extension. 雖然 L/F 和 F/Q 都是 normal extensions, 不過 L/Q 並不是 normal extension. 這是因為 √⁴

2 ∈ L 且 x⁴− 2 是 √⁴

2 over Q 的 minimal polynomial, 但 是 L = Q(√⁴

2) 的元素皆為實數, 明顯的 x⁴− 2 其他的虛根 ±√⁴

2 i 並不在 L 中. 也就是說 x⁴− 2 並不 splits over L, 所以 L/Q 不是 normal extension.

當L/K 是一個 finite extension 時 Gal(L/K) 只探討 L 到 L 的 K-isomorphisms. 其實 為了考慮更一般的狀況我們也關心 L 到更大的 fields 的情況. 當然了從一個 field 到另一 個 field 的 ring homomorphism, 除了是 0 mapping 的狀況外其他皆為 1-1 (參見大學基礎 代數講義Proposition 9.1.5), 所以我們只要考慮 1-1 的 homomorphism.

Definition 3.2.5. 假設 L, M, 和 K 皆為 fields 其中 K ⊆ L 且 K ⊆ M . 若 φ : L → M 是 1-1 ring homomorphism 且對所有 k ∈ K 皆有 φ(k) = k, 則稱 φ 是一個 L 到 M 的 K-monomorphism. 為了方便起見, 我們將所有從 L 到 M 的 K-monomorphisms 所成的集 合用 M_K(L, M ) 來表示.

我們要說明一下, 在這裡我們談論的 L 到 M 的 K-monomorphism, 都會只考慮 L ⊆ M 的情況. 主要原因是我們希望 K-monomorphism 的像 (image) 和 L 仍有關係. 這裡有關 係指的是元素之間仍可互相運算. 要達到這目的當然就需要 K-monomorphism 的像和 L 都落在某一個更大的 field 中. 由於擴大一個函數的對應域並沒有改變原來的函數, 所以為

了方便起見就直接假設對應域包含 L.

當 L/K 是 finite normal extension 時, 下一個定理告訴我們一個從 L 到一個比 L 大的 field 的 K-monomorphism 它的 image 一定在 L 中. 也就是說在這情況下只考慮 Gal(L/K) 就足夠了.

3.2. Normal Extension 35

Lemma 3.2.6. ƒ ' L/K Î × Í finite normal extension, v M Î × Í field ” • L ⊆ M . u φ : L → M Î×Í K-monomorphism, J φ Î L Ý K-automorphism. ùÇ M_K(L, M ) = Gal(L/K).

Proof. 首先我們證明對任意 α ∈ L 皆有 φ(α) ∈ L. 假設 α ∈ L 且 p(x) ∈ K[x] 是其 over K 的 minimal polynomial. 由於 L/K 是 normal extension 知 p(x) 在 L 中完全分解. 假設 p(x) = (x − α)(x − α₂) · · · (x − α_n), 其中 α_i∈ L, 由於 L ⊆ M , 這也是 p(x) 在 M [x] 中的 分解. 另一方面 φ 是 K-monomorphism, 故 φ(α) 必為 p(x) 在 M 中的一個根. 也就是說 x − φ(α) 在 M [x] 中必整除 p(x). 由於 M [x] 是一個 unique factorization domain (利用 M 是一個 field 以及大學基礎代數講義Theorem 7.2.14), 我們知 φ(α) ∈ {α, α₂, . . . , α_n}. 因此 得證 φ(α) ∈ L. 故知 φ 是 L 的 K-automorphism.

前面是證得若φ ∈ M_K(L, M ), 則 φ ∈ Gal(L/K), 也就是說 M_K(L, M ) ⊆ Gal(L/K). 但 由於 L ⊆ M , 若 σ ∈ Gal(L/K) 表示 σ 是 L 到 L 的 K-monomorphism 當然也就是 L 到 M 的K-monomorphism. 因此有 Gal(L/K) ⊆ M_K(L, M ), 故得 M_K(L, M ) = Gal(L/K). ¤

既然一個finite normal extension 是一個 polynomial 的 splitting field, 我們可以利用 The Fundamental Theorem for Splitting Field (Theorem 3.1.6) 得到以下有關 normal extension 重要的結果.

Theorem 3.2.7. ƒ' L/K Î×Í finite normal extension, F Î L/K Ý×Í intermediate field v M Î×Í field ”• L ⊆ M . u τ : F → M Î×Í K-monomorphism, JD3 σ ∈ Gal(L/K) ”• σ|_F = τ .

Proof. 因 L/K 是一個 finite normal extension, 故存在 f (x) ∈ K[x] 使得 L 是 f (x) over K 的 splitting field. 因 K ⊆ F ⊆ L, 故若考慮 f (x) ∈ F [x], 則 L 仍為 f (x) over F 的 splitting field. 又因為 τ 將 K 的元素固定, 所以 f^τ(x) = f (x) 且 f^τ(x) splits over M (因 L ⊆ M ). 因此將 τ : F → τ (F ) 這一個 isomorphism 套用到 Theorem 3.1.6, 我們知存在 σ : L → M 是一個 monomorphism 使得 σ|_F = τ . 又因為 τ 固定 K 的元素, 所以 σ 是一 個 K-monomorphism, 因此由 Lemma 3.2.6 知 σ ∈ Gal(L/K). 得證本定理. ¤ 當 L/K 不是 normal extension 時, 有可能一個 K-monomorphism 會將 L 的元素送到 L 以外的元素. 不過我們仍能控制其 image 的範圍. 首先介紹以下之定義.

Definition 3.2.8. 假設 L/K 是一個 field extension 且 N 是一個 field 滿足:

(1) L ⊆ N 且 N/K 是一個 normal extension.

(2) 若 M 是一個 intermediate field of N/L 且 M/K 是一個 normal extension, 則 M = N .

則稱 N 是 L/K 的一個 normal closure.

簡單來說N 是 L/K 的 normal closure 表示 N 是包含 L 的 field 中使得 N/K 是 normal extension 的最小的 field. 當然了, 如果 L/K 已是 normal extension, 那麼 L 本身自然是 L/K 的 normal closure.

我們自然會問 normal closure 的存在性及唯一性.

Proposition 3.2.9. u L/K Î×Í finite extension, J L/K Ý normal closure ÄD3,

‚vôÎ×Í finite extension over K. u N õ N⁰ / L/K Ý normal closure, J N õ N⁰ Î isomorphic over K.

Proof. 因 L/K 是 finite extension 由 Proposition 1.3.4 知存在 a₁, . . . , a_n ∈ L 且 a_i 皆 algebraic over K 使得 L = K(a₁, . . . , a_n). 令 p_i(x) ∈ K[x] 為 a_i over K 的 minimal polynomial 且令 f (x) = p₁(x) · · · p_n(x). 若令 N 為 f (x) over L 的 splitting field, 則 N/K 是 finite normal extension. 現在只需驗證 N/K 是包含 L 最小的 normal extension. 若 L ⊆ M ⊆ N 且 M/K 是 normal extension. 由於 a_i ∈ M , 故由 M/K 是 normal extension 得p_i(x) splits over M , 也因此 f (x) splits over M . 但由於 N 已是 f (x) over K 的 splitting field 且 M ⊆ N , 故得 M = N .

前面已證明若N 是 f (x) over K 的 splitting field, 則 N 是 L/K 的 normal closure. 事 實上反過來也是對的, 也就是說: 若 N 是 L/K 的 normal closure, 則 N 是 f (x) over K 的 splitting field. 這是因為若 N 是 L/K 的 normal closure, 由於 a_i ∈ L ⊆ N 且 N/K 是 normal extension 得 p_i(x) splits over N , 因此 f (x) splits over N , 所以若 L ⊆ M ⊆ N , 且 M 是 f (x) over K 的 splitting field, 則由 Theorem 3.2.2 知 M/K 是一個 normal extension, 故由 N 是 L/K 的 normal closure 之假設得 N = M .

現假設 N 和 N⁰ 都是 L/K 的 normal closure. 由於 N 和 N⁰ 都是 f (x) over K 的 splitting field, 故利用 Proposition 3.1.8 知 N 和 N⁰ 是 isomorphic over K. ¤ 再次強調L/K 的 normal closure 並不唯一. 當然了如果 N 和 N⁰ 都是L/K 的 normal closure 且都包含於同一個 field, 那麼和 splitting field 的情形一樣, 可得 N = N⁰ (否則會 有一個多項式在一個field 中其根的個數大於其次數的矛盾發生).

接下來我們回到探討 K-monomorphism 的 image. 假設 L/K 是一個 finite extension, φ : L → M 是一個 K-monomorphism, 其中 L ⊆ M . 由於 M 只是 φ 的對應域, 我們可以 將 M 儘量擴大以方便討論 (這樣並沒有改變原來 φ 的 image). 由於假設 L ⊆ M , 不失 一般性我們可以將 M 擴大到是 M/K 的一個 normal closure M⁰, 擴大後的 M⁰ 因為仍包 含 L 且 M⁰/K 是 normal extension, 由 normal closure 的定義知 M⁰ 會包含 L/K 的某個 normal closure (因為 L/K 的 normal closure 是包含 L 最小的 normal extension). 因此不 失一般性我們可假設 φ 的對應域包含某個 L/K 的 normal closure.

Proposition 3.2.10. ƒ ' L/K Î × Í finite extension v φ : L → M Î × Í K- monomorphism. AŒ M ‘â L/K ÝØÍ normal closure N , J φ Ý image ‘ây N , ùÇ φ : L → N .

3.2. Normal Extension 37

Proof. 由於 L ⊆ N ⊆ M , 且 N/K 是一個 finite normal extension. 將 L 視為是 N/K 的 一個 intermediate field, 套用 Theorem 3.2.7, 知存在 σ ∈ Gal(N/K) 滿足 σ|_L= φ. 由於 σ 是 N 到 N 的函數, 所以 φ = σ|_L 是一個 L 到 N 的函數. 故得證本定理. ¤ 前面提到過不會有兩個不同的L/K 的 normal closures 同時包含於一個 field. 因此在 Proposition 3.2.10 中的 N 會是唯一包含於 M 的 L/K 的 normal closure. 因此我們有以 下之結果.

Corollary 3.2.11. ƒ' L/K Î×Í finite extension v M Î×͑â L Ý field. A

Œ M ‘â L/K ÝØÍ normal closure N , J M_K(L, M ) = M_K(L, N ).

Proof. 若 ψ ∈ M_K(L, N ), 表示 ψ 是一個 L 到 N 的 K-monomorphism, 由於 N ⊆ M , 故得 ψ 也是一個 L 到 M 的 K-monomorphism, 也就是說 ψ ∈ M_K(L, M ). 另一方面 若 φ ∈ M_K(L, M ), 則 Proposition 3.2.10 告訴我們 φ ∈ M_K(L, N ). 故得 M_K(L, M ) =

M_K(L, N ). ¤

Corollary 3.2.11 告訴我們當擴大對應域 M 到包含 L/K 的某個 normal closure 後, 所 有 L 到 M 的 K-monomorphisms 所成的集合 M_K(L, M ) 就不會再增加了. 因此我們只要 考慮適當大的對應域就可以涵蓋所有情況了. 當然了最經濟的取法就是選定對應域是 L/K 的 normal closure. 不過由於以後我們要討論的 K-monomorphism 的定義域會在 L/K 的 intermediate fields 之間換來換去, 為了不必因為定義域的不同將對應域換來換去, 我們會 將對應域固定為N , 其中 L ⊆ N 且 N/K 是 finite normal extension. 這樣一來不但有其方 便性而且由 Corollary 3.2.11 知並沒有改變這些 K-monomorphisms 所成的集合.

從 Proposition 2.3.3 我們知道當 L/K 是 finite extension 時, 所有 L 到 L 的 K- monomorphisms (即 Gal(L/K)) 的個數小於或等於 [L : K]. 現若 M 是一個包含 L 的 field, 那麼所有L 到 M 的 K-monomorphism 的個數和 [L : K] 會有什麼關係呢? 很明顯的由於對 應域較大, L 到 M 的 K-monomorphisms 的個數有可能多於 L 到 L 的 K-monomorphisms 的個數, 所以我們無法直接知道其個數是否仍會小於或等於 [L : K].

當初要探討 Gal(L/K) 和 [L : K] 的關係時我們曾提過可以用 induction 來處理. 不過 那時因為是討論 L 到 L 的 automorphism, 用歸納法比較不容易討論. 現在我們把對應域 擴大了討論起來就方便多了, 我們主要是需要以下之 Lemma.

Lemma 3.2.12. ƒ' L/K Î×Í finite extension, F Î×Í L/K Ý intermediate field v N Î × Í L Ý extension ” • N/K Î finite normal extension. J M_K(L, N ), M_F(L, N ) õ M_K(F, N ) KÎ finite sets v

|M_K(L, N )| = |M_F(L, N )| |M_K(F, N )| .

Proof. 首先注意我們有 K ⊆ F ⊆ L ⊆ N 這樣的關係. 由於 N/K 是一個 finite normal extension 且 L 是 N/K 的一個 intermediate field, 利用 Theorem 3.2.7 知每一個 L 到 N 的 K-monomorphism (即 M_K(L, N ) 的元素) 都可 extends 成為 Gal(N/K) 的元素, 因此 得 |M_K(L, N )| ≤ |Gal(N/K)| ≤ [N : K]. 故知 M_K(L, N ) 是一個 finite set. 同理可得

M_K(F, N ) 也是 finite set. 另外由於 K ⊆ F 所以一個 L 到 N 的 F -monomorphism 也是一 個L 到 N 的 K-monomorphism, 故知 M_F(L, N ) 是 M_K(L, N ) 的 subset, 因此 M_F(L, N ) 也是一個 finite set.

假設 M_F(L, N ) = {ρ₁, . . . , ρ_s} 而 M_K(F, N ) = {ψ₁, . . . , ψ_t}, 亦即 ρ_i : L → N 是 F -monomorphism 且 ψ_j : F → N 是 K-monomorphism. 由於 N/K 是一個 finite nor- mal extension 且 F 是 N/K 的一個 intermediate field, 利用 Theorem 3.2.7 每一個 K- monomorphism ψ_j : F → N 都可以 extends 成一個 K-monomorphism φ_j : N → N (即 φ_j|_F = ψ_j). 考慮 φ_j◦ ρ_i : L → N , 我們要驗證它是一個 K-monomorphism. 事實上由 於 K ⊆ F 且 ρ_i 是 F -monomorphism, 所以 ρ_i 當然也是 K-monomorphism, 再加上 φ_j 是 K-monomorphism, 因此對任意的 k ∈ K 皆有 φ_j ◦ ρ_i(k) = φ_j(ρ_i(k)) = φ_j(k) = k. 故知對 任意 i ∈ {1, . . . , s} 以及 j ∈ {1, . . . , t}, φ_j◦ ρ_i 都是 L 到 N 的 K-monomorphism.

接著我們要說明對任意 K-monomorphism σ : L → N , 皆可以找到 i ∈ {1, . . . , s} 以 及 j ∈ {1, . . . , t} 使得 σ = φ_j ◦ ρ_i. 由於 σ|_F : F → N 是一個 K-monomorphism, 故利 用 M_K(F, N ) 是所有 F 到 N 的 K-monomorphism 所成的集合知存在 j ∈ {1, . . . , t} 使得 ψ_j = σ|_F. 現考慮 φ⁻¹_j ◦ σ : L → N , 由於對任意 λ ∈ F , 皆有 σ(λ) = ψ_j(λ) = φ_j(λ) (別忘 了 φ_j|_F = ψ_j). 故知 φ⁻¹_j ◦ σ(λ) = λ, 因此 φ⁻¹_j ◦ σ 是一個 L 到 N 的 F -monomorphism.

故利用 M_F(L, N ) 是所有 L 到 N 的 F -monomorphism 所成的集合知存在 i ∈ {1, . . . , s}

使得 ρ_i= φ⁻¹_j ◦ σ. 換言之 σ = φ_j◦ ρ_i.

我們已證得 M_K(L, N ) = {φ_j ◦ ρ_i| i = 1, . . . , s 且 j = 1, . . . , t}. 要說明 |M_K(L, N )| = st = |M_F(L, N )| |M_K(F, N )|, 我們還需驗證這些 φ_j ◦ ρ_i 皆相異. 也就是說還要驗證: 若 i, i⁰ ∈ {1, . . . , s}, j, j⁰ ∈ {1, . . . , t} 且 φ_j ◦ ρ_i = φ_j⁰ ◦ ρ_i⁰, 則 i = i⁰ 且 j = j⁰. 對任意 λ ∈ F , 由於 ρ_i, ρ_i⁰ 是 F -monomorphisms, 我們得

φ_j◦ ρ_i(λ) = φ_j(λ) and φ_j⁰◦ ρ_i⁰(λ) = φ_j⁰(λ).

故由 φ_j◦ ρ_i = φ_j⁰◦ ρ_i⁰ 的假設知對任意 λ ∈ F 皆有 φ_j(λ) = φ_j⁰(λ). 換言之 ψ_j = φ_j|_F = φ_j⁰|_F = ψ_j⁰,

故得 j = j⁰, 也因此知 φ_j = φ_j⁰. 再由 φ_j = φ_j⁰ 以及 φ_j◦ ρ_i = φ_j⁰◦ ρ_i⁰ 知 ρ_i = φ⁻¹_j ◦ (φ_j◦ ρ_i) = φ⁻¹_j0 ◦ (φ_j⁰◦ ρ_i⁰) = ρ_i⁰,

故得證 i = i⁰. ¤

接下來我們可以用induction 來處理 monomorphism 的個數和 extension degree 的關係.

Proposition 3.2.13. ƒ' L/K Î×Í finite extension v N Î×Í L Ý extension ”

• N/K Î finite normal extension. J |M_K(L, N )| ≤ [L : K].

Proof. 我們對 [L : K] 作 induction 證明: 假設 [L : K] = 1, 即 L = K, 此時所有 L 到 N 的K-monomorphism 事實上就是 L 到 L 的 identity, 所以只有一個. 假設對所有 extension degree 小於 n 的 field extension 都成立. 現考慮 [L : K] = n > 1 的情形. 任取 α ∈ L

3.3. Separable Polynomial 39

但 α 6∈ K. 令 F = K(α), 此時我們有 [F : K] > 1 故知 [L : F ] < n. 假設 p(x) ∈ K[x]

是 α over K 的 minimal polynomial. 由於 F = K(α) 是一個 simple extension over K, 每一個 K-monomorphism ψ : F → N 可由 ψ(α) 的取值唯一確定. 不過 ψ(α) ∈ N 必 為 p(x) 在 N 的一個根, 故由 p(x) 在 N 的根的個數小於等於 deg(p(x)) = [F : K] 知

|M_K(F, N )| ≤ [F : K]. 另一方面由於 K ⊆ F ⊆ L ⊆ N 且 N/K 是一個 normal extension, 所以利用Corollary 3.2.3 知 N/F 仍為 finite normal extension. 因此我們現在有一個 finite extension L/F 且 N 是一個 L 的 extension 滿足 N/F 是 finite normal extension. 又因為 [L : F ] < n 故套用 induction 的假設知 |M_F(L, N )| ≤ [L : F ]. 因此由 Lemma 3.2.12 知

|M_K(L, N )| = |M_F(L, N )| |M_K(F, N )| ≤ [L : F ][F : K] = [L : K].

¤ 最後我們強調Proposition 3.2.13 我們無法得到所有 L 到 N 的 K-monomorphisms 的個 數等於 [L : K] 的主要原因是我們在考慮 F = K(α) 到 N 的 K-monomorphism 時, 雖然 α over K 的 minimal polynomial p(x) 在 N 中可以完全分解 (因 N/K 是 normal extension), 不過由於p(x) 可能有重根, 所以 p(x) 在 N 中根的個數仍有可能少於 deg(p(x)) = [F : K].

因此所有 F 到 N 的 K-monomorphisms 其個數仍有可能少於 [F : K], 導致無法利用 induction 證得所有 L 到 N 的 K-monomorphisms 個數等於 [L : K]. 底下我們就是要探討 separable extension 的概念以幫助我們處理這個情況.

3.3. Separable Polynomial

簡單來說一個 separable polynomial 是一個沒有重根的多項式. 由於要談一個多項式有沒 有重根牽涉到一個多項式的分解, 所以在這一節中我們先簡單的複習一些多項式分解的相 關性質, 再探討有關 separable polynomial 的性質.

假設K 是一個 field, 則 K[x] 這一個 polynomial ring 是一個 principle ideal domain (參 見大學基礎代數講義Theorem 7.2.6), 因此也是一個 unique factorization domain (參見大學 基礎代數講義Theorem 7.2.14). 簡單來說就是每一個 K[x] 中的非常數多項式都可以寫成 一些irreducible polynomials 的乘積. 在 unique factorization domain 中任兩個元素的 gcd (greatest common divisor) 是存在的. 事實上假設 f (x), g(x) ∈ K[x] 且 f (x) 和 g(x) 的質 因式分解分別為

f (x) = cp₁(x)^m1· · · p_r(x)^mr and g(x) = c⁰p₁(x)ⁿ¹· · · p_r(x)^nr,

其中 c, c⁰ ∈ K 且 p_i(x) 是 K[x] 中的 irreducible polynomial. 若令 d_i = min{m_i, n_i} 則 p₁(x)^d1· · · p_r(x)^dr 就是 f (x) 和 g(x) 的 gcd. 另一個大家熟悉求 gcd 的方法就是用輾轉相 除法. 事實上 K[x] 是一個 principle ideal domain, 輾轉相除法可以幫助我們找到 ideal 的 generator. 也就是說 f (x) 和 g(x) 的 gcd 就是 (f (x), g(x)) 這個 ideal (即由 f (x) 和 g(x) 產 生的ideal) 的 generator. 因此 d(x) 是 f (x) 和 g(x) 的 gcd 若且唯若 (d(x)) = (f (x), g(x)).

故知存在 m(x), n(x) ∈ K[x] 使得 d(x) = m(x)f (x) + n(x)g(x). 由於兩個多項式的 gcd 並 不是唯一的, 會差個常數倍 (參見大學基礎代數講義Lemma 8.1.6), 因此為了方便起見, 在

這裡我們要求取的 gcd 一定要 monic (即最高次項係數為1), 如此一來就唯一了. 我們將 f (x) 和 g(x) 之 gcd 用 gcd(f (x), g(x)) 表示. 特別當 gcd(f (x), g(x)) = 1 時, 我們稱 f (x) 和 g(x) 是互質 (relatively prime).

假設 L/K 是一個 field extension 且 f (x), g(x) ∈ K[x]. 此時我們可以將 f (x) 和 g(x) 看成是L[x] 中的元素. 從多項式的分解的角度來看在 K[x] 中分解和在 L[x] 中分解是不一 樣的. 比方說 f (x) 在 K[x] 中有可能是 irreducible polynomial 但在 L[x] 中就不是. 因此我 們會問是否f (x) 和 g(x) 在 K[x] 中的 gcd 和在 L[x] 中的 gcd 會不一樣? 其實它們是一樣 的, 理由如下: 假設 f (x) 和 g(x) 在 K[x] 和在 L[x] 的 gcd 分別為 d_K(x) 和 d_L(x). 由於 K[x] ⊆ L[x], 所以 d_K(x) ∈ L[x] 且在 L[x] 中整除 f (x) 以及 g(x). 因此依 d_L(x) 是 f (x) 和 g(x) 在 L[x] 的 gcd 知 d_K(x) 在 L[x] 中整除 d_L(x). 另一方面由於存在 m(x), n(x) ∈ K[x]

滿足m(x)f (x) + n(x)g(x) = d_K(x), 又 d_L(x) 在 L[x] 中整除 f (x) 以及 g(x), 因此知 d_L(x) 在L[x] 中整除 d_K(x). 也就是說在 L[x] 中 d_L(x) | d_K(x) 且 d_K(x) | d_L(x), 所以利用 d_K(x) 和d_L(x) 都是 monic polynomials 的假設知 d_K(x) = d_L(x). 因此以後我們用 gcd(f (x), g(x)) 這個符號時不必擔心是f (x) 和 g(x) 在 K[x] 中或是在 L[x] 中的 gcd.

由上面討論得知, 要探討 f (x) 和 g(x) 在 K[x] 中是否互質和在 L[x] 中探討其實是一 樣的. 因此當要驗證 f (x) 和 g(x) 是否互質時, 我們可以考慮夠大的 extension L/K, 使得 f (x) 和 g(x) 在 L 中可以完全分解. 這樣就很容易判斷 f (x) 和 g(x) 是否互質了.

Lemma 3.3.1. ƒ' L/K Î×Í field extension, f (x), g(x) ∈ K[x] v f (x) õ g(x) split over L. J gcd(f (x), g(x)) = 1 uv°u f (x) õ g(x) 3 L ^b8!Ýq.

Proof. 從上面的討論中我們知到可以將 f (x) 和 g(x) 考慮成 L[x] 中的 polynomials.

假設 gcd(f (x), g(x)) = 1, 表示存在 m(x), n(x) ∈ L[x] 使得 m(x)f (x) + n(x)g(x) = 1.

若 α ∈ L 是 f (x) 和 g(x) 在 L 中相同的根, 則將 α 代入得 1 = m(α)f (α) + n(α)g(α) = 0.

造成矛盾故知 f (x) 和 g(x) 在 L 中沒有相同的根.

另一方面, 假設f (x) 和 g(x) 在 L 中沒有相同的根. 首先將 f (x) 和 g(x) 在 L 中分別 完全分解成

f (x) = a(x − a₁) · · · (x − a_m) and g(x) = b(x − b₁) · · · (x − b_n).

由於一次多項式一定是irreducible, 所以利用唯一分解性質以及 {a₁, . . . , a_m}∩{b₁, . . . , b_n} = ∅

的假設, 得知 f (x) 和 g(x) 是互質的. ¤

接下來我們要探討separable polynomial 的性質.

Definition 3.3.2. 假設 K 是一個 field, f (x) ∈ K[x] 且 L 是 f (x) over K 的 splitting field.

如果 f (x) 在 L 中無重根, 則稱 f (x) 是一個 separable polynomial.

要注意雖然 f (x) over K 的 splitting field 並不唯一, 不過由於 splitting fields 之間是 K-isomorphic (Proposition 3.1.8) 所以 f (x) 是否有重根和 splitting field 的選取無關. 這是因 為若L₁ 和L₂ 皆為f (x) over K 的 splitting field, 則存在一個 K-isomorphism φ : L₁ → L₂.

3.3. Separable Polynomial 41

假設 f (x) 在 L₁[x] 中完全分解成 f (x) = a(x − a₁) · · · (x − a_n), 則 f (x) 在 L₂[x] 可分解成 f (x) = f^φ(x) = φ(a)(x − φ(a₁)) · · · (x − φ(a_n)). 由於 φ 是 1-1, 可得 f (x) 在 L₁ 中無重根 若且唯若在 L₂ 中無重根.

要判斷一個多項式有沒有重根, 大家都知道可以用微分來處理. 也就是如果 f (x) 和 f⁰(x) 沒有相同的根, 則 f (x) 不會有重根. 可惜的是當初微分的定義是用極限的概念, 在這 裡我們談的是一般的 field, 元素間沒有距離的概念, 所以無法談極限. 因此我們要用純代數 的方法處理. 這裡所用的處理方法其實和以後理論的推廣無關, 所以大家若能接受原本判 別重根的方法在一般的 field 都對的話, 可以直接跳過這一段, 而從 Lemma 3.3.5 繼續研讀 下去.

Definition 3.3.3. 假設 K 是一個 field 且 f (x) = a_nxⁿ+ · · · + a₂x²+ a₁x + a₀ ∈ K[x]. 我 們定義 f (x) 的微分為 f⁰(x) = na_nxⁿ⁻¹+ · · · + 2a₂x + a₁.

要注意這裡和微積分學的不同的是, 在微積分中我們是用極限定義微分, 再依定義推得 f⁰(x) 為何. 在這裡我們直接定義 f⁰(x) 為何, 所以大家熟悉(用極限推得)的微分性質並不 一定成立. 我們必須驗證多項式在此定義之下微分的加法原理 (addition rule) 和乘法原理 (product rule) 是否成立.

Lemma 3.3.4. ƒ' K Î×Í field v f (x), g(x) ∈ K[x]. J

(f + g)⁰(x) = f⁰(x) + g⁰(x) and (f · g)⁰(x) = f⁰(x) · g(x) + f (x) · g⁰(x).

Proof. 假設 f (x) = a_nxⁿ+ · · · + a₁x + a₀ 且 g(x) = b_nxⁿ+ · · · + a₁x + a₀ (f (x) 和 g(x) 不一定次數相同, 不過我們不妨將它們寫成同次的形式, 只要將多餘項係數以 0 表示即可).

則 (f + g)(x) = (a_n+ b_n)xⁿ+ · · · + (a₁+ b₁)x + (a₀+ b₀). 故依定義知 (f + g)⁰(x) = n(a_n+ b_n)xⁿ⁻¹+ · · · + (a₁+ b₁)

= (na_nxⁿ⁻¹+ · · · + a₁) + (nb_nxⁿ⁻¹+ · · · + b₁)

= f⁰(x) + g⁰(x).

至於product rule 我們可以用 induction 處理. 給定 g(x) = b_mx^m+· · ·+b₁x+b₀, 我們對 deg(f (x)) = n 作 induction, 證明對任意 f (x) ∈ K[x], (f · g)⁰(x) = f⁰(x) · g(x) + f (x) · g⁰(x).

若 deg(f (x)) = 0, 此時 f (x) = a ∈ K, 故 (f · g)(x) = ab_mx^m+ · · · + ab₁x + ab₀. 由於 f⁰(x) = 0, 因此得

(f · g)⁰(x) = mab_mx^m−1+ · · · + ab₁= a(mb_mx^m−1+ · · · + b₁) = f⁰(x) · g(x) + f (x) · g⁰(x).

假設當deg(f (x)) < n 時, (f ·g)⁰(x) = f⁰(x)·g(x)+f (x)·g⁰(x). 現若 deg(f (x)) = n, 則將 f (x) 寫成f (x) = a_nxⁿ+ f₁(x), 其中 deg(f₁(x)) < n. 故有 (f · g)(x) = (a_nxⁿ· g(x)) + (f₁· g)(x).

將 a_nxⁿ· g(x) 乘開取微分可得

(a_nxⁿ· g(x))⁰ = na_nxⁿ⁻¹· g(x) + a_nxⁿ· g⁰(x).

又因為 deg(f₁(x)) < n 利用 induction 的假設知

(f₁· g)⁰(x) = f₁⁰(x) · g(x) + f₁(x) · g⁰(x).

因此套用前面已證得的addition rule, 我們有 (f · g)⁰(x) = (a_nxⁿ· g(x))⁰+ (f₁· g)⁰(x)

= na_nxⁿ⁻¹· g(x) + a_nxⁿ· g⁰(x) + f₁⁰(x) · g(x) + f₁(x) · g⁰(x)

= (na_nxⁿ⁻¹+ f₁⁰(x)) · g(x) + (a_nxⁿ+ f₁(x)) · g⁰(x)

= f⁰(x) · g(x) + f (x) · g⁰(x).

¤ 既然 product rule 成立我們就可以利用 product rule 得到我們熟悉的判斷一個多項式 是否有重根的方法. 這裡我們仍選用比較代數的說法.

Lemma 3.3.5. ƒ' K Î×Í field v f (x) ∈ K[x]. J f (x) Î×Í separable polynomial uv°u gcd(f(x), f⁰(x)) = 1.

Proof. 假設 L/K 是一個 extension 使得 f (x) 和 f⁰(x) 皆 split over L. 利用 Lemma 3.3.1 我們只要探討 f (x) 和 f⁰(x) 在 L 中有沒有相同的根.

假設 f (x) 和 f⁰(x) 在 L 中有相同的根 α (即 gcd(f (x), f⁰(x)) 6= 1), 表示在 L[x]

中 f (x) = (x − α) · g(x) 其中 g(x) ∈ L[x]. 因此利用 product rule (Lemma 3.3.4) 得 f⁰(x) = g(x) + (x − α) · g⁰(x). 但由於 f⁰(α) = 0, 代入得 g(α) = 0, 也就是 x − α 在 L[x] 中 也整除 g(x). 故得 α 是 f (x) 的一個重根. 因此 f (x) 不是 separable polynomial.

反之, 如果 f (x) 不是 separable polynomial, 表示存在 α ∈ L 以及 h(x) ∈ L[x] 使 得 f (x) = (x − α)² · h(x). 因為 (x − α)² = x² − 2αx + α², 再次利用 product rule 得 f⁰(x) = 2(x − α) · h(x) + (x − α)²· h⁰(x). 因此知 α 也為 f⁰(x) 在 L 的一個根. 因此由

Lemma 3.3.1 知 gcd(f (x), f⁰(x)) 6= 1. ¤

前面提過, 以前大家熟悉的微分性質在一般的 field 並不一定是對的. 例如 f⁰(x) = 0 若 且唯若 f (x) 是一個常數就不一定對. 事實上我們有以下之結果.

Lemma 3.3.6. ƒ' K Î×Í field v f (x) ∈ K[x].

(1) ƒ' K Î×Í characteristic 0 Ý field. J f⁰(x) = 0 uv°u f (x) = c Î

×Íðó.

(2) ƒ ' K Î × Í characteristic p Ý field. J f⁰(x) = 0 u v ° u D 3 × Í g(x) ∈ K[x] ¸ÿ f (x) = g(x^p).

Proof. 首先回顧一下一個 field K 的 characteristic 只有兩種情形: 當 characteristic 為 0 時表示, 若 a ∈ K 且 a 6= 0, 則對任意正整數 n, na 皆不為 0; 而 characteristic 為 p 時表 示, 對任意 a ∈ K, pa 皆為 0.

3.3. Separable Polynomial 43

(1) 假設 K 的 characteristic 為 0 且 f (x) = a_nxⁿ + · · · + a₁x + a₀. 則 f⁰(x) = na_nxⁿ⁻¹ + · · · + a₁. 如果 f⁰(x) = 0 表示 na_n, (n − 1)a_n−1, . . . , a₁ 皆為 0. 由 K 的 characteristic 為 0 的假設知 a_n, . . . , a₁ 皆為 0. 故 f (x) = a₀ 是一個常數. 反之, 如果 f (x) = c 是一個常數, 自然由定義知 f⁰(x) = 0.

(2) 假設 K 的 characteristic 為 p 且 f (x) = a_nxⁿ+ · · · + a₁x + a₀, 其中 a_n6= 0. 則對於 i ∈ {1, . . . , n}, f⁰(x) 的每一個 xⁱ⁻¹項的係數為ia_i. 因此若 f⁰(x) = 0 且 a_i6= 0, 則由 ia_i= 0 知 p | i. 也就是說只有在 i = pt, 其中 t 為非負整數時, f (x) 的 xⁱ 項的係數才可能不為 0.

特別因假設 a_n6= 0, 所以知 n = pm. 因此若令 b_t= a_pt 且g(x) = b_mx^m+ · · · + b₁x + b₀, 則 f (x) =

Xm t=0

a_ptx^pt = Xm t=0

b_t(x^p)^t= g(x^p).

反之, 若 g(x) = b_mx^m+ · · · + b₁x + b₀ ∈ K[x] 且 f (x) = g(x^p), 則 f (x) = P_m

t=0b_t(x^p)^t= P_m

t=0b_tx^pt, 故得

f⁰(x) = Xm t=1

(pt)b_tx^pt−1 = Xm t=1

p(tb_t)x^pt−1= 0.

¤ 在下一節中我們要關心的是一個 irreducible polynomial 是否為 separable polynomial.

所以我們特別看一下 Lemma 3.3.5 特別在 f (x) 是 irreducible 時的情形.

Proposition 3.3.7. ƒ ' K Î × Í field v f (x) ∈ K[x] Î K[x]  Ý irreducible polynomial.

(1) ƒ ' K Î × Í characteristic 0 Ý field. J f (x) ×  Î × Í separable polynomial.

(2) ƒ' K Î×Í characteristic p Ý field. J f (x) Î separable polynomial uv°uD3×Í g(x) ∈ K[x] ¸ÿ f(x) = g(x^p).

Proof. 由於一個 polynomial 乘上一個非 0 的常數並不影響這裡所述的性質, 所以我們直接假 設f (x) ∈ K[x] 是一個 monic irreducible polynomial. 若 d(x) = gcd(f (x), f⁰(x)), 由於 d(x) 是f (x) 的一個 monic 的因式, 而 f (x) 是 irreducible 其 monic 的因式只有 1 和 f (x) 本身, 故得d(x) = 1 或 d(x) = f (x). 特別要注意, 如果 f⁰(x) 6= 0, 則由於 deg(f⁰(x)) < deg(f (x)), 此時 f (x) 不可能整除 f⁰(x). 因此若 f⁰(x) 6= 0, 則 gcd(f (x), f⁰(x)) 不可能為 f (x), 故得 gcd(f (x), f⁰(x)) = 1.

(1) 假設 K 是一個 characteristic 為 0 的 field. 因為 f (x) 是 irreducible, 故 deg(f (x)) > 1, 因此由 Lemma 3.3.6 知 f⁰(x) 不可能為 0. 由上面的討論知 gcd(f (x), f⁰(x)) = 1, 因此由 Lemma 3.3.5 得知 f (x) 是一個 separable polynomial.

(2) 假設 K 是一個 characteristic 為 p 的 field. 若 f (x) 不是 separable polynomial, 則由 Lemma 3.3.5 知 gcd(f (x), f⁰(x)) 6= 1. 故由前面討論得知 f⁰(x) = 0 也就是說存在 一個 g(x) ∈ K[x] 使得 f (x) = g(x^p) (Lemma 3.3.6). 反之若存在一個 g(x) ∈ K[x] 使得

f (x) = g(x^p), 則 f⁰(x) = 0. 故得 gcd(f (x), f⁰(x)) = f (x) 6= 1. 因此再由 Lemma 3.3.5 得

知 f (x) 不是 separable polynomial. ¤

3.4. Separable Extension

在這一節中我們介紹另一個重要的 extension, separable extension. 首先我們會發現幾乎 在大學代數中談的 extension 都是 separable extension, 然後我們會進一步討論 separable extension 重要的性質.

在前面我們提過當 L = K(α) 是 K 的 finite simple extension 時, 若 α 的 minimal polynomial 沒有重根時, 我們就可以由其 minimal polynomial degree 確實知道有關 L 的 K-monomorphisms 的個數. 所以我們有以下之定義.

Definition 3.4.1. 假設 L/K 是一個 finite extension. 若 a ∈ L 且 a over K 的 minimal polynomial 是 separable polynomial, 則稱 a 是一個 separable element over K. 如果 L 中 所有元素皆為 separable element over K, 則稱 L/K 是一個 separable extension.

要注意要談一個元素是否是一個separable element, 仍必須說明是 over 哪一個 field. 有 可能在 K ⊆ F 的情形, a 是一個 separable element over F 但不是 separable over K. 不過 反過來如果已知 a 是一個 separable element over K 那麼 a 一定是一個 separable element over F . 這是因為如果 m_K(x) ∈ K[x] 和 m_F(x) ∈ F [x] 分別為 a over K 的 minimal polynomial 和 a over F 的 minimal polynomial, 則 m_F(x) 在 F [x] 中必整除 m_K(x). 因此 如果 m_K(x) 沒有重根, 當然 m_F(x) 也不會有重根.

當L/K 是一個 finite extension, 前面提過我們很關心一些 L/K 的性質是否在 intermediate fields 之間保持. 事實上 separable extension 和 algebraic extension 一樣是會被保持的.

Lemma 3.4.2. ƒ' L/K Î×Í finite separable extension v F Î L/K Ý intermediate field. J L/F õ F/K KÎ separable extension.

Proof. 任取 a ∈ F , 由於 a ∈ L 且 L/K 是 separable extension, 得知 a 是一個 separable element over K. 因此由定義知 F/K 是 separable extension. 另外任取 a ∈ L, 由於 K ⊆ F 且 a 是一個 separable element over K, 由前面討論知 a 也是一個 separable element over

F . 因此知 L/F 也是一個 separable extension. ¤

事實上以後我們會知道如果 L/F 和 F/K 都是 separable extension 則 L/K 也會是一 個 separable extension (再一次強調 normal extension 就沒有這麼好).

要檢查L/K 是否為 separable extension, 依定義就得檢查 L 中所有元素是否為 separable element over K. 我們自然希望有一個等價但比較容易檢查的條件 (就像前面提的 normal extension). 以後等我們了解更多 separable extension 的性質之後, 我們會發現和 normal extension (Theorem 3.2.2) 一樣只要檢查有限多個元素就可以了. 不過事實上在目前大學 代數大家所熟悉的 field extension 都是 separable extension.

3.4. Separable Extension 45

Proposition 3.4.3. ƒ' K Î×Í field. J3|ìËÍϵìÝ finite extension K Î separable extension.

(1) K Ý characteristic Î 0 `;

(2) K Î finite field `.

Proof. (1) 當 K 的 characteristic 是 0 時, 由 Proposition 3.3.7 我們知所有 K[x] 中的 irreducible polynomial 皆為 separable polynomial. 若 L/K 是 finite extension, 因為任意 a ∈ L over K 的 minimal polynomial 都是 K[x] 中的 irreducible polynomial, 故得 a 皆為 separable element over K. 得證 L/K 是 separable extension.

(2) 當 K 是 finite field 時, 首先我們複習一下 finite field 的性質. 我們知道 K 的 characteristic 必為一質數 p (參見大學基礎代數講義Lemma 9.2.3) 且 K 中元素個數必為 pⁿ, 其中 n ∈ N (參見大學基礎代數講義Theorem 10.4.1). 由於 K \ {0} 共有 pⁿ− 1 個元 素且在乘法之下是一個group, 因此利用 Lagrange Theorem 我們知對任意 a ∈ K 且 a 6= 0 皆有 a^pn−1= 1. 兩邊各乘上 a, 得 K 中任意元素 a 皆滿足 a^pn = a. 因此若令 b = a^pn−1, 則 b^p = (a^pn−1)^p = a^pn = a. 換言之, 對任意 a ∈ K, 皆存在 b ∈ K 使得 b^p = a. 另外由於 K 的 characteristic 為 p, 當 a, b ∈ K 時我們有 (a + b)^p= a^p+ b^p (參見大學基礎代數講義 Lemma 9.2.5). 因此若 f (x) =P_n

i=0a_ixⁱ, 則 f (x)^p =P_n

i=0a^p_ix^ip (參見大學基礎代數講義 Lemma 9.2.6).

現假設 L/K 是一個 finite extension, 且假設存在 a ∈ L 不是一個 separable element over K. 換言之, 若 a over K 的 minimal polynomial 為 f (x), 則 f (x) ∈ K[x] 不是一個 separable polynomial. 因此由 Proposition 3.3.7 (2) 我們知存在 g(x) =P_m

t=0a_tx^t∈ K[x]

使得 f (x) = g(x^p). 由前面討論知, 對任意 t ∈ {0, 1, . . . , m} 皆存在 b_t ∈ K 使得 b^p_t = a_t. 因此

f (x) = g(x^p) = Xm t=0

a_t(x^p)^t= Xm

t=0

b^p_t(x^t)^p = ( Xm t=0

b_tx^t)^p. 換言之, 若令 h(x) = P_m

t=0b_tx^t ∈ K[x], 則 f (x) = h(x)^p. 這和 f (x) 在 K[x] 中是 irreducible polynomial 相矛盾, 因此 L 中每個元素皆為 separable element over K. 得證

L/K 是 separable extension. ¤

由此結果我們知, 以後若是談論 Q 的 finite extension 或是 finite field 的 finite extension, 我們都可以直接說是 separable extension. 雖然 Proposition 3.4.3 幾乎涵蓋了我們常見的 extension, 但並沒有涵蓋所有的情形. 接下來我們簡單的介紹一個 finite extension 但不是 separable extension 的例子.

Example 3.4.4. 令 F₂ 為一個只有兩個元素的 finite field, α 是 transcendental over F₂ 且令 K = F₂(α). 要注意 K 雖然不再是 finite field 但是其 characteristic 仍為 2. 考慮 x²− α ∈ K[x], 而令 L = K(β) 是 x²− α over K 的 splitting field, 其中 β 滿足 β² = α.

首先觀察 β 6∈ K. 這是因為若 β ∈ K, 即表示存在 f (x), g(x) ∈ F₂[x], 其中 g(x) 6= 0 使 得 β = f (α)/g(α). 換言之, f (α)²/g(α)² = α. 這會造成 α 是 f (x)²− x · g(x)² ∈ F₂[x]